उत्पाद क्रम

उत्पाद ऑर्डर का हैस आरेख $\mathbb {N}$×$\mathbb {N}$

गणित में, आंशिक क्रम $\preceq$ और $\sqsubseteq$ दिया गया है जो एक समुच्चय $A$ और $B$ पर, क्रमशः, उत्पाद क्रम(निर्देशांकवार क्रम या घटक अनुसार क्रम भी कहा जाता है) और कार्टेशियन उत्पाद $A\times B$ पर आंशिक क्रम $\leq$ में होता है। $A\times B,$ में दो जोड़े $\left(a_{1},b_{1}\right)$ और $\left(a_{2},b_{2}\right)$ दिए गए है जो प्रकाशित करते है की अगर $a_{1}\preceq a_{2}$ और $b_{1}\sqsubseteq b_{2}$ होता है तो $\left(a_{1},b_{1}\right)\leq \left(a_{2},b_{2}\right)$ होता है।

$A\times B$ पर एक और संभावित क्रम शब्दकोषीय क्रम होता है, जो पूर्ण क्रम होता है। यघपि दो पूर्ण क्रम का उत्पाद क्रम सामान्य रूप से पूर्ण नहीं होता है; उदाहरण के लिए, जोड़े $(0,1)$ और $(1,0)$ क्रम देने के उत्पाद क्रम $0<1$ में स्वयं के साथ अतुलनीय होते हैं। दो पूर्ण क्रमों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक रैखिक विस्तार होता है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक उपसंबंध होता है।

उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद मोनोटोन फलन के साथ आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय की श्रेणी में श्रेणीबद्ध उत्पाद होते है।

उत्पाद क्रम अनैतिक (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है। कल्पना करे $A\neq \varnothing$ एक समुच्चय है जो प्रत्येक के लिए $a\in A,$ $\left(I_{a},\leq \right)$ एक पूर्व-आदेशित समुच्चय होता है। फिर उत्पाद पूर्वक्रम पर $\prod _{a\in A}I_{a}$ को $i_{\bullet }=\left(i_{a}\right)_{a\in A}$ और $j_{\bullet }=\left(j_{a}\right)_{a\in A}$ को $\prod _{a\in A}I_{a}$ में किसी के लिए प्रकाशित करके परिभाषित किया जाता है जो इस प्रकार है

$i_{\bullet }\leq j_{\bullet }$ होता है अगर और केवल अगर $i_{a}\leq j_{a}$ प्रत्येक के लिए $a\in A$ होता है।

यदि प्रत्येक $\left(I_{a},\leq \right)$ एक आंशिक क्रम में होता है तो उत्पाद का पूर्व क्रम भी आंशिक क्रम होता है।

इसके अतिरिक्त, एक समुच्चय $A,$ दिया गया कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम के $\prod _{a\in A}\{0,1\}$ के उपसमूहों $A$ के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है।

यह धारणा पूर्व-क्रम पर भी समान रूप से प्रयुक्त होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी होते है, जिसमें जालक (नेट) और बूलियन बीजगणित सम्मलित होती हैं।

यह भी देखें

• प्रत्यक्ष उत्पाद#द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद
• आंशिक रूप से क्रम किया गया समुच्चय#उदाहरण
• स्टार उत्पाद, आंशिक क्रम के संयोजन का एक अलग तरीका
• पूर्ण क्रम#पूरी तरह से क्रम किए गए समुच्चय के कार्टेशियन उत्पाद पर क्रम
• आंशिक आदेशों का सामान्य योग
• Ordered vector space – Vector space with a partial order

श्रेणी:आदेश सिद्धांत