अपने आप में सघन (डेन्स इन इटसेल्फ): Difference between revisions
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[[सामान्य टोपोलॉजी]] में, एक उपसमुच्चय <math>A</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] को '''अपने आप में सघन''' या '''भीड़भाड़ वाला''' <ref>{{cite journal |last1=Levy |first1=Ronnie |last2=Porter |first2=Jack |title=सबमैक्सिमल स्पेस के संबंध में अरहांगेलस्की और कोलिन्स के दो प्रश्नों पर|journal=Topology Proceedings |date=1996 |volume=21 |pages=143–154 |url=http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v21/tp21008.pdf}}</ref><ref>{{cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II |last1=Dontchev |first1=Julian |last2=Ganster |first2=Maximilian |last3=Rose |first3=David |date=1977 |title=α-Scattered spaces II}}</ref> कहा जाता | [[सामान्य टोपोलॉजी]] में, एक उपसमुच्चय <math>A</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] को '''अपने आप में सघन''' या '''भीड़भाड़ वाला''' <ref>{{cite journal |last1=Levy |first1=Ronnie |last2=Porter |first2=Jack |title=सबमैक्सिमल स्पेस के संबंध में अरहांगेलस्की और कोलिन्स के दो प्रश्नों पर|journal=Topology Proceedings |date=1996 |volume=21 |pages=143–154 |url=http://topology.nipissingu.ca/tp/reprints/v21/tp21008.pdf}}</ref><ref>{{cite web |url=https://www.researchgate.net/publication/228597275_a-Scattered_spaces_II |last1=Dontchev |first1=Julian |last2=Ganster |first2=Maximilian |last3=Rose |first3=David |date=1977 |title=α-Scattered spaces II}}</ref> कहा जाता है।<ref>Steen & Seebach, p. 6</ref><ref>Engelking, p. 25</ref> | ||
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सघन समुच्चय की धारणा अपने आप में सघनता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि "X, X में सघन है" (हमेशा सत्य) और "X अपने आप में सघन है" (कोई पृथक बिंदु नहीं) के समान नहीं है। | सघन समुच्चय की धारणा अपने आप में सघनता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि '''"X, X में सघन है" (हमेशा सत्य) और "X अपने आप में सघन है"''' (कोई पृथक बिंदु नहीं) के समान नहीं है। | ||
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ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो अपने आप में सघन है किन्तु बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे [[वास्तविक संख्या]]ओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। यह समुच्चय अपने आप में सघन है क्योंकि प्रत्येक [[पड़ोस (गणित)]] में एक अपरिमेय संख्या होती है <math>x</math> इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या सम्मिलित है <math>y \neq x</math>. दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके [[समापन (टोपोलॉजी)]] में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी अपने आप में सघन है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है। | ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो अपने आप में सघन है किन्तु बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे [[वास्तविक संख्या]]ओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। इस प्रकार यह समुच्चय अपने आप में सघन है क्योंकि प्रत्येक [[पड़ोस (गणित)]] में एक अपरिमेय संख्या होती है <math>x</math> इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या सम्मिलित है <math>y \neq x</math>. दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके [[समापन (टोपोलॉजी)]] में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी अपने आप में सघन है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है। | ||
उपरोक्त उदाहरण, अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं <math>\mathbb{R}</math>. एक उदाहरण के रूप में जो अपने आप में सघन है किन्तु अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math>. यह सेट सघन नहीं है <math>\mathbb{R}</math> किन्तु अपने आप में सघन है. | उपरोक्त उदाहरण, अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं <math>\mathbb{R}</math>. एक उदाहरण के रूप में जो अपने आप में सघन है किन्तु अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math>. यह सेट सघन नहीं है <math>\mathbb{R}</math> किन्तु अपने आप में सघन है. | ||
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किसी भी स्थान के अपने आप में सघन उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं।<ref>Engelking, 1.7.10, p. 59</ref> अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को सम्मिलित करते हैं।<ref>Kuratowski, p. 78</ref> चूँकि, वे स्थान जो T1 नहीं हैं उनमें सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं जो अपने आप में सघन नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में <math>X=\{a,b\}</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ, सेट <math>A=\{a\}</math> घना है, किन्तु अपने आप में सघन नहीं है। | किसी भी स्थान के अपने आप में सघन उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं।<ref>Engelking, 1.7.10, p. 59</ref> इस प्रकार अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को सम्मिलित करते हैं।<ref>Kuratowski, p. 78</ref> चूँकि, वे स्थान जो T1 नहीं हैं उनमें सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं जो अपने आप में सघन नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में <math>X=\{a,b\}</math> [[अविवेकी टोपोलॉजी]] के साथ, सेट <math>A=\{a\}</math> घना है, किन्तु अपने आप में सघन नहीं है। | ||
किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।<ref>Kuratowski, p. 77</ref> | किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।<ref>Kuratowski, p. 77</ref> | ||
सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन अपने आप में सघन-समुच्चय है। | सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन अपने आप में '''सघन-समुच्चय''' है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
Revision as of 09:02, 7 July 2023
सामान्य टोपोलॉजी में, एक उपसमुच्चय टोपोलॉजिकल स्पेस को अपने आप में सघन या भीड़भाड़ वाला [1][2] कहा जाता है।[3][4]
इस प्रकार यदि का कोई पृथक बिंदु नहीं है‚
समान रूप से, यदि प्रत्येक बिंदु अपने आप में सघन है का एक सीमा बिंदु है .
इस प्रकार अपने आप में सघन है यदि और केवल यदि , कहाँ का व्युत्पन्न समुच्चय (गणित) है .
अपने आप में सघन बंद समुच्चय को पूर्ण समुच्चय कहा जाता है। (दूसरे शब्दों में, एक पूर्ण समुच्चय पृथक बिंदु के बिना एक बंद समुच्चय है।)
सघन समुच्चय की धारणा अपने आप में सघनता से असंबंधित है। यह कभी-कभी भ्रमित करने वाला हो सकता है, क्योंकि "X, X में सघन है" (हमेशा सत्य) और "X अपने आप में सघन है" (कोई पृथक बिंदु नहीं) के समान नहीं है।
उदाहरण
ऐसे समुच्चय का एक सरल उदाहरण जो अपने आप में सघन है किन्तु बंद नहीं है (और इसलिए पूर्ण समुच्चय नहीं है) अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है (जिसे वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय माना जाता है)। इस प्रकार यह समुच्चय अपने आप में सघन है क्योंकि प्रत्येक पड़ोस (गणित) में एक अपरिमेय संख्या होती है इसमें कम से कम एक अन्य अपरिमेय संख्या सम्मिलित है . दूसरी ओर, अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय बंद नहीं होता क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या इसके समापन (टोपोलॉजी) में निहित होती है। इसी प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी अपने आप में सघन है परंतु वास्तविक संख्याओं के स्थान में बंद नहीं है।
उपरोक्त उदाहरण, अपरिमेय और तर्कसंगत, भी उनके टोपोलॉजिकल स्पेस में घने सेट हैं . एक उदाहरण के रूप में जो अपने आप में सघन है किन्तु अपने टोपोलॉजिकल स्पेस में सघन नहीं है, इस पर विचार करें . यह सेट सघन नहीं है किन्तु अपने आप में सघन है.
गुण
किसी स्थान का एक एकल (गणित) उपसमुच्चय कभी भी अपने आप में सघन नहीं हो सकता, क्योंकि उसमें उसका अद्वितीय बिंदु पृथक होता है।
किसी भी स्थान के अपने आप में सघन उपसमुच्चय समुच्चयों के मिलन के अंतर्गत बंद होते हैं।[5] इस प्रकार अपने आप में घने स्थान में, वे सभी खुले सेटों को सम्मिलित करते हैं।[6] चूँकि, वे स्थान जो T1 नहीं हैं उनमें सघन उपसमुच्चय हो सकते हैं जो अपने आप में सघन नहीं हैं: उदाहरण के लिए अंतरिक्ष में अविवेकी टोपोलॉजी के साथ, सेट घना है, किन्तु अपने आप में सघन नहीं है।
किसी भी सघन सेट का बंद होना एक आदर्श सेट है।[7]
सामान्यतः, दो सघन-स्वयं सेटों का प्रतिच्छेदन अपने-आप में सघन नहीं होता है। किन्तु एक सघन-स्वयं समुच्चय और एक खुले समुच्चय का प्रतिच्छेदन अपने आप में सघन-समुच्चय है।
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
- ↑ Levy, Ronnie; Porter, Jack (1996). "सबमैक्सिमल स्पेस के संबंध में अरहांगेलस्की और कोलिन्स के दो प्रश्नों पर" (PDF). Topology Proceedings. 21: 143–154.
- ↑ Dontchev, Julian; Ganster, Maximilian; Rose, David (1977). "α-Scattered spaces II".
- ↑ Steen & Seebach, p. 6
- ↑ Engelking, p. 25
- ↑ Engelking, 1.7.10, p. 59
- ↑ Kuratowski, p. 78
- ↑ Kuratowski, p. 77
संदर्भ
- Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
- Kuratowski, K. (1966). Topology Vol. I. Academic Press. ISBN 012429202X.
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
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