प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन

"Π(x)" redirects here. For the variant of the gamma function, see Gamma function § Pi function.

गणित में, अभाज्य-गिनती फ़ंक्शन किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करने वाला फ़ंक्शन (गणित) है। द्वारा दर्शाया जाता है π(x) (pi|संख्या से असंबंधित π).

के मूल्य π(n) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

Main article: Prime number theorem

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है। इसका अनुमान 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा लगाया गया था।

$${\frac {x}{\log(x)}}$$

जहां लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में

$$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.$$

यह कथन अभाज्य संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$$

जहां ली लघुगणकीय अभिन्न फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में जैक्स हैडामर्ड और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा शुरू किए गए रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फ़ंक्शन या जटिल विश्लेषण का उपयोग 1948 के आसपास एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।

अधिक सटीक अनुमान

1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने साबित किया कि

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$$

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. यहाँ, O(...) बड़ा O अंकन है|बड़ा O संकेतन.

का अधिक सटीक अनुमान $\pi (x)\!$ अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह साबित किया

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).$$

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने साबित किया के बीच अंतर के लिए स्पष्ट ऊपरी सीमा $\pi (x)$ और $\operatorname {li} (x)$:

$${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)$$

के लिए $x\geq 229$.

के मूल्यों के लिए $x$ जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$ से बड़ा है $\pi (x)$. हालाँकि, $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ यह अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

सटीक रूप

के लिए $x>1$ होने देना $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ कब $x$ अभाज्य संख्या है, और $\pi _{0}(x)=\pi (x)$ अन्यथा। बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम किसी दिए गए परिमाण से कम अभाज्य संख्याओं पर में यह साबित किया $\pi _{0}(x)$ के बराबर है

$$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho }),$$

कहाँ

$$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n}),$$

μ(n) मोबियस फ़ंक्शन है, li(x) लॉगरिदमिक इंटीग्रल फ़ंक्शन है, ρ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और li(x^ρ/n) का मूल्यांकन शाखा कटौती के साथ नहीं किया जाता बल्कि इसके रूप में माना जाता है Ei(ρ/n log x) कहाँ Ei(x)घातांकीय अभिन्न अंग है. यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो $\pi _{0}(x)$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है

$$\pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\log {x}}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.$$

रीमैन परिकल्पना से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य साथ रहता है Re(s) = 1/2.

की तालिका π(x), x / log x, और li(x)

तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं π(x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें, और

x	π(x)	π(x) − x / log x	li(x) − π(x)	x / π(x)	x / log x  % Error
10	4	0	2	2.500	-8.57%
102	25	3	5	4.000	13.14%
103	168	23	10	5.952	13.83%
104	1,229	143	17	8.137	11.66%
105	9,592	906	38	10.425	9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	1.52%

प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ π(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, π(x) कॉलम अनुक्रम है OEIS: A006880, π(x) − x/log x अनुक्रम है OEIS: A057835, और li(x) − π(x) अनुक्रम है OEIS: A057752.

के लिए मूल्य π(10²⁴) की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जेन्स फ्रांके|जे द्वारा की गई थी। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग रीमैन परिकल्पना को मानते हुए। इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा गणना में बिना शर्त सत्यापित किया गया। के लिए मूल्य π(10²⁵) जे. ब्यूथे, जेन्स फ्रांके|जे के कारण है। फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग। के लिए मूल्य π(10²⁶) की गणना डी. बी. स्टेपल द्वारा की गई थी। इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10 का मान²⁷की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी। 10 का मान²⁸की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी। 10 का मान²⁹की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।

मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम π(x)

खोजने का सरल तरीका $\pi (x)$, अगर $x$ बहुत बड़ा नहीं है, इससे कम या उसके बराबर अभाज्य प्राप्त करने के लिए एराटोस्थनीज़ की छलनी का उपयोग करना है $x$ और फिर उन्हें गिनना है.

खोजने का अधिक विस्तृत तरीका $\pi (x)$ एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे (समावेश-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया $x$, अगर $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो पूर्णांकों की संख्या इससे कम या उसके बराबर है $x$ जो संख्या से विभाज्य हैं $p_{i}$ है

$\lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots$

(कहाँ $\lfloor {x}\rfloor$ फर्श समारोह को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या बराबर है

$\pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1$

जब संख्याएँ $p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}$ अभाज्य संख्याएँ वर्गमूल से छोटी या उसके बराबर होती हैं $x$.

मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम

Main article: Meissel–Lehmer algorithm

1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन के व्यावहारिक संयोजन तरीके का वर्णन किया (और उपयोग किया) $\ \pi (x)\ :$ होने देना $\ p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\$ पहले रहो $\ n\$ अभाज्य और द्वारा निरूपित करें $\Phi (m,n)$ प्राकृतिक संख्याओं की संख्या से अधिक नहीं $\ m\$ जो किसी से भी विभाज्य नहीं हैं $\ p_{i}\$ किसी के लिए $\ i\leq n\ .$ तब

$\Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{n}}},n-1\right).$

एक प्राकृतिक संख्या दी गई है $\ m\ ,$ अगर $\ n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)\$ और अगर $\ \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n\ ,$ तब

$\pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)\ .$

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने गणना की $\ \pi (x)\ ,$ के लिए $\ x\$ 5× के बराबर10⁵, 10⁶, 10⁷, और 10⁸.

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। वास्तव में परिभाषित करें $\ m\$ और प्राकृतिक संख्याओं के लिए $\ n\$ और $\ k\ ,$ $\ P_{k}(m,n)\$ क्योंकि संख्याओं की संख्या से अधिक नहीं है mबिलकुल के साथ k अभाज्य गुणनखंड, सभी इससे बड़े $\ p_{n}\ .$ इसके अलावा, सेट करें $\ P_{0}(m,n)=1\ .$ तब

$\ \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)\$

जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना $\ y\$ पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें $\ {\sqrt[{3}]{m\ }}\leq y\leq {\sqrt {m\ }}\ ,$ और सेट करें $\ n=\pi (y)\ .$ तब $\ P_{1}(m,n)=\pi (m)-n\$ और $\ P_{k}(m,n)=0\$ कब $\ k\geq 3\ .$ इसलिए,

$\ \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)\$

की गणना $\ P_{2}(m,n)\$ इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

$P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leq {\sqrt {m\ }}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)\ ,$

जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना $\ \Phi (m,n)\$ निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

1. $\ \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor \$
2. $\ \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)\$

अपनी पद्धति और आईबीएम 701 का उपयोग करके, लेहमर सही मूल्य की गणना करने में सक्षम था $\ \pi \left(10^{9}\right)\$ और का सही मान चूक गया $\pi \left(10^{10}\right)$ 1 द्वारा. इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।

अन्य अभाज्य-गणना कार्य

अन्य प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शंस का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।

रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन

रीमैन के प्राइम-पॉवर काउंटिंग फ़ंक्शन को आमतौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $\ \Pi _{0}(x)\$ या $\ J_{0}(x)\ .$ की छलांग है $\ {\tfrac {1}{\ n\ }}\$ प्रमुख शक्तियों पर $\ p^{n}\ ,$ और यह दोनों पक्षों के बीच के अंतर पर आधा मान लेता है $\ \pi (x)\ .$ उस अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि फ़ंक्शन को व्युत्क्रम मध्य परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं $\ \Pi _{0}(x)\$ द्वारा

$\ \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}~+~\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}\right)\$

जहां चर p प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के भीतर सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।

हम भी लिख सकते हैं

$\ \Pi _{0}(x)=\sum _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}-{\frac {\Lambda (x)}{2\log x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\$

कहाँ $\ \Lambda (n)\$ मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है और

$\pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\ \pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )\ }{2}}\ .$

मोबियस व्युत्क्रम सूत्र तब देता है

$\pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ \mu (n)\ }{n}}\ \Pi _{0}{\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ ,$

कहाँ $\ \mu (n)\$ मोबियस फ़ंक्शन है।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन के बीच संबंध को जानना $\Lambda$, और हमारे पास मौजूद पेरोन सूत्र का उपयोग कर रहे हैं

$\ \log \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\ \mathrm {d} x\$

चेबीशेव का कार्य

चेबीशेव समारोह अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों को महत्व देता है pⁿ द्वारा log(p):

$\ \theta (x)=\sum _{p\leq x}\log p\$

$\ \psi (x)\ =\ \sum _{p^{n}\leq x}\log p\ =\ \sum _{n=1}^{\infty }\theta {\bigl (}x^{1/n}{\bigr )}\ =\ \sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .$

के लिए $x\geq 2$,

$\ \vartheta (x)=\pi (x)\ \log x\ -\ \int _{2}^{x}{\frac {\ \pi (t)\ }{t}}\ \mathrm {d} t\$

और

$\ \pi (x)={\frac {\vartheta (x)}{\ \log x\ }}+\int _{2}^{x}{\frac {\vartheta (t)}{\ t\ \log ^{2}(t)\ }}\ \mathrm {d} t\ .$

अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र

अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट के काम से उपजे हैं, और आम तौर पर स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन) के रूप में जाने जाते हैं। हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

$\psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),$

कहाँ

$\psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.$

यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सशर्त रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।

के लिए $\Pi _{0}(x)$ हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है

$\Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.$

ज़ेटा फ़ंक्शन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र

पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के बराबर है:

$\int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum _{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum _{m}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum _{m}\operatorname {li} (x^{-2m})$

पहला पद li(x) सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; अभिव्यक्ति li(x^{दूसरे पद में ρ}) को ईआई (ρ लॉग एक्स) के रूप में माना जाना चाहिए, जहां ईआई सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कटौती के साथ नकारात्मक वास्तविक से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस व्युत्क्रम सूत्र हमें देता है

$\pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum _{m}\operatorname {R} (x^{-2m})$

x > 1 के लिए मान्य, जहाँ

$\operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}$

रीमैन का आर-फ़ंक्शन है और μ(n) मोबियस फ़ंक्शन है। इसके लिए हँसी श्रृंखला को जोर्जेन पेडर्सन ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। क्योंकि $\log(x)<x$ सभी के लिए $x>0$, यह श्रृंखला सभी सकारात्मक x के लिए श्रृंखला की तुलना में अभिसरण करती है $e^{x}$. गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन इस प्रकार किया जाना चाहिए $\rho \log x$ और नहीं $\log x^{\rho }$.

फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया, यह अनुमान लगाते समय कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सभी शून्य सरल हैं, वह

$\operatorname {R} (e^{-2\pi t})={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta (2k+1)}}+{\frac {1}{2}}\sum _{\rho }{\frac {t^{-\rho }}{\rho \cos(\pi \rho /2)\zeta '(\rho )}}$

कहाँ $\rho$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्यों पर चलता है और $t>0$.

सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग $\pi _{0}(x)$ के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $\pi _{0}(x),$ जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू हिस्सा देते हैं, तो कोई भी उपयोग कर सकता है

$\operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})$

के अच्छे अनुमानक के रूप में $\pi (x)$ x > 1 के लिए। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के करीब पहुंचता है $x\to \infty$, जबकि शोर वाले भाग का आयाम अनुमानतः लगभग होता है ${\sqrt {x}}/\log x,$ आकलन $\pi (x)$ द्वारा $\operatorname {R} (x)$ अकेला उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फ़ंक्शन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

${\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.$

असमानताएं

यहां कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं π(एक्स)।

${\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}$

x ≥ 17 के लिए.

बायीं असमानता x ≥ 17 के लिए है और दाहिनी असमानता x > 1 के लिए है। स्थिरांक 1.25506 है ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$ 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे ${\textstyle {\frac {\pi (x)\log x}{x}}}$ इसका अधिकतम मान x = 113 पर है। पियरे डुसार्ड ने 2010 में साबित किया:

${\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)$ के लिए $x\geq 5393$, और

$\pi (x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}$ के लिए $x\geq 60184$.

यहां nवें अभाज्य, पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं_n. ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है, डुसार्ट के लिए निचला वाला (1999):

$n(\log(n\log n)-1)<p_{n}<n{\log(n\log n)}$ n ≥ 6 के लिए.

बायीं असमानता n ≥ 2 के लिए है और दाहिनी असमानता n ≥ 6 के लिए है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए अनुमान है

$p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log \log n-2)}{\log n}}+O\left({\frac {n(\log \log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).$

श्रीनिवास रामानुजन साबित कर दिया कि असमानता

$\pi (x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)$

के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है $x$.

में डुसार्ट ने साबित किया (प्रस्ताव 6.6) कि, के लिए $n\geq 688383$,

$p_{n}\leq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2}{\log n}}\right),$ और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए $n\geq 3$,

$p_{n}\geq n\left(\log n+\log \log n-1+{\frac {\log \log n-2.1}{\log n}}\right).$

अभी हाल ही में, डुसार्ट सिद्ध कर दिया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए $x>1$,

$\pi (x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}+{\frac {7.59}{\log ^{3}x}}\right)$ ,

और वह, के लिए $x\geq 88789$,

$\pi (x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{2}x}}\right).$

रीमैन परिकल्पना

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है $\pi (x)$, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण,

$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).$

विशेष रूप से,

$|\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.$

यह भी देखें

• फ़ोइया स्थिरांक
• बर्ट्रेंड का अभिधारणा
• ओपरमैन का अनुमान
• रामानुजन प्राइम

बाहरी संबंध

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.