कार्यात्मक निर्धारक

कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की शाखा, कभी-कभी परिमित क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की धारणा को सामान्य बनाना संभव होता है (एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष से स्वयं में रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है) के अनंत-आयामी मामले में रैखिक ऑपरेटर S कार्य स्थान V को स्वयं मैप कर रहा है। संगत मात्रा det(S) को S का 'कार्यात्मक निर्धारक' कहा जाता है।

कार्यात्मक निर्धारक के लिए कई सूत्र हैं। वे सभी इस तथ्य पर आधारित हैं कि परिमित मैट्रिक्स (गणित) का निर्धारक मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के उत्पाद के बराबर है। गणितीय रूप से कठोर परिभाषा ज़ेटा फ़ंक्शन (ऑपरेटर) के माध्यम से है,

$\zeta _{S}(a)=\operatorname {tr} \,S^{-a}\,,$

जहां tr ट्रेस वर्ग के लिए है: तब निर्धारक को परिभाषित किया जाता है

$\det S=e^{-\zeta _{S}'(0)}\,,$

जहां बिंदु s = 0 में जीटा फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा परिभाषित किया गया है। अन्य संभावित सामान्यीकरण, जिसे अक्सर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) में फेनमैन पथ अभिन्न औपचारिकता का उपयोग करते समय भौतिकविदों द्वारा उपयोग किया जाता है, कार्यात्मक एकीकरण का उपयोग करता है:

$\det S\propto \left(\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi ,S\phi \rangle }\right)^{-2}\,.$

यह पथ समाकलन केवल कुछ भिन्न गुणक स्थिरांक तक ही अच्छी तरह से परिभाषित है। इसे कठोर अर्थ देने के लिए इसे किसी अन्य कार्यात्मक निर्धारक द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए, इस प्रकार समस्याग्रस्त 'स्थिरांक' को प्रभावी ढंग से रद्द किया जाना चाहिए।

ये अब, स्पष्ट रूप से, कार्यात्मक निर्धारक के लिए दो अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से आ रही है और वर्णक्रमीय सिद्धांत से आ रही है। प्रत्येक में किसी प्रकार का नियमितीकरण (भौतिकी) शामिल है: भौतिकी में लोकप्रिय परिभाषा में, दो निर्धारकों की तुलना केवल दूसरे से की जा सकती है; गणित में जीटा फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता था। Osgood, Phillips & Sarnak (1988) ने दिखाया है कि क्यूएफटी औपचारिकता में दो कार्यात्मक निर्धारकों की तुलना करके प्राप्त परिणाम जीटा कार्यात्मक निर्धारक द्वारा प्राप्त परिणामों से सहमत हैं।

सूत्रों को परिभाषित करना

पथ अभिन्न संस्करण

एक परिमित-आयामी यूक्लिडियन स्थान V पर सकारात्मक स्व-सहायक ऑपरेटर S के लिए, सूत्र

${\frac {1}{\sqrt {\det S}}}=\int _{V}e^{-\pi \langle x,Sx\rangle }\,dx$

धारण करता है.

समस्या अनंत आयामी फ़ंक्शन स्पेस पर ऑपरेटर एस के निर्धारक को समझने का तरीका ढूंढना है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में पसंदीदा दृष्टिकोण, जिसमें फ़ंक्शन स्पेस में बंद अंतराल पर निरंतर पथ होते हैं, औपचारिक रूप से अभिन्न की गणना करने का प्रयास करना है

$\int _{V}e^{-\pi \langle \phi ,S\phi \rangle }\,{\mathcal {D}}\phi$

जहां V फ़ंक्शन स्पेस है और $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ एल2 मानदंड|एल²आंतरिक उत्पाद, और ${\mathcal {D}}\phi$ वीनर माप. एस पर मूल धारणा यह है कि इसे स्व-सहायक होना चाहिए, और इसमें अलग ऑपरेटर स्पेक्ट्रम λ होना चाहिए₁, एल₂, एल₃, ... eigenfunctions f के संगत सेट के साथ₁, एफ₂, एफ₃, ... जो एलपी स्पेस|एल में पूर्ण हैं² (जैसा कि, उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट अंतराल Ω पर दूसरे व्युत्पन्न ऑपरेटर के मामले में होगा)। इसका मोटे तौर पर मतलब है कि सभी फ़ंक्शन φ को फ़ंक्शन f के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है_i:

$|\phi \rangle =\sum _{i}c_{i}|f_{i}\rangle \quad {\text{with }}c_{i}=\langle f_{i}|\phi \rangle .$

इसलिए घातांक में आंतरिक उत्पाद को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$\langle \phi |S|\phi \rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\langle f_{i}|S|f_{j}\rangle =\sum _{i,j}c_{i}^{*}c_{j}\delta _{ij}\lambda _{i}=\sum _{i}|c_{i}|^{2}\lambda _{i}.$

कार्यों के आधार पर एफ_i, कार्यात्मक एकीकरण सभी आधार कार्यों पर एकीकरण को कम कर देता है। औपचारिक रूप से, यह मानते हुए कि परिमित आयामी मामले से हमारा अंतर्ज्ञान अनंत आयामी सेटिंग में चला जाता है, तब माप बराबर होना चाहिए

${\mathcal {D}}\phi =\prod _{i}{\frac {dc_{i}}{2\pi }}.$

यह कार्यात्मक इंटीग्रल को गाऊसी अभिन्न ्स का उत्पाद बनाता है:

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dc_{i}}{2\pi }}e^{-\lambda _{i}c_{i}^{2}}.$

तब अभिन्नों का मूल्यांकन, देकर किया जा सकता है

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }=\prod _{i}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi \lambda _{i}}}}}={\frac {N}{\sqrt {\prod _{i}\lambda _{i}}}}$

जहां N अनंत स्थिरांक है जिसे कुछ नियमितीकरण प्रक्रिया द्वारा निपटाने की आवश्यकता है। सभी eigenvalues ​​का उत्पाद परिमित-आयामी स्थानों के लिए निर्धारक के बराबर है, और हम औपचारिक रूप से इसे हमारे अनंत-आयामी मामले में भी परिभाषित करते हैं। इसका परिणाम सूत्र में होता है

$\int _{V}{\mathcal {D}}\phi \;e^{-\langle \phi |S|\phi \rangle }\propto {\frac {1}{\sqrt {\det S}}}.$

यदि सभी मात्राएँ उचित अर्थ में अभिसरण होती हैं, तो कार्यात्मक निर्धारक को शास्त्रीय सीमा (वाटसन और व्हिटेकर) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अन्यथा, किसी प्रकार की भिन्न श्रृंखला का प्रदर्शन करना आवश्यक है। कार्यात्मक निर्धारकों की गणना के लिए सबसे लोकप्रिय ज़ेटा फ़ंक्शन नियमितीकरण है। उदाहरण के लिए, यह मिनाक्षीसुंदरम-प्लीजेल ज़ेटा फ़ंक्शन का उपयोग करके रीमैनियन मैनिफोल्ड पर लाप्लास और डिराक ऑपरेटरों के निर्धारक की गणना करने की अनुमति देता है। अन्यथा, दो निर्धारकों के भागफल पर विचार करना भी संभव है, जिससे अपसारी स्थिरांक रद्द हो जाते हैं।

ज़ेटा फ़ंक्शन संस्करण

मान लीजिए कि S सुचारू गुणांक वाला अण्डाकार अंतर ऑपरेटर है जो कॉम्पैक्ट समर्थन के कार्यों पर सकारात्मक है। अर्थात्, स्थिरांक c > 0 मौजूद है

$\langle \phi ,S\phi \rangle \geq c\langle \phi ,\phi \rangle$

सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू कार्यों के लिए φ। तब S के पास L पर ऑपरेटर के लिए स्व-सहायक एक्सटेंशन है²निचली सीमा के साथ सी। S के eigenvalues ​​को क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है

$0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots ,\qquad \lambda _{n}\to \infty .$

फिर S का जीटा फ़ंक्शन श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\zeta _{S}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{s}}}.$

ज्ञातव्य है कि ζ_S पूरे विमान में मेरोमोर्फिक निरंतरता है। इसके अलावा, हालांकि कोई अधिक सामान्य स्थितियों में जीटा फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, अण्डाकार अंतर ऑपरेटर (या स्यूडोडिफरेंशियल ऑपरेटर) का जीटा फ़ंक्शन गणितीय शब्दजाल #नियमित है $s=0$.

औपचारिक रूप से, इस श्रृंखला को शब्द-दर-अवधि विभेदित करने से पता चलता है

$\zeta _{S}'(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\ln \lambda _{n}}{\lambda _{n}^{s}}},$

और इसलिए यदि कार्यात्मक निर्धारक अच्छी तरह से परिभाषित है, तो इसे इसके द्वारा दिया जाना चाहिए

$\det S=\exp \left(-\zeta _{S}'(0)\right).$

चूँकि ज़ेटा फ़ंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता शून्य पर नियमित है, इसलिए इसे निर्धारक की परिभाषा के रूप में कठोरता से अपनाया जा सकता है।

इस प्रकार का ज़ेटा-नियमित कार्यात्मक निर्धारक फॉर्म के योगों का मूल्यांकन करते समय भी प्रकट होता है ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)}}}$. देता पर एकीकरण ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\ln(n+a)}$ जिसे लयबद्ध दोलक के लिए निर्धारक का लघुगणक माना जा सकता है। यह अंतिम मान बिल्कुल बराबर है $-\partial _{s}\zeta _{H}(0,a)$, कहाँ $\zeta _{H}(s,a)$ हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन है।

व्यावहारिक उदाहरण

A = 0 के साथ अनंत विभव कुँआ।

अनंत क्षमता कुँआ

हम बॉक्स में कण में क्वांटम यांत्रिकी कण की गति का वर्णन करने वाले निम्नलिखित ऑपरेटर के निर्धारक की गणना करेंगे:

$\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\qquad (x\in [0,L]),$

जहां A क्षमता की गहराई है और L कुएं की लंबाई है। हम इस निर्धारक की गणना ऑपरेटर को विकर्ण करके और eigenvalues ​​​​को गुणा करके करेंगे। ताकि निर्बाध अपसारी स्थिरांक से परेशान न होना पड़े, हम गहराई A वाले ऑपरेटर के निर्धारकों और गहराई A = 0 वाले ऑपरेटर के बीच भागफल की गणना करेंगे। इस क्षमता के eigenvalues ​​​​के बराबर हैं

$\lambda _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A\qquad (n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}).$

इस का मतलब है कि

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }{\frac {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}+A}{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

अब हम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए लियोनहार्ड यूलर के अनंत उत्पाद # कार्यों के उत्पाद प्रतिनिधित्व का उपयोग कर सकते हैं:

$\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

जिससे अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य के लिए समान सूत्र प्राप्त किया जा सकता है:

$\sinh z=-i\sin iz=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right).$

इसे लागू करने पर, हम वह पाते हैं

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}=\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1+{\frac {L^{2}A}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

कार्यात्मक निर्धारक की गणना करने का दूसरा तरीका

एक-आयामी संभावनाओं के लिए, कार्यात्मक निर्धारक प्रदान करने वाला शॉर्ट-कट मौजूद है। यह निम्नलिखित अभिव्यक्ति पर विचार पर आधारित है:

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}$

जहाँ m सम्मिश्र संख्या स्थिरांक है। यह अभिव्यक्ति m का मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है, जिसमें शून्य होता है जब m संभावित V के साथ ऑपरेटर के eigenvalue के बराबर होता है₁(x) और पोल जब m संभावित V वाले ऑपरेटर का आइगेनवैल्यू है₂(एक्स)। अब हम फलन ψ पर विचार करते हैं^m
₁ और ψ^m
₂ साथ

$\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{i}(x)-m\right)\psi _{i}^{m}(x)=0$

सीमा शर्तों का पालन करना

$\psi _{i}^{m}(0)=0,\quad \qquad {\frac {d\psi _{i}^{m}}{dx}}(0)=1.$

यदि हम फ़ंक्शन का निर्माण करते हैं

$\Delta (m)={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}},$

जो m का मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन भी है, हम देखते हैं कि इसमें बिल्कुल वही ध्रुव और शून्य हैं जो निर्धारकों के भागफल के रूप में हम गणना करने का प्रयास कर रहे हैं: यदि m ऑपरेटर नंबर का आइगेनवैल्यू है, तो ψ^m
₁(x) उसका eigenfunction होगा, जिसका अर्थ है ψ^m
₁(L) = 0; और हर के लिए अनुरूप रूप से। लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) द्वारा|लिउविले के प्रमेय, समान शून्य और ध्रुवों वाले दो मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। हमारे मामले में, आनुपातिकता स्थिरांक हो जाता है, और हमें मिलता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)-m\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)-m\right)}}={\frac {\psi _{1}^{m}(L)}{\psi _{2}^{m}(L)}}$

m के सभी मानों के लिए। m = 0 के लिए हमें प्राप्त होता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{1}(x)\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V_{2}(x)\right)}}={\frac {\psi _{1}^{0}(L)}{\psi _{2}^{0}(L)}}.$

अनंत क्षमता का अच्छी तरह से पुनरावलोकन

इस औपचारिकता से पिछले अनुभाग की समस्या को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। कार्य ψ⁰
_i(x) आज्ञा मानो

${\begin{aligned}&\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)\psi _{1}^{0}=0,\qquad \psi _{1}^{0}(0)=0\quad ,\qquad {\frac {d\psi _{1}^{0}}{dx}}(0)=1,\\&-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi _{2}^{0}=0,\qquad \psi _{2}^{0}(0)=0,\qquad {\frac {d\psi _{2}^{0}}{dx}}(0)=1,\end{aligned}}$

निम्नलिखित समाधान दे रहे हैं:

${\begin{aligned}&\psi _{1}^{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {A}}}\sinh x{\sqrt {A}},\\&\psi _{2}^{0}(x)=x.\end{aligned}}$

यह अंतिम अभिव्यक्ति देता है

${\frac {\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+A\right)}{\det \left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\right)}}={\frac {\sinh L{\sqrt {A}}}{L{\sqrt {A}}}}.$

यह भी देखें

• फ्रेडहोम निर्धारक
• फुजिकावा विधि
• फद्दीव-पोपोव भूत

संदर्भ

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• Branson, Thomas P. (2007), "Q-curvature, spectral invariants, and representation theory", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3: Paper 090, 31, arXiv:0709.2471, Bibcode:2007SIGMA...3..090B, doi:10.3842/SIGMA.2007.090, ISSN 1815-0659, MR 2366932, S2CID 14629173
• Branson, Thomas P. (1993), The functional determinant, Lecture Notes Series, vol. 4, Seoul: Seoul National University Research Institute of Mathematics Global Analysis Research Center, MR 1325463
• Hörmander, Lars (1968), "The spectral function of an elliptic operator", Acta Mathematica, 121: 193–218, doi:10.1007/BF02391913, ISSN 0001-5962, MR 0609014
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, Peter (1988), "Extremals of determinants of Laplacians", Journal of Functional Analysis, 80 (1): 148–211, doi:10.1016/0022-1236(88)90070-5, ISSN 0022-1236, MR 0960228
• Ray, D. B.; Singer, I. M. (1971), "R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds", Advances in Mathematics, 7 (2): 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4, MR 0295381
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