परिबद्ध संचालिका: Difference between revisions

Revision as of 12:53, 7 July 2023

कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर सिद्धांत में, एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) $X$ और $Y$ के बीच एक रैखिक परिवर्तन $L:X\to Y$ है जो $X$ के बाउंडेड सबसेट को $Y.$ के बाउंडेड सबसेट में मैप करता है। विशेष प्रकार की टीवीएस), तो $L$ परिबद्ध है यदि और केवल यदि कुछ $M>0$ उपस्थित है जैसे कि सभी $x\in X,$ के लिए है

\|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.

ऐसे सबसे छोटे

M

को

L

का संचालिका मानदंड कहा जाता है और इसे

\|L\|.

द्वारा निरूपित किया जाता है। मानक स्थानों के बीच एक परिबद्ध संचालिका निरंतर होती है और इसके विपरीत है।

एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर की अवधारणा को मानक स्थानों से लेकर सभी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों तक विस्तारित किया गया है।

कार्यात्मक विश्लेषण के बाहर, जब एक फ़ंक्शन $f:X\to Y$ को "बाउंडेड" कहा जाता है तो इसका सामान्यतः अर्थ होता है कि इसकी छवि $f(X)$ इसके कोडोमेन का एक बाउंडेड उपसमुच्चय है। एक रेखीय मानचित्र में यह गुण केवल तभी होता है जब यह समान रूप से हो $0.$ परिणाम स्वरुप कार्यात्मक विश्लेषण में, जब एक रैखिक ऑपरेटर को "परिबद्ध" कहा जाता है तो इसका अर्थ इस अमूर्त अर्थ में (एक परिबद्ध छवि होने का) कभी नहीं होता है

मानक सदिश स्थानों में

प्रत्येक परिबद्ध संचालिका $0.$ पर निरंतर लिप्सचिट्ज़ है।

सीमा और निरंतरता की समानता

मानक स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है यदि और केवल यदि यह सतत रैखिक ऑपरेटर है।

Proof

Suppose that $L$ is bounded. Then, for all vectors $x,h\in X$ with $h$ nonzero we have

\|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.

Letting

h

go to zero shows that

L

is continuous at

x.

Moreover, since the constant

M

does not depend on

x,

this shows that in fact

L

is uniformly continuous, and even Lipschitz continuous.

Conversely, it follows from the continuity at the zero vector that there exists a $\delta >0$ such that $\|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1$ for all vectors $h\in X$ with $\|h\|\leq \delta .$ Thus, for all non-zero $x\in X,$ one has

\|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \delta }L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|x\|.

This proves that

L

is bounded. Q.E.D.

टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में

दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच एक लीनियर ऑपरेटर $F:X\to Y$ को एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर कहा जाता है या बस बाउंड किया जाता है यदि जब भी $B\subseteq X$ को $X$ में बाउंड किया जाता है तो $F(B)$ को बाउंड किया जाता है $Y.$ यदि मूल का प्रत्येक निकटतम इसे अवशोषित करता है, तो टीवीएस के एक उपसमुच्चय को परिबद्ध (या अधिक स्पष्ट रूप से, वॉन न्यूमैन परिबद्ध) कहा जाता है। एक मानक स्थान में (और यहां तक कि एक अर्ध-मानक स्थान में भी), एक उपसमुच्चय वॉन न्यूमैन से घिरा होता है यदि और केवल तभी जब यह मानक से घिरा हो। इसलिए, मानक स्थानों के लिए, वॉन न्यूमैन बाउंडेड सेट की धारणा मानक-बाउंडेड उपसमुच्चय की सामान्य धारणा के समान है।

निरंतरता और सीमा

टीवीएस के बीच प्रत्येक क्रमिक रूप से निरंतर रैखिक ऑपरेटर एक बाध्य ऑपरेटर है।^[1] इसका तात्पर्य यह है कि मेट्रिज़ेबल टीवीएस के बीच प्रत्येक सतत रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है। चूँकि, सामान्य रूप से दो टीवीएस के बीच एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है।

यह सूत्रीकरण किसी को सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच बंधे हुए ऑपरेटरों को एक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है जो बंधे हुए सेटों को बंधे हुए सेटों में ले जाता है। इस संदर्भ में, यह अभी भी सत्य है कि प्रत्येक सतत मानचित्र परिबद्ध है, चूँकि इसका विपरीत विफल रहता है; एक बाउंडेड ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इसका अर्थ यह भी है कि इस संदर्भ में बाध्यता अब लिप्सचिट्ज़ निरंतरता के समान नहीं है।

यदि डोमेन एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस है (उदाहरण के लिए, एक मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, एक फ़्रेचेट स्पेस, एक मानकीकृत स्पेस) तो किसी भी अन्य स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में एक रैखिक ऑपरेटरों को बाध्य किया जाता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है। एलएफ रिक्त स्थान के लिए, एक अशक्त कॉनवर्स धारण करता है; एलएफ स्पेस से कोई भी घिरा हुआ रैखिक मानचित्र क्रमिक रूप से निरंतर होता है।

यदि $F:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है और यदि कोई निकट उपस्थित है $U$ में उत्पत्ति का $X$ ऐसा है कि $F(U)$ का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है $Y,$ तब $F$ सतत है.^[2] इस तथ्य को अधिकांशतः यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि एक रैखिक ऑपरेटर जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, आवश्यक रूप से निरंतर है। विशेष रूप से, कोई भी रैखिक कार्यात्मक जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, निरंतर है (यथार्त इसका डोमेन एक मानक स्थान नहीं है)।

बोर्नोलॉजिकल स्पेस

बोर्नोलॉजिकल स्पेस वास्तव में वे स्थानीय उत्तल स्थान हैं जिनके लिए प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में घिरा रैखिक ऑपरेटर आवश्यक रूप से निरंतर होता है।वह है, स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस $X$ यदि और केवल प्रत्येक स्थानीय उत्तल टीवीएस के लिए यह एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस $Y,$ है एक रैखिक ऑपरेटर $F:X\to Y$ सतत है यदि और केवल यदि यह परिबद्ध है।^[3]

प्रत्येक मानक स्थान जन्मजात होता है।

परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की विशेषताएँ

माना $F:X\to Y$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच एक रैखिक ऑपरेटर बनें (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ)।

निम्नलिखित समतुल्य हैं:

$F$ (स्थानीय रूप से) घिरा हुआ है;^[3]
(परिभाषा): $F$ इसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मानचित्रित करता है;^[3]
$F$ किसी फ़ंक्शन की छवि $\operatorname {Im} F:=F(X)$ के परिबद्ध उपसमुच्चय को उसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मैप करता है ^[3]
$F$ $F$ प्रत्येक अशक्त अनुक्रम को एक बंधे हुए अनुक्रम में मैप करता है;^[3]
- परिभाषा के अनुसार एक शून्य अनुक्रम एक अनुक्रम है जो मूल में परिवर्तित होता है।
- इस प्रकार कोई भी रैखिक मानचित्र जो मूल बिंदु पर क्रमिक रूप से निरंतर होता है, आवश्यक रूप से एक घिरा हुआ रैखिक मानचित्र होता है।
$F$ $F$ प्रत्येक मैके अभिसरण शून्य अनुक्रम को $Y.$ $Y.$ एक सीमित उपसमुच्चय में मैप करता है ^{[note 1]}
- एक अनुक्रम $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ को $X$ में मूल के साथ अभिसरण मैके कहा जाता है यदि सकारात्मक वास्तविक संख्या का एक भिन्न अनुक्रम $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ उपस्थित है जैसे कि $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ $X.$ का एक घिरा उपसमुच्चय है।

यदि $X$ और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस हैं तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

F

^[4]

F^{-1}

जन्माहारी समुच्चय

Y

X.

^[4]

यदि $X$ एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस है और $Y$ स्थानीय रूप से उत्तल है तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:

F

^[5]

दो टीवीएस के बीच अनुक्रमिक निरंतरता रेखीय मानचित्र हमेशा परिबद्ध होता है,^[1] लेकिन इसके विपरीत को धारण करने के लिए अतिरिक्त धारणाओं की आवश्यकता होती है (जैसे कि डोमेन का जन्मजात होना और कोडोमेन का स्थानीय रूप से उत्तल होना)।
यदि डोमेन $X$ तो, यह भी एक अनुक्रमिक स्थान है $F$ अनुक्रमिक निरंतरता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है।

F

उदाहरण

दो परिमित-आयामी मानक स्थानों के बीच कोई भी रैखिक ऑपरेटर घिरा हुआ है, और ऐसे ऑपरेटर को कुछ निश्चित मैट्रिक्स (गणित) द्वारा गुणा के रूप में देखा जा सकता है।
परिमित-आयामी मानक स्थान पर परिभाषित कोई भी रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है।
अनुक्रम स्थान पर $c_{00}$ वास्तविक संख्याओं के अंततः शून्य अनुक्रमों पर विचार किया गया $\ell ^{1}$ मानदंड, वास्तविक संख्याओं का रैखिक ऑपरेटर जो किसी अनुक्रम का योग लौटाता है, ऑपरेटर मानक 1 के साथ परिबद्ध होता है। यदि समान स्थान को इसके साथ माना जाता है $\ell ^{\infty }$ मानक, वही ऑपरेटर बाध्य नहीं है।
कई अभिन्न परिवर्तन परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर हैं। उदाहरण के लिए, यदि $K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$ एक सतत कार्य है, फिर ऑपरेटर $L$ अंतरिक्ष पर परिभाषित $C[a,b]$ निरंतर कार्यों का $[a,b]$ समान मानदंड और अंतरिक्ष में मूल्यों से संपन्न $C[c,d]$ साथ $L$ सूत्र द्वारा दिया गया है $(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,$ घिरा है। यह ऑपरेटर वास्तव में एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है। कॉम्पैक्ट ऑपरेटर, बाउंडेड ऑपरेटरों का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं।
लाप्लास ऑपरेटर $\Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,$ (फ़ंक्शन का इसका डोमेन एक सोबोलेव स्थान है और यह वर्ग-अभिन्न फ़ंक्शंस के स्पेस में मान लेता है) घिरा हुआ है।
एलपी स्पेस पर शिफ्ट ऑपरेटर $\ell ^{2}$ सभी अनुक्रमों का $\left(x_{0},x_{2},x_{2},\ldots \right)$ वास्तविक संख्याओं के साथ $x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty ,\,$ $L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$ घिरा है। इसका ऑपरेटर मानक आसानी से देखा जा सकता है $1.$

असंबद्ध रैखिक ऑपरेटर

होने देना $X$ सभी त्रिकोणमितीय बहुपदों का स्थान हो $[-\pi ,\pi ],$ आदर्श के साथ

 $\|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.$

परिचालक $L:X\to X$ जो एक बहुपद को उसके व्युत्पन्न से मैप करता है, वह परिबद्ध नहीं है। वास्तव में, के लिए $v_{n}=e^{inx}$ साथ $n=1,2,\ldots ,$ अपने पास $\|v_{n}\|=2\pi ,$ जबकि $\|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty$ जैसा $n\to \infty ,$ इसलिए $L$ बाध्य नहीं है.

परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों के स्थान के गुण

से सभी परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों का स्थान $X$ को $Y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $B(X,Y)$ और एक मानक सदिश समष्टि है।
यदि $Y$ बनच है, तो वैसा है $B(X,Y).$
जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे स्थान बनच हैं।
किसी के लिए $A\in B(X,Y),$ का कर्नेल $A$ का एक बंद रैखिक उपस्थान है $X.$
यदि $B(X,Y)$ बनच है और $X$ तो यह गैर-तुच्छ है $Y$ बानाच है.

यह भी देखें

Bounded set (topological vector space)
Contraction (operator theory) – Bounded operators with sub-unit norm
Discontinuous linear map
Continuous linear operator
Local boundedness
Norm (mathematics) – Length in a vector space
Operator algebra – Branch of functional analysis
Operator norm
Operator theory – Mathematical field of study
Seminorm
Unbounded operator – Linear operator defined on a dense linear subspace

संदर्भ

↑ Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is not bounded in $Y.$ Pick an open balanced neighborhood $V$ of the origin in $Y$ such that $V$ does not absorb the sequence $F\left(x_{\bullet }\right).$ Replacing $x_{\bullet }$ with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ for every positive integer $i.$ The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bounded in $X$ ) so by assumption, $F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is bounded in $Y.$ So pick a real $r>1$ such that $F\left(z_{i}\right)\in rV$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of " $F$ is bounded." For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ in $X.$ "

↑ ^1.0 ^1.1 Wilansky 2013, pp. 47–50.
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.
↑ ^4.0 ^4.1 Narici & Beckenstein 2011, p. 444.
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.

ग्रन्थसूची

"Bounded operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Template:BoundednessAndBornology

[4] Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is not bounded in $Y.$ Pick an open balanced neighborhood $V$ of the origin in $Y$ such that $V$ does not absorb the sequence $F\left(x_{\bullet }\right).$ Replacing $x_{\bullet }$ with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ for every positive integer $i.$ The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bounded in $X$ ) so by assumption, $F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is bounded in $Y.$ So pick a real $r>1$ such that $F\left(z_{i}\right)\in rV$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of " $F$ is bounded." For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ in $X.$ "

[FOOTNOTEWilansky201347–50-1] 1.0 ^1.1 Wilansky 2013, pp. 47–50.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-2] Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441–457-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 ^3.3 ^3.4 Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011444-5] 4.0 ^4.1 Narici & Beckenstein 2011, p. 444.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011451–457-6] Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Linear transformation between topological vector spaces}}
-{{Distinguish|text=[[bounded function]] (set theory)}}
+{{Distinguish|text=[[बाउंडेड फ़ंक्शन]] (सेट सिद्धांत)}}
-[[कार्यात्मक विश्लेषण]] और [[ऑपरेटर सिद्धांत]] में, एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर एक [[रैखिक परिवर्तन]] है <math>L : X \to Y</math> [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] (टीवीएस) के बीच <math>X</math> और <math>Y</math> वह बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) के सबसेट को मैप करता है <math>X</math> के परिबद्ध उपसमुच्चय तक <math>Y.</math> अगर <math>X</math> और <math>Y</math> तो फिर, ये [[मानकीकृत सदिश स्थान]] (एक विशेष प्रकार का टीवीएस) हैं <math>L</math> सीमाबद्ध है यदि और केवल यदि कुछ अस्तित्व में है <math>M > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x \in X,</math>
-<math display=block>\|Lx\|_Y \leq M \|x\|_X.</math>
+कार्यात्मक विश्लेषण और ऑपरेटर सिद्धांत में, एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) <math>X</math>और <math>Y</math>के बीच एक रैखिक परिवर्तन <math>L : X \to Y</math> है जो <math>X</math> के बाउंडेड सबसेट को <math>Y.</math>के बाउंडेड सबसेट में मैप करता है। विशेष प्रकार की टीवीएस), तो <math>L</math> परिबद्ध है यदि और केवल यदि कुछ <math>M > 0</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>x \in X,</math> के लिए है
-सबसे छोटा ऐसा <math>M</math> का [[ऑपरेटर मानदंड]] कहा जाता है <math>L</math> और द्वारा निरूपित किया गया <math>\|L\|.</math> मानक स्थानों के बीच एक परिबद्ध ऑपरेटर [[सतत रैखिक ऑपरेटर]] है और इसके विपरीत।
+<math display="block">\|Lx\|_Y \leq M \|x\|_X.</math>
+ऐसे सबसे छोटे <math>M</math> को <math>L</math> का संचालिका मानदंड कहा जाता है और इसे <math>\|L\|.</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। मानक स्थानों के बीच एक परिबद्ध संचालिका निरंतर होती है और इसके विपरीत है।
 एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर की अवधारणा को मानक स्थानों से लेकर सभी टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों तक विस्तारित किया गया है।
-कार्यात्मक विश्लेषण के बाहर, जब कोई फ़ंक्शन <math>f : X \to Y</math> इसे [[बंधा हुआ कार्य]] कहा जाता है तो इसका आमतौर पर मतलब यह होता है कि यह [[किसी फ़ंक्शन की छवि]] है <math>f(X)</math> इसके कोडोमेन का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है। एक रेखीय मानचित्र में यह गुण तभी होता है जब वह समरूप हो <math>0.</math> नतीजतन, कार्यात्मक विश्लेषण में, जब एक रैखिक ऑपरेटर को घिरा हुआ कहा जाता है तो इसका मतलब इस अमूर्त अर्थ में (एक बंधी हुई छवि होने का) कभी नहीं होता है।
+कार्यात्मक विश्लेषण के बाहर, जब एक फ़ंक्शन <math>f : X \to Y</math> को "बाउंडेड" कहा जाता है तो इसका सामान्यतः अर्थ होता है कि इसकी छवि <math>f(X)</math> इसके कोडोमेन का एक बाउंडेड उपसमुच्चय है। एक रेखीय मानचित्र में यह गुण केवल तभी होता है जब यह समान रूप से हो <math>0.</math> परिणाम स्वरुप कार्यात्मक विश्लेषण में, जब एक रैखिक ऑपरेटर को "परिबद्ध" कहा जाता है तो इसका अर्थ इस अमूर्त अर्थ में  (एक परिबद्ध छवि होने का) कभी नहीं होता है
 ==मानक सदिश स्थानों में==
-प्रत्येक बाउंडेड ऑपरेटर [[लिप्सचिट्ज़ निरंतरता]] पर है <math>0.</math>
+प्रत्येक परिबद्ध संचालिका <math>0.</math> पर निरंतर लिप्सचिट्ज़ है।
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 ==टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस में ==
-एक रैखिक संचालिका <math>F : X \to Y</math> दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच को कहा जाता है{{em|bounded linear operator}} या केवल{{em|bounded}}अगर जब भी <math>B \subseteq X</math> में बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) है <math>X</math> तब <math>F(B)</math> में घिरा हुआ है <math>Y.</math> टीवीएस के एक उपसमुच्चय को बाउंडेड (या अधिक सटीक रूप से, बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस)) कहा जाता है यदि मूल अवशोषण का प्रत्येक पड़ोस इसे सेट करता है।
+दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के बीच एक लीनियर ऑपरेटर <math>F : X \to Y</math> को एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर कहा जाता है या बस बाउंड किया जाता है यदि जब भी <math>B \subseteq X</math> को <math>X</math> में बाउंड किया जाता है तो <math>F(B)</math> को बाउंड किया जाता है <math>Y.</math> यदि मूल का प्रत्येक निकटतम इसे अवशोषित करता है, तो टीवीएस के एक उपसमुच्चय को परिबद्ध (या अधिक स्पष्ट रूप से, वॉन न्यूमैन परिबद्ध) कहा जाता है। एक मानक स्थान में (और यहां तक कि एक अर्ध-मानक स्थान में भी), एक उपसमुच्चय वॉन न्यूमैन से घिरा होता है यदि और केवल तभी जब यह मानक से घिरा हो। इसलिए, मानक स्थानों के लिए, वॉन न्यूमैन बाउंडेड सेट की धारणा मानक-बाउंडेड उपसमुच्चय की सामान्य धारणा के समान है।
-एक मानक स्थान में (और यहां तक कि एक अर्ध-मानक स्थान में भी), एक उपसमुच्चय वॉन न्यूमैन से घिरा होता है यदि और केवल तभी जब यह मानक से घिरा हो।
-इसलिए, मानक स्थानों के लिए, वॉन न्यूमैन बाउंडेड सेट की धारणा मानक-बाउंडेड उपसमुच्चय की सामान्य धारणा के समान है।
 ===निरंतरता और सीमा===
-टीवीएस के बीच प्रत्येक [[क्रमिक रूप से निरंतर]] रैखिक ऑपरेटर एक बाध्य ऑपरेटर है।{{sfn|Wilansky|2013|pp=47-50}}
+टीवीएस के बीच प्रत्येक [[क्रमिक रूप से निरंतर]] रैखिक ऑपरेटर एक बाध्य ऑपरेटर है।{{sfn|Wilansky|2013|pp=47-50}} इसका तात्पर्य यह है कि मेट्रिज़ेबल टीवीएस के बीच प्रत्येक सतत रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है। चूँकि, सामान्य रूप से  दो टीवीएस के बीच एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है।
-इसका तात्पर्य यह है कि मेट्रिज़ेबल टीवीएस के बीच प्रत्येक सतत रैखिक ऑपरेटर परिबद्ध है।
-हालाँकि, सामान्य तौर पर, दो टीवीएस के बीच एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है।
-यह सूत्रीकरण किसी को सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच बंधे हुए ऑपरेटरों को एक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है जो बंधे हुए सेटों को बंधे हुए सेटों में ले जाता है।
+यह सूत्रीकरण किसी को सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच बंधे हुए ऑपरेटरों को एक ऑपरेटर के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है जो बंधे हुए सेटों को बंधे हुए सेटों में ले जाता है। इस संदर्भ में, यह अभी भी सत्य है कि प्रत्येक सतत मानचित्र परिबद्ध है, चूँकि  इसका विपरीत विफल रहता है; एक बाउंडेड ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। इसका अर्थ यह भी है कि इस संदर्भ में बाध्यता अब लिप्सचिट्ज़ निरंतरता के समान नहीं है।
-इस संदर्भ में, यह अभी भी सत्य है कि प्रत्येक सतत मानचित्र परिबद्ध है, हालाँकि इसका विपरीत विफल रहता है; एक बाउंडेड ऑपरेटर को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है।
-इसका मतलब यह भी है कि इस संदर्भ में बाध्यता अब लिप्सचिट्ज़ निरंतरता के बराबर नहीं है।
-यदि डोमेन एक [[जन्मजात स्थान]] है (उदाहरण के लिए, एक [[मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]], एक फ़्रेचेट स्पेस, एक मानकीकृत स्पेस) तो किसी भी अन्य स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में एक रैखिक ऑपरेटरों को बाध्य किया जाता है यदि और केवल अगर यह निरंतर है।
+यदि डोमेन एक [[जन्मजात स्थान|बोर्नोलॉजिकल स्पेस]] है (उदाहरण के लिए, एक [[मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]], एक फ़्रेचेट स्पेस, एक मानकीकृत स्पेस) तो किसी भी अन्य स्थानीय रूप से उत्तल स्थानों में एक रैखिक ऑपरेटरों को बाध्य किया जाता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है। एलएफ रिक्त स्थान के लिए, एक अशक्त  कॉनवर्स धारण करता है; [[एलएफ स्पेस]] से कोई भी घिरा हुआ रैखिक मानचित्र क्रमिक रूप से निरंतर होता है।
-एलएफ रिक्त स्थान के लिए, एक कमजोर कॉनवर्स धारण करता है; [[एलएफ स्पेस]] से कोई भी घिरा हुआ रैखिक मानचित्र क्रमिक रूप से निरंतर होता है।
-अगर <math>F : X \to Y</math> दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है और यदि कोई पड़ोस मौजूद है <math>U</math> में उत्पत्ति का <math>X</math> ऐसा है कि <math>F(U)</math> का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है <math>Y,</math> तब <math>F</math> सतत है.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=156-175}}
+यदि <math>F : X \to Y</math> दो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थानों के बीच एक रैखिक ऑपरेटर है और यदि कोई निकट उपस्थित है <math>U</math> में उत्पत्ति का <math>X</math> ऐसा है कि <math>F(U)</math> का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है <math>Y,</math> तब <math>F</math> सतत है.{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=156-175}} इस तथ्य को अधिकांशतः  यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि एक रैखिक ऑपरेटर जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, आवश्यक रूप से निरंतर है। विशेष रूप से, कोई भी रैखिक कार्यात्मक जो मूल के कुछ निकट पर घिरा हुआ है, निरंतर है (यथार्त  इसका डोमेन एक मानक स्थान नहीं है)।
-इस तथ्य को अक्सर यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता है कि एक रैखिक ऑपरेटर जो मूल के कुछ पड़ोस पर घिरा हुआ है, आवश्यक रूप से निरंतर है।
-विशेष रूप से, कोई भी रैखिक कार्यात्मक जो मूल के कुछ पड़ोस पर घिरा हुआ है, निरंतर है (भले ही इसका डोमेन एक मानक स्थान नहीं है)।
-====जन्मजात स्थान====
+====बोर्नोलॉजिकल स्पेस====
-{{Main|Bornological space}}
+{{Main|बोर्नोलॉजिकल स्पेस}}
-बोर्नोलॉजिकल स्पेस वास्तव में वे स्थानीय उत्तल स्थान हैं जिनके लिए प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में घिरा रैखिक ऑपरेटर आवश्यक रूप से निरंतर होता है।
+बोर्नोलॉजिकल स्पेस वास्तव में वे स्थानीय उत्तल स्थान हैं जिनके लिए प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में घिरा रैखिक ऑपरेटर आवश्यक रूप से निरंतर होता है।वह है, स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस <math>X</math> यदि और केवल प्रत्येक स्थानीय उत्तल टीवीएस के लिए यह एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस <math>Y,</math>है  एक रैखिक ऑपरेटर <math>F : X \to Y</math> सतत है यदि और केवल यदि यह परिबद्ध है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
-वह है, स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस <math>X</math> यदि और केवल प्रत्येक स्थानीय उत्तल टीवीएस के लिए यह एक जन्मजात स्थान है <math>Y,</math> एक रैखिक ऑपरेटर <math>F : X \to Y</math> सतत है यदि और केवल यदि यह परिबद्ध है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
 प्रत्येक मानक स्थान जन्मजात होता है।
@@ Line 64: / Line 55: @@
 ===परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की विशेषताएँ===
-होने देना <math>F : X \to Y</math> टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच एक रैखिक ऑपरेटर बनें (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ)।
+माना  <math>F : X \to Y</math> टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बीच एक रैखिक ऑपरेटर बनें (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ)।
 निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 #<math>F</math> (स्थानीय रूप से) घिरा हुआ है;{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
 #(परिभाषा): <math>F</math> इसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय को इसके कोडोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मानचित्रित करता है;{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
-#<math>F</math> किसी फ़ंक्शन की छवि के परिबद्ध उपसमुच्चय को उसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मैप करता है <math>\operatorname{Im} F := F(X)</math>;{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
+#<math>F</math> किसी फ़ंक्शन की छवि <math>\operatorname{Im} F := F(X)</math> के परिबद्ध उपसमुच्चय को उसके डोमेन के परिबद्ध उपसमुच्चय से मैप करता है {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=441-457}}
 #<math>F</math> प्रत्येक अशक्त अनुक्रम को एक बंधे हुए अनुक्रम में मैप करता है;{{sfn|Narici |Beckenstein| 2011|pp=441-457}}
 #* परिभाषा के अनुसार एक शून्य अनुक्रम एक अनुक्रम है जो मूल में परिवर्तित होता है।
 #* इस प्रकार कोई भी रैखिक मानचित्र जो मूल बिंदु पर क्रमिक रूप से निरंतर होता है, आवश्यक रूप से एक घिरा हुआ रैखिक मानचित्र होता है।
-#<math>F</math> प्रत्येक मैके अभिसरण शून्य अनुक्रम को एक सीमित उपसमुच्चय में मैप करता है <math>Y.</math><ref group=note>Proof: Assume for the sake of contradiction that <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> converges to <math>0</math> but <math>F\left(x_{\bull}\right) = \left(F\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is not bounded in <math>Y.</math> Pick an open [[Balanced set|balanced]] neighborhood <math>V</math> of the origin in <math>Y</math> such that <math>V</math> does not absorb the sequence <math>F\left(x_{\bull}\right).</math> Replacing <math>x_{\bull}</math> with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that <math>F\left(x_i\right) \not\in i^2 V</math> for every positive integer <math>i.</math> The sequence <math>z_{\bull} := \left(x_i/i\right)_{i=1}^{\infty}</math> is Mackey convergent to the origin (since <math>\left(i z_i\right)_{i=1}^{\infty} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty} \to 0</math> is bounded in <math>X</math>) so by assumption, <math>F\left(z_{\bull}\right) = \left(F\left(z_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is bounded in <math>Y.</math> So pick a real <math>r > 1</math> such that <math>F\left(z_i\right) \in r V</math> for every integer <math>i.</math> If <math>i > r</math> is an integer then since <math>V</math> is balanced, <math>F\left(x_i\right) \in r i V \subseteq i^2 V,</math> which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of "<math>F</math> is bounded." For example, the word "such that <math>\left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> is a bounded subset of <math>X.</math>" in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that <math>\left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty} \to 0</math> in <math>X.</math>"</ref><!---Old proof:<ref group=note>Proof if <math>Y</math> is locally convex: Assume for the sake of contradiction that <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> converges to <math>0</math> but <math>F\left(x_{\bull}\right) = \left(F\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is not bounded in <math>Y.</math> Then there exists a continuous seminorm <math>p</math> on <math>Y</math> such that <math>p\left(F\left(x_{\bull}\right)\right) = \left(p\left(F\left(x_i\right)\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is unbounded. Let <math>r_i = \sqrt{p\left(x_i\right)}</math> for every <math>i</math> where by going to a subsequence, it can be assumed without loss of generality that <math>r_i > 0</math> for all <math>i</math> and also <math>r_i \to \infty.</math> Then <math>\left(x_i/r_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> Mackey convergent to the origin but its image under <math>F</math> is not bounded in <math>Y.</math> <math>\blacksquare</math></ref> End: old proof --->
+#<math>F</math> प्रत्येक मैके अभिसरण शून्य अनुक्रम को <math>Y.</math> एक सीमित उपसमुच्चय में मैप करता है <ref group="note">Proof: Assume for the sake of contradiction that <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> converges to <math>0</math> but <math>F\left(x_{\bull}\right) = \left(F\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is not bounded in <math>Y.</math> Pick an open [[Balanced set|balanced]] neighborhood <math>V</math> of the origin in <math>Y</math> such that <math>V</math> does not absorb the sequence <math>F\left(x_{\bull}\right).</math> Replacing <math>x_{\bull}</math> with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that <math>F\left(x_i\right) \not\in i^2 V</math> for every positive integer <math>i.</math> The sequence <math>z_{\bull} := \left(x_i/i\right)_{i=1}^{\infty}</math> is Mackey convergent to the origin (since <math>\left(i z_i\right)_{i=1}^{\infty} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty} \to 0</math> is bounded in <math>X</math>) so by assumption, <math>F\left(z_{\bull}\right) = \left(F\left(z_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is bounded in <math>Y.</math> So pick a real <math>r > 1</math> such that <math>F\left(z_i\right) \in r V</math> for every integer <math>i.</math> If <math>i > r</math> is an integer then since <math>V</math> is balanced, <math>F\left(x_i\right) \in r i V \subseteq i^2 V,</math> which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of "<math>F</math> is bounded." For example, the word "such that <math>\left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> is a bounded subset of <math>X.</math>" in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that <math>\left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty} \to 0</math> in <math>X.</math>"</ref><!---Old proof:<ref group=note>Proof if <math>Y</math> is locally convex: Assume for the sake of contradiction that <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> converges to <math>0</math> but <math>F\left(x_{\bull}\right) = \left(F\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is not bounded in <math>Y.</math> Then there exists a continuous seminorm <math>p</math> on <math>Y</math> such that <math>p\left(F\left(x_{\bull}\right)\right) = \left(p\left(F\left(x_i\right)\right)\right)_{i=1}^{\infty}</math> is unbounded. Let <math>r_i = \sqrt{p\left(x_i\right)}</math> for every <math>i</math> where by going to a subsequence, it can be assumed without loss of generality that <math>r_i > 0</math> for all <math>i</math> and also <math>r_i \to \infty.</math> Then <math>\left(x_i/r_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> Mackey convergent to the origin but its image under <math>F</math> is not bounded in <math>Y.</math> <math>\blacksquare</math></ref> End: old proof --->
-#* एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> में [[मैके अभिसरण]] कहा जाता है <math>X</math>यदि कोई भिन्न अनुक्रम मौजूद है <math>r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty} \to \infty</math> ऐसी सकारात्मक वास्तविक संख्या का <math>r_{\bull} = \left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> का एक परिबद्ध उपसमुच्चय है <math>X.</math>
+#*एक अनुक्रम <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> को <math>X</math> में मूल के साथ अभिसरण मैके कहा जाता है यदि सकारात्मक वास्तविक संख्या का एक भिन्न अनुक्रम <math>r_{\bull} = \left(r_i\right)_{i=1}^{\infty} \to \infty</math> उपस्थित है जैसे कि <math>r_{\bull} = \left(r_i x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> <math>X.</math> का एक घिरा उपसमुच्चय है।
-अगर <math>X</math> और <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] हैं तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:
+#*
-<ol प्रारंभ=6>
+'''यदि <math>X</math> और <math>Y</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] हैं तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है''':
-<ली><math>F</math> मानचित्र बाउंडेड बिल्कुल उत्तल बाउंडेड डिस्क में सेट।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=444}}</li>
+<ol प्रारंभ="6">
-<ली><math>F^{-1}</math> मानचित्र [[जन्माहारी समुच्चय]] डिस्क को सेट किया <math>Y</math> बोर्निवोरस डिस्क में <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=444}}</li>
+<ली><math>F</math> मानचित्र बाउंडेड बिल्कुल उत्तल बाउंडेड डिस्क में सेट।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=444}}<ली><math>F^{-1}</math> मानचित्र [[जन्माहारी समुच्चय]] डिस्क को सेट किया <math>Y</math> बोर्निवोरस डिस्क में <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=444}}
 </ol>
-अगर <math>X</math> एक जन्मजात स्थान है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:
+यदि <math>X</math> एक बोर्नोलॉजिकल स्पेस है और <math>Y</math> स्थानीय रूप से उत्तल है तो निम्नलिखित को इस सूची में जोड़ा जा सकता है:
-<ol प्रारंभ=8>
+<ol प्रारंभ="8">
 <ली><math>F</math> अपने डोमेन के एक बिंदु पर (या समकक्ष, प्रत्येक पर) अनुक्रमिक निरंतरता है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=451-457}}
 * दो टीवीएस के बीच [[अनुक्रमिक निरंतरता]] रेखीय मानचित्र हमेशा परिबद्ध होता है,{{sfn|Wilansky|2013|pp=47-50}} लेकिन इसके विपरीत को धारण करने के लिए अतिरिक्त धारणाओं की आवश्यकता होती है (जैसे कि डोमेन का जन्मजात होना और कोडोमेन का स्थानीय रूप से उत्तल होना)।
-* यदि डोमेन <math>X</math> तो, यह भी एक [[अनुक्रमिक स्थान]] है <math>F</math> अनुक्रमिक निरंतरता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है।</li>
+* यदि डोमेन <math>X</math> तो, यह भी एक [[अनुक्रमिक स्थान]] है <math>F</math> अनुक्रमिक निरंतरता है यदि और केवल यदि यह निरंतर है।
-<ली><math>F</math> एक बिंदु पर अनुक्रमिक निरंतरता है।</li>
+<ली><math>F</math> एक बिंदु पर अनुक्रमिक निरंतरता है।
 </ol>
@@ Line 116: / Line 108: @@
 * से सभी परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों का स्थान <math>X</math> को <math>Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y)</math> और एक मानक सदिश समष्टि है।
-* अगर <math>Y</math> बनच है, तो वैसा है <math>B(X, Y).</math>
+* यदि <math>Y</math> बनच है, तो वैसा है <math>B(X, Y).</math>
 *जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दोहरे स्थान बनच हैं।
 * किसी के लिए <math>A \in B(X, Y),</math> का कर्नेल <math>A</math> का एक बंद रैखिक उपस्थान है <math>X.</math>
-* अगर <math>B(X, Y)</math> बनच है और <math>X</math> तो यह गैर-तुच्छ है <math>Y</math> बानाच है.
+* यदि <math>B(X, Y)</math> बनच है और <math>X</math> तो यह गैर-तुच्छ है <math>Y</math> बानाच है.
 ==यह भी देखें==

v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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