सर्वांगसमता संबंध: Difference between revisions

Revision as of 09:18, 6 July 2023

एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित में, सर्वांगसमता संबंध (या साधारण सर्वांगसमता) बीजगणितीय संरचना (जैसे कि समूह (गणित), रिंग (गणित), या सदिश स्थल) पर समतुल्य संबंध है जो बीजगणितीय संचालन के अर्थ में संरचना के साथ संगत है समतुल्य तत्वों के साथ किए गए कार्य से समतुल्य तत्व प्राप्त होते है।^[1] इस प्रकार प्रत्येक सर्वांगसम संबंध में संगत समतुल्य वर्ग संरचना होती है, जिसके तत्व संबंध के लिए समतुल्य वर्ग (या सर्वांगसम वर्ग) होते हैं।^[2]

मूल उदाहरण

सर्वांगसमता संबंध का प्रोटोटाइपिक उदाहरण मॉड्यूलर अंकगणित सर्वांगसमता या सर्वांगसमता मॉड्यूलो है इस प्रकार $n$ पूर्णांक के समुच्चय पर. किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , दो पूर्णांक $a$ और $b$ सर्वांगसम मापांक $n$ कहलाते हैं ,

a\equiv b{\pmod {n}}

यदि $a-b$ , $n$ से विभाज्य है (या समतुल्य यदि $a$ और $b$ को $n$ से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है)

उदाहरण के लिए, $37$ और $57$ मॉड्यूल $10$ के अनुरूप हैं ,

37\equiv 57{\pmod {10}}

चूँकि $37-57=-20$ 10 का गुणज है, या समतुल्य है क्योंकि $37$ और $57$ दोनों को $10$ से विभाजित करने पर शेषफल $7$ होता है

सर्वांगसमता मॉड्यूलो $n$ (एक निश्चित $n$ के लिए) पूर्णांकों पर जोड़ और गुणा दोनों के साथ संगत है। वह है,

यदि

a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}

और

b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}

चूँकि

a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}

और

a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}

समतुल्य वर्गों के संगत जोड़ और गुणन को मॉड्यूलर अंकगणित के रूप में जाना जाता है। एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित के दृष्टिकोण से, सर्वांगसमता मॉड्यूलो $n$ पूर्णांकों के वलय (गणित) और अंकगणित मॉड्यूलो पर सर्वांगसमता संबंध है $n$ संगत भागफल वलय पर होता है।

परिभाषा

सर्वांगसमता की परिभाषा विचाराधीन बीजगणितीय संरचना के प्रकार पर निर्भर करती है। समूह (गणित), वलय (गणित), सदिश स्थान, मॉड्यूल (गणित), अर्धसमूह, जाली (क्रम), इत्यादि के लिए सर्वांगसमता की विशेष परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। सामान्य विषय यह है कि सर्वांगसमता बीजगणितीय ऑब्जेक्ट पर समतुल्य संबंध है जो बीजगणितीय संरचना के साथ संगत है, इस अर्थ में कि संचालन समतुल्य वर्गों पर अच्छी तरह से परिभाषित हैं।

उदाहरण: समूह

उदाहरण के लिए, समूह बीजगणितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें एकल बाइनरी संचालन के साथ समुच्चय (गणित) सम्मिलित होता है, यदि $G$ संचालन $\ast$ वाला एक समूह है, जिससे $G$ पर एक सर्वांगसम संबंध, $\equiv$ के तत्वों पर एक तुल्यता संबंध $G$ है

g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,

और

\ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}

सभी के लिए

g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G

. किसी समूह में सर्वांगसमता के लिए, पहचान तत्व वाला समतुल्य वर्ग सदैव सामान्य उपसमूह होता है, और अन्य समतुल्य वर्ग इस उपसमूह के अन्य सहसमुच्चय होते हैं। इस प्रकार साथ में, ये तुल्यता वर्ग भागफल समूह के तत्व हैं।

उदाहरण: रिंग्स

जब बीजगणितीय संरचना में से अधिक संचालन सम्मिलित होते हैं, जिससे सर्वांगसमता संबंधों को प्रत्येक संचालन के साथ संगत होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, वलय में जोड़ और गुणा दोनों होते हैं, और वलय पर सर्वांगसमता संबंध को संतुष्ट करना चाहिए

r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}

और

r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}

जब कभी भी $r_{1}\equiv r_{2}$ और $s_{1}\equiv s_{2}$ . रिंग पर सर्वांगसमता के लिए, 0 वाला समतुल्य वर्ग सदैव दो-तरफा उत्तम रिंग सिद्धांत होता है, और समतुल्य वर्गों के समुच्चय पर दो संचालन संबंधित भागफल रिंग को परिभाषित करते हैं।

सामान्य

सर्वांगसमता संबंध की सामान्य धारणा को औपचारिक रूप से सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, ऐसा क्षेत्र जो सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सामान्य विचारों का अध्ययन करता है। इस समुच्चयिंग में, द्विआधारी संबंध $R$ किसी दिए गए बीजीय संरचना पर संगत कहा जाता है यदि

प्रत्येक के लिए

n

और प्रत्येक

n

-और संचालन

\mu

संरचना पर परिभाषित होता है:

जब भी

a_{1}\mathrel {R} a'_{1}

और

a_{n}\mathrel {R} a'_{n}

, तब

\mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})

.

फिर संरचना पर सर्वांगसम संबंध को समतुल्य संबंध के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संगत भी होता है।^[3]^[4]

समरूपता के साथ संबंध

यदि $f:A\,\rightarrow B$ दो बीजगणितीय संरचनाओं के बीच समरूपता है (जैसे कि समूह समरूपता, या वेक्टर स्थानों के बीच रैखिक मानचित्र), जिसे संबंध $R$ द्वारा परिभाषित करते है

a_{1}\,R\,a_{2}

यदि और केवल यदि

f(a_{1})=f(a_{2})

पर सर्वांगसमता संबंध है

A

. प्रथम समरूपता प्रमेय के अनुसार, ए की छवि (गणित)।

f

इस सर्वांगसमता द्वारा A के भागफल के लिए B समरूपता की उपसंरचना है।

दूसरी ओर, सर्वांगसमता संबंध $R$ अद्वितीय समरूपता उत्पन्न करता है $f:A\rightarrow A/R$ द्वारा दिए गए

f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}

.

इस प्रकार, किसी भी बीजगणितीय संरचना की सर्वांगसमताओं और समरूपताओं के बीच प्राकृतिक पत्राचार होता है।

समूहों, और सामान्य उपसमूहों और आदर्शों की सर्वांगसमता

समूह (गणित) के विशेष मामले में, सर्वांगसम संबंधों को प्रारंभिक शब्दों में निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: यदि G समूह है (पहचान तत्व e और संक्रिया * के साथ) और ~ G पर द्विआधारी संबंध है, तो ~ जब भी सर्वांगसमता है:

G के किसी भी तत्व a को देखते हुए, a ~ a ('प्रतिवर्ती संबंध');
G के किसी भी तत्व a और b को देखते हुए, भौतिक सशर्त a ~ b, फिर b ~ a ('सममित संबंध');
G के किसी भी तत्व a, b, और c को देखते हुए, यदि a ~ b तार्किक संयोजन b ~ c है, तो a ~ c ('सकर्मक संबंध');
G के किसी भी तत्व a, a' , b, और b' को देखते हुए, यदि a ~ a' और b ~ b' , तो a * b ~ a' * b' ;
G के किसी भी तत्व a और a' को देखते हुए, यदि a ~ a' है, तो a⁻¹~ए'⁻¹ (यह वास्तव में अन्य चार से सिद्ध किया जा सकता है,^{[note 1]}^{[citation needed]} तो पूरी तरह से अनावश्यक है)।

शर्तें 1, 2, और 3 कहती हैं कि ~ तुल्यता संबंध है।

एक सर्वांगसमता ~ पूरी तरह से G के उन तत्वों के समुच्चय {a ∈ G : a ~ e} द्वारा निर्धारित होती है जो पहचान तत्व के सर्वांगसम होते हैं, और यह समुच्चय सामान्य उपसमूह है। विशेष रूप से, a ~ b यदि और केवल यदि बी⁻¹ *ए~ई. इसलिए समूहों पर सर्वांगसमताओं के बारे में बात करने के बजाय, लोग आमतौर पर उनके सामान्य उपसमूहों के संदर्भ में बात करते हैं; वास्तव में, प्रत्येक सर्वांगसमता जी के कुछ सामान्य उपसमूह से विशिष्ट रूप से मेल खाती है।

छल्लों के आदर्श और सामान्य स्थिति

एक समान चाल किसी को रिंग (गणित) में गुठली को सर्वांगसम संबंधों के बजाय आदर्श (रिंग सिद्धांत) के रूप में और मॉड्यूल (गणित) में सर्वांगसम संबंधों के बजाय सबमॉड्यूल के रूप में बोलने की अनुमति देती है।

एक अधिक सामान्य स्थिति जहां यह युक्ति संभव है वह ओमेगा-समूहों के साथ है (सामान्य अर्थ में एकाधिक योग्यता वाले ऑपरेटरों को अनुमति देना)। लेकिन उदाहरण के लिए, मोनोइड्स के साथ ऐसा नहीं किया जा सकता है, इसलिए सर्वांगसमता संबंधों का अध्ययन मोनोइड सिद्धांत में अधिक केंद्रीय भूमिका निभाता है।

सार्वभौमिक बीजगणित

सर्वांगसमता की सामान्य धारणा सार्वभौमिक बीजगणित में विशेष रूप से उपयोगी है। इस संदर्भ में समतुल्य सूत्रीकरण निम्नलिखित है:^[4] बीजगणित ए पर सर्वांगसम संबंध प्रत्यक्ष उत्पाद ए × ए का उपसमुच्चय है जो कि ए पर तुल्यता संबंध और ए × ए का उपबीजगणित दोनों है।

एक समरूपता का कर्नेल (सार्वभौमिक बीजगणित) सदैव सर्वांगसमता होता है। वास्तव में, प्रत्येक सर्वांगसमता गिरी के रूप में उत्पन्न होती है। A पर दी गई सर्वांगसमता ~ के लिए, समतुल्य वर्गों के ससाधारणेट A/~ को प्राकृतिक तरीके से बीजगणित की संरचना, भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) दी जा सकती है। वह फ़ंक्शन जो A के प्रत्येक तत्व को उसके समतुल्य वर्ग में मैप करता है, समरूपता है, और इस समरूपता का कर्नेल ~ है।

बीजगणित A पर सभी सर्वांगसम संबंधों की जाली (क्रम) 'Con'(A) बीजगणितीय जाली है।

जॉन एम. होवी ने वर्णन किया कि कैसे अर्धसमूह सिद्धांत सार्वभौमिक बीजगणित में सर्वांगसमता संबंधों को दर्शाता है:

किसी समूह में सर्वांगसमता निर्धारित की जाती है यदि हम सर्वांगसम वर्ग को जानते हैं, विशेष रूप से यदि हम सामान्य उपसमूह को जानते हैं जो कि पहचान वाला वर्ग है। इसी प्रकार, वलय में सर्वांगसमता निर्धारित की जाती है यदि हम उस आदर्श को जानते हैं जो शून्य युक्त सर्वांगसम वर्ग है। अर्धसमूहों में ऐसी कोई भाग्यशाली घटना नहीं होती है, और इसलिए हमें सर्वांगसमताओं का अध्ययन करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। किसी भी अन्य चीज़ से अधिक, यह वह आवश्यकता है जो सेमीग्रुप सिद्धांत को उसका विशिष्ट स्वाद देती है। अर्धसमूह वास्तव में बीजगणित का पहला और सरल प्रकार है जिसमें सार्वभौमिक बीजगणित के तरीकों को लागू किया जाना चाहिए...^[5]

यह भी देखें

व्याख्यात्मक नोट्स

↑ Since a' ⁻¹ = a' ⁻¹ * a * a⁻¹ ~ a' ⁻¹ * a' * a⁻¹ = a⁻¹

↑ Hungerford, Thomas W.. Algebra. Springer-Verlag, 1974, p. 27
↑ Hungerford, 1974, p. 26
↑ Henk Barendregt (1990). "Functional Programming and Lambda Calculus". In Jan van Leeuwen (ed.). औपचारिक मॉडल और शब्दार्थ. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 321–364. ISBN 0-444-88074-7. Here: Def.3.1.1, p.338.
↑ ^4.0 ^4.1 Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Taylor & Francis (2011), Sect. 1.5 and Exercise 1(a) in Exercise Set 1.26 (Bergman uses the expression having the substitution property for being compatible)
↑ J. M. Howie (1975) An Introduction to Semigroup Theory, page v, Academic Press

संदर्भ

Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)
Rosen, Kenneth H (2012). Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.

[5] Since a' ⁻¹ = a' ⁻¹ * a * a⁻¹ ~ a' ⁻¹ * a' * a⁻¹ = a⁻¹

[1] Hungerford, Thomas W.. Algebra. Springer-Verlag, 1974, p. 27

[2] Hungerford, 1974, p. 26

[3] Henk Barendregt (1990). "Functional Programming and Lambda Calculus". In Jan van Leeuwen (ed.). औपचारिक मॉडल और शब्दार्थ. Handbook of Theoretical Computer Science. Vol. B. Elsevier. pp. 321–364. ISBN 0-444-88074-7. Here: Def.3.1.1, p.338.

[Bergman-4] 4.0 ^4.1 Clifford Bergman, Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics, Taylor & Francis (2011), Sect. 1.5 and Exercise 1(a) in Exercise Set 1.26 (Bergman uses the expression having the substitution property for being compatible)

[6] J. M. Howie (1975) An Introduction to Semigroup Theory, page v, Academic Press

[1]

[2]

[3]

[4]

[note 1]

[5]

@@ Line 2: / Line 2: @@
 {{For|the term as used in elementary geometry|congruence (geometry)}}
-[[अमूर्त बीजगणित]] में, सर्वांगसमता संबंध (या बस सर्वांगसमता) [[बीजगणितीय संरचना]] (जैसे कि [[समूह (गणित)]], रिंग (गणित), या [[सदिश स्थल]]) पर [[समतुल्य संबंध]] है जो बीजगणितीय संचालन के अर्थ में संरचना के साथ संगत है समतुल्य तत्वों के साथ किए गए कार्य से समतुल्य तत्व प्राप्त होंगे।<ref>Hungerford,  Thomas W.. ''Algebra''. Springer-Verlag, 1974, p. 27</ref> प्रत्येक सर्वांगसम संबंध में संगत समतुल्य वर्ग संरचना होती है, जिसके तत्व संबंध के लिए समतुल्य वर्ग (या सर्वांगसम वर्ग) होते हैं।<ref>Hungerford, 1974, p. 26</ref>
+[[अमूर्त बीजगणित|एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित]] में, '''सर्वांगसमता संबंध (या साधारण सर्वांगसमता)''' [[बीजगणितीय संरचना]] (जैसे कि [[समूह (गणित)]], रिंग (गणित), या [[सदिश स्थल]]) पर [[समतुल्य संबंध]] है जो बीजगणितीय संचालन के अर्थ में संरचना के साथ संगत है समतुल्य तत्वों के साथ किए गए कार्य से समतुल्य तत्व प्राप्त होते है।<ref>Hungerford,  Thomas W.. ''Algebra''. Springer-Verlag, 1974, p. 27</ref> इस प्रकार प्रत्येक सर्वांगसम संबंध में संगत समतुल्य वर्ग संरचना होती है, जिसके तत्व संबंध के लिए समतुल्य वर्ग (या सर्वांगसम वर्ग) होते हैं।<ref>Hungerford, 1974, p. 26</ref>
 ==मूल उदाहरण==
-{{About|the ''(mod'' n'')'' notation|the binary ''mod'' operation|modulo operation|section=yes}}
+{{About|''(मॉड'' एन'')'' अंकन|बाइनरी ''मॉड'' ऑपरेशन|मॉड्यूलो ऑपरेशन|section=हाँ}}
-सर्वांगसमता संबंध का प्रोटोटाइपिक उदाहरण मॉड्यूलर अंकगणित#सर्वांगसमता|सर्वांगसमता मॉड्यूलो है <math>n</math>[[पूर्णांक]]ों के समुच्चय पर. किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक के लिए <math>n</math>, दो पूर्णांक <math>a</math> और <math>b</math> सर्वांगसम मापांक कहलाते हैं <math>n</math>, लिखा हुआ
+सर्वांगसमता संबंध का प्रोटोटाइपिक उदाहरण मॉड्यूलर अंकगणित सर्वांगसमता या सर्वांगसमता मॉड्यूलो है इस प्रकार <math>n</math> [[पूर्णांक]] के समुच्चय पर. किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक <math>n</math> के लिए , दो पूर्णांक <math>a</math> और <math>b</math> सर्वांगसम मापांक <math>n</math> कहलाते हैं ,
 : <math>a \equiv b \pmod{n}</math>
-अगर <math>a - b</math> से वि[[भाज्य]] है <math>n</math> (या समकक्ष यदि <math>a</math> और <math>b</math> से विभाजित करने पर [[शेष]]फल समान रहता है <math>n</math>).
+यदि <math>a - b</math>, <math>n</math> से विभाज्य है (या समतुल्य यदि <math>a</math> और <math>b</math> को <math>n</math> से विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है)
-उदाहरण के लिए, <math>37</math> और <math>57</math> मॉड्यूल के अनुरूप हैं <math>10</math>,
+उदाहरण के लिए, <math>37</math> और <math>57</math> मॉड्यूल <math>10</math> के अनुरूप हैं ,
 : <math>37 \equiv 57 \pmod{10}</math>
-तब से <math>37 - 57 = -20</math> 10 का गुणज है, या दोनों के समतुल्य है <math>37</math> और <math>57</math> का शेष है <math>7</math> जब विभाजित किया जाता है <math>10</math>.
+चूँकि <math>37 - 57 = -20</math> 10 का गुणज है, या समतुल्य है क्योंकि  <math>37</math> और <math>57</math> दोनों को <math>10</math> से विभाजित करने पर शेषफल <math>7</math> होता है
-सर्वांगसमता मॉड्यूलो <math>n</math> (एक निश्चित के लिए <math>n</math>) पूर्णांकों पर जोड़ और [[गुणा]] दोनों के साथ संगत है। वह है,
+सर्वांगसमता मॉड्यूलो <math>n</math> (एक निश्चित <math>n</math> के लिए) पूर्णांकों पर जोड़ और [[गुणा]] दोनों के साथ संगत है। वह है,
-अगर
+यदि
 : <math>a_1 \equiv a_2 \pmod{n} </math> और <math> b_1 \equiv b_2 \pmod{n}</math>
-तब
+चूँकि
 : <math>a_1 + b_1 \equiv a_2 + b_2 \pmod{n} </math> और  <math> a_1 b_1 \equiv a_2b_2 \pmod{n}</math>
-समतुल्य वर्गों के संगत जोड़ और गुणन को [[मॉड्यूलर अंकगणित]] के रूप में जाना जाता है। अमूर्त बीजगणित के दृष्टिकोण से, सर्वांगसमता मॉड्यूलो <math>n</math> पूर्णांकों के वलय (गणित) और अंकगणित मॉड्यूलो पर सर्वांगसमता संबंध है <math>n</math> संगत भागफल वलय पर होता है।
+समतुल्य वर्गों के संगत जोड़ और गुणन को [[मॉड्यूलर अंकगणित]] के रूप में जाना जाता है। एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित के दृष्टिकोण से, सर्वांगसमता मॉड्यूलो <math>n</math> पूर्णांकों के वलय (गणित) और अंकगणित मॉड्यूलो पर सर्वांगसमता संबंध है <math>n</math> संगत भागफल वलय पर होता है।
 ==परिभाषा==
-सर्वांगसमता की परिभाषा विचाराधीन बीजगणितीय संरचना के प्रकार पर निर्भर करती है। समूह (गणित), वलय (गणित), सदिश स्थान, [[मॉड्यूल (गणित)]], [[अर्धसमूह]], जाली (क्रम), इत्यादि के लिए सर्वांगसमता की विशेष परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। सामान्य विषय यह है कि सर्वांगसमता बीजगणितीय वस्तु पर समतुल्य संबंध है जो बीजगणितीय संरचना के साथ संगत है, इस अर्थ में कि संचालन समतुल्य वर्गों पर [[अच्छी तरह से परिभाषित]] हैं।
+सर्वांगसमता की परिभाषा विचाराधीन बीजगणितीय संरचना के प्रकार पर निर्भर करती है। समूह (गणित), वलय (गणित), सदिश स्थान, [[मॉड्यूल (गणित)]], [[अर्धसमूह]], जाली (क्रम), इत्यादि के लिए सर्वांगसमता की विशेष परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। सामान्य विषय यह है कि सर्वांगसमता बीजगणितीय ऑब्जेक्ट पर समतुल्य संबंध है जो बीजगणितीय संरचना के साथ संगत है, इस अर्थ में कि संचालन समतुल्य वर्गों पर [[अच्छी तरह से परिभाषित]] हैं।
 ===उदाहरण: समूह===
-उदाहरण के लिए, समूह बीजगणितीय वस्तु है जिसमें एकल [[बाइनरी ऑपरेशन]] के साथ [[सेट (गणित)]] शामिल होता है, जो कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। अगर <math>G</math> संचालन वाला समूह है <math>\ast</math>, पर सर्वांगसमता संबंध <math>G</math> तुल्यता संबंध है <math>\equiv</math> के तत्वों पर <math>G</math> संतुष्टि देने वाला
+उदाहरण के लिए, समूह बीजगणितीय ऑब्जेक्ट है जिसमें एकल [[बाइनरी ऑपरेशन|बाइनरी संचालन]] के साथ [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] सम्मिलित होता है, यदि <math>G</math> संचालन <math>\ast</math> वाला एक समूह है, जिससे <math>G</math> पर एक सर्वांगसम संबंध, <math>\equiv</math> के तत्वों पर एक तुल्यता संबंध <math>G</math> है
-:<math>g_1 \equiv g_2 \ \ \,</math> और <math>\ \ \, h_1 \equiv h_2 \implies g_1 \ast h_1 \equiv g_2 \ast h_2</math> सभी के लिए <math>g_1, g_2, h_1, h_2 \in G</math>. किसी समूह में सर्वांगसमता के लिए, [[पहचान तत्व]] वाला समतुल्य वर्ग हमेशा [[सामान्य उपसमूह]] होता है, और अन्य समतुल्य वर्ग इस उपसमूह के अन्य सहसमुच्चय होते हैं। साथ में, ये तुल्यता वर्ग [[भागफल समूह]] के तत्व हैं।
-===उदाहरण: अंगूठियां===
+:<math>g_1 \equiv g_2 \ \ \,</math> और <math>\ \ \, h_1 \equiv h_2 \implies g_1 \ast h_1 \equiv g_2 \ast h_2</math>
-जब बीजगणितीय संरचना में से अधिक ऑपरेशन शामिल होते हैं, तो सर्वांगसमता संबंधों को प्रत्येक ऑपरेशन के साथ संगत होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, वलय में जोड़ और गुणा दोनों होते हैं, और वलय पर सर्वांगसमता संबंध को संतुष्ट करना चाहिए
+:सभी के लिए <math>g_1, g_2, h_1, h_2 \in G</math>. किसी समूह में सर्वांगसमता के लिए, [[पहचान तत्व]] वाला समतुल्य वर्ग सदैव [[सामान्य उपसमूह]] होता है, और अन्य समतुल्य वर्ग इस उपसमूह के अन्य सहसमुच्चय होते हैं। इस प्रकार साथ में, ये तुल्यता वर्ग [[भागफल समूह]] के तत्व हैं।
+===उदाहरण: रिंग्स===
+जब बीजगणितीय संरचना में से अधिक संचालन सम्मिलित होते हैं, जिससे सर्वांगसमता संबंधों को प्रत्येक संचालन के साथ संगत होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, वलय में जोड़ और गुणा दोनों होते हैं, और वलय पर सर्वांगसमता संबंध को संतुष्ट करना चाहिए
 :<math>r_1 + s_1 \equiv r_2 + s_2</math> और <math>r_1 s_1 \equiv r_2 s_2</math>
-जब कभी भी <math>r_1 \equiv r_2</math> और <math>s_1 \equiv s_2</math>. रिंग पर सर्वांगसमता के लिए, 0 वाला समतुल्य वर्ग हमेशा दो-तरफा [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] होता है, और समतुल्य वर्गों के सेट पर दो ऑपरेशन संबंधित भागफल रिंग को परिभाषित करते हैं।
+जब कभी भी <math>r_1 \equiv r_2</math> और <math>s_1 \equiv s_2</math>. रिंग पर सर्वांगसमता के लिए, 0 वाला समतुल्य वर्ग सदैव दो-तरफा [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|उत्तम रिंग सिद्धांत]] होता है, और समतुल्य वर्गों के समुच्चय पर दो संचालन संबंधित भागफल रिंग को परिभाषित करते हैं।
 ===सामान्य===
-सर्वांगसमता संबंध की सामान्य धारणा को औपचारिक रूप से [[सार्वभौमिक बीजगणित]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, ऐसा क्षेत्र जो सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सामान्य विचारों का अध्ययन करता है। इस सेटिंग में, [[द्विआधारी संबंध]] <math>R</math> किसी दिए गए बीजीय संरचना पर संगत कहा जाता है यदि
+सर्वांगसमता संबंध की सामान्य धारणा को औपचारिक रूप से [[सार्वभौमिक बीजगणित]] के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, ऐसा क्षेत्र जो सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सामान्य विचारों का अध्ययन करता है। इस समुच्चयिंग में, [[द्विआधारी संबंध]] <math>R</math> किसी दिए गए बीजीय संरचना पर संगत कहा जाता है यदि
-:प्रत्येक के लिए <math>n</math> और प्रत्येक <math>n</math>-और संचालन <math>\mu</math> संरचना पर परिभाषित: जब भी <math>a_1 \mathrel{R} a'_1</math> और और <math>a_n \mathrel{R} a'_n</math>, तब <math>\mu(a_1,\ldots,a_n) \mathrel{R} \mu(a'_1,\ldots,a'_n)</math>.
+:प्रत्येक के लिए <math>n</math> और प्रत्येक <math>n</math>-और संचालन <math>\mu</math> संरचना पर परिभाषित होता है:
+:जब भी <math>a_1 \mathrel{R} a'_1</math> और <math>a_n \mathrel{R} a'_n</math>, तब <math>\mu(a_1,\ldots,a_n) \mathrel{R} \mu(a'_1,\ldots,a'_n)</math>.
 फिर संरचना पर सर्वांगसम संबंध को समतुल्य संबंध के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संगत भी होता है।<ref>{{cite book | author=Henk Barendregt | contribution=Functional Programming and Lambda Calculus | pages=321&ndash;364 | isbn=0-444-88074-7 | editor=Jan van Leeuwen | title=औपचारिक मॉडल और शब्दार्थ| publisher=Elsevier | series=Handbook of Theoretical Computer Science | volume=B | year=1990}} Here: Def.3.1.1, p.338.</ref><ref name=Bergman />
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 ==समरूपता के साथ संबंध==
-अगर <math>f:A\, \rightarrow B</math> दो बीजगणितीय संरचनाओं के बीच [[समरूपता]] है (जैसे कि [[समूह समरूपता]], या वेक्टर स्थानों के बीच रैखिक मानचित्र), तो संबंध <math>R</math> द्वारा परिभाषित
+यदि <math>f:A\, \rightarrow B</math> दो बीजगणितीय संरचनाओं के बीच [[समरूपता]] है (जैसे कि [[समूह समरूपता]], या वेक्टर स्थानों के बीच रैखिक मानचित्र), जिसे संबंध <math>R</math> द्वारा परिभाषित करते है
-:<math>a_1\, R\, a_2</math> [[अगर और केवल अगर]] <math>f(a_1) = f(a_2)</math> पर सर्वांगसमता संबंध है <math>A</math>. [[प्रथम समरूपता प्रमेय]] के अनुसार, ए की [[छवि (गणित)]]। <math>f</math> इस सर्वांगसमता द्वारा A के भागफल के लिए B समरूपता की उपसंरचना है।
+:<math>a_1\, R\, a_2</math> [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] <math>f(a_1) = f(a_2)</math>
+:पर सर्वांगसमता संबंध है <math>A</math>. [[प्रथम समरूपता प्रमेय]] के अनुसार, ए की [[छवि (गणित)]]। <math>f</math> इस सर्वांगसमता द्वारा A के भागफल के लिए B समरूपता की उपसंरचना है।
 दूसरी ओर, सर्वांगसमता संबंध <math>R</math> अद्वितीय समरूपता उत्पन्न करता है <math>f: A \rightarrow A/R</math> द्वारा दिए गए
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 शर्तें 1, 2, और 3 कहती हैं कि ~ तुल्यता संबंध है।
-एक सर्वांगसमता ~ पूरी तरह से G के उन तत्वों के सेट {a ∈ G : a ~ e} द्वारा निर्धारित होती है जो पहचान तत्व के सर्वांगसम होते हैं, और यह सेट सामान्य उपसमूह है।
+एक सर्वांगसमता ~ पूरी तरह से G के उन तत्वों के समुच्चय {a ∈ G : a ~ e} द्वारा निर्धारित होती है जो पहचान तत्व के सर्वांगसम होते हैं, और यह समुच्चय सामान्य उपसमूह है।
 विशेष रूप से, {{nowrap|''a'' ~ ''b''}} यदि और केवल यदि बी<sup>−1</sup> *ए~ई.
 इसलिए समूहों पर सर्वांगसमताओं के बारे में बात करने के बजाय, लोग आमतौर पर उनके सामान्य उपसमूहों के संदर्भ में बात करते हैं; वास्तव में, प्रत्येक सर्वांगसमता जी के कुछ सामान्य उपसमूह से विशिष्ट रूप से मेल खाती है।
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 बीजगणित ए पर सर्वांगसम संबंध [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] ए × ए का उपसमुच्चय है जो कि ए पर तुल्यता संबंध और ए × ए का [[उपबीजगणित]] दोनों है।
-एक समरूपता का [[कर्नेल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] हमेशा सर्वांगसमता होता है। वास्तव में, प्रत्येक सर्वांगसमता गिरी के रूप में उत्पन्न होती है।
+एक समरूपता का [[कर्नेल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] सदैव सर्वांगसमता होता है। वास्तव में, प्रत्येक सर्वांगसमता गिरी के रूप में उत्पन्न होती है।
-A पर दी गई सर्वांगसमता ~ के लिए, समतुल्य वर्गों के [[सबसेट]] A/~ को प्राकृतिक तरीके से बीजगणित की संरचना, [[भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] दी जा सकती है।
+A पर दी गई सर्वांगसमता ~ के लिए, समतुल्य वर्गों के [[सबसेट|ससाधारणेट]] A/~ को प्राकृतिक तरीके से बीजगणित की संरचना, [[भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित)]] दी जा सकती है।
 वह फ़ंक्शन जो A के प्रत्येक तत्व को उसके समतुल्य वर्ग में मैप करता है, समरूपता है, और इस समरूपता का कर्नेल ~ है।

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