अवशिष्ट मानचित्रण

गणित में, अवशिष्ट मानचित्रण की अवधारणा आंशिक रूप से क्रमित सेटों के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। यह मोनोटोनिक फ़ंक्शन की अवधारणा को परिष्कृत करता है।

यदि ए, बी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट हैं, तो फ़ंक्शन एफ: ए → बी को मोनोटोन के रूप में परिभाषित किया गया है यदि यह ऑर्डर-संरक्षित है: यानी , यदि x ≤y का तात्पर्य f(x) ≤f(y) है। यह इस शर्त के समतुल्य है कि बी के प्रत्येक डाउन-सेट के एफ के अंतर्गत पूर्वछवि ए का डाउन-सेट है। हम प्रिंसिपल डाउन-सेट को ↓{b} = { b' ∈ B : b' ≤ बी }. सामान्य तौर पर किसी प्रिंसिपल डाउन-सेट के एफ के अंतर्गत प्रीइमेज को प्रिंसिपल डाउन-सेट होने की आवश्यकता नहीं होती है। यदि वे सभी हैं, तो f को अवशिष्ट कहा जाता है।

अवशिष्ट मानचित्र की धारणा को घटक-वार अवशिष्ट के माध्यम से बाइनरी ऑपरेटर (या किसी भी उच्च योग्यता) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण आंशिक रूप से क्रमित मैग्मा (बीजगणित) में बाएँ और दाएँ विभाजन की धारणा को जन्म देता है, इसके अतिरिक्त इसे अर्धसमूह संरचना प्रदान करता है। (कोई केवल उच्चतर योग्यताओं के लिए अवशिष्ट बीजगणित की बात करता है)। बाइनरी (या उच्चतर एरिटी) अवशिष्ट मानचित्र आमतौर पर यूनरी मानचित्र के रूप में अवशिष्ट नहीं होता है।

परिभाषा

यदि ए, बी पॉसेट हैं, तो फ़ंक्शन एफ: ए → बी 'अवशेष' है यदि और केवल यदि बी के प्रत्येक प्रिंसिपल डाउन-सेट के एफ के तहत प्रीइमेज ए का प्रिंसिपल डाउन-सेट है।

परिणाम

ए, बी पॉसेट के साथ, फ़ंक्शन ए → बी के सेट को बिंदुवार क्रम एफ ≤ जी ↔ (∀x ∈ ए) एफ (एक्स) ≤ जी (एक्स) द्वारा आदेश दिया जा सकता है।

यह दिखाया जा सकता है कि f अवशिष्ट है यदि और केवल यदि कोई (आवश्यक रूप से अद्वितीय) मोनोटोन फ़ंक्शन f मौजूद है⁺: B → A ऐसा कि foएफ⁺ ≤ आईडी_B और एफ⁺oएफ ≥ आईडी_A, जहां आईडी पहचान फ़ंक्शन है। फ़ंक्शन एफ⁺ f का अवशेष है। अवशिष्ट फ़ंक्शन और उसका अवशिष्ट उस अवधारणा की (अधिक हालिया) मोनोटोन परिभाषा के तहत गैलोइस कनेक्शन बनाता है, और प्रत्येक (मोनोटोन) गैलोज़ कनेक्शन के लिए निचला सहायक अवशिष्ट होता है और अवशिष्ट ऊपरी जोड़ होता है। इसलिए, मोनोटोन गैलोज़ कनेक्शन और अवशिष्ट मानचित्रण की धारणाएं अनिवार्य रूप से मेल खाती हैं।

इसके अतिरिक्त, हमारे पास एफ^-1(↓{b}) = ↓{f⁺(बी)}. यदि B°, B के द्वैत (आदेश सिद्धांत) (विपरीत स्थिति) को दर्शाता है तो f: A → B अवशिष्ट मानचित्रण है यदि और केवल यदि कोई f मौजूद है^* जैसे कि f : A → B° और f^*: B° → A इस धारणा की मूल प्रतिस्वर परिभाषा के तहत गैलोज़ कनेक्शन बनाता है।

यदि एफ: ए → बी और जी: बी → सी अवशिष्ट मैपिंग हैं, तो फ़ंक्शन संरचना एफजी: ए → सी, अवशिष्ट (एफजी) के साथ भी है⁺ = जी⁺च⁺. एंटीटोन गैलोज़ कनेक्शन इस संपत्ति को साझा नहीं करते हैं।

एक पोसेट पर मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन (फ़ंक्शन) का सेट बिंदुवार क्रम के साथ ऑर्डर किया गया मोनॉइड है, और इसी तरह अवशिष्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन का सेट भी है।

उदाहरण

• छत का कार्य $x\mapsto \lceil x\rceil$ R से Z तक (प्रत्येक मामले में सामान्य क्रम के साथ) अवशिष्ट है, R में Z के प्राकृतिक एम्बेडिंग के अवशिष्ट मानचित्रण के साथ।
• Z का R में एम्बेडिंग भी शेष है। इसका अवशिष्ट फर्श समारोह है $x\mapsto \lfloor x\rfloor$.

अवशिष्ट बाइनरी ऑपरेटर

यदि • : P × Q → R द्विआधारी मानचित्र है और P, Q, और R पॉसेट हैं, तो कोई बाएँ और दाएँ अनुवाद के लिए अवशिष्ट घटक-वार को परिभाषित कर सकता है, अर्थात निश्चित तत्व द्वारा गुणा। P में किसी तत्व x के लिए परिभाषित करें_xλ(y) = x • y, और Q में x के लिए λ को परिभाषित करें_x(y) = y • x. तब • को अवशिष्ट कहा जाता है यदि और केवल यदि_xएल और एल_xसभी x (क्रमशः P और Q में) के लिए अवशिष्ट हैं। बाएँ (और क्रमशः दाएँ) विभाजन को बाएँ (और क्रमशः दाएँ) अनुवाद के अवशेषों को लेकर परिभाषित किया गया है: x\y = (_xएल)⁺(y) और x/y = (λ_x)⁺(y)

उदाहरण के लिए, प्रत्येक आदेशित समूह अवशिष्ट है, और उपरोक्त द्वारा परिभाषित विभाजन समूह (गणित)#विभाजन की धारणा से मेल खाता है। कम तुच्छ उदाहरण सेट मैट है_n(बी) बूलियन बीजगणित (संरचना) बी पर वर्ग मैट्रिक्स का, जहां मैट्रिक्स को बिंदुवार क्रमबद्ध किया जाता है। बिंदुवार क्रम मैट का समर्थन करता है_n(बी) बिंदुवार मिलते हैं, जुड़ते हैं और पूरक होते हैं। मैट्रिक्स गुणन को सामान्य तरीके से परिभाषित किया जाता है जिसमें उत्पाद मिलन होता है और योग जोड़ होता है। इसे दिखाया जा सकता है वह X\Y = (Y^tX')' और X/Y = (X'Y^t)', जहां X', X और Y का पूरक है^{t ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स है)।}

यह भी देखें

• अवशिष्ट जाली

संदर्भ

• J.C. Derderian, "Galois connections and pair algebras", Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501.
• Jonathan S. Golan, Semirings and Affine Equations Over Them: Theory and Applications, Kluwer Academic, 2003, ISBN 1-4020-1358-2. Page 49.
• T.S. Blyth, "Residuated mappings", Order 1 (1984) 187-204.
• T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5. Page 7.
• T.S. Blyth, M. F. Janowitz, Residuation Theory, Pergamon Press, 1972, ISBN 0-08-016408-0. Page 9.
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. Available online in various file formats: PS.GZ PS
• Klaus Denecke, Marcel Erné, Shelly L. Wismath, Galois connections and applications, Springer, 2004, ISBN 1402018975
• Galatos, Nikolaos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5.