आदर्श (आदेश सिद्धांत): Difference between revisions

Revision as of 08:44, 7 July 2023

गणितीय क्रम सिद्धांत में, आदर्श आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट (पोसेट) का विशेष उपसमुच्चय है। यद्यपि यह शब्द ऐतिहासिक रूप से अमूर्त बीजगणित के वलय आदर्श की धारणा से लिया गया था, पश्चात में इसे भिन्न धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है। क्रम और जाली सिद्धांत में कई निर्माणों के लिए आदर्शों का अधिक महत्व है।

परिभाषाएँ

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय $(P,\leq )$ यह आदर्श है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ प्रस्तुत होती हैं

$I$ अन्य-रिक्त है,
प्रत्येक x के लिए $I$ और y के लिए P में, $y \leq x$ तात्पर्य यह है कि y, $I$ के अंदर है ( $I$ निचला सेट है),
प्रत्येक x, y के लिए, $I$ में कुछ तत्व z है $I$ , जैसे कि $x \leq z$ और $y \leq z$ ( $I$ निर्देशित सेट है)।

चूँकि यह मनमाना पॉसेट के लिए आदर्श को परिभाषित करने का सबसे सामान्य उपाय है, इसे मूल रूप से केवल जाली (आदेश) के लिए परिभाषित किया गया था। इस विषय में, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा दी जा सकती है: उपसमुच्चय $I$ जाली का $(P,\leq )$ यह आदर्श है यदि और केवल यदि यह निचला सेट है जो परिमित जोड़ ( उच्चतम ) के तहत बंद है; अर्थात्, यह अन्य-रिक्त है और सभी x, y के लिए है $I$ , तत्व $x\vee y$ P का भी है $I$ .^[1]

ऑर्डर आदर्श की कमजोर धारणा को पोसेट के सबसेट के रूप में परिभाषित किया गया है $P$ जो उपरोक्त शर्तों 1 और 2 को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, ऑर्डर आदर्श बस निचला सेट है। इसी प्रकार, आदर्श को निर्देशित निम्न समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

एक आदर्श की द्वैत (आदेश सिद्धांत) धारणा, यानी, सभी ≤ को उलट कर और आदान-प्रदान करके प्राप्त की गई अवधारणा $\vee$ साथ $\wedge ,$ फ़िल्टर (गणित) है.

फ्रिंक आदर्श, छद्म आदर्श और छद्म आदर्श जाली आदर्श की धारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं।

एक आदर्श या फ़िल्टर को उचित कहा जाता है यदि यह पूरे सेट P के बराबर नहीं है।^[1]

सबसे छोटा आदर्श जिसमें दिया गया तत्व p शामिल है, a है principal ideal और P को ए कहा जाता है principal element इस स्थिति में आदर्श का। प्रमुख आदर्श $\downarrow p$ मूलधन के लिए p इस प्रकार दिया जाता है $↓ p = {x \in P | x \leq p}$ .

शब्दावली भ्रम

आदर्श और क्रम आदर्श की उपरोक्त परिभाषाएँ मानक हैं, ^[1]^[2]^[3] लेकिन शब्दावली में कुछ भ्रम है। कभी-कभी आदर्श, ऑर्डर आदर्श, फ्रिंक आदर्श, या आंशिक ऑर्डर आदर्श जैसे शब्द और परिभाषाएँ दूसरे का मतलब होती हैं।^[4]^[5]

प्रधान आदर्श

किसी आदर्श का महत्वपूर्ण विशेष मामला उन आदर्शों से बनता है जिनके सेट-सैद्धांतिक पूरक फ़िल्टर होते हैं, अर्थात व्युत्क्रम क्रम में आदर्श। ऐसे ही आदर्श कहलाते हैंprime idealएस। यह भी ध्यान रखें कि, चूंकि हमें आदर्शों और फिल्टरों को अन्य-रिक्त होने की आवश्यकता है, इसलिए प्रत्येक अभाज्य आदर्श आवश्यक रूप से उचित है। जाली के लिए, प्रमुख आदर्शों को इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है:

उपसमुच्चय $I$ जाली का $(P,\leq )$ प्रमुख आदर्श है, यदि और केवल यदि

$I$ P का उचित आदर्श है, और
P के सभी तत्वों x और y के लिए, $x\wedge y$ में $I$ इसका आशय है $x \in I$ या $y \in I$ .

यह आसानी से जांचा जा सकता है कि यह वास्तव में यह बताने के बराबर है $P\setminus I$ फिल्टर है (जो दोहरे अर्थ में अभाज्य भी है)।

एक पूर्ण जाली के लिए आगे की धारणाcompletely prime ideal सार्थक है. इसे उचित आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है $I$ अतिरिक्त संपत्ति के साथ, जब भी कुछ मनमाना सेट मिलते हैं (न्यूनतम)। $A$ में है $I$ , A का कुछ अवयव भी अन्दर है $I$ . तो यह सिर्फ विशिष्ट प्रधान आदर्श है जो उपरोक्त शर्तों को अनंत बैठकों तक विस्तारित करता है।

प्रधान आदर्शों का अस्तित्व सामान्यतः स्पष्ट नहीं है, और अक्सर ZF (पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) के भीतर प्रमुख आदर्शों की संतोषजनक मात्रा प्राप्त नहीं की जा सकती है। इस मुद्दे पर विभिन्न बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेयों में चर्चा की गई है, जो कई अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं जिनके लिए प्राइम आदर्शों की आवश्यकता होती है।

अधिकतम आदर्श

एक आदर्श $I$ है maximal ideal यदि यह उचित है और कोई उचित आदर्श J नहीं है तो यह सख्त सुपरसेट है $I$ . इसी तरह, फिल्टर एफ अधिकतम है यदि यह उचित है और कोई उचित फिल्टर नहीं है जो सख्त सुपरसेट है।

जब पोसेट वितरणात्मक जाली होता है, तो अधिकतम आदर्श और फ़िल्टर आवश्यक रूप से अभाज्य होते हैं, जबकि इस कथन का विपरीत सामान्य रूप से गलत है।

मैक्सिमम फिल्टर को कभी-कभी अल्ट्राफ़िल्टर कहा जाता है, लेकिन यह शब्दावली अक्सर बूलियन बीजगणित के लिए आरक्षित होती है, जहां मैक्सिमम फिल्टर (आदर्श) फिल्टर (आदर्श) होता है जिसमें प्रत्येक तत्व ए के लिए बिल्कुल तत्व {ए, ¬ए} होता है। बूलियन बीजगणित। बूलियन बीजगणित में, प्राइम आदर्श और मैक्सिमम आदर्श शब्द मेल खाते हैं, जैसे कि प्राइम फिल्टर और मैक्सिमम फिल्टर शब्द मेल खाते हैं।

आदर्शों की अधिकतमता की और दिलचस्प धारणा है: आदर्श पर विचार करें $I$ और फ़िल्टर F ऐसा है $I$ एफ से असंयुक्त समुच्चय है। हम ऐसे आदर्श एम में रुचि रखते हैं जो इसमें शामिल सभी आदर्शों में अधिकतम है $I$ और F से असंयुक्त हैं। वितरणात्मक जालकों के विषय में ऐसा M हमेशा प्रमुख आदर्श होता है। इस कथन का प्रमाण इस प्रकार है।

Proof

Assume the ideal M is maximal with respect to disjointness from the filter F. Suppose for a contradiction that M is not prime, i.e. there exists a pair of elements a and b such that $a \land b$ in M but neither a nor b are in M. Consider the case that for all m in M, $m \lor a$ is not in F. One can construct an ideal N by taking the downward closure of the set of all binary joins of this form, i.e. $N = {x | x \leq m \lor a for some m \in M}$ . It is readily checked that N is indeed an ideal disjoint from F which is strictly greater than M. But this contradicts the maximality of M and thus the assumption that M is not prime.

For the other case, assume that there is some m in M with $m \lor a$ in F. Now if any element n in M is such that $n \lor b$ is in F, one finds that $(m \lor n) \lor b$ and $(m \lor n) \lor a$ are both in F. But then their meet is in F and, by distributivity, $(m \lor n) \lor (a \land b)$ is in F too. On the other hand, this finite join of elements of M is clearly in M, such that the assumed existence of n contradicts the disjointness of the two sets. Hence all elements n of M have a join with b that is not in F. Consequently one can apply the above construction with b in place of a to obtain an ideal that is strictly greater than M while being disjoint from F. This finishes the proof.

चूँकि, सामान्य तौर पर यह स्पष्ट नहीं है कि क्या कोई आदर्श एम मौजूद है जो इस अर्थ में अधिकतम है। फिर भी, यदि हम अपने सेट सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत को मानते हैं, तो प्रत्येक असंयुक्त फिल्टर-आदर्श-जोड़ी के लिए एम का अस्तित्व दिखाया जा सकता है। विशेष विषय में कि माना गया क्रम बूलियन बीजगणित (संरचना) है, इस प्रमेय को बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय कहा जाता है। यह पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है और यह पता चलता है कि आदर्शों के कई आदेश-सैद्धांतिक अनुप्रयोगों के लिए और कुछ भी आवश्यक नहीं है।

अनुप्रयोग

ऑर्डर सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में आदर्शों और फिल्टर का निर्माण महत्वपूर्ण उपकरण है।

बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में, अधिकतम आदर्शों (या, समकक्ष रूप से निषेध मानचित्र, अल्ट्राफिल्टर के माध्यम से) का उपयोग टोपोलॉजिकल स्पेस के बिंदुओं के सेट को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिनके क्लोपेन सेट मूल बूलियन बीजगणित के समरूपता हैं।
ऑर्डर थ्योरी पॉसेट को अतिरिक्त पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) गुणों के साथ पॉसेट में बदलने के लिए कई पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) जानता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आंशिक क्रम P का आदर्श समापन उपसमुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित P के सभी आदर्शों का समुच्चय है। यह निर्माण P द्वारा उत्पन्न मुक्त वस्तु निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम उत्पन्न करता है। आदर्श प्रमुख है यदि और केवल यदि यह आदर्श पूर्णता में कॉम्पैक्ट तत्व है, तो मूल पोसेट को कॉम्पैक्ट तत्वों से युक्त उप-पोसेट के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रत्येक बीजगणितीय स्थिति को उसके कॉम्पैक्ट तत्वों के सेट के आदर्श समापन के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है।

इतिहास

बूलियन बीजगणित (संरचना) के लिए सबसे पहले आदर्श मार्शल एच. स्टोन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे,^[6] जहां यह नाम अमूर्त बीजगणित के वलय आदर्शों से लिया गया था। उन्होंने इस शब्दावली को इसलिए अपनाया क्योंकि, बूलियन बीजगणित (संरचना) और बूलियन रिंगों की श्रेणियों की समरूपता का उपयोग करते हुए, दोनों धारणाएँ वास्तव में मेल खाती हैं।

किसी भी पोसेट का सामान्यीकरण ऑरिन फ्रिंक द्वारा किया गया था।^[7]

यह भी देखें

Filter (mathematics) – In mathematics, a special subset of a partially ordered set
Ideal (ring theory) – Additive subgroup of a mathematical ring that absorbs multiplication
Ideal (set theory) – Non-empty family of sets that is closed under finite unions and subsets
Boolean prime ideal theorem – Ideals in a Boolean algebra can be extended to prime ideals

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Burris & Sankappanavar 1981, Def. 8.2.
↑ Davey & Priestley 2002, pp. 20, 44.
↑ Frenchman & Hart 2020, pp. 2, 7.
↑ Partial Order Ideal, Wolfram MathWorld, 2002, retrieved 2023-02-26
↑ George M. Bergman (2008), "On lattices and their ideal lattices, and posets and their ideal posets" (PDF), Tbilisi Math. J., 1: 89
↑ Stone (1934) and Stone (1935)
↑ Frink (1954)

संदर्भ

Burris, Stanley N.; Sankappanavar, Hanamantagouda P. (1981). A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
Taylor, Paul (1999), Practical foundations of mathematics, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 59, Cambridge University Press, Cambridge, ISBN 0-521-63107-6, MR 1694820
Frenchman, Zack; Hart, James (2020), An Introduction to Order Theory, AMS

इतिहास के बारे में

Stone, M. H. (1934), "Boolean Algebras and Their Application to Topology", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 20: 197–202, doi:10.1073/pnas.20.3.197
Stone, M. H. (1935), "Subsumption of the Theory of Boolean Algebras under the Theory of Rings", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 21: 103–105, doi:10.1073/pnas.21.2.103
Frink, Orrin (1954), "Ideals In Partially Ordered Sets", Am. Math. Mon., 61: 223–234, doi:10.1080/00029890.1954.11988449

श्रेणी:साक्ष्य युक्त लेख श्रेणी:आदर्श (रिंग सिद्धांत) श्रेणी:आदेश सिद्धांत

[FOOTNOTEBurrisSankappanavar1981Def._8.2-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Burris & Sankappanavar 1981, Def. 8.2.

[FOOTNOTEDaveyPriestley200220,_44-2] Davey & Priestley 2002, pp. 20, 44.

[FOOTNOTEFrenchmanHart20202,_7-3] Frenchman & Hart 2020, pp. 2, 7.

[4] Partial Order Ideal, Wolfram MathWorld, 2002, retrieved 2023-02-26

[5] George M. Bergman (2008), "On lattices and their ideal lattices, and posets and their ideal posets" (PDF), Tbilisi Math. J., 1: 89

[6] Stone (1934) and Stone (1935)

[7] Frink (1954)

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-गणितीय क्रम सिद्धांत में, एक आदर्श आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट (पोसेट) का एक विशेष उपसमुच्चय है। यद्यपि यह शब्द ऐतिहासिक रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] के वलय आदर्श की धारणा से लिया गया था, बाद में इसे एक अलग धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है। क्रम और [[जाली सिद्धांत]] में कई निर्माणों के लिए आदर्शों का बहुत महत्व है।
+गणितीय क्रम सिद्धांत में, आदर्श आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट (पोसेट) का विशेष उपसमुच्चय है। यद्यपि यह शब्द ऐतिहासिक रूप से [[अमूर्त बीजगणित]] के वलय आदर्श की धारणा से लिया गया था, पश्चात में इसे भिन्न धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है। क्रम और [[जाली सिद्धांत]] में कई निर्माणों के लिए आदर्शों का अधिक महत्व है।
-डिस्प्लेस्टाइल (P,leq )} एक आदर्श है यदि और केवल यदि यह एक निचला सेट है जो परिमित जोड़ (सुप्रीमा) के तहत बंद है; अर्थात्, यह गैर-रिक्त है और I में सभी x, y के लिए तत्व है
+'''परिभाषाएँ'''
-==परिभाषाएँ==
+आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए उपसमुच्चय <math>(P, \leq)</math> यह आदर्श है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ प्रस्तुत होती हैं
+# {{mvar|I}} अन्य-रिक्त है,
+# प्रत्येक x के लिए {{mvar|I}} और y के लिए P में, {{math|''y'' ≤ ''x''}} तात्पर्य यह है कि y, {{mvar|I}} के अंदर है  ({{mvar|I}} [[निचला सेट]] है),
+# प्रत्येक x, y के लिए, {{mvar|I}} में कुछ तत्व z है {{mvar|I}}, जैसे कि {{math|''x'' ≤ ''z''}} और {{math|''y'' ≤ ''z''}}  ({{mvar|I}} [[निर्देशित सेट]] है)।
-# {{mvar|I}} गैर-रिक्त है,
+चूँकि यह मनमाना पॉसेट के लिए आदर्श को परिभाषित करने का सबसे सामान्य उपाय है, इसे मूल रूप से केवल [[ जाली (आदेश) | जाली (आदेश)]] के लिए परिभाषित किया गया था। इस विषय में, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा दी जा सकती है:
-# प्रत्येक x के लिए {{mvar|I}} और y पी में, {{math|''y'' ≤ ''x''}} तात्पर्य यह है कि y अंदर है {{mvar|I}}  ({{mvar|I}} एक [[निचला सेट]] है),
+उपसमुच्चय {{mvar|I}} जाली का <math>(P, \leq)</math> यह आदर्श है यदि और केवल यदि यह निचला सेट है जो परिमित जोड़ ([[ उच्चतम | उच्चतम]] ) के तहत बंद है; अर्थात्, यह अन्य-रिक्त है और सभी x, y के लिए है {{mvar|I}}, तत्व <math>x \vee y</math> P का भी है {{mvar|I}}.{{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}
-# प्रत्येक x, y के लिए {{mvar|I}}, इसमें कुछ तत्व z है {{mvar|I}}, ऐसा है कि {{math|''x'' ≤ ''z''}} और {{math|''y'' ≤ ''z''}}  ({{mvar|I}} एक [[निर्देशित सेट]] है)।
-हालाँकि यह मनमाना पॉसेट के लिए एक आदर्श को परिभाषित करने का सबसे सामान्य तरीका है, इसे मूल रूप से केवल [[ जाली (आदेश) ]] के लिए परिभाषित किया गया था। इस मामले में, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा दी जा सकती है:
+ऑर्डर आदर्श की कमजोर धारणा को पोसेट के सबसेट के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|P}} जो उपरोक्त शर्तों 1 और 2 को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, ऑर्डर आदर्श बस निचला सेट है। इसी प्रकार, आदर्श को निर्देशित निम्न समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।
-उपसमुच्चय {{mvar|I}} एक जाली का <math>(P, \leq)</math> यह एक आदर्श है यदि और केवल यदि यह एक निचला सेट है जो परिमित जोड़ ([[ उच्चतम ]]) के तहत बंद है; अर्थात्, यह गैर-रिक्त है और सभी x, y के लिए है {{mvar|I}}, तत्व <math>x \vee y</math> P का भी है {{mvar|I}}.{{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}
-ऑर्डर आदर्श की एक कमजोर धारणा को एक पोसेट के सबसेट के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|P}} जो उपरोक्त शर्तों 1 और 2 को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, एक ऑर्डर आदर्श बस एक निचला सेट है। इसी प्रकार, एक आदर्श को एक निर्देशित निम्न समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।
+एक आदर्श की [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] धारणा, यानी, सभी ≤ को उलट कर और आदान-प्रदान करके प्राप्त की गई अवधारणा <math>\vee</math> साथ <math>\wedge,</math> [[फ़िल्टर (गणित)]] है.
-एक आदर्श की [[द्वैत (आदेश सिद्धांत)]] धारणा, यानी, सभी ≤ को उलट कर और आदान-प्रदान करके प्राप्त की गई अवधारणा <math>\vee</math> साथ <math>\wedge,</math> एक [[फ़िल्टर (गणित)]] है.
+[[फ्रिंक आदर्श]], छद्म आदर्श और छद्म आदर्श जाली आदर्श की धारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं।
-[[फ्रिंक आदर्श]], छद्म आदर्श और छद्म आदर्श एक जाली आदर्श की धारणा के विभिन्न सामान्यीकरण हैं।
+एक आदर्श या फ़िल्टर को उचित कहा जाता है यदि यह पूरे सेट  ''P'' के बराबर नहीं है।{{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}
-एक आदर्श या फ़िल्टर को उचित कहा जाता है यदि यह पूरे सेट ''पी'' के बराबर नहीं है।{{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}
+सबसे छोटा आदर्श जिसमें दिया गया तत्व p शामिल है, a है {{em|{{visible anchor|principal ideal}}}} और  P को ए कहा जाता है {{em|{{visible anchor|principal element}}}} इस स्थिति में आदर्श का। प्रमुख आदर्श <math>\downarrow p</math> मूलधन के लिए p इस प्रकार दिया जाता है {{math|↓ ''p'' {{=}} {{mset|''x'' &isin; ''P'' | ''x'' ≤ ''p''}}}}.
-सबसे छोटा आदर्श जिसमें दिया गया तत्व p शामिल है, a है {{em|{{visible anchor|principal ideal}}}} और पी को ए कहा जाता है {{em|{{visible anchor|principal element}}}} इस स्थिति में आदर्श का। प्रमुख आदर्श <math>\downarrow p</math> एक मूलधन के लिए p इस प्रकार दिया जाता है {{math|↓ ''p'' {{=}} {{mset|''x'' &isin; ''P'' | ''x'' ≤ ''p''}}}}.
 == शब्दावली भ्रम ==
-आदर्श और क्रम आदर्श की उपरोक्त परिभाषाएँ मानक हैं, {{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}{{sfn|Davey|Priestley|2002|pp=20, 44}}{{sfn|Frenchman|Hart|2020|pp=2, 7}} लेकिन शब्दावली में कुछ भ्रम है। कभी-कभी आदर्श, ऑर्डर आदर्श, फ्रिंक आदर्श, या आंशिक ऑर्डर आदर्श जैसे शब्द और परिभाषाएँ एक दूसरे का मतलब होती हैं।<ref>{{citation | url=https://mathworld.wolfram.com/PartialOrderIdeal.html | title=Partial Order Ideal | publisher=[[Wolfram MathWorld]] | year=2002 | accessdate=2023-02-26}}</ref><ref>{{citation | author=George M. Bergman | title=On lattices and their ideal lattices, and posets and their ideal posets| journal= Tbilisi Math. J. | volume= 1 |year=2008 | p= 89 | url=http://www.tcms.org.ge/Journals/TMJ/Volume1/Xpapers/tmj1_6.pdf}}</ref>
+आदर्श और क्रम आदर्श की उपरोक्त परिभाषाएँ मानक हैं, {{sfn|Burris|Sankappanavar|1981|loc=Def. 8.2}}{{sfn|Davey|Priestley|2002|pp=20, 44}}{{sfn|Frenchman|Hart|2020|pp=2, 7}} लेकिन शब्दावली में कुछ भ्रम है। कभी-कभी आदर्श, ऑर्डर आदर्श, फ्रिंक आदर्श, या आंशिक ऑर्डर आदर्श जैसे शब्द और परिभाषाएँ दूसरे का मतलब होती हैं।<ref>{{citation | url=https://mathworld.wolfram.com/PartialOrderIdeal.html | title=Partial Order Ideal | publisher=[[Wolfram MathWorld]] | year=2002 | accessdate=2023-02-26}}</ref><ref>{{citation | author=George M. Bergman | title=On lattices and their ideal lattices, and posets and their ideal posets| journal= Tbilisi Math. J. | volume= 1 |year=2008 | p= 89 | url=http://www.tcms.org.ge/Journals/TMJ/Volume1/Xpapers/tmj1_6.pdf}}</ref>
 ==प्रधान आदर्श==
-किसी आदर्श का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला उन आदर्शों से बनता है जिनके सेट-सैद्धांतिक पूरक फ़िल्टर होते हैं, अर्थात व्युत्क्रम क्रम में आदर्श। ऐसे ही आदर्श कहलाते हैं{{visible anchor|prime ideal}}एस। यह भी ध्यान रखें कि, चूंकि हमें आदर्शों और फिल्टरों को गैर-रिक्त होने की आवश्यकता है, इसलिए प्रत्येक अभाज्य आदर्श आवश्यक रूप से उचित है। जाली के लिए, प्रमुख आदर्शों को इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है:
+किसी आदर्श का महत्वपूर्ण विशेष मामला उन आदर्शों से बनता है जिनके सेट-सैद्धांतिक पूरक फ़िल्टर होते हैं, अर्थात व्युत्क्रम क्रम में आदर्श। ऐसे ही आदर्श कहलाते हैं{{visible anchor|prime ideal}}एस। यह भी ध्यान रखें कि, चूंकि हमें आदर्शों और फिल्टरों को अन्य-रिक्त होने की आवश्यकता है, इसलिए प्रत्येक अभाज्य आदर्श आवश्यक रूप से उचित है। जाली के लिए, प्रमुख आदर्शों को इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है:
-उपसमुच्चय {{mvar|I}} एक जाली का <math>(P, \leq)</math> एक प्रमुख आदर्श है, यदि और केवल यदि
+उपसमुच्चय {{mvar|I}} जाली का <math>(P, \leq)</math> प्रमुख आदर्श है, यदि और केवल यदि
-# {{mvar|I}} P का एक उचित आदर्श है, और
+# {{mvar|I}} P का उचित आदर्श है, और
 # P के सभी तत्वों x और y के लिए, <math>x \wedge y</math> में {{mvar|I}} इसका आशय है {{math|''x'' &isin; ''I''}} या {{math|''y'' &isin; ''I''}}.
-यह आसानी से जांचा जा सकता है कि यह वास्तव में यह बताने के बराबर है <math>P \setminus I</math> एक फिल्टर है (जो दोहरे अर्थ में अभाज्य भी है)।
+यह आसानी से जांचा जा सकता है कि यह वास्तव में यह बताने के बराबर है <math>P \setminus I</math> फिल्टर है (जो दोहरे अर्थ में अभाज्य भी है)।
 एक [[पूर्ण जाली]] के लिए आगे की धारणा{{visible anchor|completely prime ideal}} सार्थक है.
-इसे एक उचित आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|I}} अतिरिक्त संपत्ति के साथ, जब भी कुछ मनमाना सेट मिलते हैं (न्यूनतम)। {{math|''A''}} में है {{math|''I''}}, A का कुछ अवयव भी अन्दर है {{mvar|I}}.
+इसे उचित आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|I}} अतिरिक्त संपत्ति के साथ, जब भी कुछ मनमाना सेट मिलते हैं (न्यूनतम)। {{math|''A''}} में है {{math|''I''}}, A का कुछ अवयव भी अन्दर है {{mvar|I}}.
-तो यह सिर्फ एक विशिष्ट प्रधान आदर्श है जो उपरोक्त शर्तों को अनंत बैठकों तक विस्तारित करता है।
+तो यह सिर्फ विशिष्ट प्रधान आदर्श है जो उपरोक्त शर्तों को अनंत बैठकों तक विस्तारित करता है।
-प्रधान आदर्शों का अस्तित्व सामान्यतः स्पष्ट नहीं है, और अक्सर ZF (पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) के भीतर प्रमुख आदर्शों की एक संतोषजनक मात्रा प्राप्त नहीं की जा सकती है।
+प्रधान आदर्शों का अस्तित्व सामान्यतः स्पष्ट नहीं है, और अक्सर ZF (पसंद के स्वयंसिद्ध सिद्धांत के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) के भीतर प्रमुख आदर्शों की संतोषजनक मात्रा प्राप्त नहीं की जा सकती है।
 इस मुद्दे पर विभिन्न [[बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय]]ों में चर्चा की गई है, जो कई अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक हैं जिनके लिए प्राइम आदर्शों की आवश्यकता होती है।
 ==अधिकतम आदर्श==
-एक आदर्श {{mvar|I}} एक है {{em|{{visible anchor|maximal ideal}}}} यदि यह उचित है और कोई उचित आदर्श J नहीं है तो यह एक सख्त सुपरसेट है {{mvar|I}}. इसी तरह, एक फिल्टर एफ अधिकतम है यदि यह उचित है और कोई उचित फिल्टर नहीं है जो एक सख्त सुपरसेट है।
+एक आदर्श {{mvar|I}} है {{em|{{visible anchor|maximal ideal}}}} यदि यह उचित है और कोई उचित आदर्श J नहीं है तो यह सख्त सुपरसेट है {{mvar|I}}. इसी तरह, फिल्टर एफ अधिकतम है यदि यह उचित है और कोई उचित फिल्टर नहीं है जो सख्त सुपरसेट है।
-जब एक पोसेट एक [[वितरणात्मक जाली]] होता है, तो अधिकतम आदर्श और फ़िल्टर आवश्यक रूप से अभाज्य होते हैं, जबकि इस कथन का विपरीत सामान्य रूप से गलत है।
+जब पोसेट [[वितरणात्मक जाली]] होता है, तो अधिकतम आदर्श और फ़िल्टर आवश्यक रूप से अभाज्य होते हैं, जबकि इस कथन का विपरीत सामान्य रूप से गलत है।
-मैक्सिमम फिल्टर को कभी-कभी [[ अल्ट्राफ़िल्टर ]] कहा जाता है, लेकिन यह शब्दावली अक्सर बूलियन बीजगणित के लिए आरक्षित होती है, जहां मैक्सिमम फिल्टर (आदर्श) एक फिल्टर (आदर्श) होता है जिसमें प्रत्येक तत्व ए के लिए बिल्कुल एक तत्व {ए, ¬ए} होता है। बूलियन बीजगणित। बूलियन बीजगणित में, प्राइम आदर्श और मैक्सिमम आदर्श शब्द मेल खाते हैं, जैसे कि प्राइम फिल्टर और मैक्सिमम फिल्टर शब्द मेल खाते हैं।
+मैक्सिमम फिल्टर को कभी-कभी [[ अल्ट्राफ़िल्टर ]] कहा जाता है, लेकिन यह शब्दावली अक्सर बूलियन बीजगणित के लिए आरक्षित होती है, जहां मैक्सिमम फिल्टर (आदर्श) फिल्टर (आदर्श) होता है जिसमें प्रत्येक तत्व ए के लिए बिल्कुल तत्व {ए, ¬ए} होता है। बूलियन बीजगणित। बूलियन बीजगणित में, प्राइम आदर्श और मैक्सिमम आदर्श शब्द मेल खाते हैं, जैसे कि प्राइम फिल्टर और मैक्सिमम फिल्टर शब्द मेल खाते हैं।
-आदर्शों की अधिकतमता की एक और दिलचस्प धारणा है: एक आदर्श पर विचार करें {{mvar|I}} और एक फ़िल्टर F ऐसा है {{mvar|I}} एफ से असंयुक्त समुच्चय है। हम एक ऐसे आदर्श एम में रुचि रखते हैं जो इसमें शामिल सभी आदर्शों में अधिकतम है {{mvar|I}} और F से असंयुक्त हैं। वितरणात्मक जालकों के मामले में ऐसा M हमेशा एक प्रमुख आदर्श होता है। इस कथन का एक प्रमाण इस प्रकार है।
+आदर्शों की अधिकतमता की और दिलचस्प धारणा है: आदर्श पर विचार करें {{mvar|I}} और फ़िल्टर F ऐसा है {{mvar|I}} एफ से असंयुक्त समुच्चय है। हम ऐसे आदर्श एम में रुचि रखते हैं जो इसमें शामिल सभी आदर्शों में अधिकतम है {{mvar|I}} और F से असंयुक्त हैं। वितरणात्मक जालकों के विषय में ऐसा M हमेशा प्रमुख आदर्श होता है। इस कथन का प्रमाण इस प्रकार है।
 {{math proof|1=Assume the ideal ''M'' is maximal with respect to disjointness from the filter ''F''. Suppose for a contradiction that ''M'' is not prime, i.e. there exists a pair of elements ''a'' and ''b'' such that {{math|''a'' &and; ''b''}} in ''M'' but neither ''a'' nor ''b'' are in ''M''. Consider the case that for all ''m'' in ''M'', {{math|''m'' &or; ''a''}} is not in ''F''. One can construct an ideal ''N'' by taking the downward closure of the set of all binary joins of this form, i.e. {{math|''N'' {{=}} {{mset| ''x'' | ''x'' ≤ ''m'' &or; ''a'' for some ''m'' &isin; ''M''}}}}. It is readily checked that ''N'' is indeed an ideal disjoint from ''F'' which is strictly greater than ''M''. But this contradicts the maximality of ''M'' and thus the assumption that ''M'' is not prime.
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 For the other case, assume that there is some ''m'' in ''M'' with {{math|''m'' &or; ''a''}} in ''F''. Now if any element ''n'' in ''M'' is such that {{math|''n'' &or; ''b''}} is in ''F'', one finds that {{math|(''m'' &or; ''n'') &or; ''b''}} and {{math|(''m'' &or; ''n'') &or; ''a''}} are both in ''F''. But then their meet is in ''F'' and, by distributivity, {{math|(''m'' &or; ''n'') &or; (''a'' &and; ''b'')}} is in ''F'' too. On the other hand, this finite join of elements of ''M'' is clearly in ''M'', such that the assumed existence of ''n'' contradicts the disjointness of the two sets. Hence all elements ''n'' of ''M'' have a join with ''b'' that is not in ''F''. Consequently one can apply the above construction with ''b'' in place of ''a'' to obtain an ideal that is strictly greater than ''M'' while being disjoint from ''F''. This finishes the proof.}}
-हालाँकि, सामान्य तौर पर यह स्पष्ट नहीं है कि क्या कोई आदर्श एम मौजूद है जो इस अर्थ में अधिकतम है। फिर भी, यदि हम अपने सेट सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत को मानते हैं, तो प्रत्येक असंयुक्त फिल्टर-आदर्श-जोड़ी के लिए एम का अस्तित्व दिखाया जा सकता है। विशेष मामले में कि माना गया क्रम एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] है, इस प्रमेय को बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय कहा जाता है। यह पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है और यह पता चलता है कि आदर्शों के कई आदेश-सैद्धांतिक अनुप्रयोगों के लिए और कुछ भी आवश्यक नहीं है।
+चूँकि, सामान्य तौर पर यह स्पष्ट नहीं है कि क्या कोई आदर्श एम मौजूद है जो इस अर्थ में अधिकतम है। फिर भी, यदि हम अपने सेट सिद्धांत में पसंद के सिद्धांत को मानते हैं, तो प्रत्येक असंयुक्त फिल्टर-आदर्श-जोड़ी के लिए एम का अस्तित्व दिखाया जा सकता है। विशेष विषय में कि माना गया क्रम [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] है, इस प्रमेय को बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय कहा जाता है। यह पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है और यह पता चलता है कि आदर्शों के कई आदेश-सैद्धांतिक अनुप्रयोगों के लिए और कुछ भी आवश्यक नहीं है।
 ==अनुप्रयोग==
-ऑर्डर सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में आदर्शों और फिल्टर का निर्माण एक महत्वपूर्ण उपकरण है।
+ऑर्डर सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में आदर्शों और फिल्टर का निर्माण महत्वपूर्ण उपकरण है।
 * बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय में, अधिकतम आदर्शों (या, समकक्ष रूप से निषेध मानचित्र, अल्ट्राफिल्टर के माध्यम से) का उपयोग [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के बिंदुओं के सेट को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिनके [[क्लोपेन सेट]] मूल बूलियन बीजगणित के समरूपता हैं।
-* ऑर्डर थ्योरी पॉसेट को अतिरिक्त पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) गुणों के साथ पॉसेट में बदलने के लिए कई पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) जानता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आंशिक क्रम P का [[आदर्श समापन]] उपसमुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित P के सभी आदर्शों का समुच्चय है। यह निर्माण पी द्वारा उत्पन्न [[मुक्त वस्तु]] निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम उत्पन्न करता है। एक आदर्श प्रमुख है यदि और केवल यदि यह आदर्श पूर्णता में कॉम्पैक्ट तत्व है, तो मूल पोसेट को कॉम्पैक्ट तत्वों से युक्त उप-पोसेट के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रत्येक [[बीजगणितीय स्थिति]] को उसके कॉम्पैक्ट तत्वों के सेट के आदर्श समापन के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है।
+* ऑर्डर थ्योरी पॉसेट को अतिरिक्त पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) गुणों के साथ पॉसेट में बदलने के लिए कई पूर्णता (ऑर्डर थ्योरी) जानता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आंशिक क्रम P का [[आदर्श समापन]] उपसमुच्चय समावेशन द्वारा क्रमित P के सभी आदर्शों का समुच्चय है। यह निर्माण  P द्वारा उत्पन्न [[मुक्त वस्तु]] निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम उत्पन्न करता है। आदर्श प्रमुख है यदि और केवल यदि यह आदर्श पूर्णता में कॉम्पैक्ट तत्व है, तो मूल पोसेट को कॉम्पैक्ट तत्वों से युक्त उप-पोसेट के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। इसके अलावा, प्रत्येक [[बीजगणितीय स्थिति]] को उसके कॉम्पैक्ट तत्वों के सेट के आदर्श समापन के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है।
 ==इतिहास==

v t e Order theory
Topics Glossary Category
Key concepts	Binary relation Boolean algebra Cyclic order Lattice Partial order Preorder Total order Weak ordering
Results	Boolean prime ideal theorem Cantor–Bernstein theorem Cantor's isomorphism theorem Dilworth's theorem Dushnik–Miller theorem Hausdorff maximal principle Knaster–Tarski theorem Kruskal's tree theorem Laver's theorem Mirsky's theorem Szpilrajn extension theorem Zorn's lemma
Properties & Types (list)	Antisymmetric Asymmetric Boolean algebra topics Completeness Connected Covering Dense Directed (Partial) Equivalence Foundational Heyting algebra Homogeneous Idempotent Lattice Bounded Complemented Complete Distributive Join and meet Reflexive Partial order Chain-complete Graded Eulerian Strict Prefix order Preorder Total Semilattice Semiorder Symmetric Total Tolerance Transitive Well-founded Well-quasi-ordering (Better) (Pre) Well-order
Constructions	Composition Converse/Transpose Lexicographic order Linear extension Product order Reflexive closure Series-parallel partial order Star product Symmetric closure Transitive closure
Topology & Orders	Alexandrov topology & Specialization preorder Ordered topological vector space Normal cone Order topology Order topology Topological vector lattice Banach Fréchet Locally convex Normed
Related	Antichain Cofinal Cofinality Comparability Graph Duality Filter Hasse diagram Ideal Net Subnet Order morphism Embedding Isomorphism Order type Ordered field Ordered vector space Partially ordered Positive cone Riesz space Upper set Young's lattice

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