उत्पाद क्रम: Difference between revisions

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गणित में, आंशिक क्रम दिया गया है $\preceq$ और $\sqsubseteq$ एक सेट पर $A$ और $B$ , क्रमशः, उत्पाद क्रम^[1]^[2]^[3]^[4](निर्देशांकवार क्रम भी कहा जाता है^[5]^[3]^[6] या घटकवार क्रम^[2]^[7]) आंशिक आदेश है $\leq$ कार्टेशियन उत्पाद पर $A\times B.$ दो जोड़े दिए गए $\left(a_{1},b_{1}\right)$ और $\left(a_{2},b_{2}\right)$ में $A\times B,$ इसकी घोषणा करें $\left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)$ अगर $a_{1}\preceq a_{2}$ और $b_{1}\sqsubseteq b_{2}.$ एक और संभावित ऑर्डर जारी है $A\times B$ शब्दकोषीय क्रम है, जो कुल क्रम है। हालाँकि दो कुल ऑर्डर का उत्पाद ऑर्डर सामान्य रूप से कुल नहीं है; उदाहरण के लिए, जोड़े $(0,1)$ और $(1,0)$ ऑर्डर देने के उत्पाद क्रम में अतुलनीय हैं $0<1$ खुद के साथ. दो कुल ऑर्डरों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक रैखिक विस्तार है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक उपसंबंध है।^[3]

उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद मोनोटोन फ़ंक्शन के साथ आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी (गणित) में श्रेणीबद्ध उत्पाद है।^[7]

उत्पाद क्रम मनमाना (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है। कल्पना करना $A\neq \varnothing$ एक सेट है और हर एक के लिए $a\in A,$ $\left(I_{a},\leq \right)$ एक पूर्व-आदेशित सेट है. फिर product preorder पर $\prod _{a\in A}I_{a}$ किसी के लिए घोषणा करके परिभाषित किया गया है $i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}$ और $j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}$ में $\prod _{a\in A}I_{a},$ वह

i_{\bullet }\leq j_{\bullet }

अगर और केवल अगर

i_{a}\leq j_{a}

हरएक के लिए

a\in A.

यदि प्रत्येक

\left(I_{a},\leq \right)

यदि यह आंशिक ऑर्डर है तो उत्पाद का प्रीऑर्डर भी आंशिक है।

इसके अलावा, एक सेट दिया गया $A,$ कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम $\prod _{a\in A}\{0,1\}$ के उपसमूहों के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है $A.$ ^[4] यह धारणा अग्रिम-आदेशों पर भी समान रूप से लागू होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी है, जिसमें जाली (आदेश) और बूलियन बीजगणित शामिल हैं।^[7]

संदर्भ

↑ Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Product Order and Lexicographic Order", Basic Posets, World Scientific, pp. 64–78, ISBN 9789810235895
↑ ^2.0 ^2.1 Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम. Springer. p. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Egbert Harzheim (2006). ऑर्डर किए गए सेट. Springer. pp. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.
↑ ^4.0 ^4.1 Victor W. Marek (2009). संतुष्टि के गणित का परिचय. CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.
↑ Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order (Second Edition), 2002, p. 18
↑ Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). मूल समुच्चय सिद्धांत. American Mathematical Soc. p. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Paul Taylor (1999). गणित की व्यावहारिक नींव. Cambridge University Press. pp. 144–145 and 216. ISBN 978-0-521-63107-5.

यह भी देखें

प्रत्यक्ष उत्पाद#द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद
आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#उदाहरण
स्टार उत्पाद, आंशिक ऑर्डर के संयोजन का एक अलग तरीका
कुल ऑर्डर#पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
आंशिक आदेशों का सामान्य योग
Ordered vector space – Vector space with a partial order

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श्रेणी:आदेश सिद्धांत

[1] Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Product Order and Lexicographic Order", Basic Posets, World Scientific, pp. 64–78, ISBN 9789810235895

[anal-2] 2.0 ^2.1 Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम. Springer. p. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.

[Harzheim-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Egbert Harzheim (2006). ऑर्डर किए गए सेट. Springer. pp. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.

[Marek-4] 4.0 ^4.1 Victor W. Marek (2009). संतुष्टि के गणित का परिचय. CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.

[5] Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order (Second Edition), 2002, p. 18

[6] Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). मूल समुच्चय सिद्धांत. American Mathematical Soc. p. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.

[taylor-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Paul Taylor (1999). गणित की व्यावहारिक नींव. Cambridge University Press. pp. 144–145 and 216. ISBN 978-0-521-63107-5.

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-{{for|the business concept|purchase order}}
 [[File:N-Quadrat, gedreht.svg|thumb|300px|प्राकृत संख्या पर उत्पाद क्रम का [[हस्से आरेख]]|<math>\mathbb{N}</math>×<math>\mathbb{N}</math>]]गणित में, आंशिक क्रम दिया गया है <math>\preceq</math> और <math>\sqsubseteq</math> एक सेट पर <math>A</math> और <math>B</math>, क्रमशः, उत्पाद क्रम<ref>{{citation|last1=Neggers|first1=J.|last2=Kim|first2=Hee Sik|contribution = 4.2 Product Order and Lexicographic Order|isbn = 9789810235895| pages = 64–78| publisher=World Scientific|title=Basic Posets|url=https://books.google.com/books?id=-ip3-wejeR8C&pg=PA64| year = 1998}}</ref><ref name="anal">{{cite book|author1=Sudhir R. Ghorpade|author2=Balmohan V. Limaye|title=मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-1621-1|page=5}}</ref><ref name="Harzheim"/><ref name="Marek"/>(निर्देशांकवार क्रम भी कहा जाता है<ref>Davey & Priestley, ''[[Introduction to Lattices and Order]]'' (Second Edition), 2002, p.&nbsp;18</ref><ref name="Harzheim"/><ref>{{cite book|author1=Alexander Shen|author2=Nikolai Konstantinovich Vereshchagin|title=मूल समुच्चय सिद्धांत|year=2002|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-2731-4|page=43}}</ref> या घटकवार क्रम<ref name="anal"/><ref name="taylor">{{cite book|author=Paul Taylor|title=गणित की व्यावहारिक नींव|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-63107-5|pages=144–145 and 216}}</ref>) आंशिक आदेश है <math>\leq</math> कार्टेशियन उत्पाद पर <math>A \times B.</math> दो जोड़े दिए गए <math>\left(a_1, b_1\right)</math> और <math>\left(a_2, b_2\right)</math> में <math>A \times B,</math> इसकी घोषणा करें <math>\left(a_1, b_1\right) \leq \left(a_2, b_2\right)</math> अगर <math>a_1 \preceq a_2</math> और <math>b_1 \sqsubseteq b_2.</math> एक और संभावित ऑर्डर जारी है <math>A \times B</math> [[शब्दकोषीय क्रम]] है, जो कुल क्रम है। हालाँकि दो [[कुल ऑर्डर]] का उत्पाद ऑर्डर सामान्य रूप से कुल नहीं है; उदाहरण के लिए, जोड़े <math>(0, 1)</math> और <math>(1, 0)</math> ऑर्डर देने के उत्पाद क्रम में अतुलनीय हैं <math>0 < 1</math> खुद के साथ. दो कुल ऑर्डरों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक [[रैखिक विस्तार]] है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक [[उपसंबंध]] है।<ref name="Harzheim">{{cite book|author=Egbert Harzheim|title=ऑर्डर किए गए सेट|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-24222-4|pages=86–88}}</ref>
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+यह धारणा अग्रिम-आदेशों पर भी समान रूप से लागू होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी है, जिसमें [[ जाली (आदेश) |जाली (आदेश)]] और [[बूलियन बीजगणित]] शामिल हैं।<ref name="taylor"/>
 == संदर्भ ==

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