एकसमान मानदंड: Difference between revisions

Revision as of 02:56, 7 July 2023

वर्ग की परिधि बिंदुओं का समूह है

ℝ 2

जहां सुपर मानदंड एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, अंक

(2, 0)

,

(2, 1)

, और

(2, 2)

एक वर्ग की परिधि के साथ स्थित हैं और उन सदिशों के समूह से संबंधित हैं जिनका सुपर मान 2 है।

गणितीय विश्लेषण में, एकसमान मानदंड (या सुपर मानदंड) एक समुच्चय $S$ पर परिभाषित वास्तविक संख्या या जटिल संख्या बंधे हुए फलन $f$ को गैर-ऋणात्मक संख्या निर्दिष्ट करता है।

\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}

इस मानदंड को सर्वोच्च मानदंड, चेबीशेव मानदंड, अनंत मानदंड या, जब सर्वोच्च वास्तव में अधिकतम होता है, तो अधिकतम मानदंड भी कहा जाता है। "समान मानदंड" नाम इस तथ्य से लिया गया है कि कार्यों का एक क्रम $\left\{f_{n}\right\}$ में समान मानदंड से प्राप्त मीट्रिक के अनुसार $f$ में परिवर्तित हो जाता है केवल यदि $f_{n}$ समान रूप से $f$ के एकसमान अभिसरण में परिवर्तित हो जाता है।^[1]

अगर $f$ एक बंद और बंधे हुए अंतराल पर एक सतत कार्य है, या अधिक सामान्यतः एक सघन स्थान समुच्चय होता है, तो यह घिरा हुआ होता है और उपरोक्त परिभाषा में सर्वोच्च वीयरस्ट्रैस चरम मूल्य प्रमेय द्वारा प्राप्त किया जाता है, इसलिए हम सर्वोच्च को अधिकतम से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इस स्थिति में, मानदंड को अधिकतम मानदंड भी कहा जाता है, विशेषकर, यदि $x$ कुछ ऐसा सदिश होता है $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ परिमित समुच्चय आयामी समन्वय स्थान में, यह रूप लेता है:

\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).

मीट्रिक और टोपोलॉजी

इस मानदंड द्वारा उत्पन्न मीट्रिक को पफनुटी चेबीशेव के नाम पर चेबीशेव मेट्रिक कहा जाता है, जो इसका व्यवस्थित अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।

यदि हम असीमित कार्यों की अनुमति देते हैं, तो यह सूत्र सख्त अर्थों में एक मानक या मीट्रिक उत्पन्न नहीं करता है, यघपि प्राप्त तथाकथित मीट्रिक सामान्यीकृत मीट्रिक अभी भी किसी को प्रश्न में फलन स्थान पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

बाइनरी फलन

d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }

फिर एक विशेष डोमेन पर सभी बंधे हुए फलनों (और, जाहिर है, इसके किसी भी सबसेट) के स्थान पर एक मीट्रिक है। एक क्रम

\left\{f_{n}:n=1,2,3,\ldots \right\}

किसी फलन में एक समान अभिसरण

f

अगर और केवल अगर

\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty }=0.\,

हम इस मीट्रिक टोपोलॉजी के संबंध में बंद सेट और सेट के क्लोजर को परिभाषित कर सकते हैं; एकसमान मानदंड में बंद सेट को कभी-कभी समान रूप से बंद और एक समान बंद होने वाला कहा जाता है। फ़ंक्शंस ए के एक सेट का एक समान समापन सभी फ़ंक्शंस का स्थान है जिसे समान रूप से परिवर्तित फ़ंक्शंस के अनुक्रम द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

A.

उदाहरण के लिए, स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक पुनर्कथन यह है कि सभी निरंतर कार्यों का सेट

[a,b]

बहुपदों के समुच्चय का एकसमान समापन है

[a,b].

एक कॉम्पैक्ट स्पेस पर जटिल सतत फलन (टोपोलॉजी) फलन के लिए, यह इसे सी-स्टार बीजगणित|सी* बीजगणित में बदल देता है।

गुण

सदिशों का समुच्चय जिसका अनंत मान एक दिया गया स्थिरांक है, $c,$ किनारे की लंबाई के साथ एक अतिविम की सतह बनाता है $2c.$ सबस्क्रिप्ट का कारण $\infty$ क्या वह जब भी है $f$ सतत है

\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty },

कहाँ

\|f\|_{p}=\left(\int _{D}|f|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}

कहाँ

D

का डोमेन है

f

और अभिन्न का योग यदि होता है

D

एक अलग सेट है (नॉर्म (गणित)#पी-नॉर्म|पी-नॉर्म देखें)।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Rudin, Walter (1964). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत. New York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN 0-07-054235-X.

[1] Rudin, Walter (1964). गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत. New York: McGraw-Hill. pp. 151. ISBN 0-07-054235-X.

[1]

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 {{Short description|Function in mathematical analysis}}
-[[Image:Vector norm sup.svg|frame|right|वर्ग की परिधि बिंदुओं का समूह है {{math|ℝ{{sup|2}}}} जहां सुपर मानदंड एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, अंक {{math|(2, 0)}}, {{math|(2, 1)}}, और {{math|(2, 2)}} एक वर्ग की परिधि के साथ स्थित हैं और उन सदिशों के समूह से संबंधित हैं जिनका सुपर मान 2 है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक समान मानदंड (या{{visible anchor|sup norm}}) [[वास्तविक संख्या]]|वास्तविक- या [[जटिल संख्या]]-मूल्यवान बंधे हुए कार्यों को निर्दिष्ट करता है {{tmath|f}} एक सेट पर परिभाषित (गणित) {{tmath|S}} गैर-ऋणात्मक संख्या
+[[Image:Vector norm sup.svg|frame|right|वर्ग की परिधि बिंदुओं का समूह है {{math|ℝ{{sup|2}}}} जहां सुपर मानदंड एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, अंक {{math|(2, 0)}}, {{math|(2, 1)}}, और {{math|(2, 2)}} एक वर्ग की परिधि के साथ स्थित हैं और उन सदिशों के समूह से संबंधित हैं जिनका सुपर मान 2 है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एकसमान मानदंड (या {{visible anchor|सुपर मानदंड}}) एक समुच्चय {{tmath|S}} पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] बंधे हुए फलन {{tmath|f}} को गैर-ऋणात्मक संख्या निर्दिष्ट करता है।
-:<math>\|f\|_\infty = \|f\|_{\infty,S} = \sup\left\{\,|f(s)| : s \in S\,\right\}.</math>
+:<math>\|f\|_\infty = \|f\|_{\infty,S} = \sup\left\{\,|f(s)| : s \in S\,\right\}</math>
-इस नॉर्म (गणित) को भी कहा जाता है{{visible anchor|supremum norm}}, द{{visible anchor|Chebyshev norm}}, द{{visible anchor|infinity norm}}, या, जब [[सबसे निचला और उच्चतम]] वास्तव में अधिकतम हो, तो{{visible anchor|max norm}}. यूनिफ़ॉर्म नॉर्म नाम इस तथ्य से लिया गया है कि कार्यों का एक क्रम {{tmath|\left\{f_n\right\} }} में एकत्रित हो जाता है {{tmath|f}} मीट्रिक (गणित) के अंतर्गत समान मानदंड से प्राप्त यदि और केवल यदि {{tmath|f_n}} में एकत्रित हो जाता है {{tmath|f}} [[एकसमान अभिसरण]].<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration|year=1964|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=0-07-054235-X|pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/151 151]}}</ref>
+इस मानदंड को सर्वोच्च मानदंड, चेबीशेव मानदंड, अनंत मानदंड या, जब [[सबसे निचला और उच्चतम|सर्वोच्च]] वास्तव में अधिकतम होता है, तो {{visible anchor|अधिकतम मानदंड}} भी कहा जाता है। "समान मानदंड" नाम इस तथ्य से लिया गया है कि कार्यों का एक क्रम {{tmath|\left\{f_n\right\} }} में समान मानदंड से प्राप्त मीट्रिक के अनुसार {{tmath|f}} में परिवर्तित हो जाता है केवल यदि {{tmath|f_n}} समान रूप से {{tmath|f}} के [[एकसमान अभिसरण]] में परिवर्तित हो जाता है।<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration|year=1964|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=0-07-054235-X|pages=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/151 151]}}</ref>
-अगर {{tmath|f}} एक बंद और बंधे हुए अंतराल पर एक [[सतत कार्य]] है, या अधिक आम तौर पर एक [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] सेट है, तो यह घिरा हुआ है और उपरोक्त परिभाषा में सर्वोच्च वीयरस्ट्रैस [[चरम मूल्य प्रमेय]] द्वारा प्राप्त किया जाता है, इसलिए हम सर्वोच्च को अधिकतम से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इस मामले में, मानदंड को भी कहा जाता है{{visible anchor|maximum norm}}.
-विशेषकर, यदि {{tmath|x}} कुछ वेक्टर ऐसा है <math>x = \left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) </math> [[परिमित सेट]] आयामी समन्वय स्थान में, यह रूप लेता है:
+अगर {{tmath|f}} एक बंद और बंधे हुए अंतराल पर एक [[सतत कार्य]] है, या अधिक सामान्यतः एक [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] समुच्चय होता है, तो यह घिरा हुआ होता है और उपरोक्त परिभाषा में सर्वोच्च वीयरस्ट्रैस [[चरम मूल्य प्रमेय]] द्वारा प्राप्त किया जाता है, इसलिए हम सर्वोच्च को अधिकतम से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इस स्थिति  में, मानदंड को {{visible anchor|अधिकतम मानदंड}} भी कहा जाता है, विशेषकर, यदि {{tmath|x}} कुछ ऐसा सदिश होता है <math>x = \left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) </math> [[परिमित सेट|परिमित समुच्चय]] आयामी समन्वय स्थान में, यह रूप लेता है:
 :<math>\|x\|_\infty := \max \left(\left|x_1\right| , \ldots , \left|x_n\right|\right).</math>
 == मीट्रिक और टोपोलॉजी ==
-इस मानदंड द्वारा उत्पन्न मीट्रिक को कहा जाता है{{visible anchor|Chebyshev metric}}, [[पफनुटी चेबीशेव]] के बाद, जो इसका व्यवस्थित अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।
+इस मानदंड द्वारा उत्पन्न मीट्रिक को [[पफनुटी चेबीशेव]] के नाम पर {{visible anchor|चेबीशेव मेट्रिक}} कहा जाता है, जो इसका व्यवस्थित अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे।
-यदि हम असीमित कार्यों की अनुमति देते हैं, तो यह सूत्र सख्त अर्थों में एक मानक या मीट्रिक उत्पन्न नहीं करता है, हालांकि प्राप्त तथाकथित मीट्रिक (गणित) # सामान्यीकृत मीट्रिक अभी भी किसी को प्रश्न में फ़ंक्शन स्थान पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
+यदि हम असीमित कार्यों की अनुमति देते हैं, तो यह सूत्र सख्त अर्थों में एक मानक या मीट्रिक उत्पन्न नहीं करता है, यघपि प्राप्त तथाकथित मीट्रिक सामान्यीकृत मीट्रिक अभी भी किसी को प्रश्न में फलन स्थान पर टोपोलॉजी को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
-बाइनरी फ़ंक्शन<math display=block>d(f, g) = \|f - g\|_\infty</math>फिर एक विशेष डोमेन पर सभी बंधे हुए कार्यों (और, जाहिर है, इसके किसी भी सबसेट) के स्थान पर एक मीट्रिक है। एक क्रम <math>\left\{f_n : n = 1, 2, 3, \ldots\right\}</math> किसी फ़ंक्शन में एक समान अभिसरण <math>f</math> अगर और केवल अगर<math display="block">\lim_{n\rightarrow\infty} \left\|f_n - f\right\|_\infty = 0.\,</math>हम इस मीट्रिक टोपोलॉजी के संबंध में बंद सेट और सेट के क्लोजर को परिभाषित कर सकते हैं; एकसमान मानदंड में बंद सेट को कभी-कभी समान रूप से बंद और एक समान बंद होने वाला कहा जाता है। फ़ंक्शंस ए के एक सेट का एक समान समापन सभी फ़ंक्शंस का स्थान है जिसे समान रूप से परिवर्तित फ़ंक्शंस के अनुक्रम द्वारा अनुमानित किया जा सकता है <math>A.</math> उदाहरण के लिए, स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक पुनर्कथन यह है कि सभी निरंतर कार्यों का सेट <math>[a,b]</math> बहुपदों के समुच्चय का एकसमान समापन है <math>[a, b].</math>
+बाइनरी फलन  <math display=block>d(f, g) = \|f - g\|_\infty</math>फिर एक विशेष डोमेन पर सभी बंधे हुए फलनों (और, जाहिर है, इसके किसी भी सबसेट) के स्थान पर एक मीट्रिक है। एक क्रम <math>\left\{f_n : n = 1, 2, 3, \ldots\right\}</math> किसी फलन   में एक समान अभिसरण <math>f</math> अगर और केवल अगर<math display="block">\lim_{n\rightarrow\infty} \left\|f_n - f\right\|_\infty = 0.\,</math>हम इस मीट्रिक टोपोलॉजी के संबंध में बंद सेट और सेट के क्लोजर को परिभाषित कर सकते हैं; एकसमान मानदंड में बंद सेट को कभी-कभी समान रूप से बंद और एक समान बंद होने वाला कहा जाता है। फ़ंक्शंस ए के एक सेट का एक समान समापन सभी फ़ंक्शंस का स्थान है जिसे समान रूप से परिवर्तित फ़ंक्शंस के अनुक्रम द्वारा अनुमानित किया जा सकता है <math>A.</math> उदाहरण के लिए, स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक पुनर्कथन यह है कि सभी निरंतर कार्यों का सेट <math>[a,b]</math> बहुपदों के समुच्चय का एकसमान समापन है <math>[a, b].</math>
-एक कॉम्पैक्ट स्पेस पर जटिल सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) फ़ंक्शन के लिए, यह इसे [[सी-स्टार बीजगणित]]|सी* बीजगणित में बदल देता है।
+एक कॉम्पैक्ट स्पेस पर जटिल सतत फलन   (टोपोलॉजी) फलन   के लिए, यह इसे [[सी-स्टार बीजगणित]]|सी* बीजगणित में बदल देता है।
 == गुण ==

v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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