सातत्य (समुच्चय सिद्धांत): Difference between revisions

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''सातत्य की प्रमुखता'' वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं <math>\aleph_0</math>, या वैकल्पिक रूप से, <math>\mathfrak{c} = \aleph_1</math>के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।<ref name=":0" />
==रेखीय सातत्य ==
==रेखीय सातत्य ==
  {{Main|Linear continuum}}
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Revision as of 22:43, 5 July 2023

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सातत्य का अर्थ वास्तविक संख्याएं, या संबंधित (अनंत) कार्डिनल संख्या है, जिसे के द्वारा दर्शाया जाता है।[1][2] जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि कार्डिनैलिटी सबसे छोटी अनंतता, अर्थात् से बड़ी है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि के बराबर है, जो प्राकृतिक संख्याओं के घात सेट की प्रमुखता है।

सातत्य की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं , या वैकल्पिक रूप से, के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।[1]

रेखीय सातत्य

रेमंड वाइल्डर (1965) के अनुसार, चार स्वयंसिद्ध हैं जो एक सेट सी और संबंध < को एक 'रैखिक सातत्य' में बनाते हैं:

  • C को केवल < के संबंध में सेट करने का आदेश दिया गया है।
  • यदि [ए,बी] सी का कट है, तो या तो ए में अंतिम तत्व है या बी में पहला तत्व है। (डेडेकाइंड कट की तुलना करें)
  • C का एक गैर-रिक्त, गणनीय उपसमुच्चय S मौजूद है, जैसे कि यदि x,y ∈ C ऐसा है कि x < y, तो z ∈ S मौजूद है जैसे कि x < z < y। (वियोज्य स्थान)
  • C का कोई पहला तत्व और कोई अंतिम तत्व नहीं है। (बंधा हुआ सेट)

ये अभिगृहीत वास्तविक संख्या रेखा के क्रम प्रकार की विशेषता बताते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "सातत्य". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-12.
  2. "Transfinite number | mathematics". Encyclopedia Britannica (in English). Retrieved 2020-08-12.


ग्रन्थसूची

  • Raymond L. Wilder (1965) The Foundations of Mathematics, 2nd ed., page 150, John Wiley & Sons.