उत्पाद क्रम: Difference between revisions

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उत्पाद ऑर्डर का हैस आरेख

\mathbb {N}

×

\mathbb {N}

गणित में, आंशिक क्रम $\preceq$ और $\sqsubseteq$ दिया गया है जो एक समुच्चय $A$ और $B$ पर, क्रमशः, उत्पाद क्रम^[1]^[2]^[3]^[4](निर्देशांकवार क्रम ^[5]^[3]^[6] या घटक अनुसार क्रम^[2]^[7] भी कहा जाता है) और कार्टेशियन उत्पाद $A\times B$ पर आंशिक क्रम $\leq$ में होता है। $A\times B,$ में दो जोड़े $\left(a_{1},b_{1}\right)$ और $\left(a_{2},b_{2}\right)$ दिए गए है जो प्रकाशित करते है की अगर $a_{1}\preceq a_{2}$ और $b_{1}\sqsubseteq b_{2}$ होता है तो $\left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)$ होता है।

$A\times B$ पर एक और संभावित क्रम शब्दकोषीय क्रम होता है, जो पूर्ण क्रम होता है। यघपि दो पूर्ण क्रम का उत्पाद क्रम सामान्य रूप से पूर्ण नहीं होता है; उदाहरण के लिए, जोड़े $(0,1)$ और $(1,0)$ क्रम देने के उत्पाद क्रम $0<1$ में स्वयं के साथ अतुलनीय होते हैं। दो पूर्ण क्रमों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक रैखिक विस्तार होता है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक उपसंबंध होता है।^[3]

उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद मोनोटोन फलन के साथ आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय की श्रेणी में श्रेणीबद्ध उत्पाद होते है।^[7]

उत्पाद क्रम अनैतिक (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है। कल्पना करे $A\neq \varnothing$ एक समुच्चय है जो प्रत्येक के लिए $a\in A,$ $\left(I_{a},\leq \right)$ एक पूर्व-आदेशित समुच्चय होता है। फिर उत्पाद पूर्वक्रम पर $\prod _{a\in A}I_{a}$ को $i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}$ और $j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}$ को $\prod _{a\in A}I_{a}$ में किसी के लिए प्रकाशित करके परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार है

i_{\bullet }\leq j_{\bullet }

होता है अगर और केवल अगर

i_{a}\leq j_{a}

प्रत्येक के लिए

a\in A

होता है।

यदि प्रत्येक

\left(I_{a},\leq \right)

एक आंशिक क्रम में होता है तो उत्पाद का पूर्व क्रम भी आंशिक क्रम होता है।

इसके अतिरिक्त, एक समुच्चय $A,$ दिया गया कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम के $\prod _{a\in A}\{0,1\}$ के उपसमूहों $A$ के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है। ^[4]

यह धारणा पूर्व-क्रम पर भी समान रूप से प्रयुक्त होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी होते है, जिसमें जालक (नेट) और बूलियन बीजगणित सम्मलित होती हैं।^[7]

संदर्भ

↑ Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Product Order and Lexicographic Order", Basic Posets, World Scientific, pp. 64–78, ISBN 9789810235895
↑ ^2.0 ^2.1 Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम. Springer. p. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Egbert Harzheim (2006). ऑर्डर किए गए सेट. Springer. pp. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.
↑ ^4.0 ^4.1 Victor W. Marek (2009). संतुष्टि के गणित का परिचय. CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.
↑ Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order (Second Edition), 2002, p. 18
↑ Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). मूल समुच्चय सिद्धांत. American Mathematical Soc. p. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.
↑ ^7.0 ^7.1 ^7.2 Paul Taylor (1999). गणित की व्यावहारिक नींव. Cambridge University Press. pp. 144–145 and 216. ISBN 978-0-521-63107-5.

यह भी देखें

प्रत्यक्ष उत्पाद#द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद
आंशिक रूप से क्रम किया गया समुच्चय#उदाहरण
स्टार उत्पाद, आंशिक क्रम के संयोजन का एक अलग तरीका
पूर्ण क्रम#पूरी तरह से क्रम किए गए समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद पर क्रम
आंशिक आदेशों का सामान्य योग
Ordered vector space – Vector space with a partial order

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श्रेणी:आदेश सिद्धांत

[1] Neggers, J.; Kim, Hee Sik (1998), "4.2 Product Order and Lexicographic Order", Basic Posets, World Scientific, pp. 64–78, ISBN 9789810235895

[anal-2] 2.0 ^2.1 Sudhir R. Ghorpade; Balmohan V. Limaye (2010). मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम. Springer. p. 5. ISBN 978-1-4419-1621-1.

[Harzheim-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Egbert Harzheim (2006). ऑर्डर किए गए सेट. Springer. pp. 86–88. ISBN 978-0-387-24222-4.

[Marek-4] 4.0 ^4.1 Victor W. Marek (2009). संतुष्टि के गणित का परिचय. CRC Press. p. 17. ISBN 978-1-4398-0174-1.

[5] Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order (Second Edition), 2002, p. 18

[6] Alexander Shen; Nikolai Konstantinovich Vereshchagin (2002). मूल समुच्चय सिद्धांत. American Mathematical Soc. p. 43. ISBN 978-0-8218-2731-4.

[taylor-7] 7.0 ^7.1 ^7.2 Paul Taylor (1999). गणित की व्यावहारिक नींव. Cambridge University Press. pp. 144–145 and 216. ISBN 978-0-521-63107-5.

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-[[File:N-Quadrat, gedreht.svg|thumb|300px|प्राकृत संख्या पर उत्पाद क्रम का [[हस्से आरेख]]|<math>\mathbb{N}</math>×<math>\mathbb{N}</math>]]गणित में, आंशिक क्रम दिया गया है <math>\preceq</math> और <math>\sqsubseteq</math> एक सेट पर <math>A</math> और <math>B</math>, क्रमशः, उत्पाद क्रम<ref>{{citation|last1=Neggers|first1=J.|last2=Kim|first2=Hee Sik|contribution = 4.2 Product Order and Lexicographic Order|isbn = 9789810235895| pages = 64–78| publisher=World Scientific|title=Basic Posets|url=https://books.google.com/books?id=-ip3-wejeR8C&pg=PA64| year = 1998}}</ref><ref name="anal">{{cite book|author1=Sudhir R. Ghorpade|author2=Balmohan V. Limaye|title=मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-1621-1|page=5}}</ref><ref name="Harzheim"/><ref name="Marek"/>(निर्देशांकवार क्रम भी कहा जाता है<ref>Davey & Priestley, ''[[Introduction to Lattices and Order]]'' (Second Edition), 2002, p.&nbsp;18</ref><ref name="Harzheim"/><ref>{{cite book|author1=Alexander Shen|author2=Nikolai Konstantinovich Vereshchagin|title=मूल समुच्चय सिद्धांत|year=2002|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-2731-4|page=43}}</ref> या घटकवार क्रम<ref name="anal"/><ref name="taylor">{{cite book|author=Paul Taylor|title=गणित की व्यावहारिक नींव|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-63107-5|pages=144–145 and 216}}</ref>) आंशिक आदेश है <math>\leq</math> कार्टेशियन उत्पाद पर <math>A \times B.</math> दो जोड़े दिए गए <math>\left(a_1, b_1\right)</math> और <math>\left(a_2, b_2\right)</math> में <math>A \times B,</math> इसकी घोषणा करें <math>\left(a_1, b_1\right) \leq \left(a_2, b_2\right)</math> अगर <math>a_1 \preceq a_2</math> और <math>b_1 \sqsubseteq b_2.</math> एक और संभावित ऑर्डर जारी है <math>A \times B</math> [[शब्दकोषीय क्रम]] है, जो कुल क्रम है। हालाँकि दो [[कुल ऑर्डर]] का उत्पाद ऑर्डर सामान्य रूप से कुल नहीं है; उदाहरण के लिए, जोड़े <math>(0, 1)</math> और <math>(1, 0)</math> ऑर्डर देने के उत्पाद क्रम में अतुलनीय हैं <math>0 < 1</math> खुद के साथ. दो कुल ऑर्डरों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक [[रैखिक विस्तार]] है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक [[उपसंबंध]] है।<ref name="Harzheim">{{cite book|author=Egbert Harzheim|title=ऑर्डर किए गए सेट|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-24222-4|pages=86–88}}</ref>
+[[File:N-Quadrat, gedreht.svg|thumb|300px|उत्पाद ऑर्डर का हैस आरेख <math>\mathbb{N}</math>×<math>\mathbb{N}</math>]]गणित में, आंशिक क्रम <math>\preceq</math> और <math>\sqsubseteq</math> दिया गया है जो एक समुच्चय <math>A</math> और <math>B</math> पर, क्रमशः, '''उत्पाद क्रम'''<ref>{{citation|last1=Neggers|first1=J.|last2=Kim|first2=Hee Sik|contribution = 4.2 Product Order and Lexicographic Order|isbn = 9789810235895| pages = 64–78| publisher=World Scientific|title=Basic Posets|url=https://books.google.com/books?id=-ip3-wejeR8C&pg=PA64| year = 1998}}</ref><ref name="anal">{{cite book|author1=Sudhir R. Ghorpade|author2=Balmohan V. Limaye|title=मल्टीवेरिएबल कैलकुलस और विश्लेषण में एक पाठ्यक्रम|year=2010|publisher=Springer|isbn=978-1-4419-1621-1|page=5}}</ref><ref name="Harzheim"/><ref name="Marek"/>('''निर्देशांकवार क्रम''' <ref>Davey & Priestley, ''[[Introduction to Lattices and Order]]'' (Second Edition), 2002, p.&nbsp;18</ref><ref name="Harzheim"/><ref>{{cite book|author1=Alexander Shen|author2=Nikolai Konstantinovich Vereshchagin|title=मूल समुच्चय सिद्धांत|year=2002|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-2731-4|page=43}}</ref> या '''घटक अनुसार क्रम<ref name="anal" /><ref name="taylor">{{cite book|author=Paul Taylor|title=गणित की व्यावहारिक नींव|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-63107-5|pages=144–145 and 216}}</ref>''' भी कहा जाता है) और कार्टेशियन उत्पाद  <math>A \times B</math> पर आंशिक क्रम <math>\leq</math> में होता है। <math>A \times B,</math> में दो जोड़े  <math>\left(a_1, b_1\right)</math> और <math>\left(a_2, b_2\right)</math> दिए गए है जो प्रकाशित करते है की अगर <math>a_1 \preceq a_2</math> और  <math>b_1 \sqsubseteq b_2</math> होता है तो <math>\left(a_1, b_1\right) \leq \left(a_2, b_2\right)</math> होता है।
-उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद [[मोनोटोन फ़ंक्शन]] के साथ आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की [[श्रेणी (गणित)]] में [[श्रेणीबद्ध उत्पाद]] है।<ref name="taylor"/>
-उत्पाद क्रम मनमाना (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है।
+<math>A \times B</math> पर एक और संभावित क्रम [[शब्दकोषीय क्रम]] होता है, जो पूर्ण क्रम होता है। यघपि दो [[कुल ऑर्डर|पूर्ण क्रम]] का उत्पाद क्रम सामान्य रूप से पूर्ण नहीं होता है; उदाहरण के लिए, जोड़े <math>(0, 1)</math> और <math>(1, 0)</math>  क्रम देने के उत्पाद क्रम <math>0 < 1</math> में स्वयं के साथ अतुलनीय होते हैं। दो पूर्ण  क्रमों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक [[रैखिक विस्तार]] होता है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक [[उपसंबंध]] होता है।<ref name="Harzheim">{{cite book|author=Egbert Harzheim|title=ऑर्डर किए गए सेट|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-24222-4|pages=86–88}}</ref>
-कल्पना करना <math>A \neq \varnothing</math> एक सेट है और हर एक के लिए <math>a \in A,</math> <math>\left(I_a, \leq\right)</math> एक पूर्व-आदेशित सेट है.
-फिर {{em|{{visible anchor|product preorder}}}} पर <math>\prod_{a \in A} I_a</math> किसी के लिए घोषणा करके परिभाषित किया गया है <math>i_{\bull} = \left(i_a\right)_{a \in A}</math> और <math>j_{\bull} = \left(j_a\right)_{a \in A}</math> में <math>\prod_{a \in A} I_a,</math> वह
-:<math>i_{\bull} \leq j_{\bull}</math> अगर और केवल अगर <math>i_a \leq j_a</math> हरएक के लिए <math>a \in A.</math> यदि प्रत्येक <math>\left(I_a, \leq\right)</math> यदि यह आंशिक ऑर्डर है तो उत्पाद का प्रीऑर्डर भी आंशिक है।
+उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद [[मोनोटोन फ़ंक्शन|मोनोटोन फलन]] के साथ आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में [[श्रेणीबद्ध उत्पाद]] होते है।<ref name="taylor" />
-इसके अलावा, एक सेट दिया गया <math>A,</math> कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम <math>\prod_{a \in A} \{0, 1\}</math> के उपसमूहों के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है <math>A.</math><ref name="Marek">{{cite book|author=Victor W. Marek|title=संतुष्टि के गणित का परिचय|year=2009|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-0174-1|page=17}}</ref>
+उत्पाद क्रम अनैतिक (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है। कल्पना करे  <math>A \neq \varnothing</math> एक समुच्चय है जो प्रत्येक के लिए <math>a \in A,</math> <math>\left(I_a, \leq\right)</math> एक पूर्व-आदेशित समुच्चय होता है। फिर {{em|{{visible anchor|उत्पाद पूर्वक्रम}}}}  पर <math>\prod_{a \in A} I_a</math> को <math>i_{\bull} = \left(i_a\right)_{a \in A}</math> और  <math>j_{\bull} = \left(j_a\right)_{a \in A}</math> को  <math>\prod_{a \in A} I_a</math> में किसी के लिए प्रकाशित करके परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार है
-यह धारणा अग्रिम-आदेशों पर भी समान रूप से लागू होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी है, जिसमें [[ जाली (आदेश) |जाली (आदेश)]] और [[बूलियन बीजगणित]] शामिल हैं।<ref name="taylor"/>
+:<math>i_{\bull} \leq j_{\bull}</math> होता है अगर और केवल अगर <math>i_a \leq j_a</math> प्रत्येक के लिए <math>a \in A</math> होता है।
+:यदि प्रत्येक <math>\left(I_a, \leq\right)</math> एक आंशिक क्रम में होता है तो उत्पाद का पूर्व क्रम भी आंशिक क्रम होता है।
+इसके अतिरिक्त, एक समुच्चय <math>A,</math> दिया गया  कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम के <math>\prod_{a \in A} \{0, 1\}</math> के उपसमूहों <math>A</math> के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है। <ref name="Marek">{{cite book|author=Victor W. Marek|title=संतुष्टि के गणित का परिचय|year=2009|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4398-0174-1|page=17}}</ref>
+यह धारणा पूर्व-क्रम पर भी समान रूप से प्रयुक्त होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी होते है, जिसमें [[ जाली (आदेश) |जालक]] (नेट) और [[बूलियन बीजगणित]] सम्मलित होती हैं।<ref name="taylor" />
 == संदर्भ ==
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 *प्रत्यक्ष उत्पाद#द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद
-* आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#उदाहरण
+* आंशिक रूप से  क्रम किया गया समुच्चय#उदाहरण
-* स्टार उत्पाद, आंशिक ऑर्डर के संयोजन का एक अलग तरीका
+* स्टार उत्पाद, आंशिक  क्रम के संयोजन का एक अलग तरीका
-* कुल ऑर्डर#पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
+* पूर्ण  क्रम#पूरी तरह से  क्रम किए गए समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद पर  क्रम
 * आंशिक आदेशों का सामान्य योग
 * {{annotated link|Ordered vector space}}

v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone Riesz space Upper set Young's lattice

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