स्पर्शोन्मुख वितरण: Difference between revisions

Revision as of 01:59, 3 July 2023

गणित और सांख्यिकी में, स्पर्शोन्मुख वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक अर्थ में वितरण के अनुक्रम का "सीमित" वितरण है। एक स्पर्शोन्मुख वितरण के विचार का मुख्य उपयोग सांख्यिकीय अनुमानकों के संचयी वितरण कार्यों को सन्निकटन प्रदान करने में है।

परिभाषा

वितरण का एक क्रम Z_i = 1, 2, ..., के लिए यादृच्छिक चर Z_i के अनुक्रम से मेल खाता है। सबसे सरल मामले में, एक एसिम्प्टोटिक वितरण मौजूद होता है यदि ज़ी की संभाव्यता वितरण एक प्रायिकता वितरण (असिम्प्टोटिक वितरण) में परिवर्तित होता है जैसे कि Z_i बढ़ता है: वितरण में अभिसरण देखें। स्पर्शोन्मुख वितरण की विशेष स्थति तब होती है जब यादृच्छिक चर का अनुक्रम सदैव शून्य या Z_i = 0 होता है, क्योंकि Z_i अनंत की ओर पहुंचता है। यहां स्पर्शोन्मुख वितरण एक पतित वितरण है, जो मान शून्य के अनुरूप होता है।

चूँकि, सबसे सामान्य अर्थ जिसमें स्पर्शोन्मुख वितरण शब्द का उपयोग किया जाता है, ये वहां उत्पन्न होता है जहां यादृच्छिक चर Z_i को गैर-यादृच्छिक मानों के दो अनुक्रमों द्वारा संशोधित किया जाता है। इस प्रकार यदि

Y_{i}={\frac {Z_{i}-a_{i}}{b_{i}}}

दो अनुक्रमों {a_i} और {b_i} के लिए एक गैर-अपक्षयी वितरण में अभिसरण मे परिवर्तित हो जाता है तो Z_i को उस वितरण को इसके स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में कहा जाता है। यदि स्पर्शोन्मुख वितरण का वितरण फलन F है, तो बड़े n के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन मान्य होता हैं

P\left({\frac {Z_{n}-a_{n}}{b_{n}}}\leq x\right)\approx F(x),

P(Z_{n}\leq z)\approx F\left({\frac {z-a_{n}}{b_{n}}}\right).

यदि एक स्पर्शोन्मुख वितरण सम्मलित है, तो यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है कि यादृच्छिक चर के अनुक्रम का कोई भी परिणाम संख्याओं का एक अभिसरण अनुक्रम है। यह संभाव्यता वितरणों का क्रम है जो अभिसरण होता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय

संभवतः स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में उत्पन्न होने वाला सबसे सामान्य वितरण सामान्य वितरण है। विशेष रूप से, केंद्रीय सीमा प्रमेय उदाहरण प्रदान करता है जहां स्पर्शोन्मुख वितरण सामान्य वितरण होता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय: मान लो $\{X_{1},X_{2},\dots \}$ आई.आई.डी. का एक क्रम है। यादृच्छिक चर के साथ $\mathrm {E} [X_{i}]=\mu$ और $\operatorname {Var} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$ . होने देना $S_{n}$ का औसत होता है तो $\{X_{1},\dots ,X_{n}\}$ . फिर ऐसे $n$ अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर ${\sqrt {n}}(S_{n}-\mu )$ वितरण में अभिसरण $N(0,\sigma ^{2})$ सामान्य रूप से होता है।:^[1]

केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक स्पर्शोन्मुख वितरण देता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के समीप होने पर ही उचित सन्निकटन प्रदान करता है; इसे अवशेष तक फैलाने के लिए बहुत बड़ी संख्या में अवलोकनों की आवश्यकता होती है।

स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता

स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता केंद्रीय सीमा प्रमेय का सामान्यीकरण होता है।यह सांख्यिकीय प्रतिरूप के अनुक्रम का एक गुण है, जो पैरामीटर के पुनर्विक्रय के बाद, इस क्रम को सामान्य वितरण द्वारा असीमित रूप से अनुमानित करने की अनुमति देता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण जब स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता एक नियमित पैरामीट्रिक प्रतिरूप से स्वतंत्र और समान रूप से वितरित प्रतिरूप की स्थिति में होती है; यह सिर्फ केंद्रीय सीमा प्रमेय होता है।

बार्नडॉर्फ-नील्सन एंड कॉक्स स्पर्शोन्मुख सामान्यता की प्रत्यक्ष परिभाषा उपलब्ध करते हैं।^[2]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Billingsley, Patrick (1995). संभावना और उपाय (Third ed.). John Wiley & Sons. p. 357. ISBN 0-471-00710-2.
↑ Barndorff-Nielsen, O. E.; Cox, D. R. (1989). सांख्यिकी में उपयोग के लिए स्पर्शोन्मुख तकनीक. Chapman and Hall. ISBN 0-412-31400-2.

[1] Billingsley, Patrick (1995). संभावना और उपाय (Third ed.). John Wiley & Sons. p. 357. ISBN 0-471-00710-2.

[2] Barndorff-Nielsen, O. E.; Cox, D. R. (1989). सांख्यिकी में उपयोग के लिए स्पर्शोन्मुख तकनीक. Chapman and Hall. ISBN 0-412-31400-2.

[1]

[2]

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 == परिभाषा ==
-वितरण का एक क्रम यादृच्छिक चर Z के [[अनुक्रम]] से मेल खाता है<sub>i</sub>मैं के लिए = 1, 2, ..., मैं। सरलतम स्थिति में, यदि Z का प्रायिकता वितरण हो तो एक स्पर्शोन्मुख वितरण मौजूद होता है<sub>i</sub>जैसे-जैसे मैं बढ़ता है प्रायिकता वितरण (असिम्प्टोटिक वितरण) में परिवर्तित होता है: देखें यादृच्छिक चरों का अभिसरण#वितरण में अभिसरण। स्पर्शोन्मुख वितरण का एक विशेष मामला तब होता है जब यादृच्छिक चर का क्रम हमेशा शून्य या Z होता है<sub>i</sub>= 0 जैसे मैं अनंत की ओर पहुंचता हूं। यहाँ स्पर्शोन्मुख वितरण एक पतित वितरण है, जो मान शून्य के अनुरूप है।
+वितरण का एक क्रम ''Z<sub>i</sub>''  = 1, 2, ..., के लिए यादृच्छिक चर ''Z<sub>i</sub>''  के अनुक्रम से मेल खाता है। सबसे सरल मामले में, एक एसिम्प्टोटिक वितरण मौजूद होता है यदि ज़ी की संभाव्यता वितरण एक प्रायिकता वितरण (असिम्प्टोटिक वितरण) में परिवर्तित होता है जैसे कि ''Z<sub>i</sub>'' बढ़ता है: वितरण में अभिसरण देखें। स्पर्शोन्मुख वितरण की विशेष स्थति तब होती है जब यादृच्छिक चर का अनुक्रम सदैव शून्य या ''Z<sub>i</sub>'' = 0 होता है, क्योंकि ''Z<sub>i</sub>'' अनंत की ओर पहुंचता है। यहां स्पर्शोन्मुख वितरण एक पतित वितरण है, जो मान शून्य के अनुरूप होता है।
-हालाँकि, सबसे सामान्य अर्थ जिसमें स्पर्शोन्मुख वितरण शब्द का उपयोग किया जाता है, जहाँ यादृच्छिक चर Z होता है<sub>i</sub>गैर-यादृच्छिक मूल्यों के दो अनुक्रमों द्वारा संशोधित किया गया है। इस प्रकार यदि
+चूँकि, सबसे सामान्य अर्थ जिसमें स्पर्शोन्मुख वितरण शब्द का उपयोग किया जाता है, ये वहां उत्पन्न होता है जहां यादृच्छिक चर ''Z<sub>i</sub>'' को गैर-यादृच्छिक मानों के दो अनुक्रमों द्वारा संशोधित किया जाता है। इस प्रकार यदि
 :<math>Y_i=\frac{Z_i-a_i}{b_i}</math>
-वितरण में दो अनुक्रमों के लिए एक गैर-पतित वितरण में परिवर्तित हो जाता है {ए<sub>i</sub>} और बी<sub>i</sub>} फिर Z<sub>i</sub>ऐसा कहा जाता है कि वितरण इसके स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में है। यदि स्पर्शोन्मुख वितरण का वितरण कार्य F है, तो बड़े n के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन धारण करते हैं
+दो अनुक्रमों  {''a<sub>i</sub>''} और {''b<sub>i</sub>''} के लिए एक गैर-अपक्षयी वितरण में अभिसरण मे परिवर्तित हो जाता है तो ''Z<sub>i</sub>'' को उस वितरण को इसके स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में कहा जाता है। यदि स्पर्शोन्मुख वितरण का वितरण फलन ''F'' है, तो बड़े ''n'' के लिए, निम्नलिखित सन्निकटन मान्य होता हैं
 :<math>P\left(\frac{Z_n-a_n}{b_n} \le x \right) \approx F(x) ,</math>
 :<math>P(Z_n \le z) \approx F\left(\frac{z-a_n}{b_n}\right) .</math>
-यदि एक स्पर्शोन्मुख वितरण मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि यादृच्छिक चर के अनुक्रम का कोई एक परिणाम संख्याओं का एक अभिसरण अनुक्रम है। यह संभाव्यता वितरण का क्रम है जो अभिसरण करता है।
+यदि एक स्पर्शोन्मुख वितरण सम्मलित है, तो यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है कि यादृच्छिक चर के अनुक्रम का कोई भी परिणाम संख्याओं का एक अभिसरण अनुक्रम है। यह संभाव्यता वितरणों का क्रम है जो अभिसरण होता है।
 == केंद्रीय सीमा प्रमेय ==
-{{Main|Central limit theorem}}
+{{Main|
-शायद एक स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में उत्पन्न होने वाला सबसे आम वितरण [[सामान्य वितरण]] है। विशेष रूप से, [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] एक उदाहरण प्रदान करता है जहां स्पर्शोन्मुख वितरण सामान्य वितरण है।
+केंद्रीय सीमा प्रमेय}}
-;केंद्रीय सीमा प्रमेय:
+संभवतः स्पर्शोन्मुख वितरण के रूप में उत्पन्न होने वाला सबसे सामान्य वितरण [[सामान्य वितरण]] है। विशेष रूप से, [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] उदाहरण प्रदान करता है जहां स्पर्शोन्मुख वितरण सामान्य वितरण होता है।
-:कल्पना करना <math>\{X_1, X_2, \dots\}</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित का एक क्रम है|i.i.d. यादृच्छिक चर के साथ <math>\mathrm{E}[X_i] = \mu</math> और <math>\operatorname{Var}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>. होने देना <math>S_n</math> का औसत हो <math>\{X_1, \dots, X_n\}</math>. फिर ऐसे <math>n</math> अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर <math>\sqrt{n}(S_n - \mu)</math> एक सामान्य वितरण के [[वितरण में अभिसरण]] <math>N(0, \sigma^2)</math>:<ref>{{cite book |last=Billingsley |first=Patrick | author-link= Patrick Billingsley |title=संभावना और उपाय|edition=Third |publisher= [[John Wiley & Sons]] |year=1995 |isbn=0-471-00710-2 |page=357 |url={{Google books |plainurl=yes |id=z39jQgAACAAJ |page=357 }} }}</ref>
-केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक स्पर्शोन्मुख वितरण देता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के शिखर के करीब होने पर ही एक उचित सन्निकटन प्रदान करता है; पूंछ में खिंचाव के लिए इसे बहुत बड़ी संख्या में अवलोकन की आवश्यकता होती है।
+;केंद्रीय सीमा प्रमेय
+:मान लो <math>\{X_1, X_2, \dots\}</math> आई.आई.डी. का एक क्रम है। यादृच्छिक चर के साथ <math>\mathrm{E}[X_i] = \mu</math> और <math>\operatorname{Var}[X_i] = \sigma^2 < \infty</math>. होने देना <math>S_n</math> का औसत होता है तो <math>\{X_1, \dots, X_n\}</math>. फिर ऐसे <math>n</math> अनंत तक पहुंचता है, यादृच्छिक चर <math>\sqrt{n}(S_n - \mu)</math> [[वितरण में अभिसरण]] <math>N(0, \sigma^2)</math>सामान्य रूप से होता है।:<ref>{{cite book |last=Billingsley |first=Patrick | author-link= Patrick Billingsley |title=संभावना और उपाय|edition=Third |publisher= [[John Wiley & Sons]] |year=1995 |isbn=0-471-00710-2 |page=357 |url={{Google books |plainurl=yes |id=z39jQgAACAAJ |page=357 }} }}</ref>
+केंद्रीय सीमा प्रमेय केवल एक स्पर्शोन्मुख वितरण देता है। प्रेक्षणों की परिमित संख्या के लिए सन्निकटन के रूप में, यह सामान्य वितरण के समीप होने पर ही उचित सन्निकटन प्रदान करता है; इसे अवशेष तक फैलाने के लिए बहुत बड़ी संख्या में अवलोकनों की आवश्यकता होती है।
 === स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता ===
-{{Main|Local asymptotic normality}}
+{{Main|स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता}}
-स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता केंद्रीय सीमा प्रमेय का एक सामान्यीकरण है। यह [[सांख्यिकीय मॉडल]] के अनुक्रम की एक संपत्ति है, जो पैरामीटर के पुनर्विक्रय के बाद, इस क्रम को सामान्य वितरण द्वारा असीमित रूप से अनुमानित करने की अनुमति देता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण जब स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता एक [[नियमित पैरामीट्रिक मॉडल]] से [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] नमूने के मामले में होती है; यह सिर्फ केंद्रीय सीमा प्रमेय है।
-बार्नडॉर्फ-नील्सन एंड कॉक्स स्पर्शोन्मुख सामान्यता की सीधी परिभाषा प्रदान करते हैं।<ref>{{cite book |last1= Barndorff-Nielsen |first1=O. E. |author1-link= Ole Barndorff-Nielsen |last2=Cox |first2=D. R. | author2-link= David Cox (statistician) |year=1989 |title=सांख्यिकी में उपयोग के लिए स्पर्शोन्मुख तकनीक|publisher= [[Chapman and Hall]] |isbn=0-412-31400-2 |url={{Google books |plainurl=yes |id=UQ9yIrZpMToC |page= }} }}</ref>
+स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता केंद्रीय सीमा प्रमेय का सामान्यीकरण होता है।यह [[सांख्यिकीय मॉडल|सांख्यिकीय प्रतिरूप]] के अनुक्रम का एक गुण है, जो पैरामीटर के पुनर्विक्रय के बाद, इस क्रम को सामान्य वितरण द्वारा असीमित रूप से अनुमानित करने की अनुमति देता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण जब स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता एक [[नियमित पैरामीट्रिक मॉडल|नियमित पैरामीट्रिक प्रतिरूप]] से [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] प्रतिरूप की स्थिति में होती है; यह सिर्फ केंद्रीय सीमा प्रमेय होता है।
+'''बार्नडॉर्फ-नील्सन एंड कॉक्स''' स्पर्शोन्मुख सामान्यता की प्रत्यक्ष परिभाषा उपलब्ध करते हैं।<ref>{{cite book |last1= Barndorff-Nielsen |first1=O. E. |author1-link= Ole Barndorff-Nielsen |last2=Cox |first2=D. R. | author2-link= David Cox (statistician) |year=1989 |title=सांख्यिकी में उपयोग के लिए स्पर्शोन्मुख तकनीक|publisher= [[Chapman and Hall]] |isbn=0-412-31400-2 |url={{Google books |plainurl=yes |id=UQ9yIrZpMToC |page= }} }}</ref>
 == यह भी देखें ==
 * [[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]]

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