सामान्य संख्या क्षेत्र चालिका (जीएनएफएस): Difference between revisions

Revision as of 11:46, 4 July 2023

संख्या सिद्धांत में, सामान्य संख्या क्षेत्र चालिका (जीएनएफएस) सबसे अधिक कलन विधि दक्षता वाला पारम्परिक कलन विधि है जो $10100$ से बड़े पूर्णांकों के गुणनखंडन के लिए जाना जाता है। अनुमानतः, एक पूर्णांक का गुणनखंड करने के लिए इसका कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत $n$ (को मिलाकर $⌊log 2 n ⌋ + 1$ बिट्स) रूप का है ^[1]

\exp \left(\left((64/9)^{1/3}+o(1)\right)\left(\log n\right)^{1/3}\left(\log \log n\right)^{2/3}\right)=L_{n}\left[1/3,(64/9)^{1/3}\right]

यह विशेष संख्या क्षेत्र छलनी का एक सामान्यीकरण है: जबकि बाद वाला केवल एक निश्चित विशेष रूप की संख्याओं का गुणनखंड कर सकता है, सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी अभाज्य घातयों के अलावा किसी भी संख्या का गुणनखंड कर सकती है (जो कि मूल लेकर कारक के लिए तुच्छ हैं)।

संख्या क्षेत्र चलनी (विशेष और सामान्य दोनों) के सिद्धांत को सरल तर्कसंगत चलनी या द्विघात चलनी में सुधार के रूप में समझा जा सकता है। बड़ी संख्या का गुणनखंड करने के लिए ऐसे कलन विधि का उपयोग करते समय $n$ , क्रम की निर्बाध संख्या $n 1/2$ (अर्थात् छोटे अभाज्य गुणनखंडों वाली संख्याएँ) की खोज करना आवश्यक है। इन मानों का आकार $n$ आकार में घातीय है (नीचे देखें)। दूसरी ओर, सामान्य संख्या अनुक्षेत्र छलनी उन निर्बाध संख्याओं की खोज करने में सफल होती है जो $n$ आकार में उप-घातांकीय होती हैं। चूँकि ये संख्याएँ छोटी हैं, इसलिए पिछले कलन विधि में निरीक्षण की गई संख्याओं की तुलना में इनके सुचारू होने की अधिक संभावना है। यह संख्या क्षेत्र चलनी की दक्षता की कुंजी है। इस गति-गति को प्राप्त करने के लिए, संख्या अनुक्षेत्र चलनी को संख्या अनुक्षेत्र में गणना और गुणनखंडन करना होगा। इसके परिणामस्वरूप सरल तर्कसंगत छलनी की तुलना में कलन विधि के कई जटिल पहलू सामने आते हैं।

कलन विधि में निविष्ट का आकार $log 2 n$ या के युग्मक प्रतिनिधित्व में बिट्स की संख्या $n$ है। अनुक्रम का कोई भी तत्व $n c$ एक स्थिरांक $log n$ के लिए $c$ में घातीय है। संख्या अनुक्षेत्र चलनी का चलने का समय सुपर-बहुपद है लेकिन निविष्ट के आकार में उप-घातांकीय है।

संख्या अनुक्षेत्र

मान लीजिए कि $f$ , $Q$ (तर्कसंगत संख्या) पर एक $k$ -डिग्री बहुपद है, और $r$ , $f$ का एक जटिल मूल है। तब, $f (r) = 0$ , जिसे $k$ से कम $r$ की घात के रैखिक संयोजन के रूप में $r k$ को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस समीकरण का उपयोग घातांक $e \geq k$ के साथ $r$ की किसी भी घात को कम करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $f (x) = x 2 + 1$ और $r$ काल्पनिक इकाई $i$ है, तब $i 2 + 1 = 0$ , या $i 2 = -1$ है। यह हमें जटिल उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है:

(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+(bd)i^{2}=(ac-bd)+(ad+bc)i.

सामान्यतः, यह सीधे बीजगणितीय संख्या $Q [r]$ क्षेत्र की ओर ले जाता है, जिसे निम्नलिखित द्वारा दी गई सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

a_{k-1}r^{k-1}+...+a_{1}r^{1}+a_{0}r^{0},{\text{ where }}a_{0},...,a_{k-1}{\text{ in }}\mathbf {Q} .

ऐसे किन्हीं दो मानों के गुणनफल की गणना गुणनफल को बहुपद के रूप में लेकर की जा सकती है, फिर ऊपर वर्णित अनुसार घातांक $e \geq k$ के साथ r की किसी भी घात को कम करके, उसी रूप में एक मान प्राप्त किया जा सकता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अनुक्षेत्र वास्तव में $k$ -आयामी है और इससे भी छोटे क्षेत्र में विध्वंस नहीं होता है। इसी प्रकार, कोई पूर्णांक $O Q [r]$ के वलय को $Q [r]$ के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है जो पूर्णांक गुणांक वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें हैं। कुछ स्तिथियों में, पूर्णांकों का यह वलय $Z [r]$ वलय के समतुल्य होता है। हालाँकि, कई अपवाद भी हैं, जैसे कि $Q [\sqrt d]$ जब $d$ 1 सापेक्ष 4 के बराबर है। ^[2]

विधि

एक बहुपद d और e की छोटी घात वाले दो बहुपद f(x) और g(x) चुने जाते हैं, जिनमें पूर्णांक गुणांक होते हैं, जो परिमेय संख्या के ऊपर अप्रासंगिक बहुपद होते हैं, जो परिमेय पर अप्रासंगिक हैं, और जब मॉड एन की व्याख्या की जाती है, तो एक सामान्य पूर्णांक रूट एम होता है। इन बहुपदों को चुनने के लिए कोई इष्टतम रणनीति ज्ञात नहीं है; एक सरल तरीका यह है कि एक बहुपद के लिए एक घात d चुना जाए, क्रम n1/d के विभिन्न m की संख्या के लिए आधार m में n के विस्तार पर विचार किया जाए (−m और m के बीच अंकों की अनुमति दी जाए) और सबसे छोटे गुणांक और g(x) के साथ x - m वाले बहुपद f(x) को चुना जाए।

संख्या क्षेत्र वलय Z[r1] और Z[r2] पर विचार करें, जहां r1 और r2 बहुपद f और g के मूल हैं। चूँकि f पूर्णांक गुणांकों के साथ घात d का है, यदि a और b पूर्णांक हैं, तो b^d·f(a/b) भी होगा, जिसे हम r कहते हैं। इसी प्रकार, s = b^e·g(a/b) एक पूर्णांक है। लक्ष्य a और b के पूर्णांक मानों को ढूंढना है जो एक साथ आर और एस को अभाज्य संख्याओं के चुने हुए आधार के सापेक्ष सुचारू बनाते हैं। यदि a और b छोटे हैं, तो r और s भी छोटे होंगे, लगभग m के आकार के, और हमारे पास एक ही समय में उनके सुचारू होने की बेहतर संभावना है। इस खोज के लिए वर्तमान सबसे प्रसिद्ध तरीका जाली छानना है; स्वीकार्य उपज प्राप्त करने के लिए बड़े कारक आधार का उपयोग करना आवश्यक है।

ऐसे पर्याप्त जोड़े होने पर, गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके, एक ही समय में कुछ आर और संबंधित एस के उत्पादों को वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। थोड़ी शक्तिशाली स्थिति की आवश्यकता है - कि वे हमारे संख्या क्षेत्रों में वर्गों के मानदंड हैं, लेकिन वह स्थिति इस विधि से भी प्राप्त की जा सकती है। प्रत्येक r, a - r1b का एक मानक है और इसलिए संबंधित कारकों a - r1b का उत्पाद Z[r1] में एक वर्ग है, जिसमें एक "वर्गमूल" होता है जिसे निर्धारित किया जा सकता है (Z[r1] में ज्ञात कारकों के उत्पाद के रूप में)—इसे सामान्यतः एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा। इसी प्रकार, गुणनखंड a - r2b का गुणनफल Z[r2] में एक वर्ग होता है, जिसका एक "वर्गमूल" भी होता है, जिसकी गणना भी की जा सकती है। यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि गॉसियन उन्मूलन का उपयोग कलन विधि का इष्टतम कार्यावधि नहीं देता है। इसके स्थान पर`, ब्लॉक लैंज़ोस या ब्लॉक विडेमैन जैसे विरल मैट्रिक्स सॉल्विंग कलन विधि का उपयोग किया जाता है।

चूँकि m, f और g mod n दोनों का मूल है, वलय Z[r1] और Z[r2] से वलय Z/nZ (पूर्णांक अनुखंड n) तक समरूपताएँ हैं, जो r1 और r2 से m तक आरेख करती हैं, और ये समरूपताएं प्रत्येक "वर्गमूल" (आमतौर पर एक तर्कसंगत संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं की जाती) को उसके पूर्णांक प्रतिनिधि में आरेख करेंगी। अब गुणनखंडों a - mb mod n का गुणनफल दो तरीकों से एक वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है - प्रत्येक समरूपता के लिए एक। इस प्रकार, कोई दो संख्याएँ x और y पा सकता है, जिसमें x2 - y2 n से विभाज्य है और फिर से कम से कम एक आधे की संभावना के साथ हम n और x - y का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढकर n का एक कारक प्राप्त करते हैं।

बहुपद विकल्प में सुधार

बहुपद का चुनाव कलन विधि के शेष भाग को पूरा करने के समय को नाटकीय रूप से प्रभावित कर सकता है। ऊपर दिखाए गए आधार m में n के विस्तार के आधार पर बहुपद चुनने की विधि कई व्यावहारिक स्थितियों में उप-इष्टतम है, जिससे बेहतर विधियों का विकास हुआ है।

ऐसी ही एक विधि मर्फी और ब्रेंट द्वारा सुझाई गई थी; ^[3] वे बहुपदों के लिए दो-भाग का प्राप्तांक प्रस्तुत करते हैं, जो मूल अनुखंडो छोटे अभाज्यों की उपस्थिति और उस औसत मूल्य पर आधारित होता है जो बहुपद छानने वाले क्षेत्र पर लेता है।

सर्वोत्तम रिपोर्ट किए गए परिणाम ^[4] थॉर्स्टन क्लेनजंग की विधि द्वारा प्राप्त किए गए थे, ^[5] जो g(x) = ax + b की अनुमति देता है, और 1 सापेक्ष 2 d के अनुरूप छोटे अभाज्य कारकों और एफ के प्रमुख गुणांकों से बना खोज करता है। जो 60 से विभाज्य हैं।

कार्यान्वयन

कुछ कार्यान्वयन संख्याओं के एक निश्चित छोटे वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इन्हें विशेष संख्या क्षेत्र छलनी तकनीकों के रूप में जाना जाता है, जैसे कि कनिंघम परियोजना में उपयोग किया जाता है।

एनएफएसएनईटी नामक एक परियोजना 2002 ^[6] से कम से कम 2007 तक चली। इसमें इंटरनेट पर स्वैच्छिक रूप से वितरित कंप्यूटिंग का उपयोग किया गया। ^[7]

यूनाइटेड किंगडम के पॉल लीलैंड और टेक्सास के रिचर्ड वेकरबर्थ सम्मिलित थे।^[8] 2007 तक, स्वर्ण-मानक कार्यान्वयन नीदरलैंड में सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका द्वारा विकसित और वितरित सॉफ्टवेयर का एक अनुगामी था, जो केवल अपेक्षाकृत प्रतिबंधात्मक लाइसेंस के तहत उपलब्ध था। 2007 में, जेसन पापाडोपोलोस ने एमएसआईईवीई के हिस्से के रूप में अंतिम प्रसंस्करण का तीव्र कार्यान्वयन विकसित किया, जो सार्वजनिक डोमेन में है। दोनों कार्यान्वयन में पर्याप्त तीव्र अन्तर्संबद्ध के साथ स्तवक में कई नोड्स के बीच वितरित करने की क्षमता है।

बहुपद चयन सामान्यतः क्लेनजंग द्वारा लिखित जीपीएल सॉफ्टवेयर द्वारा या एमसिवे द्वारा किया जाता है, और फ्रांके और क्लेनजंग द्वारा लिखित जीपीएल सॉफ्टवेयर द्वारा जाली छानने का कार्य किया जाता है; इन्हें जीजीएनएफएस में वितरित किया जाता है।

NFS@Home
GGNFS
factor by gnfs
CADO-NFS
एमएसआईईवीई (जिसमें अंतिम-प्रसंस्करण कूट, छोटी संख्याओं के लिए अनुकूलित एक बहुपद चयन और रेखा छलनी का कार्यान्वयन सम्मिलित है)
kmGNFS

यह भी देखें

विशेष संख्या क्षेत्र चलनी

↑ Pomerance, Carl (December 1996). "दो छलनी की कहानी" (PDF). Notices of the AMS. Vol. 43, no. 12. pp. 1473–1485.
↑ Ribenboim, Paulo (1972). बीजगणितीय संख्याएँ. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
↑ Murphy, B.; Brent, R. P. (1998), "On quadratic polynomials for the number field sieve", Australian Computer Science Communications, 20: 199–213
↑ Kleinjung, Thorsten (October 2006). "सामान्य संख्या फ़ील्ड चलनी के लिए बहुपद चयन पर" (PDF). Mathematics of Computation. 75 (256): 2037–2047. Bibcode:2006MaCom..75.2037K. doi:10.1090/S0025-5718-06-01870-9. Retrieved 2007-12-13.
↑ Franke, Jens (2006), On RSA 200 and larger projects (PDF)
↑ Paul Leyland (December 12, 2003). "NFSNET: the first year". Presentation at EIDMA-CWI Workshop on Factoring Large Numbers. Retrieved August 9, 2011.
↑ "एनएफएसनेट में आपका स्वागत है". April 23, 2007. Archived from the original on October 22, 2007. Retrieved August 9, 2011.
↑ "एनएफएसनेट के बारे में". Archived from the original on May 9, 2008. Retrieved August 9, 2011.

संदर्भ

Arjen K. Lenstra and H. W. Lenstra, Jr. (eds.). "The development of the number field sieve". Lecture Notes in Math. (1993) 1554. Springer-Verlag.
Richard Crandall and Carl Pomerance. Prime Numbers: A Computational Perspective (2001). 2nd edition, Springer. ISBN 0-387-25282-7. Section 6.2: Number field sieve, pp. 278–301.

Matthew E. Briggs: An Introduction to the General Number Field Sieve, 1998

[1] Pomerance, Carl (December 1996). "दो छलनी की कहानी" (PDF). Notices of the AMS. Vol. 43, no. 12. pp. 1473–1485.

[AlgNumbersRibenboim-2] Ribenboim, Paulo (1972). बीजगणितीय संख्याएँ. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.

[3] Murphy, B.; Brent, R. P. (1998), "On quadratic polynomials for the number field sieve", Australian Computer Science Communications, 20: 199–213

[4] Kleinjung, Thorsten (October 2006). "सामान्य संख्या फ़ील्ड चलनी के लिए बहुपद चयन पर" (PDF). Mathematics of Computation. 75 (256): 2037–2047. Bibcode:2006MaCom..75.2037K. doi:10.1090/S0025-5718-06-01870-9. Retrieved 2007-12-13.

[5] Franke, Jens (2006), On RSA 200 and larger projects (PDF)

[6] Paul Leyland (December 12, 2003). "NFSNET: the first year". Presentation at EIDMA-CWI Workshop on Factoring Large Numbers. Retrieved August 9, 2011.

[7] "एनएफएसनेट में आपका स्वागत है". April 23, 2007. Archived from the original on October 22, 2007. Retrieved August 9, 2011.

[8] "एनएफएसनेट के बारे में". Archived from the original on May 9, 2008. Retrieved August 9, 2011.

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 :<math>\exp\left(\left((64/9)^{1/3}+o(1)\right)\left(\log n\right)^{1/3}\left(\log\log n\right)^{2/3}\right)=L_n\left[1/3,(64/9)^{1/3}\right]</math>
-[[ बिग ओ अंकन ]] और [[एल-नोटेशन]] में।<ref>{{Cite news|last=Pomerance|first=Carl|author-link=Carl Pomerance|date=December 1996|title=दो छलनी की कहानी|periodical=Notices of the AMS|volume=43|issue=12|pages=1473–1485|url=https://www.ams.org/notices/199612/pomerance.pdf}}</ref> यह विशेष संख्या क्षेत्र छलनी का एक सामान्यीकरण है: जबकि बाद वाला केवल एक निश्चित विशेष रूप की संख्याओं का गुणनखंड कर सकता है, सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी अभाज्य शक्तियों के अलावा किसी भी संख्या का गुणनखंड कर सकती है (जो कि मूल लेकर कारक के लिए तुच्छ हैं)।
+यह विशेष संख्या क्षेत्र छलनी का एक सामान्यीकरण है: जबकि बाद वाला केवल एक निश्चित विशेष रूप की संख्याओं का गुणनखंड कर सकता है, सामान्य संख्या क्षेत्र चलनी अभाज्य घातयों के अलावा किसी भी संख्या का गुणनखंड कर सकती है (जो कि मूल लेकर कारक के लिए तुच्छ हैं)।
-संख्या क्षेत्र चलनी (विशेष और सामान्य दोनों) के सिद्धांत को सरल तर्कसंगत चलनी या द्विघात चलनी में सुधार के रूप में समझा जा सकता है। बड़ी संख्या का गुणनखंड करने के लिए ऐसे एल्गोरिदम का उपयोग करते समय {{mvar|n}}, क्रम की [[चिकनी संख्या]]ओं (अर्थात् छोटे अभाज्य गुणनखंडों वाली संख्याएँ) की खोज करना आवश्यक है {{math|''n''<sup>1/2</sup>}}. इन मानों का आकार आकार में घातीय है {{mvar|n}} (नीचे देखें)। दूसरी ओर, सामान्य संख्या फ़ील्ड छलनी उन चिकनी संख्याओं की खोज करने में सफल होती है जो आकार में उप-घातांकीय होती हैं {{mvar|n}}. चूँकि ये संख्याएँ छोटी हैं, इसलिए पिछले एल्गोरिदम में निरीक्षण की गई संख्याओं की तुलना में इनके सुचारू होने की अधिक संभावना है। यह [[संख्या क्षेत्र]] चलनी की दक्षता की कुंजी है। इस गति-गति को प्राप्त करने के लिए, संख्या फ़ील्ड चलनी को संख्या फ़ील्ड में गणना और गुणनखंडन करना होगा। इसके परिणामस्वरूप सरल तर्कसंगत छलनी की तुलना में एल्गोरिदम के कई जटिल पहलू सामने आते हैं।
+संख्या क्षेत्र चलनी (विशेष और सामान्य दोनों) के सिद्धांत को सरल तर्कसंगत चलनी या द्विघात चलनी में सुधार के रूप में समझा जा सकता है। बड़ी संख्या का गुणनखंड करने के लिए ऐसे कलन विधि का उपयोग करते समय {{mvar|n}}, क्रम की [[चिकनी संख्या|निर्बाध संख्या]] {{math|''n''<sup>1/2</sup>}} (अर्थात् छोटे अभाज्य गुणनखंडों वाली संख्याएँ) की खोज करना आवश्यक है। इन मानों का आकार {{mvar|n}} आकार में घातीय है (नीचे देखें)। दूसरी ओर, सामान्य संख्या अनुक्षेत्र छलनी उन निर्बाध संख्याओं की खोज करने में सफल होती है जो {{mvar|n}} आकार में उप-घातांकीय होती हैं। चूँकि ये संख्याएँ छोटी हैं, इसलिए पिछले कलन विधि में निरीक्षण की गई संख्याओं की तुलना में इनके सुचारू होने की अधिक संभावना है। यह [[संख्या क्षेत्र]] चलनी की दक्षता की कुंजी है। इस गति-गति को प्राप्त करने के लिए, संख्या अनुक्षेत्र चलनी को संख्या अनुक्षेत्र में गणना और गुणनखंडन करना होगा। इसके परिणामस्वरूप सरल तर्कसंगत छलनी की तुलना में कलन विधि के कई जटिल पहलू सामने आते हैं।
-एल्गोरिथम में इनपुट का आकार है {{math|log<sub>2</sub>&nbsp;''n''}} या के बाइनरी प्रतिनिधित्व में बिट्स की संख्या {{mvar|n}}. आदेश का कोई भी तत्व {{math|''n''<sup>''c''</sup>}} एक स्थिरांक के लिए {{mvar|c}} में घातीय है {{math|log&nbsp;''n''}}. संख्या फ़ील्ड चलनी का चलने का समय सुपर-बहुपद है लेकिन इनपुट के आकार में उप-घातांकीय है।
+कलन विधि में निविष्ट का आकार {{math|log<sub>2</sub>&nbsp;''n''}}  या के युग्मक प्रतिनिधित्व में बिट्स की संख्या {{mvar|n}} है। अनुक्रम का कोई भी तत्व {{math|''n''<sup>''c''</sup>}} एक स्थिरांक {{math|log&nbsp;''n''}} के लिए {{mvar|c}} में घातीय है। संख्या अनुक्षेत्र चलनी का चलने का समय सुपर-बहुपद है लेकिन निविष्ट के आकार में उप-घातांकीय है।
-==संख्या फ़ील्ड ==
+==संख्या अनुक्षेत्र ==
-{{main|Number field}}
+{{main|संख्या अनुक्षेत्र}}
-कल्पना करना {{mvar|f}} एक है {{mvar|k}}-डिग्री बहुपद खत्म {{math|'''Q'''}} (तर्कसंगत संख्याएँ), और {{mvar|r}} की एक जटिल जड़ है {{mvar|f}}. तब, {{math|''f''(''r'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, जिसे व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है {{math|''r''<sup>''k''</sup>}} की शक्तियों के एक रैखिक संयोजन के रूप में {{mvar|r}} से कम {{mvar|k}}. इस समीकरण का उपयोग किसी भी शक्ति को कम करने के लिए किया जा सकता है {{math|''r''}} प्रतिपादक के साथ {{math| ''e'' ≥ ''k''}}. उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1}} और {{mvar|r}} काल्पनिक इकाई है {{mvar|i}}, तब {{math|''i''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, या {{math|''i''<sup>2</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;−1}}. यह हमें जटिल उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है:
+मान लीजिए कि {{mvar|f}}, {{math|'''Q'''}} (तर्कसंगत संख्या) पर एक {{mvar|k}}-डिग्री बहुपद है, और {{mvar|r}}, {{mvar|f}} का एक जटिल मूल है। तब, {{math|''f''(''r'')&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, जिसे {{mvar|k}} से कम {{mvar|r}} की घात के रैखिक संयोजन के रूप में {{math|''r''<sup>''k''</sup>}} को व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इस समीकरण का उपयोग घातांक {{math| ''e'' ≥ ''k''}} के साथ {{math|''r''}} की किसी भी घात को कम करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''(''x'')&nbsp;{{=}}&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1}} और {{mvar|r}} काल्पनिक इकाई {{mvar|i}} है, तब {{math|''i''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;{{=}}&nbsp;0}}, या {{math|''i''<sup>2</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;−1}} है। यह हमें जटिल उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है:
 :<math>(a+bi)(c+di) = ac + (ad+bc)i + (bd)i^2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.</math>
-सामान्य तौर पर, यह सीधे बीजगणितीय संख्या क्षेत्र की ओर ले जाता है {{math|'''Q'''[''r'']}}, जिसे निम्नलिखित द्वारा दी गई सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
+सामान्यतः, यह सीधे बीजगणितीय संख्या {{math|'''Q'''[''r'']}} क्षेत्र की ओर ले जाता है, जिसे निम्नलिखित द्वारा दी गई सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>a_{k-1}r^{k-1} + ... + a_{1}r^{1} + a_{0}r^{0}, \text{ where } a_0,...,a_{k-1} \text{ in } \mathbf{Q}.</math>
-ऐसे किन्हीं दो मानों के गुणनफल की गणना गुणनफल को बहुपद के रूप में लेकर, फिर किसी भी घात को कम करके की जा सकती है {{math|''r''}} प्रतिपादक के साथ {{math| ''e'' ≥ ''k''}} जैसा कि ऊपर बताया गया है, उसी रूप में मान प्राप्त होता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह फ़ील्ड वास्तव में है {{mvar|k}}-आयामी और इससे भी छोटे क्षेत्र में नहीं सिमटता, यही पर्याप्त है {{mvar|f}} परिमेय पर एक अप्रासंगिक बहुपद है। इसी प्रकार, कोई पूर्णांकों के वलय को परिभाषित कर सकता है {{math|'''O'''<sub>'''Q'''[''r'']</sub>}} के उपसमुच्चय के रूप में {{math|'''Q'''[''r'']}} जो पूर्णांक गुणांक वाले [[राक्षसी बहुपद]] के मूल हैं। कुछ मामलों में, पूर्णांकों का यह वलय वलय के समतुल्य होता है {{math|'''Z'''[''r'']}}. हालाँकि, कई अपवाद भी हैं, जैसे कि {{math|'''Q'''[{{sqrt|d}}]}} कब {{mvar|d}} 1 मॉड्यूलो 4 के बराबर है।<ref name="AlgNumbersRibenboim">{{cite book | title=बीजगणितीय संख्याएँ| publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref>
+ऐसे किन्हीं दो मानों के गुणनफल की गणना गुणनफल को बहुपद के रूप में लेकर की जा सकती है, फिर ऊपर वर्णित अनुसार घातांक {{math| ''e'' ≥ ''k''}} के साथ r की किसी भी घात को कम करके, उसी रूप में एक मान प्राप्त किया जा सकता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अनुक्षेत्र वास्तव में {{mvar|k}}-आयामी है और इससे भी छोटे क्षेत्र में विध्वंस नहीं होता है। इसी प्रकार, कोई पूर्णांक {{math|'''O'''<sub>'''Q'''[''r'']</sub>}} के वलय को {{math|'''Q'''[''r'']}} के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित कर सकता है जो पूर्णांक गुणांक वाले मोनिक बहुपदों की जड़ें हैं। कुछ स्तिथियों में, पूर्णांकों का यह वलय {{math|'''Z'''[''r'']}} वलय के समतुल्य होता है। हालाँकि, कई अपवाद भी हैं, जैसे कि {{math|'''Q'''[{{sqrt|d}}]}} जब {{mvar|d}} 1 सापेक्ष 4 के बराबर है। <ref name="AlgNumbersRibenboim">{{cite book | title=बीजगणितीय संख्याएँ| publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref>
 == विधि ==
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-एक [[बहुपद]] d और e की छोटी घात वाले दो बहुपद f(x) और g(x) चुने जाते हैं, जिनमें पूर्णांक गुणांक होते हैं, जो परिमेय संख्या के ऊपर अप्रासंगिक बहुपद होते हैं, और जो, जब मॉड्यूलर अंकगणित की व्याख्या करते हैं, तो एक सामान्य पूर्णांक मूल होता है एक फ़ंक्शन का एम. इन बहुपदों को चुनने के लिए कोई इष्टतम रणनीति ज्ञात नहीं है; एक सरल विधि यह है कि एक बहुपद के लिए एक घात d चुना जाए, क्रम n के विभिन्न m की संख्या के लिए मूलांक में n के विस्तार पर विचार किया जाए (−m और m के बीच अंकों की अनुमति दी जाए)<sup>1/d</sup>, और सबसे छोटे गुणांक वाले बहुपद के रूप में f(x) और x - m के रूप में g(x) को चुनें।
+एक [[बहुपद]] d और e की छोटी घात वाले दो बहुपद f(x) और g(x) चुने जाते हैं, जिनमें पूर्णांक गुणांक होते हैं, जो परिमेय संख्या के ऊपर अप्रासंगिक बहुपद होते हैं, जो परिमेय पर अप्रासंगिक हैं, और जब मॉड एन की व्याख्या की जाती है, तो एक सामान्य पूर्णांक रूट एम होता है। इन बहुपदों को चुनने के लिए कोई इष्टतम रणनीति ज्ञात नहीं है; एक सरल तरीका यह है कि एक बहुपद के लिए एक घात d चुना जाए, क्रम n1/d के विभिन्न m की संख्या के लिए आधार m में n के विस्तार पर विचार किया जाए (−m और m के बीच अंकों की अनुमति दी जाए) और सबसे छोटे गुणांक और g(x) के साथ x - m वाले बहुपद f(x) को चुना जाए।
-संख्या फ़ील्ड रिंग 'Z'[r' पर विचार करें<sub>1</sub>] और Z[''r''<sub>2</sub>], जहां आर<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub> बहुपद f और g की जड़ें हैं। चूँकि f पूर्णांक गुणांकों के साथ घात d का है, यदि a और b पूर्णांक हैं, तो b भी पूर्णांक होंगे<sup>d</sup>·f(a/b), जिसे हम r कहते हैं। इसी प्रकार, s = b<sup>e</sup>·g(a/b) एक पूर्णांक है. लक्ष्य ए और बी के पूर्णांक मानों को ढूंढना है जो एक साथ अभाज्य संख्याओं के चुने हुए आधार के सापेक्ष आर और एस को सहज संख्या बनाते हैं। यदि a और b छोटे हैं, तो r और s भी छोटे होंगे, लगभग m के आकार के, और हमारे पास एक ही समय में उनके सुचारू होने की बेहतर संभावना है। इस खोज के लिए वर्तमान सबसे प्रसिद्ध तरीका [[जाली छानना]] है; स्वीकार्य उपज प्राप्त करने के लिए बड़े कारक आधार का उपयोग करना आवश्यक है।
+संख्या क्षेत्र वलय Z[r1] और Z[r2] पर विचार करें, जहां r1 और r2 बहुपद f और g के मूल हैं। चूँकि f पूर्णांक गुणांकों के साथ घात d का है, यदि a और b पूर्णांक हैं, तो ''b<sup>d</sup>''·''f''(''a''/''b'') भी होगा, जिसे हम r कहते हैं। इसी प्रकार, ''s'' = ''b<sup>e</sup>''·''g''(''a''/''b'') एक पूर्णांक है। लक्ष्य a और b के पूर्णांक मानों को ढूंढना है जो एक साथ आर और एस को अभाज्य संख्याओं के चुने हुए आधार के सापेक्ष सुचारू बनाते हैं। यदि a और b छोटे हैं, तो r और s भी छोटे होंगे, लगभग m के आकार के, और हमारे पास एक ही समय में उनके सुचारू होने की बेहतर संभावना है। इस खोज के लिए वर्तमान सबसे प्रसिद्ध तरीका जाली छानना है; स्वीकार्य उपज प्राप्त करने के लिए बड़े कारक आधार का उपयोग करना आवश्यक है।
-ऐसे पर्याप्त जोड़े होने पर, गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके, एक ही समय में कुछ आर और संबंधित एस के उत्पादों को वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। थोड़ी मजबूत स्थिति की आवश्यकता है - कि वे हमारे संख्या क्षेत्रों में वर्गों के क्षेत्र मानदंड हैं, लेकिन वह स्थिति इस विधि द्वारा भी प्राप्त की जा सकती है। प्रत्येक r, a - r का एक मानक है<sub>1</sub>b और इसलिए संबंधित कारकों का उत्पाद a − r है<sub>1</sub>b 'Z'[r' में एक वर्ग है<sub>1</sub>], एक वर्गमूल के साथ जिसे निर्धारित किया जा सकता है (Z[''r'' में ज्ञात कारकों के उत्पाद के रूप में)<sub>1</sub>])—इसे आम तौर पर एक अपरिमेय [[बीजगणितीय संख्या]] के रूप में दर्शाया जाएगा। इसी प्रकार, कारकों का उत्पाद a − r<sub>2</sub>b 'Z'[r' में एक वर्ग है<sub>2</sub>], एक वर्गमूल के साथ जिसकी गणना भी की जा सकती है। यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि गॉसियन उन्मूलन का उपयोग एल्गोरिदम का इष्टतम रन टाइम नहीं देता है। इसके बजाय, विरल मैट्रिक्स सॉल्विंग एल्गोरिदम जैसे कि एक परिमित क्षेत्र पर मैट्रिक्स के नलस्पेस के लिए ब्लॉक लैंज़ोस एल्गोरिदम या [[ब्लॉक विडेमैन एल्गोरिथम]] का उपयोग किया जाता है।
+ऐसे पर्याप्त जोड़े होने पर, गाऊसी उन्मूलन का उपयोग करके, एक ही समय में कुछ आर और संबंधित एस के उत्पादों को वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। थोड़ी शक्तिशाली स्थिति की आवश्यकता है - कि वे हमारे संख्या क्षेत्रों में वर्गों के मानदंड हैं, लेकिन वह स्थिति इस विधि से भी प्राप्त की जा सकती है। प्रत्येक r, a - r1b का एक मानक है और इसलिए संबंधित कारकों a - r1b का उत्पाद Z[r1] में एक वर्ग है, जिसमें एक "वर्गमूल" होता है जिसे निर्धारित किया जा सकता है (Z[r1] में ज्ञात कारकों के उत्पाद के रूप में)—इसे सामान्यतः एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या के रूप में दर्शाया जाएगा। इसी प्रकार, गुणनखंड a - r2b का गुणनफल Z[r2] में एक वर्ग होता है, जिसका एक "वर्गमूल" भी होता है, जिसकी गणना भी की जा सकती है। यह टिप्पणी की जानी चाहिए कि गॉसियन उन्मूलन का उपयोग कलन विधि का इष्टतम कार्यावधि नहीं देता है। इसके स्थान पर`, ब्लॉक लैंज़ोस या ब्लॉक विडेमैन जैसे विरल मैट्रिक्स सॉल्विंग कलन विधि का उपयोग किया जाता है।
-चूँकि m, f और g mod n दोनों का मूल है, रिंग 'Z'[r' से [[समरूपता]]एँ हैं<sub>1</sub>] और Z[''r''<sub>2</sub>] रिंग Z/''n''Z (पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित|modulo ''n''), जो मानचित्र ''r''<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub> से मी, और ये समरूपताएं प्रत्येक वर्गमूल (आमतौर पर तर्कसंगत संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं) को उसके पूर्णांक प्रतिनिधि में मैप करेंगी। अब गुणनखंड a - mb mod n का गुणनफल दो तरीकों से एक वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है - प्रत्येक समरूपता के लिए एक। इस प्रकार, कोई व्यक्ति x के साथ दो संख्याएँ x और y पा सकता है<sup>2</sup> − और<sup>2</sup>n से विभाज्य और फिर से कम से कम एक आधे की संभावना के साथ हमें n और x - y का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढकर n का एक कारक मिलता है।
+चूँकि m, f और g mod n दोनों का मूल है, वलय Z[r1] और Z[r2] से वलय Z/nZ (पूर्णांक अनुखंड n) तक समरूपताएँ हैं, जो r1 और r2 से m तक आरेख करती हैं, और ये समरूपताएं प्रत्येक "वर्गमूल" (आमतौर पर एक तर्कसंगत संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं की जाती) को उसके पूर्णांक प्रतिनिधि में आरेख करेंगी। अब गुणनखंडों a - mb mod n का गुणनफल दो तरीकों से एक वर्ग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है - प्रत्येक समरूपता के लिए एक। इस प्रकार, कोई दो संख्याएँ x और y पा सकता है, जिसमें x2 - y2 n से विभाज्य है और फिर से कम से कम एक आधे की संभावना के साथ हम n और x - y का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढकर n का एक कारक प्राप्त करते हैं।
 == बहुपद विकल्प में सुधार ==
-बहुपद का चुनाव एल्गोरिदम के शेष भाग को पूरा करने के समय को नाटकीय रूप से प्रभावित कर सकता है। के विस्तार के आधार पर बहुपद चुनने की विधि {{mvar|n}} बेस में {{mvar|m}} ऊपर दिखाया गया कई व्यावहारिक स्थितियों में उप-इष्टतम है, जिससे बेहतर तरीकों का विकास हुआ है।
+बहुपद का चुनाव कलन विधि के शेष भाग को पूरा करने के समय को नाटकीय रूप से प्रभावित कर सकता है। ऊपर दिखाए गए आधार m में n के विस्तार के आधार पर बहुपद चुनने की विधि कई व्यावहारिक स्थितियों में उप-इष्टतम है, जिससे बेहतर विधियों का विकास हुआ है।
-ऐसी ही एक विधि मर्फी और ब्रेंट द्वारा सुझाई गई थी;<ref>{{citation |first1=B. |last1=Murphy |first2=R. P. |last2=Brent |title=On quadratic polynomials for the number field sieve |journal=Australian Computer Science Communications |volume=20 |date=1998 |pages=199–213 |url=http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pub/pub178.html }}</ref> वे बहुपदों के लिए दो-भाग का स्कोर पेश करते हैं, जो मूल मॉड्यूलो छोटे अभाज्यों की उपस्थिति और उस औसत मूल्य पर आधारित होता है जो बहुपद छानने वाले क्षेत्र पर लेता है।
+ऐसी ही एक विधि मर्फी और ब्रेंट द्वारा सुझाई गई थी; <ref>{{citation |first1=B. |last1=Murphy |first2=R. P. |last2=Brent |title=On quadratic polynomials for the number field sieve |journal=Australian Computer Science Communications |volume=20 |date=1998 |pages=199–213 |url=http://maths-people.anu.edu.au/~brent/pub/pub178.html }}</ref> वे बहुपदों के लिए दो-भाग का प्राप्तांक प्रस्तुत करते हैं, जो मूल अनुखंडो छोटे अभाज्यों की उपस्थिति और उस औसत मूल्य पर आधारित होता है जो बहुपद छानने वाले क्षेत्र पर लेता है।
-सर्वोत्तम रिपोर्ट किए गए परिणाम<ref>{{citation | last=Franke |first=Jens |year=2006 |title=On RSA 200 and larger projects |url=http://www.hyperelliptic.org/tanja/SHARCS/talks06/Jens_Franke.pdf }}</ref> [[थॉर्स्टन क्लेनजंग]] की विधि द्वारा प्राप्त किए गए थे,<ref>{{cite journal | last=Kleinjung |first=Thorsten |date=October 2006 |title=सामान्य संख्या फ़ील्ड चलनी के लिए बहुपद चयन पर|journal=Mathematics of Computation |volume=75 |pages=2037–2047 |url=https://www.ams.org/mcom/2006-75-256/S0025-5718-06-01870-9/S0025-5718-06-01870-9.pdf |access-date=2007-12-13 |doi=10.1090/S0025-5718-06-01870-9 |issue=256|bibcode=2006MaCom..75.2037K |doi-access=free }}</ref> अनुमति अनुसार {{math|''g''(''x'') {{=}} ''ax''&nbsp;+&nbsp;''b''}}, और खोज करता है {{mvar|a}} 1 मॉड्यूलो 2 के अनुरूप छोटे अभाज्य कारकों से बना है{{math|''d''}} और के अग्रणी गुणांक {{mvar|f}} जो 60 से विभाज्य हैं।
+सर्वोत्तम रिपोर्ट किए गए परिणाम <ref>{{cite journal | last=Kleinjung |first=Thorsten |date=October 2006 |title=सामान्य संख्या फ़ील्ड चलनी के लिए बहुपद चयन पर|journal=Mathematics of Computation |volume=75 |pages=2037–2047 |url=https://www.ams.org/mcom/2006-75-256/S0025-5718-06-01870-9/S0025-5718-06-01870-9.pdf |access-date=2007-12-13 |doi=10.1090/S0025-5718-06-01870-9 |issue=256|bibcode=2006MaCom..75.2037K |doi-access=free }}</ref> थॉर्स्टन क्लेनजंग की विधि द्वारा प्राप्त किए गए थे, <ref>{{citation | last=Franke |first=Jens |year=2006 |title=On RSA 200 and larger projects |url=http://www.hyperelliptic.org/tanja/SHARCS/talks06/Jens_Franke.pdf }}</ref> जो ''g''(''x'') = ''ax'' + ''b'' की अनुमति देता है, और 1 सापेक्ष 2 d के अनुरूप छोटे अभाज्य कारकों और एफ के प्रमुख गुणांकों से बना खोज करता है। जो 60 से विभाज्य हैं।
 == कार्यान्वयन ==<!-- linked from [[NFSNet]] -->
 कुछ कार्यान्वयन संख्याओं के एक निश्चित छोटे वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं। इन्हें विशेष संख्या क्षेत्र छलनी तकनीकों के रूप में जाना जाता है, जैसे कि [[कनिंघम परियोजना]] में उपयोग किया जाता है।
-NFSNET नामक एक परियोजना 2002 से चली<ref>{{cite web |title= NFSNET: the first year |author= Paul Leyland |work= Presentation at EIDMA-CWI Workshop on Factoring Large Numbers |date= December 12, 2003 |url= http://homepages.cwi.nl/~herman/Leyland.ppt |access-date= August 9, 2011 }}</ref> कम से कम 2007 तक। इसमें [[इंटरनेट]] पर स्वैच्छिक रूप से वितरित कंप्यूटिंग का उपयोग किया गया।<ref>{{cite web |title= एनएफएसनेट में आपका स्वागत है|date= April 23, 2007 |url-status= dead |url= http://www.nfsnet.org/ |archive-url= https://web.archive.org/web/20071022032617/http://www.nfsnet.org/ |archive-date= October 22, 2007 |access-date= August 9, 2011 }}</ref>
-[[यूनाइटेड किंगडम]] के [[पॉल लीलैंड]] और टेक्सास के रिचर्ड वेकरबर्थ शामिल थे।<ref>{{cite web |title=एनएफएसनेट के बारे में|url-status= dead |url= http://www.nfsnet.org/aboutus.html |archive-url= https://web.archive.org/web/20080509131653/http://www.nfsnet.org/aboutus.html |archive-date= May 9, 2008 |access-date= August 9, 2011 }}</ref>
-तक, स्वर्ण-मानक<!-- mathematical term?? --> कार्यान्वयन नीदरलैंड में सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका द्वारा विकसित और वितरित सॉफ्टवेयर का एक सूट था, जो केवल अपेक्षाकृत प्रतिबंधात्मक लाइसेंस के तहत उपलब्ध था।{{Citation needed|date=March 2017}} 2007 में, [[जेसन पापाडोपोलोस]] ने msieve के हिस्से के रूप में अंतिम प्रसंस्करण का तेज़ कार्यान्वयन विकसित किया, जो सार्वजनिक डोमेन में है। दोनों कार्यान्वयन में पर्याप्त तेज़ इंटरकनेक्ट के साथ क्लस्टर में कई नोड्स के बीच वितरित करने की क्षमता है।
-बहुपद चयन आम तौर पर क्लेनजंग द्वारा लिखित [[जीपीएल]] सॉफ्टवेयर द्वारा या एमसिवे द्वारा किया जाता है, और फ्रांके और क्लेनजंग द्वारा लिखित जीपीएल सॉफ्टवेयर द्वारा जाली छानने का कार्य किया जाता है; इन्हें जीजीएनएफएस में वितरित किया जाता है।
+एनएफएसएनईटी नामक एक परियोजना 2002 <ref>{{cite web |title= NFSNET: the first year |author= Paul Leyland |work= Presentation at EIDMA-CWI Workshop on Factoring Large Numbers |date= December 12, 2003 |url= http://homepages.cwi.nl/~herman/Leyland.ppt |access-date= August 9, 2011 }}</ref> से कम से कम 2007 तक चली। इसमें [[इंटरनेट]] पर स्वैच्छिक रूप से वितरित कंप्यूटिंग का उपयोग किया गया। <ref>{{cite web |title= एनएफएसनेट में आपका स्वागत है|date= April 23, 2007 |url-status= dead |url= http://www.nfsnet.org/ |archive-url= https://web.archive.org/web/20071022032617/http://www.nfsnet.org/ |archive-date= October 22, 2007 |access-date= August 9, 2011 }}</ref>
+[[यूनाइटेड किंगडम]] के [[पॉल लीलैंड]] और टेक्सास के रिचर्ड वेकरबर्थ सम्मिलित थे।<ref>{{cite web |title=एनएफएसनेट के बारे में|url-status= dead |url= http://www.nfsnet.org/aboutus.html |archive-url= https://web.archive.org/web/20080509131653/http://www.nfsnet.org/aboutus.html |archive-date= May 9, 2008 |access-date= August 9, 2011 }}</ref> 2007 तक, स्वर्ण-मानक कार्यान्वयन नीदरलैंड में सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका द्वारा विकसित और वितरित सॉफ्टवेयर का एक अनुगामी था, जो केवल अपेक्षाकृत प्रतिबंधात्मक लाइसेंस के तहत उपलब्ध था। 2007 में, [[जेसन पापाडोपोलोस]] ने एमएसआईईवीई के हिस्से के रूप में अंतिम प्रसंस्करण का तीव्र कार्यान्वयन विकसित किया, जो सार्वजनिक डोमेन में है। दोनों कार्यान्वयन में पर्याप्त तीव्र अन्तर्संबद्ध के साथ स्तवक में कई नोड्स के बीच वितरित करने की क्षमता है।
+बहुपद चयन सामान्यतः क्लेनजंग द्वारा लिखित [[जीपीएल]] सॉफ्टवेयर द्वारा या एमसिवे द्वारा किया जाता है, और फ्रांके और क्लेनजंग द्वारा लिखित जीपीएल सॉफ्टवेयर द्वारा जाली छानने का कार्य किया जाता है; इन्हें जीजीएनएफएस में वितरित किया जाता है।
 * [http://escatter11.fullerton.edu/nfs/ NFS@Home]
 * [http://www.math.ttu.edu/~cmonico/software/ggnfs/ GGNFS]
-* [https://sourceforge.net/projects/factor-by-gnfs/ gnfs द्वारा कारक]
+*[https://sourceforge.net/projects/factor-by-gnfs/ factor by gnfs]
 * [http://cado-nfs.inria.fr/ CADO-NFS]
-* [http://sourceforge.net/projects/msieve/ msieve] (जिसमें अंतिम-प्रसंस्करण कोड, छोटी संख्याओं के लिए अनुकूलित एक बहुपद चयन और लाइन छलनी का कार्यान्वयन शामिल है)
+* [http://sourceforge.net/projects/msieve/ एमएसआईईवीई] (जिसमें अंतिम-प्रसंस्करण कूट, छोटी संख्याओं के लिए अनुकूलित एक बहुपद चयन और रेखा छलनी का कार्यान्वयन सम्मिलित है)
 * [http://kmgnfs.cti.gr kmGNFS]

v t e संख्या-सिद्धांत एल्गोरिथ्म
प्राइमैलिटी टेस्ट	AKS अप्रैल BAILLIE -PSW अण्डाकार वक्र पॉकलिंगटन Fermat लुकास लुकास -लेहमेर लुकास -लेहमेर -रेज़ल ' प्रोथ का प्रमेय पेपिन का द्विघात फ्रोबेनियस सोलोवे -स्ट्रासेन मिलर -रबिन
प्राइम-जनरेटिंग	एटकिन की छलनी एरातोस्टेनेस की छलनी प्रिचर्ड की छलनी सुंदरम की छलनी पहिया कारक
पूर्णांक कारक	निरंतर अंश कारक। निरंतर अंश (CFRAC) डिक्सन Lenstra अण्डाकार-वक्र कारक Euler's पोलार्ड्स आरएचओ P - 1 पी + 1 द्विघात छलनी (क्यूएस) सामान्य संख्या क्षेत्र छलनी (GNFS) विशेष संख्या क्षेत्र छलनी (SNFS) तर्कसंगत छलनी फर्माट शैंक्स स्क्वायर फॉर्म ट्रायल डिवीजन शोर
गुणा	प्राचीन मिस्र लंबा करत्सुबा टूम - कुक Schönhage - Strassen Für's
Euclidean डिवीजन	बाइनरी चंकिंग फूरियर Goldschmidt न्यूटन-रफसन लंबा छोटा SRT
असतत लघुगणक	बेबी-स्टेप विशाल-चरण पोलार्ड रो पोलार्ड कंगारू Pohlig -Hellman इंडेक्स कैलकुलस फ़ंक्शन फ़ील्ड छलनी
महत्तम सामान्य भाजक	बाइनरी Euclidean विस्तारित यूक्लिडियन लेहमर
मॉड्यूलर वर्गमूल	Cipolla पॉकलिंगटन तनेली -शंक Berlekamp कुनरथ
अन्य एल्गोरिदम	चक्रवाला कॉर्नचिया वर्ग द्वारा घातक पूर्णांक वर्गमूल पूर्णांक संबंध मॉड्यूलर घातांक मोंटगोमरी में कमी शूफ़ ट्रेचेनबर्ग सिस्टम
इटैलिक इंगित करता है कि एल्गोरिथ्म विशेष रूपों की संख्या के लिए है

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