अत्यधिक मूल्य सिद्धांत: Difference between revisions

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{{About|सांख्यिकीय सिद्धांत|कैलकुलस में परिणाम|अत्यधिक मूल्य प्रमेय}}
{{About|सांख्यिकीय सिद्धांत|कैलकुलस में परिणाम|अत्यधिक मूल्य प्रमेय}}


[[File:1755 Lisbon earthquake.jpg|thumb|अत्यधिक मूल्य सिद्धांत का उपयोग 1755 के लिस्बन भूकंप जैसी अत्यधिक, दुर्लभ घटनाओं के जोखिम को मॉडल करने के लिए किया जाता है।]]'''अत्यधिक मूल्य सिद्धांत''' या अत्यधिक मूल्य विश्लेषण (ईवीए) सांख्यिकी की शाखा है जो संभाव्यता वितरण के मध्य से अत्यधिक [[विचलन (सांख्यिकी)]] से निपटती है। यह किसी दिए गए यादृच्छिक चर के दिए गए क्रमबद्ध नमूने (सांख्यिकी) से, उन घटनाओं की संभावना का आकलन करना चाहता है जो पहले देखी गई किसी भी घटना से अधिक अत्यधिक हैं। अत्यधिक मूल्य विश्लेषण का व्यापक रूप से संरचनात्मक इंजीनियरिंग, वित्त, पृथ्वी विज्ञान, यातायात भविष्यवाणी और [[इंजीनियरिंग भूविज्ञान]] जैसे कई विषयों में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ईवीए का उपयोग [[जल विज्ञान]] के क्षेत्र में [[100 साल की बाढ़]] जैसी असामान्य रूप से बड़ी बाढ़ की घटना की संभावना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। इसी तरह, [[ब्रेकवाटर (संरचना)]] के डिजाइन के लिए, [[तटीय इंजीनियर]] 50-वर्षीय लहर का अनुमान लगाएगा और उसके अनुसार संरचना को डिजाइन करेगा।
[[File:1755 Lisbon earthquake.jpg|thumb|अत्यधिक मूल्य सिद्धांत का उपयोग 1755 के लिस्बन भूकंप जैसी अत्यधिक, दुर्लभ घटनाओं के संकट को मॉडल करने के लिए किया जाता है।]]'''अत्यधिक मूल्य सिद्धांत''' या अत्यधिक मूल्य विश्लेषण (ईवीए) सांख्यिकी की शाखा है जो संभाव्यता वितरण के मध्य से अत्यधिक [[विचलन (सांख्यिकी)]] से निवारण होता है। यह किसी दिए गए यादृच्छिक चर के दिए गए क्रमबद्ध प्रारूप (सांख्यिकी) से, उन घटनाओं की संभावना का आकलन करता है जो पहले देखी गई किसी भी घटना की तुलना में अधिक मूल्य हैं। अत्यधिक मूल्य विश्लेषण का व्यापक रूप से संरचनात्मक इंजीनियरिंग, वित्त, पृथ्वी विज्ञान, यातायात भविष्यवाणी और [[इंजीनियरिंग भूविज्ञान]] जैसे कई विषयों में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ईवीए का उपयोग [[जल विज्ञान]] के क्षेत्र में [[100 साल की बाढ़|100 वर्ष की बाढ़]] जैसे असामान्य रूप से बड़ी बाढ़ की घटना की संभावना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। इसी प्रकार, [[ब्रेकवाटर (संरचना)]] के डिजाइन के लिए, [[तटीय इंजीनियर]] 50-वर्षीय लहर का अनुमान लगाएगा और उसके अनुसार संरचना को डिजाइन करेगा।


==डेटा विश्लेषण==
==डेटा विश्लेषण==
व्यावहारिक अत्यधिक मूल्य विश्लेषण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण मौजूद हैं।
व्यावहारिक अत्यधिक मूल्य विश्लेषण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण उपस्तिथ हैं।


पहली विधि प्रारंभिक चरण के रूप में ब्लॉक मैक्सिमा (मिनीमा) श्रृंखला प्राप्त करने पर निर्भर करती है। कई स्थितियों में वार्षिक मैक्सिमा श्रृंखला (एएमएस) उत्पन्न करते हुए, वार्षिक मैक्सिमा (मिनीमा) निकालना प्रथागत और सुविधाजनक है।
प्रथम विधि प्रारंभिक चरण के रूप में ब्लॉक मैक्सिमा (मिनीमा) श्रृंखला प्राप्त करने पर निर्भर करती है। कई स्थितियों में वार्षिक मैक्सिमा (मिनीमा) निकालना प्रथागत और सुविधाजनक है, जिससे "वार्षिक मैक्सिमा श्रृंखला" (एएमएस) उत्पन्न होती है।


दूसरी विधि, सतत रिकॉर्ड से, किसी भी अवधि के लिए पहुंचे अत्यधिक मूल्यों को निकालने पर निर्भर करती है, जिसके दौरान मान निश्चित सीमा से अधिक हो जाते हैं ( निश्चित सीमा से नीचे आते हैं)। इस विधि को आम तौर पर पीक ओवर थ्रेशोल्ड के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite journal | last1 = Leadbetter | first1 = M. R. | year = 1991 | title = 'पीक्स ओवर थ्रेशोल्ड' मॉडलिंग के आधार पर| journal = Statistics and Probability Letters | volume = 12 | issue = 4| pages = 357–362 | doi = 10.1016/0167-7152(91)90107-3 }}</ref> विधि (POT).
दूसरी विधि, सतत रिकॉर्ड से, किसी भी अवधि के लिए पहुंचे अत्यधिक मूल्यों को निकालने पर निर्भर करती है, जिस समय मान निश्चित सीमा से अधिक हो जाते हैं ( निश्चित सीमा से नीचे आते हैं)। इस विधि को सामान्यतः पीक ओवर थ्रेशोल्ड विधि (पीओटी) के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal | last1 = Leadbetter | first1 = M. R. | year = 1991 | title = 'पीक्स ओवर थ्रेशोल्ड' मॉडलिंग के आधार पर| journal = Statistics and Probability Letters | volume = 12 | issue = 4| pages = 357–362 | doi = 10.1016/0167-7152(91)90107-3 }}</ref>  


एएमएस डेटा के लिए, विश्लेषण आंशिक रूप से फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय के परिणामों पर निर्भर हो सकता है, जिससे फिटिंग के लिए [[सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण|सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण]] का चयन किया जा सकता है।<ref>Fisher and Tippett (1928)</ref><ref>Gnedenko (1943)</ref> हालाँकि, व्यवहार में, वितरण की व्यापक श्रेणी के बीच चयन करने के लिए विभिन्न प्रक्रियाएँ लागू की जाती हैं। यहां प्रमेय ही वितरण से [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] यादृच्छिक चर के बहुत बड़े संग्रह के न्यूनतम या अधिकतम के लिए सीमित वितरण से संबंधित है। यह देखते हुए कि वर्ष के भीतर प्रासंगिक यादृच्छिक घटनाओं की संख्या सीमित हो सकती है, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि देखे गए एएमएस डेटा के विश्लेषण से अक्सर सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण (जीईवीडी) के अलावा अन्य वितरण का चयन किया जाता है।<ref>Embrechts, Klüppelberg, and Mikosch (1997)</ref>
एएमएस डेटा के लिए, विश्लेषण आंशिक रूप से फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय के परिणामों पर निर्भर हो सकता है, जिससे फिटिंग के लिए [[सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण|सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण]] का चयन किया जा सकता है।<ref>Fisher and Tippett (1928)</ref><ref>Gnedenko (1943)</ref> चूँकि, व्यवहार में, वितरण की व्यापक श्रेणी के मध्य चयन करने के लिए विभिन्न प्रक्रियाएँ प्रारम्भ की जाती हैं। यहां प्रमेय वितरण से [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता|स्वतंत्र]] यादृच्छिक [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता|सांख्यिकीय]] चर के अधिक बड़े संग्रह के न्यूनतम या अधिकतम के लिए सीमित वितरण से संबंधित है। यह देखते हुए कि वर्ष के भीतर प्रासंगिक यादृच्छिक घटनाओं की संख्या सीमित हो सकती है, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि देखे गए एएमएस डेटा के विश्लेषण से प्रायः सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण (जीईवीडी) के अतिरिक्त अन्य वितरण का चयन किया जाता है।<ref>Embrechts, Klüppelberg, and Mikosch (1997)</ref>
पीओटी डेटा के लिए, विश्लेषण में दो वितरणों को फिट करना शामिल हो सकता है:  समय अवधि में घटनाओं की संख्या के लिए और दूसरा अतिरिक्त के आकार के लिए।


पहले के लिए आम धारणा पॉइसन वितरण है, जिसमें [[सामान्यीकृत पेरेटो वितरण]] का उपयोग अधिकता के लिए किया जाता है।
पीओटी डेटा के लिए, विश्लेषण में दो वितरणों को फिट करना सम्मिलित हो सकता है: एक समय अवधि में घटनाओं की संख्या के लिए और दूसरा अतिरिक्त के आकार के लिए है।
शक्ति नियम#अनुभवजन्य डेटा से घातांक का अनुमान लगाना|टेल-फिटिंग पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय पर आधारित हो सकता है।<ref>Pickands (1975)</ref><ref>Balkema and de Haan (1974)</ref>
 
नोवाक<ref>Novak (2011)</ref> "POT विधि" शब्द को उस मामले के लिए सुरक्षित रखता है जहां सीमा गैर-यादृच्छिक है, और इसे उस मामले से अलग करता है जहां कोई यादृच्छिक सीमा से अधिक से निपटता है।
पहले के लिए साधारण धारणा पॉइसन वितरण है, जिसमें [[सामान्यीकृत पेरेटो वितरण]] का उपयोग अधिकता के लिए किया जाता है। टेल-फिटिंग पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय पर आधारित हो सकती है।<ref>Pickands (1975)</ref><ref>Balkema and de Haan (1974)</ref>
 
नोवाक<ref>Novak (2011)</ref> उस स्तिथि "पीओटी विधि" शब्द को सुरक्षित रखता है जहां सीमा गैर-यादृच्छिक है, और इसे उस स्तिथि से भिन्न करता है जहां कोई यादृच्छिक सीमा से अधिक से निवारण करता है।


==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==
अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के अनुप्रयोगों में संभाव्यता वितरण की भविष्यवाणी करना शामिल है:
अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के अनुप्रयोगों में संभाव्यता वितरण की भविष्यवाणी करना सम्मिलित है:
* अत्यधिक [[बाढ़]]; विचित्र तरंगों का आकार
* अत्यधिक [[बाढ़]]; विचित्र तरंगों का आकार
* [[बवंडर]] का प्रकोप<ref>{{cite journal |last1=Tippett |first1=Michael K. |last2=Lepore |first2=Chiara |last3=Cohen |first3=Joel E. |title=सबसे भीषण अमेरिकी बवंडर के प्रकोप में अधिक बवंडर|journal=Science |date=16 December 2016 |volume=354 |issue=6318 |pages=1419–1423 |doi=10.1126/science.aah7393 |pmid=27934705 |bibcode=2016Sci...354.1419T |doi-access=free }}</ref>
* [[बवंडर]] का प्रकोप<ref>{{cite journal |last1=Tippett |first1=Michael K. |last2=Lepore |first2=Chiara |last3=Cohen |first3=Joel E. |title=सबसे भीषण अमेरिकी बवंडर के प्रकोप में अधिक बवंडर|journal=Science |date=16 December 2016 |volume=354 |issue=6318 |pages=1419–1423 |doi=10.1126/science.aah7393 |pmid=27934705 |bibcode=2016Sci...354.1419T |doi-access=free }}</ref>
* पारिस्थितिक जनसंख्या का अधिकतम आकार<ref>{{cite journal|last1=Batt|first1=Ryan D.|last2=Carpenter|first2=Stephen R.|last3=Ives|first3=Anthony R.|title=झील पारिस्थितिकी तंत्र समय श्रृंखला में चरम घटनाएँ|journal=Limnology and Oceanography Letters|volume=2|issue=3|pages=63|date=March 2017|doi=10.1002/lol2.10037|doi-access=free}}</ref>
* पारिस्थितिक जनसंख्या का अधिकतम आकार<ref>{{cite journal|last1=Batt|first1=Ryan D.|last2=Carpenter|first2=Stephen R.|last3=Ives|first3=Anthony R.|title=झील पारिस्थितिकी तंत्र समय श्रृंखला में चरम घटनाएँ|journal=Limnology and Oceanography Letters|volume=2|issue=3|pages=63|date=March 2017|doi=10.1002/lol2.10037|doi-access=free}}</ref>
* दवाओं के दुष्प्रभाव (उदाहरण के लिए, [[ximelagatran]])
* दवाओं के दुष्प्रभाव (उदाहरण के लिए, [[ximelagatran|ज़िमेलैगट्रान]])
* बड़े [[बीमा]] घाटे की भयावहता
* बड़े [[बीमा]] हानि की भयावहता
* [[इक्विटी जोखिम]]; दिन-प्रतिदिन का बाज़ार जोखिम
* [[इक्विटी जोखिम|इक्विटी संकट]]; दिन-प्रतिदिन बाज़ार का संकट
* [[विकास]] के दौरान उत्परिवर्तनीय घटनाएँ
* [[विकास]] के समय उत्परिवर्तनीय घटनाएँ
* बड़े [[जंगल की आग]]<ref>Alvardo (1998, p.68.)</ref>
* बड़े [[जंगल की आग]]<ref>Alvardo (1998, p.68.)</ref>
*संरचनाओं पर पर्यावरणीय भार<ref>Makkonen (2008)</ref>
*संरचनाओं पर पर्यावरणीय भार<ref>Makkonen (2008)</ref>
*मनुष्य सबसे तेज गति से [[100 मीटर]] दौड़ने में सक्षम है<ref>{{Citation|title=Ultimate 100m World Records Through Extreme-Value Theory|url=https://pure.uvt.nl/ws/files/1244969/j.1467-9574.2010.00470.x.pdf|year=2009|author1=J.H.J. Einmahl |author2=S.G.W.R. Smeets |journal=CentER Discussion Paper, Tilburg University|volume=57|access-date=2009-08-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20160312023048/https://pure.uvt.nl/ws/files/1244969/j.1467-9574.2010.00470.x.pdf|archive-date=2016-03-12|url-status=dead}}</ref> और अन्य एथलेटिक विषयों में प्रदर्शन<ref>{{Citation |author1=D. Gembris |author2=J.Taylor |author3=D. Suter | title = Trends and random fluctuations in athletics | journal = Nature | volume = 417| issue =  6888| pages = 506 | year = 2002 | doi=10.1038/417506a | pmid=12037557| bibcode =  2002Natur.417..506G| hdl =  2003/25362| s2cid = 13469470 | doi-access = free }}</ref><ref>{{Citation |author1=D. Gembris |author2=J.Taylor |author3=D. Suter | title = Evolution of athletic records : Statistical effects versus real improvements | journal = Journal of Applied Statistics | volume = 34 | issue = 5 | pages = 529–545 | year = 2007 | doi=10.1080/02664760701234850|bibcode=2007JApSt..34..529G | hdl =  2003/25404| s2cid = 55378036 }}</ref><ref>{{Citation | authors = H. Spearing, J. Tawn, D. Irons, T. Paulden & G. Bennett | title = Ranking, and other properties, of elite swimmers using extreme value theory | journal = Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society) | volume = 184 | issue = 1 | pages = 368–395 | year = 2021 |  
*मनुष्य सबसे तीव्र गति से [[100 मीटर]] दौड़ने में सक्षम है<ref>{{Citation|title=Ultimate 100m World Records Through Extreme-Value Theory|url=https://pure.uvt.nl/ws/files/1244969/j.1467-9574.2010.00470.x.pdf|year=2009|author1=J.H.J. Einmahl |author2=S.G.W.R. Smeets |journal=CentER Discussion Paper, Tilburg University|volume=57|access-date=2009-08-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20160312023048/https://pure.uvt.nl/ws/files/1244969/j.1467-9574.2010.00470.x.pdf|archive-date=2016-03-12|url-status=dead}}</ref> और अन्य एथलेटिक विषयों में प्रदर्शन<ref>{{Citation |author1=D. Gembris |author2=J.Taylor |author3=D. Suter | title = Trends and random fluctuations in athletics | journal = Nature | volume = 417| issue =  6888| pages = 506 | year = 2002 | doi=10.1038/417506a | pmid=12037557| bibcode =  2002Natur.417..506G| hdl =  2003/25362| s2cid = 13469470 | doi-access = free }}</ref><ref>{{Citation |author1=D. Gembris |author2=J.Taylor |author3=D. Suter | title = Evolution of athletic records : Statistical effects versus real improvements | journal = Journal of Applied Statistics | volume = 34 | issue = 5 | pages = 529–545 | year = 2007 | doi=10.1080/02664760701234850|bibcode=2007JApSt..34..529G | hdl =  2003/25404| s2cid = 55378036 }}</ref><ref>{{Citation | authors = H. Spearing, J. Tawn, D. Irons, T. Paulden & G. Bennett | title = Ranking, and other properties, of elite swimmers using extreme value theory | journal = Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society) | volume = 184 | issue = 1 | pages = 368–395 | year = 2021 |  
doi=10.1111/rssa.12628| s2cid = 204823947 | doi-access = free }}</ref>
doi=10.1111/rssa.12628| s2cid = 204823947 | doi-access = free }}</ref>
* गड्ढों में जंग लगने के कारण पाइपलाइन में खराबी
* गड्ढों में जंग लगने के कारण पाइपलाइन में व्यर्थता
* अनियमित आईटी नेटवर्क ट्रैफ़िक, हमलावरों को महत्वपूर्ण डेटा तक पहुँचने से रोकता है
* अनियमित आईटी नेटवर्क ट्रैफ़िक, विरुधियों को महत्वपूर्ण डेटा तक जाने का अवरोध करता है।
* सड़क सुरक्षा विश्लेषण<ref>{{cite journal |last1=Songchitruksa |first1=P. |last2=Tarko |first2=A. P. |date=2006 |title=सुरक्षा आकलन के लिए चरम मूल्य सिद्धांत दृष्टिकोण|journal=Accident Analysis and Prevention |volume=38 |issue=4 |pages=811–822 |doi=10.1016/j.aap.2006.02.003 |pmid=16546103 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Orsini |first1=F. |last2=Gecchele |first2=G. |last3=Gastaldi |first3=M. |last4=Rossi |first4=R. |date=2019 |title=Collision prediction in roundabouts: a comparative study of extreme value theory approaches |journal=Transportmetrica A: Transport Science |volume=15 |issue=2 |pages=556–572 |doi=10.1080/23249935.2018.1515271 |s2cid=158343873 }}</ref>
* सड़क सुरक्षा विश्लेषण<ref>{{cite journal |last1=Songchitruksa |first1=P. |last2=Tarko |first2=A. P. |date=2006 |title=सुरक्षा आकलन के लिए चरम मूल्य सिद्धांत दृष्टिकोण|journal=Accident Analysis and Prevention |volume=38 |issue=4 |pages=811–822 |doi=10.1016/j.aap.2006.02.003 |pmid=16546103 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Orsini |first1=F. |last2=Gecchele |first2=G. |last3=Gastaldi |first3=M. |last4=Rossi |first4=R. |date=2019 |title=Collision prediction in roundabouts: a comparative study of extreme value theory approaches |journal=Transportmetrica A: Transport Science |volume=15 |issue=2 |pages=556–572 |doi=10.1080/23249935.2018.1515271 |s2cid=158343873 }}</ref>
* वायरलेस संचार<ref>C. G. Tsinos, F. Foukalas, T. Khattab and L. Lai, "[https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8052574 On Channel Selection for Carrier Aggregation Systems]." IEEE Transactions on Communications, vol. 66, no. 2, Feb. 2018 )  808-818.</ref>
* वायरलेस संचार<ref>C. G. Tsinos, F. Foukalas, T. Khattab and L. Lai, "[https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8052574 On Channel Selection for Carrier Aggregation Systems]." IEEE Transactions on Communications, vol. 66, no. 2, Feb. 2018 )  808-818.</ref>
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*न्यूरोबायोलॉजी<ref>{{Cite journal|last1=Basnayake|first1=Kanishka|last2=Mazaud|first2=David|last3=Bemelmans|first3=Alexis|last4=Rouach|first4=Nathalie|last5=Korkotian|first5=Eduard|last6=Holcman|first6=David|date=2019-06-04|title=चरम आँकड़ों द्वारा संचालित डेंड्राइटिक स्पाइन में तेजी से कैल्शियम का परिवर्तन|url=http://dx.doi.org/10.1371/journal.pbio.2006202|journal=PLOS Biology|volume=17|issue=6|pages=e2006202|doi=10.1371/journal.pbio.2006202|pmid=31163024 |issn=1545-7885|pmc=6548358}}</ref>
*न्यूरोबायोलॉजी<ref>{{Cite journal|last1=Basnayake|first1=Kanishka|last2=Mazaud|first2=David|last3=Bemelmans|first3=Alexis|last4=Rouach|first4=Nathalie|last5=Korkotian|first5=Eduard|last6=Holcman|first6=David|date=2019-06-04|title=चरम आँकड़ों द्वारा संचालित डेंड्राइटिक स्पाइन में तेजी से कैल्शियम का परिवर्तन|url=http://dx.doi.org/10.1371/journal.pbio.2006202|journal=PLOS Biology|volume=17|issue=6|pages=e2006202|doi=10.1371/journal.pbio.2006202|pmid=31163024 |issn=1545-7885|pmc=6548358}}</ref>


 
== इतिहास ==
==इतिहास==
अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के क्षेत्र का प्रारंभ [[लियोनार्ड टिपेट]] (1902-1985) ने की थी। टिपेट को [[ब्रिटिश कॉटन इंडस्ट्री रिसर्च एसोसिएशन]] द्वारा नियुक्त किया गया था, जहां उन्होंने सूती धागे को स्थिर बनाने के लिए कार्य  किया था। अपने अध्ययन में, उन्होंने अनुभव किया कि धागे की ताकत उसके सबसे स्थिर तंतुओं की ताकत से नियंत्रित होती है। आर. ए. फिशर की सहायता से, टिपेट ने स्वतंत्र चर मानने वाले अत्यधिक के वितरण का वर्णन करते हुए तीन स्पर्शोन्मुख सीमाएँ प्राप्त कीं। [[एमिल जूलियस गम्बेल]] ने इस सिद्धांत को अपनी 1958 की पुस्तक स्टैटिस्टिक्स ऑफ एक्सट्रीम  में संहिताबद्ध किया, जिसमें गंबेल वितरण भी सम्मिलित है जो उनके नाम पर है। चरों के मध्य साधारण सहसंबंधों की अनुमति देने के लिए इन परिणामों को बढ़ाया जा सकता है, किन्तु शास्त्रीय सिद्धांत विचरण के क्रम के स्थिर सहसंबंधों तक विस्तारित नहीं होता है। विशेष रुचि का सार्वभौमिकता वर्ग लॉग-सहसंबद्ध क्षेत्रों का है, जहां सहसंबंध दूरी के साथ लघुगणकीय रूप से घटते हैं।
अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के क्षेत्र की शुरुआत [[लियोनार्ड टिपेट]] (1902-1985) ने की थी। टिपेट को [[ब्रिटिश कॉटन इंडस्ट्री रिसर्च एसोसिएशन]] द्वारा नियुक्त किया गया था, जहां उन्होंने सूती धागे को मजबूत बनाने के लिए काम किया था। अपने अध्ययन में, उन्होंने महसूस किया कि धागे की ताकत उसके सबसे कमजोर तंतुओं की ताकत से नियंत्रित होती है। आर. ए. फिशर की मदद से, टिपेट ने स्वतंत्र चर मानने वाले अत्यधिक के वितरण का वर्णन करते हुए तीन स्पर्शोन्मुख सीमाएँ प्राप्त कीं। [[एमिल जूलियस गम्बेल]] ने इस सिद्धांत को अपनी 1958 की पुस्तक स्टैटिस्टिक्स ऑफ ्सट्रीम में संहिताबद्ध किया, जिसमें गंबेल वितरण भी शामिल है जो उनके नाम पर है। चरों के बीच मामूली सहसंबंधों की अनुमति देने के लिए इन परिणामों को बढ़ाया जा सकता है, लेकिन शास्त्रीय सिद्धांत विचरण के क्रम के मजबूत सहसंबंधों तक विस्तारित नहीं होता है। विशेष रुचि का सार्वभौमिकता वर्ग लॉग-सहसंबद्ध क्षेत्रों का है, जहां सहसंबंध दूरी के साथ लघुगणकीय रूप से घटते हैं।


==विभिन्न सिद्धांत==
==विभिन्न सिद्धांत==
होने देना <math>X_1, \dots, X_n</math> संचयी वितरण फ़ंक्शन एफ और लेट के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] यादृच्छिक चर का अनुक्रम बनें <math>M_n =\max(X_1,\dots,X_n)</math> अधिकतम को निरूपित करें।
मान लीजिये <math>X_1, \dots, X_n</math> संचयी वितरण फलन F के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] यादृच्छिक चर का अनुक्रम है, <math>M_n =\max(X_1,\dots,X_n)</math> अधिकतम को दर्शाता है।


सिद्धांत रूप में, अधिकतम का सटीक वितरण प्राप्त किया जा सकता है:
सिद्धांत रूप में, अधिकतम का त्रुटिहीन वितरण प्राप्त किया जा सकता है:
:<math>
:<math>
\begin{align}
\begin{align}
Line 52: Line 52:
\end{align}
\end{align}
</math>
</math>
संबंधित [[सूचक कार्य]] <math>I_n = I(M_n>z)</math> सफलता की संभावना वाली [[बर्नौली प्रक्रिया]] है <math>p(z)=1-(F(z))^n</math> यह परिमाण पर निर्भर करता है <math>z</math> अत्यधिक घटना का. भीतर अत्यधिक घटनाओं की संख्या <math>n</math> इस प्रकार परीक्षण  [[द्विपद वितरण]] का अनुसरण करते हैं और जब तक कोई घटना घटित नहीं होती तब तक परीक्षणों की संख्या अपेक्षित मूल्य और उसी क्रम के मानक विचलन के साथ [[ज्यामितीय वितरण]] का अनुसरण करती है। <math>O(1/p(z))</math>.
संबंधित [[सूचक कार्य|सूचक फलन]] <math>I_n = I(M_n>z)</math> सफलता की संभावना वाली [[बर्नौली प्रक्रिया]] है <math>p(z)=1-(F(z))^n</math> यह परिमाण पर निर्भर करता है कि अत्यधिक घटना का <math>z</math> भीतर अत्यधिक घटनाओं की संख्या <math>n</math> परीक्षण इस प्रकार [[द्विपद वितरण]] का अनुसरण करते हैं और जब तक कोई घटना घटित नहीं होती तब तक परीक्षणों की संख्या अपेक्षित मूल्य और उसी क्रम के मानक विचलन के साथ [[ज्यामितीय वितरण]] <math>O(1/p(z))</math> का अनुसरण करती है। .


व्यवहार में, हमारे पास वितरण कार्य नहीं हो सकता है <math>F</math> लेकिन फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय स्पर्शोन्मुख परिणाम प्रदान करता है। यदि स्थिरांकों का क्रम मौजूद है <math>a_n>0 </math> और <math>b_n\in \mathbb R </math> ऐसा है कि
व्यवहार में, हमारे पास वितरण फलन नहीं हो सकता है <math>F</math> किन्तु फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय स्पर्शोन्मुख परिणाम प्रदान करता है। यदि स्थिरांकों का क्रम उपस्तिथ है <math>a_n>0 </math> और <math>b_n\in \mathbb R </math> ऐसा है कि


:<math> \Pr\{(M_n-b_n)/a_n \leq z\} \rightarrow G(z) </math>
:<math> \Pr\{(M_n-b_n)/a_n \leq z\} \rightarrow G(z) </math>
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:<math> G(z) \propto \exp \left[-(1+\zeta z)^{-1/\zeta} \right] </math>
:<math> G(z) \propto \exp \left[-(1+\zeta z)^{-1/\zeta} \right] </math>
कहाँ <math>\zeta</math> वितरण की पूँछ के आकार पर निर्भर करता है।
जहाँ <math>\zeta</math> वितरण की टेल के आकार पर निर्भर करता है। सामान्यीकृत होने पर, G निम्नलिखित गैर-अपक्षयी वितरण सदस्यता से संबंधित होता है:
सामान्यीकृत होने पर, G निम्नलिखित गैर-अपक्षयी वितरण परिवारों में से  से संबंधित होता है:


[[वेइबुल वितरण]]: <math> G(z) = \begin{cases} \exp\left\{-\left( -\left( \frac{z-b}{a} \right) \right)^\alpha\right\} & z<b \\ 1 & z\geq b \end{cases} \text{ for }z\in\mathbb R</math> का वितरण कब <math>M_n</math> परिमित ऊपरी सीमा वाली हल्की पूँछ होती है। इसे टाइप 3 के नाम से भी जाना जाता है।
[[वेइबुल वितरण]]: <math> G(z) = \begin{cases} \exp\left\{-\left( -\left( \frac{z-b}{a} \right) \right)^\alpha\right\} & z<b \\ 1 & z\geq b \end{cases} \text{ for }z\in\mathbb R</math> का वितरण <math>M_n</math> की परिमित ऊपरी सीमा वाली हल्की टेल है। इसे टाइप 3 के नाम से भी जाना जाता है।


गम्बेल वितरण: <math> G(z) = \exp\left\{-\exp\left(-\left(\frac{z-b}{a}\right)\right)\right\}</math> का वितरण कब <math>M_n</math> घातीय पूंछ है. इसे टाइप 1 के नाम से भी जाना जाता है।
'''गम्बेल वितरण:''' <math> G(z) = \exp\left\{-\exp\left(-\left(\frac{z-b}{a}\right)\right)\right\}</math> का वितरण <math>M_n</math> घातीय टेल है, इसे टाइप 1 के नाम से भी जाना जाता है।


फ़्रेचेट वितरण|फ़्रेचेट कानून: <math> G(z) = \begin{cases} 0 & z\leq b \\ \exp\left\{-\left(\frac{z-b}{a}\right)^{-\alpha}\right\} & z>b \end{cases}</math> का वितरण कब <math>M_n</math> इसमें भारी-पूंछ वाला वितरण (बहुपद क्षय सहित) है। इसे टाइप 2 के नाम से भी जाना जाता है।
'''फ़्रेचेट''' '''वितरण''': <math> G(z) = \begin{cases} 0 & z\leq b \\ \exp\left\{-\left(\frac{z-b}{a}\right)^{-\alpha}\right\} & z>b \end{cases}</math> का वितरण <math>M_n</math> इसमें भारी-टेल वाला वितरण (बहुपद क्षय सहित) है। इसे टाइप 2 के नाम से भी जाना जाता है।


वेइबुल और फ़्रेचेट कानूनों के लिए, <math>\alpha>0</math>.
वेइबुल और फ़्रेचेट वितरण के लिए, <math>\alpha>0</math> है।


==बहुभिन्नरूपी सिद्धांत==
==बहुभिन्नरूपी सिद्धांत==
से अधिक चर में अत्यधिक मूल्य सिद्धांत अतिरिक्त मुद्दों का परिचय देता है जिन्हें संबोधित किया जाना है। समस्या जो उत्पन्न होती है वह यह है कि किसी को यह निर्दिष्ट करना होगा कि  अत्यधिक घटना क्या है।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Morton|first1=I.D.|last2=Bowers|first2=J.|date=December 1996|title=बहुभिन्नरूपी अपतटीय वातावरण में अत्यधिक मूल्य विश्लेषण|journal=Applied Ocean Research|volume=18|issue=6|pages=303–317|doi=10.1016/s0141-1187(97)00007-2|issn=0141-1187}}</ref> हालाँकि यह विभिन्न मामले में सीधा है, बहुभिन्नरूपी मामले में ऐसा करने का कोई स्पष्ट तरीका नहीं है। मूलभूत समस्या यह है कि यद्यपि वास्तविक-मूल्यवान संख्याओं के सेट को ऑर्डर करना संभव है, लेकिन वैक्टर के सेट को ऑर्डर करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है।
एक से अधिक चर में अत्यधिक मूल्य सिद्धांत अतिरिक्त विषय का परिचय देता है जिन्हें संबोधित किया जाना है। समस्या जो उत्पन्न होती है वह यह है कि किसी को यह निर्दिष्ट करना होगा कि  अत्यधिक घटना क्या है।<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Morton|first1=I.D.|last2=Bowers|first2=J.|date=December 1996|title=बहुभिन्नरूपी अपतटीय वातावरण में अत्यधिक मूल्य विश्लेषण|journal=Applied Ocean Research|volume=18|issue=6|pages=303–317|doi=10.1016/s0141-1187(97)00007-2|issn=0141-1187}}</ref> चूँकि यह विभिन्न स्तिथि में सरल है, बहुभिन्नरूपी स्तिथि में ऐसा करने की कोई स्पष्ट विधि नहीं है। मूलभूत समस्या यह है कि यद्यपि वास्तविक-मूल्यवान संख्याओं के सेट को ऑर्डर करना संभव है, किन्तु वैक्टर के सेट को ऑर्डर करने का कोई प्राकृतिक विधि नहीं है।
 
उदाहरण के तौर पर, अविभाज्य मामले में, टिप्पणियों का  सेट दिया गया है <math>x_i </math> केवल अधिकतम (या न्यूनतम) अवलोकनों को लेकर सबसे अत्यधिक घटना का पता लगाना आसान है। हालाँकि, द्विचर मामले में, टिप्पणियों का  सेट दिया गया है <math> (x_i, y_i) </math>, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि सबसे अत्यधिक घटना का पता कैसे लगाया जाए। मान लीजिए कि किसी ने मान माप लिया है <math>(3, 4)</math>  विशिष्ट समय और मूल्यों पर <math>(5, 2)</math> बाद के समय में। इनमें से कौन सी घटना अधिक अत्यधिक मानी जाएगी? इस प्रश्न का कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है।


बहुभिन्नरूपी मामले में  और मुद्दा यह है कि सीमित मॉडल विभिन्न मामले की तरह पूरी तरह से निर्धारित नहीं है। यूनीवेरिएट मामले में, मॉडल (सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण) में तीन पैरामीटर होते हैं जिनके मूल्यों की भविष्यवाणी सिद्धांत द्वारा नहीं की जाती है और वितरण को डेटा में फिट करके प्राप्त किया जाना चाहिए। बहुभिन्नरूपी मामले में, मॉडल में न केवल अज्ञात पैरामीटर होते हैं, बल्कि  फ़ंक्शन भी होता है जिसका सटीक रूप सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं होता है। हालाँकि, इस फ़ंक्शन को कुछ बाधाओं का पालन करना होगा।<ref>{{Cite book|title=Statistics of Extremes: Theory and Applications|last1=Beirlant|first1=Jan|last2=Goegebeur|first2=Yuri|last3=Teugels|first3=Jozef|last4=Segers|first4=Johan|date=2004-08-27|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|isbn=9780470012383|series=Wiley Series in Probability and Statistics|location=Chichester, UK|doi=10.1002/0470012382}}</ref><ref>{{Cite book|last=Coles|first=Stuart|date=2001|title=चरम मूल्यों के सांख्यिकीय मॉडलिंग का परिचय|series=Springer Series in Statistics|doi=10.1007/978-1-4471-3675-0|issn=0172-7397|isbn=978-1-84996-874-4}}</ref> ऐसे अनुमानकर्ताओं को तैयार करना आसान नहीं है जो ऐसी बाधाओं का पालन करते हैं, हालांकि कुछ का निर्माण हाल ही में किया गया है।<ref name="dC2014">{{Cite journal |last1=de Carvalho|first1=M.|last2=Davison|first2=A. C.| title = बहुभिन्नरूपी चरम सीमाओं के लिए वर्णक्रमीय घनत्व अनुपात मॉडल|journal=Journal of the American Statistical Association|year=2014|volume=109 |pages=764‒776| doi=10.1016/j.spl.2017.03.030|url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2014a.pdf}}</ref>
उदाहरण के लिए, अविभाज्य अवस्था में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है <math>x_i </math> केवल अधिकतम (या न्यूनतम) अवलोकनों को लेकर सबसे अत्यधिक घटना को ज्ञात करना सरल है। चूँकि, द्विचर अवस्था में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है <math> (x_i, y_i) </math>, यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि सबसे अत्यधिक घटना को कैसे ज्ञात किया जाए। मान लीजिए कि किसी ने मान माप लिया है <math>(3, 4)</math> विशिष्ट समय और मूल्यों पर <math>(5, 2)</math> पश्चात के समय में इनमें से कौन सी घटना अत्यधिक मानी जाएगी? इस प्रश्न का कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है।
<ref name="hanson2017">{{Cite journal |last1=Hanson|first1=T.|last2=de Carvalho|first2=M.| last3=Chen| first3=Yuhui| title = बर्नस्टीन बहुभिन्नरूपी चरम मूल्य वितरण के बहुपद कोणीय घनत्व|journal=Statistics and Probability Letters|year=2017|volume=128 |pages=60–66| doi=10.1016/j.spl.2017.03.030|url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/hanson2017.pdf}}</ref>
<ref name="dC2013">{{Cite journal |last1=de Carvalho|first1=M.| title = द्विचर पूंछ निर्भरता के लिए एक यूक्लिडियन संभावना अनुमानक|journal=Communications in Statistics – Theory and Methods|year=2013|volume=42 |issue=7 |pages=1176–1192| doi= 10.1080/03610926.2012.709905|arxiv=1204.3524 |s2cid=42652601 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2013.pdf}}</ref>
अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, द्विचर अत्यधिक मूल्य सिद्धांत को समुद्री अनुसंधान में लागू किया गया है।<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Zachary|first1=S.|last2=Feld|first2=G.|last3=Ward|first3=G.|last4=Wolfram|first4=J.|date=October 1998|title=अपतटीय वातावरण में बहुभिन्नरूपी एक्सट्रपलेशन|journal=Applied Ocean Research|volume=20|issue=5|pages=273–295|doi=10.1016/s0141-1187(98)00027-3|issn=0141-1187}}</ref>


बहुभिन्नरूपी अवस्था में विषय यह है कि सीमित मॉडल विभिन्न अवस्था पूर्ण रूप से निर्धारित नहीं है। यूनीवेरिएट अवस्था में, मॉडल (सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण) में तीन पैरामीटर होते हैं जिनके मूल्यों की भविष्यवाणी सिद्धांत द्वारा नहीं की जाती है और वितरण को डेटा में फिट करके प्राप्त किया जाना चाहिए। बहुभिन्नरूपी अवस्था में, मॉडल में न केवल अज्ञात पैरामीटर होते हैं, अन्यथा फलन भी होता है जिसका त्रुटिहीन रूप सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं होता है। चूँकि, इस फलन को कुछ बाधाओं का पालन करना होगा।<ref>{{Cite book|title=Statistics of Extremes: Theory and Applications|last1=Beirlant|first1=Jan|last2=Goegebeur|first2=Yuri|last3=Teugels|first3=Jozef|last4=Segers|first4=Johan|date=2004-08-27|publisher=John Wiley & Sons, Ltd|isbn=9780470012383|series=Wiley Series in Probability and Statistics|location=Chichester, UK|doi=10.1002/0470012382}}</ref><ref>{{Cite book|last=Coles|first=Stuart|date=2001|title=चरम मूल्यों के सांख्यिकीय मॉडलिंग का परिचय|series=Springer Series in Statistics|doi=10.1007/978-1-4471-3675-0|issn=0172-7397|isbn=978-1-84996-874-4}}</ref> ऐसे अनुमानकर्ताओं को तैयार करना सरल नहीं है जो ऐसी बाधाओं का पालन करते हैं, चूँकि कुछ का निर्माण वर्तमान में ही किया गया है।<ref name="dC2014">{{Cite journal |last1=de Carvalho|first1=M.|last2=Davison|first2=A. C.| title = बहुभिन्नरूपी चरम सीमाओं के लिए वर्णक्रमीय घनत्व अनुपात मॉडल|journal=Journal of the American Statistical Association|year=2014|volume=109 |pages=764‒776| doi=10.1016/j.spl.2017.03.030|url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2014a.pdf}}</ref><ref name="hanson2017">{{Cite journal |last1=Hanson|first1=T.|last2=de Carvalho|first2=M.| last3=Chen| first3=Yuhui| title = बर्नस्टीन बहुभिन्नरूपी चरम मूल्य वितरण के बहुपद कोणीय घनत्व|journal=Statistics and Probability Letters|year=2017|volume=128 |pages=60–66| doi=10.1016/j.spl.2017.03.030|url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/hanson2017.pdf}}</ref><ref name="dC2013">{{Cite journal |last1=de Carvalho|first1=M.| title = द्विचर पूंछ निर्भरता के लिए एक यूक्लिडियन संभावना अनुमानक|journal=Communications in Statistics – Theory and Methods|year=2013|volume=42 |issue=7 |pages=1176–1192| doi= 10.1080/03610926.2012.709905|arxiv=1204.3524 |s2cid=42652601 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2013.pdf}}</ref>


==अस्थिर अत्यधिक==
अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, द्विचर अत्यधिक मूल्य सिद्धांत को समुद्री अनुसंधान में प्रारम्भ किया गया है।<ref name=":0" /><ref>{{Cite journal|last1=Zachary|first1=S.|last2=Feld|first2=G.|last3=Ward|first3=G.|last4=Wolfram|first4=J.|date=October 1998|title=अपतटीय वातावरण में बहुभिन्नरूपी एक्सट्रपलेशन|journal=Applied Ocean Research|volume=20|issue=5|pages=273–295|doi=10.1016/s0141-1187(98)00027-3|issn=0141-1187}}</ref>
गैर-स्थिर समय श्रृंखला के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग 1990 के दशक में विकसित की गई थी।<ref name="dS1990">{{Cite journal |last1=Davison|first1=A.C.| last2 = Smith| first2 = Richard |title = उच्च सीमा से अधिक के लिए मॉडल|journal=Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological)|year=1990|volume=52 |issue=3 |pages=393–425| doi= 10.1111/j.2517-6161.1990.tb01796.x|url = https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.2517-6161.1990.tb01796.x}}</ref> गैर-स्थिर बहुभिन्नरूपी अत्यधिक सीमाओं के लिए तरीके हाल ही में पेश किए गए हैं।<ref name="dC2012">{{Cite book |last1=de Carvalho|first1=M.| title = Statistics of extremes: Challenges and opportunities. In: Handbook of EVT and its Applications to Finance and Insurance|year=2016| location= Hoboken|publisher= Wiley|page= 195--214|isbn= 978-1-118-65019-6 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2016b.pdf}}</ref> उत्तरार्द्ध का उपयोग यह ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है कि समय के साथ या किसी अन्य सहसंयोजक पर अत्यधिक मूल्यों के बीच निर्भरता कैसे बदलती है।<ref name="castro2018">{{Cite journal |last1=Castro|first1=D.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Wadsworth|first3 = J.| title = अग्रणी यूरोपीय शेयर बाजारों में अनुप्रयोग के साथ समय-परिवर्तनशील चरम मूल्य निर्भरता|journal=Annals of Applied Statistics|year=2018|volume=12 |pages=283–309| doi= 10.1214/17-AOAS1089|s2cid=33350408 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/castro2018.pdf}}</ref><ref name="mhalla2019">{{Cite journal |last1=Mhalla|first1=L.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Chavez-Demoulin|first3 = V.| title = अत्यधिक निर्भरता के लिए प्रतिगमन प्रकार के मॉडल|journal=Scandinavian Journal of Statistics|year=2019|volume=46 |issue=4 |pages=1141–1167| doi= 10.1111/sjos.12388|s2cid=53570822 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/mhalla2019.pdf}}</ref><ref name="EB2018">{{Cite journal |last1=Mhalla|first1=L.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Chavez-Demoulin|first3 = V.| title = पिकैंड्स निर्भरता फ़ंक्शन का स्थानीय मजबूत अनुमान|journal=Annals of Statistics|year=2018|volume=46 |issue=6A |pages=2806–2843| doi= 10.1214/17-AOS1640|s2cid=59467614 |doi-access=free}}</ref>


== अस्थिर अत्यधिक ==
अस्थिर समय श्रृंखला के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग 1990 के दशक में विकसित की गई थी।<ref name="dS1990">{{Cite journal |last1=Davison|first1=A.C.| last2 = Smith| first2 = Richard |title = उच्च सीमा से अधिक के लिए मॉडल|journal=Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Methodological)|year=1990|volume=52 |issue=3 |pages=393–425| doi= 10.1111/j.2517-6161.1990.tb01796.x|url = https://rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.2517-6161.1990.tb01796.x}}</ref> अस्थिर बहुभिन्नरूपी अत्यधिक सीमाओं के लिए विधि वर्तमान में ही प्रस्तुत की गई हैं।<ref name="dC2012">{{Cite book |last1=de Carvalho|first1=M.| title = Statistics of extremes: Challenges and opportunities. In: Handbook of EVT and its Applications to Finance and Insurance|year=2016| location= Hoboken|publisher= Wiley|page= 195--214|isbn= 978-1-118-65019-6 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/decarvalho2016b.pdf}}</ref> उत्तरार्द्ध का उपयोग यह ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है कि समय के साथ या किसी अन्य सहसंयोजक पर अत्यधिक मूल्यों के मध्य निर्भरता कैसे परिवर्तित होती है।<ref name="castro2018">{{Cite journal |last1=Castro|first1=D.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Wadsworth|first3 = J.| title = अग्रणी यूरोपीय शेयर बाजारों में अनुप्रयोग के साथ समय-परिवर्तनशील चरम मूल्य निर्भरता|journal=Annals of Applied Statistics|year=2018|volume=12 |pages=283–309| doi= 10.1214/17-AOAS1089|s2cid=33350408 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/castro2018.pdf}}</ref><ref name="mhalla2019">{{Cite journal |last1=Mhalla|first1=L.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Chavez-Demoulin|first3 = V.| title = अत्यधिक निर्भरता के लिए प्रतिगमन प्रकार के मॉडल|journal=Scandinavian Journal of Statistics|year=2019|volume=46 |issue=4 |pages=1141–1167| doi= 10.1111/sjos.12388|s2cid=53570822 |url = https://www.maths.ed.ac.uk/~mdecarv/papers/mhalla2019.pdf}}</ref><ref name="EB2018">{{Cite journal |last1=Mhalla|first1=L.| last2 = de Carvalho| first2 = M. |last3 = Chavez-Demoulin|first3 = V.| title = पिकैंड्स निर्भरता फ़ंक्शन का स्थानीय मजबूत अनुमान|journal=Annals of Statistics|year=2018|volume=46 |issue=6A |pages=2806–2843| doi= 10.1214/17-AOS1640|s2cid=59467614 |doi-access=free}}</ref>


==यह भी देखें==
== यह भी देखें ==
* [[अत्यधिक जोखिम]]
* [[अत्यधिक जोखिम|अत्यधिक संकट]]
* [[चरम मौसम|अत्यधिक मौसम]]
* [[चरम मौसम|अत्यधिक मौसम]]
* फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय
* फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय

Revision as of 19:33, 6 July 2023

अत्यधिक मूल्य सिद्धांत का उपयोग 1755 के लिस्बन भूकंप जैसी अत्यधिक, दुर्लभ घटनाओं के संकट को मॉडल करने के लिए किया जाता है।

अत्यधिक मूल्य सिद्धांत या अत्यधिक मूल्य विश्लेषण (ईवीए) सांख्यिकी की शाखा है जो संभाव्यता वितरण के मध्य से अत्यधिक विचलन (सांख्यिकी) से निवारण होता है। यह किसी दिए गए यादृच्छिक चर के दिए गए क्रमबद्ध प्रारूप (सांख्यिकी) से, उन घटनाओं की संभावना का आकलन करता है जो पहले देखी गई किसी भी घटना की तुलना में अधिक मूल्य हैं। अत्यधिक मूल्य विश्लेषण का व्यापक रूप से संरचनात्मक इंजीनियरिंग, वित्त, पृथ्वी विज्ञान, यातायात भविष्यवाणी और इंजीनियरिंग भूविज्ञान जैसे कई विषयों में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, ईवीए का उपयोग जल विज्ञान के क्षेत्र में 100 वर्ष की बाढ़ जैसे असामान्य रूप से बड़ी बाढ़ की घटना की संभावना का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। इसी प्रकार, ब्रेकवाटर (संरचना) के डिजाइन के लिए, तटीय इंजीनियर 50-वर्षीय लहर का अनुमान लगाएगा और उसके अनुसार संरचना को डिजाइन करेगा।

डेटा विश्लेषण

व्यावहारिक अत्यधिक मूल्य विश्लेषण के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण उपस्तिथ हैं।

प्रथम विधि प्रारंभिक चरण के रूप में ब्लॉक मैक्सिमा (मिनीमा) श्रृंखला प्राप्त करने पर निर्भर करती है। कई स्थितियों में वार्षिक मैक्सिमा (मिनीमा) निकालना प्रथागत और सुविधाजनक है, जिससे "वार्षिक मैक्सिमा श्रृंखला" (एएमएस) उत्पन्न होती है।

दूसरी विधि, सतत रिकॉर्ड से, किसी भी अवधि के लिए पहुंचे अत्यधिक मूल्यों को निकालने पर निर्भर करती है, जिस समय मान निश्चित सीमा से अधिक हो जाते हैं ( निश्चित सीमा से नीचे आते हैं)। इस विधि को सामान्यतः पीक ओवर थ्रेशोल्ड विधि (पीओटी) के रूप में जाना जाता है।[1]

एएमएस डेटा के लिए, विश्लेषण आंशिक रूप से फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय के परिणामों पर निर्भर हो सकता है, जिससे फिटिंग के लिए सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण का चयन किया जा सकता है।[2][3] चूँकि, व्यवहार में, वितरण की व्यापक श्रेणी के मध्य चयन करने के लिए विभिन्न प्रक्रियाएँ प्रारम्भ की जाती हैं। यहां प्रमेय वितरण से स्वतंत्र यादृच्छिक सांख्यिकीय चर के अधिक बड़े संग्रह के न्यूनतम या अधिकतम के लिए सीमित वितरण से संबंधित है। यह देखते हुए कि वर्ष के भीतर प्रासंगिक यादृच्छिक घटनाओं की संख्या सीमित हो सकती है, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि देखे गए एएमएस डेटा के विश्लेषण से प्रायः सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण (जीईवीडी) के अतिरिक्त अन्य वितरण का चयन किया जाता है।[4]

पीओटी डेटा के लिए, विश्लेषण में दो वितरणों को फिट करना सम्मिलित हो सकता है: एक समय अवधि में घटनाओं की संख्या के लिए और दूसरा अतिरिक्त के आकार के लिए है।

पहले के लिए साधारण धारणा पॉइसन वितरण है, जिसमें सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का उपयोग अधिकता के लिए किया जाता है। टेल-फिटिंग पिकैंड्स-बाल्केमा-डी हान प्रमेय पर आधारित हो सकती है।[5][6]

नोवाक[7] उस स्तिथि "पीओटी विधि" शब्द को सुरक्षित रखता है जहां सीमा गैर-यादृच्छिक है, और इसे उस स्तिथि से भिन्न करता है जहां कोई यादृच्छिक सीमा से अधिक से निवारण करता है।

अनुप्रयोग

अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के अनुप्रयोगों में संभाव्यता वितरण की भविष्यवाणी करना सम्मिलित है:

  • अत्यधिक बाढ़; विचित्र तरंगों का आकार
  • बवंडर का प्रकोप[8]
  • पारिस्थितिक जनसंख्या का अधिकतम आकार[9]
  • दवाओं के दुष्प्रभाव (उदाहरण के लिए, ज़िमेलैगट्रान)
  • बड़े बीमा हानि की भयावहता
  • इक्विटी संकट; दिन-प्रतिदिन बाज़ार का संकट
  • विकास के समय उत्परिवर्तनीय घटनाएँ
  • बड़े जंगल की आग[10]
  • संरचनाओं पर पर्यावरणीय भार[11]
  • मनुष्य सबसे तीव्र गति से 100 मीटर दौड़ने में सक्षम है[12] और अन्य एथलेटिक विषयों में प्रदर्शन[13][14][15]
  • गड्ढों में जंग लगने के कारण पाइपलाइन में व्यर्थता
  • अनियमित आईटी नेटवर्क ट्रैफ़िक, विरुधियों को महत्वपूर्ण डेटा तक जाने का अवरोध करता है।
  • सड़क सुरक्षा विश्लेषण[16][17]
  • वायरलेस संचार[18]
  • महामारी[19]
  • न्यूरोबायोलॉजी[20]

इतिहास

अत्यधिक मूल्य सिद्धांत के क्षेत्र का प्रारंभ लियोनार्ड टिपेट (1902-1985) ने की थी। टिपेट को ब्रिटिश कॉटन इंडस्ट्री रिसर्च एसोसिएशन द्वारा नियुक्त किया गया था, जहां उन्होंने सूती धागे को स्थिर बनाने के लिए कार्य किया था। अपने अध्ययन में, उन्होंने अनुभव किया कि धागे की ताकत उसके सबसे स्थिर तंतुओं की ताकत से नियंत्रित होती है। आर. ए. फिशर की सहायता से, टिपेट ने स्वतंत्र चर मानने वाले अत्यधिक के वितरण का वर्णन करते हुए तीन स्पर्शोन्मुख सीमाएँ प्राप्त कीं। एमिल जूलियस गम्बेल ने इस सिद्धांत को अपनी 1958 की पुस्तक स्टैटिस्टिक्स ऑफ एक्सट्रीम में संहिताबद्ध किया, जिसमें गंबेल वितरण भी सम्मिलित है जो उनके नाम पर है। चरों के मध्य साधारण सहसंबंधों की अनुमति देने के लिए इन परिणामों को बढ़ाया जा सकता है, किन्तु शास्त्रीय सिद्धांत विचरण के क्रम के स्थिर सहसंबंधों तक विस्तारित नहीं होता है। विशेष रुचि का सार्वभौमिकता वर्ग लॉग-सहसंबद्ध क्षेत्रों का है, जहां सहसंबंध दूरी के साथ लघुगणकीय रूप से घटते हैं।

विभिन्न सिद्धांत

मान लीजिये संचयी वितरण फलन F के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अनुक्रम है, अधिकतम को दर्शाता है।

सिद्धांत रूप में, अधिकतम का त्रुटिहीन वितरण प्राप्त किया जा सकता है:

संबंधित सूचक फलन सफलता की संभावना वाली बर्नौली प्रक्रिया है यह परिमाण पर निर्भर करता है कि अत्यधिक घटना का भीतर अत्यधिक घटनाओं की संख्या परीक्षण इस प्रकार द्विपद वितरण का अनुसरण करते हैं और जब तक कोई घटना घटित नहीं होती तब तक परीक्षणों की संख्या अपेक्षित मूल्य और उसी क्रम के मानक विचलन के साथ ज्यामितीय वितरण का अनुसरण करती है। .

व्यवहार में, हमारे पास वितरण फलन नहीं हो सकता है किन्तु फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय स्पर्शोन्मुख परिणाम प्रदान करता है। यदि स्थिरांकों का क्रम उपस्तिथ है और ऐसा है कि

जैसा तब

जहाँ वितरण की टेल के आकार पर निर्भर करता है। सामान्यीकृत होने पर, G निम्नलिखित गैर-अपक्षयी वितरण सदस्यता से संबंधित होता है:

वेइबुल वितरण: का वितरण की परिमित ऊपरी सीमा वाली हल्की टेल है। इसे टाइप 3 के नाम से भी जाना जाता है।

गम्बेल वितरण: का वितरण घातीय टेल है, इसे टाइप 1 के नाम से भी जाना जाता है।

फ़्रेचेट वितरण: का वितरण इसमें भारी-टेल वाला वितरण (बहुपद क्षय सहित) है। इसे टाइप 2 के नाम से भी जाना जाता है।

वेइबुल और फ़्रेचेट वितरण के लिए, है।

बहुभिन्नरूपी सिद्धांत

एक से अधिक चर में अत्यधिक मूल्य सिद्धांत अतिरिक्त विषय का परिचय देता है जिन्हें संबोधित किया जाना है। समस्या जो उत्पन्न होती है वह यह है कि किसी को यह निर्दिष्ट करना होगा कि अत्यधिक घटना क्या है।[21] चूँकि यह विभिन्न स्तिथि में सरल है, बहुभिन्नरूपी स्तिथि में ऐसा करने की कोई स्पष्ट विधि नहीं है। मूलभूत समस्या यह है कि यद्यपि वास्तविक-मूल्यवान संख्याओं के सेट को ऑर्डर करना संभव है, किन्तु वैक्टर के सेट को ऑर्डर करने का कोई प्राकृतिक विधि नहीं है।

उदाहरण के लिए, अविभाज्य अवस्था में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है केवल अधिकतम (या न्यूनतम) अवलोकनों को लेकर सबसे अत्यधिक घटना को ज्ञात करना सरल है। चूँकि, द्विचर अवस्था में, टिप्पणियों का सेट दिया गया है , यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि सबसे अत्यधिक घटना को कैसे ज्ञात किया जाए। मान लीजिए कि किसी ने मान माप लिया है विशिष्ट समय और मूल्यों पर पश्चात के समय में इनमें से कौन सी घटना अत्यधिक मानी जाएगी? इस प्रश्न का कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है।

बहुभिन्नरूपी अवस्था में विषय यह है कि सीमित मॉडल विभिन्न अवस्था पूर्ण रूप से निर्धारित नहीं है। यूनीवेरिएट अवस्था में, मॉडल (सामान्यीकृत अत्यधिक मूल्य वितरण) में तीन पैरामीटर होते हैं जिनके मूल्यों की भविष्यवाणी सिद्धांत द्वारा नहीं की जाती है और वितरण को डेटा में फिट करके प्राप्त किया जाना चाहिए। बहुभिन्नरूपी अवस्था में, मॉडल में न केवल अज्ञात पैरामीटर होते हैं, अन्यथा फलन भी होता है जिसका त्रुटिहीन रूप सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं होता है। चूँकि, इस फलन को कुछ बाधाओं का पालन करना होगा।[22][23] ऐसे अनुमानकर्ताओं को तैयार करना सरल नहीं है जो ऐसी बाधाओं का पालन करते हैं, चूँकि कुछ का निर्माण वर्तमान में ही किया गया है।[24][25][26]

अनुप्रयोग के उदाहरण के रूप में, द्विचर अत्यधिक मूल्य सिद्धांत को समुद्री अनुसंधान में प्रारम्भ किया गया है।[21][27]

अस्थिर अत्यधिक

अस्थिर समय श्रृंखला के लिए सांख्यिकीय मॉडलिंग 1990 के दशक में विकसित की गई थी।[28] अस्थिर बहुभिन्नरूपी अत्यधिक सीमाओं के लिए विधि वर्तमान में ही प्रस्तुत की गई हैं।[29] उत्तरार्द्ध का उपयोग यह ट्रैक करने के लिए किया जा सकता है कि समय के साथ या किसी अन्य सहसंयोजक पर अत्यधिक मूल्यों के मध्य निर्भरता कैसे परिवर्तित होती है।[30][31][32]

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

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