प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति: Difference between revisions

Revision as of 12:13, 5 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत में, प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति (या विनियमित ब्राउनियन गति,^[1]^[2] दोनों परिवर्णी शब्द आरबीएम के साथ) सीमाओं को प्रतिबिंबित करने वाले अंतरिक्ष में एक वीनर प्रक्रिया है।^[3] भौतिकी साहित्य में यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में विसरण का वर्णन करती है और इसे अधिकांशतः सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है।^[4]

आरबीएम को भारी ट्रैफ़िक का अनुभव करने वाले कतारबद्ध मॉडलों का वर्णन करने के लिए दिखाया गया है^[2] जैसा कि किंगमैन द्वारा पहली बार प्रस्तावित किया गया था^[5] और इग्लेहार्ट और व्हिट द्वारा सिद्ध किया गया था।^[6]^[7]

परिभाषा

A d-आयामी परावर्तित ब्राउनियन गति Z, $\mathbb {R} _{+}^{d}$ पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

एक डी-आयामी बहाव वेक्टर μ
a d×d गैर-विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह Σ और
a d×d प्रतिबिंब आव्यूह R।^[8]

जहां X(t) एक अनियंत्रित एक प्रकार कि गति है और^[9]:

$Z(t)=X(t)+RY(t)$

Y(t) एक d-आयामी वेक्टर के साथ जहां

Y निरन्तर है और Y(0) = 0 के साथ घटता नहीं है
Y_j केवल उसी समय बढ़ता है जिसके लिए Z_j= 0 जे के लिए = 1,2,..., d
Z(t) ∈ , t ≥ 0.

प्रतिबिंब आव्यूह सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। के आंतरिक भाग में $\scriptstyle \mathbb {R} _{+}^{d}$ प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार करती है; सीमा पर सामान्य रूप से पर बोलते हुए, Z को दिशा R^j में धकेल दिया जाता है जब भी सीमा सतह $\scriptstyle \{z\in \mathbb {R} _{+}^{d}:z_{j}=0\}$ मारा जाता है, जहां R^j आव्यूह R का jवां स्तंभ है।^[9]

स्थिरता की स्थिति

1, 2, और 3 आयामों में आरबीएम के लिए स्थिरता की स्थितियाँ जानी जाती हैं। "एसआरबीएम के लिए चार और उच्चतर आयामों में पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।"^[9] विशेष स्थिति में जहां आर एक एम-आव्यूह है तो स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त नियम हैं^[9]

R एक गैर-एकवचन आव्यूह है और
R⁻¹μ < 0.

सीमांत और स्थिर वितरण

एक आयाम

0 से शुरू होने वाली एक-आयामी ब्राउनियन गति का सीमांत वितरण (क्षणिक वितरण) ड्रिफ्ट μ और विचरण σ² के साथ सकारात्मक मानों (0 पर एक एकल परावर्तक अवरोध) तक सीमित है

\mathbb {P} (Z(t)\leq z)=\Phi \left({\frac {z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}\Phi \left({\frac {-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}}}\right)

सभी t ≥ 0 के लिए, (Φ के साथ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन) जो देता है (μ < 0 के लिए) जब t → ∞ एक घातीय वितरण लेते हैं^[2]

\mathbb {P} (Z<z)=1-e^{2\mu z/\sigma ^{2}}.

निश्चित टी के लिए, Z(t) का वितरण ब्राउनियन गति के चल रहे अधिकतम M(t) के वितरण के साथ मेल खाता है,

Z(t)\sim M(t)=\sup _{s\in [0,t]}X(s).

किंतु ध्यान रखें कि संपूर्ण रूप से प्रक्रियाओं का वितरण बहुत भिन्न होता है। विशेष रूप से, M(t) t में बढ़ रहा है, जो Z(t) के स्थिति में नहीं है।

$p_{b}$ परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेल:

$f(x,p_{b})={\frac {e^{-((x-u)/a)^{2}/2}+e^{-((x+u-2p_{b})/a)^{2}/2}}{a(2\pi )^{1/2}}}$

ऊपर के विमान के लिए $x\geq p_{b}$

एकाधिक आयाम

कई आयामों में प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से तब ट्रैक किया जा सकता है जब उत्पाद के रूप में स्थिर वितरण होता है जो तब होता है^[10] जब प्रक्रिया स्थिर होती है और^[11]

2\Sigma =RD+DR'

जहां D = diag(Σ) इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन है^[8]

] $p(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{d})=\prod _{k=1}^{d}\eta _{k}e^{-\eta _{k}z_{k}}$

जहाँ η_k = 2μ_kγ_k/Σ_kk and γ = R⁻¹μ उन स्थितियों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियां जहां उत्पाद फॉर्म की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, सिमुलेशन अनुभाग में नीचे वर्णित अनुसार संख्यात्मक रूप से गणना की जा सकती है।

सिमुलेशन

एक आयाम

एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्न मैटलैब प्रोग्राम एक नमूना पथ बनाता है।^[12]

% rbm.m
n = 10^4; h=10^(-3); t=h.*(0:n); mu=-1;
X = zeros(1, n+1); M=X; B=X;
B(1)=3; X(1)=3;
for k=2:n+1
    Y = sqrt(h) * randn; U = rand(1);
    B(k) = B(k-1) + mu * h - Y;
    M = (Y + sqrt(Y ^ 2 - 2 * h * log(U))) / 2;
    X(k) = max(M-Y, X(k-1) + h * mu - Y);
end
subplot(2, 1, 1)
plot(t, X, 'k-');
subplot(2, 1, 2)
plot(t, X-B, 'k-');

असतत सिमुलेशन में सम्मिलित त्रुटि की मात्रा निर्धारित की गई है।^[13]

एकाधिक आयाम

QNET स्टेडी स्टेट आरबीएम के अनुकरण की अनुमति देता है।^[14]^[15]^[16]

अन्य सीमा के नियम

फेलर ने प्रक्रिया के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया गया था^[17]^[18]^[19]

अवशोषण^[17]या मार डाला ब्राउनियन गति,^[20] एक डिरिचलेट सीमा स्थिति
तात्कालिक प्रतिबिंब,^[17]जैसा कि एक न्यूमैन सीमा स्थिति के ऊपर वर्णित है
लोचदार प्रतिबिंब, एक रॉबिन सीमा की स्थिति
विलंबित प्रतिबिंब^[17](सीमा पर बिताया गया समय प्रायिकता एक के साथ धनात्मक है)
आंशिक प्रतिबिंब^[17]जहां प्रक्रिया या तो तुरंत परिलक्षित होती है या अवशोषित हो जाती है
अस्थिरचित्त ब्राउनियन गति।^[21]

यह भी देखें

स्कोरोखोड समस्या

संदर्भ

↑ Dieker, A. B. (2011). "Reflected Brownian Motion". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0711. ISBN 9780470400531.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 Harrison, J. Michael (1985). ब्राउनियन मोशन और स्टोचैस्टिक फ्लो सिस्टम (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 978-0471819394.
↑ Veestraeten, D. (2004). "परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए सशर्त प्रायिकता घनत्व फलन". Computational Economics. 24 (2): 185–207. doi:10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af. S2CID 121673717.
↑ Faucheux, Luc P.; Libchaber, Albert J. (1994-06-01). "सीमित ब्राउनियन गति". Physical Review E (in English). 49 (6): 5158–5163. doi:10.1103/PhysRevE.49.5158. ISSN 1063-651X.
↑ Kingman, J. F. C. (1962). "भारी यातायात में कतारों पर". Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 24 (2): 383–392. doi:10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR 2984229.
↑ Iglehart, Donald L.; Whitt, Ward (1970). "भारी यातायात में एकाधिक चैनल कतारें। मैं". Advances in Applied Probability. 2 (1): 150–177. doi:10.2307/3518347. JSTOR 3518347. S2CID 202104090.
↑ Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches" (PDF). Advances in Applied Probability. 2 (2): 355–369. doi:10.2307/1426324. JSTOR 1426324. S2CID 120281300. Retrieved 30 Nov 2012.
↑ ^8.0 ^8.1 Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1987). "सजातीय ग्राहक आबादी के साथ खुले कतारबद्ध नेटवर्क के ब्राउनियन मॉडल" (PDF). Stochastics. 22 (2): 77. doi:10.1080/17442508708833469.
↑ ^9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Bramson, M.; Dai, J. G.; Harrison, J. M. (2010). "ब्राउनियन गति को तीन आयामों में प्रतिबिंबित करने की सकारात्मक पुनरावृत्ति" (PDF). The Annals of Applied Probability. 20 (2): 753. arXiv:1009.5746. doi:10.1214/09-AAP631. S2CID 2251853.
↑ Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1992). "Brownian Models of Feedforward Queueing Networks: Quasireversibility and Product Form Solutions". The Annals of Applied Probability. 2 (2): 263. doi:10.1214/aoap/1177005704. JSTOR 2959751.
↑ Harrison, J. M.; Reiman, M. I. (1981). "बहुआयामी परावर्तित ब्राउनियन गति के वितरण पर". SIAM Journal on Applied Mathematics. 41 (2): 345–361. doi:10.1137/0141030.
↑ Kroese, Dirk P.; Taimre, Thomas; Botev, Zdravko I. (2011). हैंडबुक ऑफ मोंटे कार्लो मेथड्स. John Wiley & Sons. p. 202. ISBN 978-1118014950.
↑ Asmussen, S.; Glynn, P.; Pitman, J. (1995). "एक आयामी परावर्तक ब्राउनियन गति के अनुकरण में विवेकाधीन त्रुटि". The Annals of Applied Probability. 5 (4): 875. doi:10.1214/aoap/1177004597. JSTOR 2245096.
↑ Dai, Jim G.; Harrison, J. Michael (1991). "Steady-State Analysis of RBM in a Rectangle: Numerical Methods and A Queueing Application". The Annals of Applied Probability. 1 (1): 16–35. CiteSeerX 10.1.1.44.5520. doi:10.1214/aoap/1177005979. JSTOR 2959623.
↑ Dai, Jiangang "Jim" (1990). "Section A.5 (code for BNET)" (PDF). Steady-state analysis of reflected Brownian motions: characterization, numerical methods and queueing applications (Ph. D. thesis) (Thesis). Stanford University. Dept. of Mathematics. Retrieved 5 December 2012.
↑ Dai, J. G.; Harrison, J. M. (1992). "Reflected Brownian Motion in an Orthant: Numerical Methods for Steady-State Analysis" (PDF). The Annals of Applied Probability. 2 (1): 65–86. doi:10.1214/aoap/1177005771. JSTOR 2959654.
↑ ^17.0 ^17.1 ^17.2 ^17.3 ^17.4 Skorokhod, A. V. (1962). "परिबद्ध क्षेत्र में प्रसार प्रक्रियाओं के लिए स्टोकेस्टिक समीकरण। द्वितीय". Theory of Probability and Its Applications. 7: 3–23. doi:10.1137/1107002.
↑ Feller, W. (1954). "प्रसार एक आयाम में प्रक्रिया करता है". Transactions of the American Mathematical Society. 77: 1–31. doi:10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6. MR 0063607.
↑ Engelbert, H. J.; Peskir, G. (2012). "स्टिकी ब्राउनियन मोशन के लिए स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन" (PDF). Probab. Statist. Group Manchester Research Report (5).
↑ Chung, K. L.; Zhao, Z. (1995). "Killed Brownian Motion". From Brownian Motion to Schrödinger's Equation. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 312. p. 31. doi:10.1007/978-3-642-57856-4_2. ISBN 978-3-642-63381-2.
↑ Itō, K.; McKean, H. P. (1996). "Time changes and killing". प्रसार प्रक्रियाएं और उनके नमूना पथ. pp. 164. doi:10.1007/978-3-642-62025-6_6. ISBN 978-3-540-60629-1.

[1] Dieker, A. B. (2011). "Reflected Brownian Motion". संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया. doi:10.1002/9780470400531.eorms0711. ISBN 9780470400531.

[harrison-book-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Harrison, J. Michael (1985). ब्राउनियन मोशन और स्टोचैस्टिक फ्लो सिस्टम (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 978-0471819394.

[3] Veestraeten, D. (2004). "परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए सशर्त प्रायिकता घनत्व फलन". Computational Economics. 24 (2): 185–207. doi:10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af. S2CID 121673717.

[4] Faucheux, Luc P.; Libchaber, Albert J. (1994-06-01). "सीमित ब्राउनियन गति". Physical Review E (in English). 49 (6): 5158–5163. doi:10.1103/PhysRevE.49.5158. ISSN 1063-651X.

[5] Kingman, J. F. C. (1962). "भारी यातायात में कतारों पर". Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological). 24 (2): 383–392. doi:10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x. JSTOR 2984229.

[6] Iglehart, Donald L.; Whitt, Ward (1970). "भारी यातायात में एकाधिक चैनल कतारें। मैं". Advances in Applied Probability. 2 (1): 150–177. doi:10.2307/3518347. JSTOR 3518347. S2CID 202104090.

[7] Iglehart, Donald L.; Ward, Whitt (1970). "Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches" (PDF). Advances in Applied Probability. 2 (2): 355–369. doi:10.2307/1426324. JSTOR 1426324. S2CID 120281300. Retrieved 30 Nov 2012.

[open-8] 8.0 ^8.1 Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1987). "सजातीय ग्राहक आबादी के साथ खुले कतारबद्ध नेटवर्क के ब्राउनियन मॉडल" (PDF). Stochastics. 22 (2): 77. doi:10.1080/17442508708833469.

[Bramson-9] 9.0 ^9.1 ^9.2 ^9.3 Bramson, M.; Dai, J. G.; Harrison, J. M. (2010). "ब्राउनियन गति को तीन आयामों में प्रतिबिंबित करने की सकारात्मक पुनरावृत्ति" (PDF). The Annals of Applied Probability. 20 (2): 753. arXiv:1009.5746. doi:10.1214/09-AAP631. S2CID 2251853.

[10] Harrison, J. M.; Williams, R. J. (1992). "Brownian Models of Feedforward Queueing Networks: Quasireversibility and Product Form Solutions". The Annals of Applied Probability. 2 (2): 263. doi:10.1214/aoap/1177005704. JSTOR 2959751.

[11] Harrison, J. M.; Reiman, M. I. (1981). "बहुआयामी परावर्तित ब्राउनियन गति के वितरण पर". SIAM Journal on Applied Mathematics. 41 (2): 345–361. doi:10.1137/0141030.

[12] Kroese, Dirk P.; Taimre, Thomas; Botev, Zdravko I. (2011). हैंडबुक ऑफ मोंटे कार्लो मेथड्स. John Wiley & Sons. p. 202. ISBN 978-1118014950.

[13] Asmussen, S.; Glynn, P.; Pitman, J. (1995). "एक आयामी परावर्तक ब्राउनियन गति के अनुकरण में विवेकाधीन त्रुटि". The Annals of Applied Probability. 5 (4): 875. doi:10.1214/aoap/1177004597. JSTOR 2245096.

[14] Dai, Jim G.; Harrison, J. Michael (1991). "Steady-State Analysis of RBM in a Rectangle: Numerical Methods and A Queueing Application". The Annals of Applied Probability. 1 (1): 16–35. CiteSeerX 10.1.1.44.5520. doi:10.1214/aoap/1177005979. JSTOR 2959623.

[15] Dai, Jiangang "Jim" (1990). "Section A.5 (code for BNET)" (PDF). Steady-state analysis of reflected Brownian motions: characterization, numerical methods and queueing applications (Ph. D. thesis) (Thesis). Stanford University. Dept. of Mathematics. Retrieved 5 December 2012.

[16] Dai, J. G.; Harrison, J. M. (1992). "Reflected Brownian Motion in an Orthant: Numerical Methods for Steady-State Analysis" (PDF). The Annals of Applied Probability. 2 (1): 65–86. doi:10.1214/aoap/1177005771. JSTOR 2959654.

[skorokhod-17] 17.0 ^17.1 ^17.2 ^17.3 ^17.4 Skorokhod, A. V. (1962). "परिबद्ध क्षेत्र में प्रसार प्रक्रियाओं के लिए स्टोकेस्टिक समीकरण। द्वितीय". Theory of Probability and Its Applications. 7: 3–23. doi:10.1137/1107002.

[18] Feller, W. (1954). "प्रसार एक आयाम में प्रक्रिया करता है". Transactions of the American Mathematical Society. 77: 1–31. doi:10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6. MR 0063607.

[19] Engelbert, H. J.; Peskir, G. (2012). "स्टिकी ब्राउनियन मोशन के लिए स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन" (PDF). Probab. Statist. Group Manchester Research Report (5).

[20] Chung, K. L.; Zhao, Z. (1995). "Killed Brownian Motion". From Brownian Motion to Schrödinger's Equation. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 312. p. 31. doi:10.1007/978-3-642-57856-4_2. ISBN 978-3-642-63381-2.

[21] Itō, K.; McKean, H. P. (1996). "Time changes and killing". प्रसार प्रक्रियाएं और उनके नमूना पथ. pp. 164. doi:10.1007/978-3-642-62025-6_6. ISBN 978-3-540-60629-1.

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 {{Short description|Wiener process with reflecting spatial boundaries}}
-संभाव्यता सिद्धांत में, प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति (या विनियमित ब्राउनियन गति,<ref>{{Cite book | last1 = Dieker | first1 = A. B. | chapter = Reflected Brownian Motion | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0711 | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref><ref name="harrison-book" />दोनों परिवर्णी शब्द आरबीएम के साथ) सीमाओं को प्रतिबिंबित करने वाले अंतरिक्ष में एक [[वीनर प्रक्रिया]] है।<ref>{{Cite journal | last1 = Veestraeten | first1 = D. | title = परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए सशर्त प्रायिकता घनत्व फलन| doi = 10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af | journal = Computational Economics | volume = 24 | issue = 2 | pages = 185–207 | year = 2004 | s2cid = 121673717 }}</ref> भौतिकी साहित्य में, यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में विसरण का वर्णन करती है और इसे अक्सर सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है।<ref>{{Cite journal|last=Faucheux|first=Luc P.|last2=Libchaber|first2=Albert J.|date=1994-06-01|title=सीमित ब्राउनियन गति|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.49.5158|journal=Physical Review E|language=en|volume=49|issue=6|pages=5158–5163|doi=10.1103/PhysRevE.49.5158|issn=1063-651X}}</ref>
+संभाव्यता सिद्धांत में, '''प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति''' (या विनियमित ब्राउनियन गति,<ref>{{Cite book | last1 = Dieker | first1 = A. B. | chapter = Reflected Brownian Motion | doi = 10.1002/9780470400531.eorms0711 | title = संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान का विली एनसाइक्लोपीडिया| year = 2011 | isbn = 9780470400531 }}</ref><ref name="harrison-book" /> दोनों परिवर्णी शब्द आरबीएम के साथ) सीमाओं को प्रतिबिंबित करने वाले अंतरिक्ष में एक [[वीनर प्रक्रिया]] है।<ref>{{Cite journal | last1 = Veestraeten | first1 = D. | title = परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए सशर्त प्रायिकता घनत्व फलन| doi = 10.1023/B:CSEM.0000049491.13935.af | journal = Computational Economics | volume = 24 | issue = 2 | pages = 185–207 | year = 2004 | s2cid = 121673717 }}</ref> भौतिकी साहित्य में यह प्रक्रिया एक सीमित स्थान में विसरण का वर्णन करती है और इसे  अधिकांशतः सीमित ब्राउनियन गति कहा जाता है। उदाहरण के लिए यह दो दीवारों के बीच सीमित पानी में कठोर गोले की गति का वर्णन कर सकता है।<ref>{{Cite journal|last=Faucheux|first=Luc P.|last2=Libchaber|first2=Albert J.|date=1994-06-01|title=सीमित ब्राउनियन गति|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.49.5158|journal=Physical Review E|language=en|volume=49|issue=6|pages=5158–5163|doi=10.1103/PhysRevE.49.5158|issn=1063-651X}}</ref>
-आरबीएम को भारी ट्रैफिक सन्निकटन का अनुभव करने वाले [[ कतारबद्ध मॉडल |कतारबद्ध मॉडल]] का वर्णन करने के लिए दिखाया गया है<ref name="harrison-book" />जैसा कि पहले [[जॉन किंगमैन]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था<ref>{{cite journal | last1 = Kingman | first1 = J. F. C. | author-link1 = John Kingman | year = 1962 | title = भारी यातायात में कतारों पर| journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) | volume = 24 | issue = 2 | pages = 383–392  |jstor=2984229| doi = 10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x }}</ref> और इगलहार्ट और [[वार्ड व्हिट]] द्वारा सिद्ध किया गया।<ref>{{cite journal | last1 = Iglehart | first1 = Donald L. | last2 = Whitt | first2 = Ward | author-link2 = Ward Whitt | year = 1970 | title = भारी यातायात में एकाधिक चैनल कतारें। मैं| journal = Advances in Applied Probability | volume = 2 | issue = 1 | pages = 150–177  | jstor = 3518347 | doi=10.2307/3518347| s2cid = 202104090 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Iglehart | first1 = Donald L. | last2 = Ward | first2 = Whitt | author-link2 = Ward Whitt | year = 1970 | title = Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches | journal = Advances in Applied Probability | volume = 2 | issue = 2 | pages = 355–369  | jstor = 1426324 | access-date = 30 Nov 2012 | url = http://www.columbia.edu/~ww2040/MultipleChannel1970II.pdf | doi=10.2307/1426324| s2cid = 120281300 }}</ref>
+आरबीएम को भारी ट्रैफ़िक का अनुभव करने वाले कतारबद्ध मॉडलों का वर्णन करने के लिए दिखाया गया है<ref name="harrison-book" /> जैसा कि किंगमैन द्वारा पहली बार प्रस्तावित किया गया था<ref>{{cite journal | last1 = Kingman | first1 = J. F. C. | author-link1 = John Kingman | year = 1962 | title = भारी यातायात में कतारों पर| journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) | volume = 24 | issue = 2 | pages = 383–392  |jstor=2984229| doi = 10.1111/j.2517-6161.1962.tb00465.x }}</ref> और इग्लेहार्ट और व्हिट द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Iglehart | first1 = Donald L. | last2 = Whitt | first2 = Ward | author-link2 = Ward Whitt | year = 1970 | title = भारी यातायात में एकाधिक चैनल कतारें। मैं| journal = Advances in Applied Probability | volume = 2 | issue = 1 | pages = 150–177  | jstor = 3518347 | doi=10.2307/3518347| s2cid = 202104090 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Iglehart | first1 = Donald L. | last2 = Ward | first2 = Whitt | author-link2 = Ward Whitt | year = 1970 | title = Multiple Channel Queues in Heavy Traffic. II: Sequences, Networks, and Batches | journal = Advances in Applied Probability | volume = 2 | issue = 2 | pages = 355–369  | jstor = 1426324 | access-date = 30 Nov 2012 | url = http://www.columbia.edu/~ww2040/MultipleChannel1970II.pdf | doi=10.2307/1426324| s2cid = 120281300 }}</ref>
 == परिभाषा ==
-एक डी-आयामी प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति जेड एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है <math>\mathbb R^d_+</math> द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है
+A d-आयामी परावर्तित ब्राउनियन गति Z, <math>\mathbb R^d_+</math> पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसे विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है
 * एक डी-आयामी बहाव वेक्टर μ
-* a d×d गैर-विलक्षण सहप्रसरण मैट्रिक्स Σ और
+* a d×d गैर-विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह Σ और
-* ए डी × डी प्रतिबिंब मैट्रिक्स आर।<ref name="open">{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison| last2 = Williams | first2 = R. J. | doi = 10.1080/17442508708833469 | title = सजातीय ग्राहक आबादी के साथ खुले कतारबद्ध नेटवर्क के ब्राउनियन मॉडल| journal = Stochastics| volume = 22 | issue = 2 | pages = 77 | year = 1987 | url = https://www.ima.umn.edu/preprints/Jan87Dec87/321.pdf}}</ref>
+* a ''d''×''d'' प्रतिबिंब आव्यूह ''R''।<ref name="open">{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison| last2 = Williams | first2 = R. J. | doi = 10.1080/17442508708833469 | title = सजातीय ग्राहक आबादी के साथ खुले कतारबद्ध नेटवर्क के ब्राउनियन मॉडल| journal = Stochastics| volume = 22 | issue = 2 | pages = 77 | year = 1987 | url = https://www.ima.umn.edu/preprints/Jan87Dec87/321.pdf}}</ref>
-जहां एक्स (टी) एक अनियंत्रित [[एक प्रकार कि गति]] है और<ref name="Bramson" />::<math>Z(t) = X(t) + R Y(t)</math>
+जहां ''X''(''t'') एक अनियंत्रित [[एक प्रकार कि गति]] है और<ref name="Bramson">{{Cite journal | last1 = Bramson | first1 = M. | last2 = Dai | first2 = J. G. | last3 = Harrison | first3 = J. M. | author-link3 = J. Michael Harrison| doi = 10.1214/09-AAP631 | title = ब्राउनियन गति को तीन आयामों में प्रतिबिंबित करने की सकारात्मक पुनरावृत्ति| journal = The Annals of Applied Probability | volume = 20 | issue = 2 | pages = 753 | year = 2010 | url = http://www2.isye.gatech.edu/people/faculty/dai/publications/bramsonDaiHarrison10.pdf| arxiv = 1009.5746 | s2cid = 2251853 }}</ref>:
-वाई (टी) एक डी-आयामी वेक्टर के साथ जहां
-* Y लगातार है और Y(0) = 0 के साथ घटता नहीं है
+<math>Z(t) = X(t) + R Y(t)</math>
-* य<sub>''j''</sub> केवल उसी समय बढ़ता है जिसके लिए Z<sub>''j''</sub>= 0 जे के लिए = 1,2,..., डी
-* जेड (टी) ∈<math>\mathbb R^d_+</math>, टी ≥ 0।
+''Y''(''t'') एक ''d''-आयामी वेक्टर के साथ जहां
+* Y निरन्तर  है और Y(0) = 0 के साथ घटता नहीं है
+* ''Y<sub>j</sub>''  केवल उसी समय बढ़ता है जिसके लिए Z<sub>''j''</sub>= 0 जे के लिए = 1,2,..., ''d''
+*''Z''(''t'') ∈ , t ≥ 0.
+प्रतिबिंब आव्यूह सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। के आंतरिक भाग में <math>\scriptstyle \mathbb R^d_+</math> प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार करती है; सीमा पर सामान्य रूप से  पर बोलते हुए, Z को दिशा ''R<sup>j</sup>''  में धकेल दिया जाता है जब भी सीमा सतह <math>\scriptstyle \{ z \in \mathbb R^d_+ : z_j=0\}</math> मारा जाता है, जहां ''R<sup>j</sup>'' आव्यूह R का jवां स्तंभ है।<ref name="Bramson" />
-प्रतिबिंब मैट्रिक्स सीमा व्यवहार का वर्णन करता है। के भीतरी भाग में <math>\scriptstyle \mathbb R^d_+</math> प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया की तरह व्यवहार करती है; सीमा पर मोटे तौर पर बोलते हुए, Z को दिशा R में धकेल दिया जाता है<sup>j</sup> जब भी सीमा सतह <math>\scriptstyle \{ z \in \mathbb R^d_+ : z_j=0\}</math> मारा जाता है, जहां आर<sup>j</sup> मैट्रिक्स R का jवां स्तंभ है।<ref name="Bramson" />
 == स्थिरता की स्थिति ==
-स्थिरता की स्थिति 1, 2 और 3 आयामों में आरबीएम के लिए जानी जाती है। SRBMs के लिए चार और उच्च आयामों में पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।<ref name="Bramson">{{Cite journal | last1 = Bramson | first1 = M. | last2 = Dai | first2 = J. G. | last3 = Harrison | first3 = J. M. | author-link3 = J. Michael Harrison| doi = 10.1214/09-AAP631 | title = ब्राउनियन गति को तीन आयामों में प्रतिबिंबित करने की सकारात्मक पुनरावृत्ति| journal = The Annals of Applied Probability | volume = 20 | issue = 2 | pages = 753 | year = 2010 | url = http://www2.isye.gatech.edu/people/faculty/dai/publications/bramsonDaiHarrison10.pdf| arxiv = 1009.5746 | s2cid = 2251853 }}</ref> विशेष मामले में जहां आर एक [[एम-मैट्रिक्स]] है तो स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं<ref name="Bramson" /># आर एक [[गैर-एकवचन मैट्रिक्स]] है और
+, 2, और 3 आयामों में आरबीएम के लिए स्थिरता की स्थितियाँ जानी जाती हैं। "एसआरबीएम के लिए चार और उच्चतर आयामों में पुनरावृत्ति वर्गीकरण की समस्या खुली रहती है।"<ref name="Bramson" /> विशेष स्थिति में जहां आर एक एम-आव्यूह है तो स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त नियम हैं<ref name="Bramson" />
-# आर<sup>-1μ<0.
+# ''R'' एक गैर-एकवचन आव्यूह है और
+#''R''<sup>−1</sup>''μ'' < 0.
 == सीमांत और स्थिर वितरण ==
 === एक आयाम ===
-से शुरू होने वाली एक-आयामी ब्राउनियन गति का [[सीमांत वितरण]] (क्षणिक वितरण) ड्रिफ्ट μ और विचरण σ के साथ सकारात्मक मानों (0 पर एक एकल परावर्तक अवरोध) तक सीमित है<sup>2</sup> है
+से शुरू होने वाली एक-आयामी ब्राउनियन गति का [[सीमांत वितरण]] (क्षणिक वितरण) ड्रिफ्ट μ और विचरण ''σ''<sup>2</sup> के साथ सकारात्मक मानों (0 पर एक एकल परावर्तक अवरोध) तक सीमित है
 ::<math>\mathbb P(Z(t) \leq z) = \Phi \left(\frac{z-\mu t}{\sigma t^{1/2}} \right) - e^{2 \mu z /\sigma^2} \Phi \left( \frac{-z-\mu t}{\sigma t^{1/2}} \right)</math>
-सभी t ≥ 0 के लिए, (Φ के साथ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन) जो देता है (μ < 0 के लिए) जब t → ∞ एक घातीय वितरण लेते हैं<ref name="harrison-book">{{cite book | title = ब्राउनियन मोशन और स्टोचैस्टिक फ्लो सिस्टम| first = J. Michael | last = Harrison | author-link = J. Michael Harrison | year = 1985 | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 978-0471819394 | url = http://faculty-gsb.stanford.edu/harrison/Documents/BrownianMotion-Stochasticms.pdf}}</ref>
+सभी t ≥ 0 के लिए, (Φ के साथ सामान्य वितरण का संचयी वितरण फलन) जो देता है (μ < 0 के लिए) जब t → ∞ एक घातीय वितरण लेते हैं<ref name="harrison-book">{{cite book | title = ब्राउनियन मोशन और स्टोचैस्टिक फ्लो सिस्टम| first = J. Michael | last = Harrison | author-link = J. Michael Harrison | year = 1985 | publisher = John Wiley & Sons | isbn = 978-0471819394 | url = http://faculty-gsb.stanford.edu/harrison/Documents/BrownianMotion-Stochasticms.pdf}}</ref>
 ::<math>\mathbb P(Z<z) = 1-e^{2\mu z/\sigma^2}.</math>
-निश्चित टी के लिए, जेड (टी) का वितरण ब्राउनियन गति के चल रहे अधिकतम एम (टी) के वितरण के साथ मेल खाता है,
+निश्चित टी के लिए,  ''Z(t)'' का वितरण ब्राउनियन गति के चल रहे अधिकतम ''M(t)'' के वितरण के साथ मेल खाता है,
 ::<math>Z(t) \sim M(t)=\sup_{s\in [0,t]} X(s).</math>
-लेकिन ध्यान रखें कि संपूर्ण रूप से प्रक्रियाओं का वितरण बहुत भिन्न होता है। विशेष रूप से, M(t) t में बढ़ रहा है, जो Z(t) के मामले में नहीं है।
+किंतु ध्यान रखें कि संपूर्ण रूप से प्रक्रियाओं का वितरण बहुत भिन्न होता है। विशेष रूप से, M(t) t में बढ़ रहा है, जो Z(t) के स्थिति में नहीं है।
-परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेल <math>p_b</math>:
+<math>p_b</math> परावर्तित ब्राउनियन गति के लिए ऊष्मा कर्नेल:
 <math>f(x,p_b)=\frac{e^{-((x-u)/a)^2/2}+e^{-((x+u-2p_b)/a)^2/2}}{a(2\pi)^{1/2}}</math>
 ऊपर के विमान के लिए <math>x \ge p_b</math>
 === एकाधिक आयाम ===
+:कई आयामों में प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से तब ट्रैक किया जा सकता है जब उत्पाद के रूप में स्थिर वितरण होता है जो तब होता है<ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison| last2 = Williams | first2 = R. J. | doi = 10.1214/aoap/1177005704 | title = Brownian Models of Feedforward Queueing Networks: Quasireversibility and Product Form Solutions | journal = The Annals of Applied Probability | volume = 2 | issue = 2 | pages = 263 | year = 1992 | jstor = 2959751| doi-access = free }}</ref> जब प्रक्रिया स्थिर होती है और<ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison | last2 = Reiman | first2 = M. I. | doi = 10.1137/0141030 | title = बहुआयामी परावर्तित ब्राउनियन गति के वितरण पर| journal = SIAM Journal on Applied Mathematics | volume = 41 | issue = 2 | pages = 345–361 | year = 1981 }}</ref>
+::<math>2 \Sigma = RD + DR'</math>
+जहां  ''D'' = diag(''Σ'') इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन है<ref name="open" />
+]<math>p(z_1,z_2,\ldots,z_d) = \prod_{k=1}^d \eta_k e^{-\eta_k z_k}</math>
-कई आयामों में परिलक्षित ब्राउनियन गति का स्थिर वितरण विश्लेषणात्मक रूप से ट्रैक्टेबल होता है जब कोई उत्पाद स्थिर वितरण होता है,<ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison| last2 = Williams | first2 = R. J. | doi = 10.1214/aoap/1177005704 | title = Brownian Models of Feedforward Queueing Networks: Quasireversibility and Product Form Solutions | journal = The Annals of Applied Probability | volume = 2 | issue = 2 | pages = 263 | year = 1992 | jstor = 2959751| doi-access = free }}</ref> जो तब होता है जब प्रक्रिया स्थिर होती है और<ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = J. M. | author-link1 = J. Michael Harrison | last2 = Reiman | first2 = M. I. | doi = 10.1137/0141030 | title = बहुआयामी परावर्तित ब्राउनियन गति के वितरण पर| journal = SIAM Journal on Applied Mathematics | volume = 41 | issue = 2 | pages = 345–361 | year = 1981 }}</ref>
+जहाँ ''η<sub>k</sub>'' = 2''μ<sub>k</sub>γ<sub>k</sub>''/''Σ<sub>kk</sub>'' and ''γ'' = ''R''<sup>−1</sup>''μ'' उन स्थितियों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियां जहां उत्पाद फॉर्म की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, सिमुलेशन अनुभाग में नीचे वर्णित अनुसार संख्यात्मक रूप से गणना की जा सकती है।
-::<math>2 \Sigma = RD + DR'</math>
-जहां डी = [[विकर्ण मैट्रिक्स]] (Σ)। इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन है<ref name="open" />::<math>p(z_1,z_2,\ldots,z_d) = \prod_{k=1}^d \eta_k e^{-\eta_k z_k}</math>
-कहाँ η<sub>''k''</sub>= 2मी<sub>''k''</sub>γ<sub>''k''</sub>/एस<sub>''kk''</sub> और γ = आर<sup>-1</sup>μ. उन स्थितियों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियां जहां उत्पाद फॉर्म की स्थिति पकड़ में नहीं आती है, सिमुलेशन अनुभाग में नीचे वर्णित अनुसार संख्यात्मक रूप से गणना की जा सकती है।
 == सिमुलेशन ==
 === एक आयाम ===
-एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्न [[MATLAB]] प्रोग्राम एक नमूना पथ बनाता है।<ref>{{cite book| page = [https://archive.org/details/handbookmontecar00kroe/page/n224 202] | title = हैंडबुक ऑफ मोंटे कार्लो मेथड्स| url = https://archive.org/details/handbookmontecar00kroe | url-access = limited | first1=Dirk P. | last1= Kroese|author-link1=Dirk Kroese | first2= Thomas |last2=Taimre|first3= Zdravko I.|last3= Botev | publisher = John Wiley & Sons |year = 2011 | isbn = 978-1118014950}}</ref>
+एक आयाम में सिम्युलेटेड प्रक्रिया वीनर प्रक्रिया का पूर्ण मूल्य है। निम्न [[MATLAB|मैटलैब]] प्रोग्राम एक नमूना पथ बनाता है।<ref>{{cite book| page = [https://archive.org/details/handbookmontecar00kroe/page/n224 202] | title = हैंडबुक ऑफ मोंटे कार्लो मेथड्स| url = https://archive.org/details/handbookmontecar00kroe | url-access = limited | first1=Dirk P. | last1= Kroese|author-link1=Dirk Kroese | first2= Thomas |last2=Taimre|first3= Zdravko I.|last3= Botev | publisher = John Wiley & Sons |year = 2011 | isbn = 978-1118014950}}</ref>
 <syntaxhighlight lang="matlab">
 % rbm.m
@@ Line 69: / Line 79: @@
 plot(t, X-B, 'k-');
 </syntaxhighlight>
-असतत सिमुलेशन में शामिल त्रुटि की मात्रा निर्धारित की गई है।<ref>{{Cite journal | last1 = Asmussen | first1 = S. | last2 = Glynn | first2 = P. | last3 = Pitman | first3 = J. | doi = 10.1214/aoap/1177004597 | jstor = 2245096| title = एक आयामी परावर्तक ब्राउनियन गति के अनुकरण में विवेकाधीन त्रुटि| journal = The Annals of Applied Probability | volume = 5 | issue = 4 | pages = 875 | year = 1995 | doi-access = free }}</ref>
+असतत सिमुलेशन में सम्मिलित त्रुटि की मात्रा निर्धारित की गई है।<ref>{{Cite journal | last1 = Asmussen | first1 = S. | last2 = Glynn | first2 = P. | last3 = Pitman | first3 = J. | doi = 10.1214/aoap/1177004597 | jstor = 2245096| title = एक आयामी परावर्तक ब्राउनियन गति के अनुकरण में विवेकाधीन त्रुटि| journal = The Annals of Applied Probability | volume = 5 | issue = 4 | pages = 875 | year = 1995 | doi-access = free }}</ref>
@@ Line 76: / Line 86: @@
-== अन्य सीमा शर्तें ==
+== अन्य सीमा के नियम ==
-फेलर ने प्रक्रिया के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया<ref name="skorokhod">{{Cite journal | last1 = Skorokhod | first1 = A. V. | author-link1 = Anatoliy Skorokhod| doi = 10.1137/1107002 | title = परिबद्ध क्षेत्र में प्रसार प्रक्रियाओं के लिए स्टोकेस्टिक समीकरण। द्वितीय| journal = Theory of Probability and Its Applications | volume = 7 | pages = 3–23| year = 1962 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Feller | first1 = W. | author-link1 = William Feller| doi = 10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6 | title = प्रसार एक आयाम में प्रक्रिया करता है| journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 77 | pages = 1–31 | year = 1954 | mr = 0063607 | doi-access = free }}</ref><ref>{{cite journal | url = http://www.maths.manchester.ac.uk/~goran/skorokhod.pdf | title = स्टिकी ब्राउनियन मोशन के लिए स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन| first1 = H. J. | last1 = Engelbert | first2 = G. | last2 = Peskir | journal = Probab. Statist. Group Manchester Research Report | issue = 5 | year = 2012}}</ref>
+फेलर ने प्रक्रिया के लिए संभावित सीमा स्थिति का वर्णन किया गया था<ref name="skorokhod">{{Cite journal | last1 = Skorokhod | first1 = A. V. | author-link1 = Anatoliy Skorokhod| doi = 10.1137/1107002 | title = परिबद्ध क्षेत्र में प्रसार प्रक्रियाओं के लिए स्टोकेस्टिक समीकरण। द्वितीय| journal = Theory of Probability and Its Applications | volume = 7 | pages = 3–23| year = 1962 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Feller | first1 = W. | author-link1 = William Feller| doi = 10.1090/S0002-9947-1954-0063607-6 | title = प्रसार एक आयाम में प्रक्रिया करता है| journal = Transactions of the American Mathematical Society | volume = 77 | pages = 1–31 | year = 1954 | mr = 0063607 | doi-access = free }}</ref><ref>{{cite journal | url = http://www.maths.manchester.ac.uk/~goran/skorokhod.pdf | title = स्टिकी ब्राउनियन मोशन के लिए स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन| first1 = H. J. | last1 = Engelbert | first2 = G. | last2 = Peskir | journal = Probab. Statist. Group Manchester Research Report | issue = 5 | year = 2012}}</ref>
 * अवशोषण<ref name="skorokhod" />या मार डाला ब्राउनियन गति,<ref>{{Cite book | last1 = Chung | first1 = K. L. | last2 = Zhao | first2 = Z. | chapter = Killed Brownian Motion | doi = 10.1007/978-3-642-57856-4_2 | title = From Brownian Motion to Schrödinger's Equation | series = Grundlehren der mathematischen Wissenschaften | volume = 312 | pages = 31 | year = 1995 | isbn = 978-3-642-63381-2 }}</ref> एक डिरिचलेट सीमा स्थिति
 * तात्कालिक प्रतिबिंब,<ref name="skorokhod" />जैसा कि एक न्यूमैन सीमा स्थिति के ऊपर वर्णित है
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 * विलंबित प्रतिबिंब<ref name="skorokhod" />(सीमा पर बिताया गया समय प्रायिकता एक के साथ धनात्मक है)
 * आंशिक प्रतिबिंब<ref name="skorokhod" />जहां प्रक्रिया या तो तुरंत परिलक्षित होती है या अवशोषित हो जाती है
-* चिपचिपा ब्राउनियन गति।<ref>{{Cite book | last1 = Itō | first1 = K. | author-link1 = Kiyoshi Itō| last2 = McKean | first2 = H. P. | author-link2 = Henry McKean| doi = 10.1007/978-3-642-62025-6_6 | chapter = Time changes and killing | title = प्रसार प्रक्रियाएं और उनके नमूना पथ| url = https://archive.org/details/diffusionprocess00kito | url-access = limited | pages = [https://archive.org/details/diffusionprocess00kito/page/n182 164] | year = 1996 | isbn = 978-3-540-60629-1 }}</ref>
+* अस्थिरचित्त ब्राउनियन गति।<ref>{{Cite book | last1 = Itō | first1 = K. | author-link1 = Kiyoshi Itō| last2 = McKean | first2 = H. P. | author-link2 = Henry McKean| doi = 10.1007/978-3-642-62025-6_6 | chapter = Time changes and killing | title = प्रसार प्रक्रियाएं और उनके नमूना पथ| url = https://archive.org/details/diffusionprocess00kito | url-access = limited | pages = [https://archive.org/details/diffusionprocess00kito/page/n182 164] | year = 1996 | isbn = 978-3-540-60629-1 }}</ref>

v t e Queueing theory
Single queueing nodes	D/M/1 queue M/D/1 queue M/D/c queue M/M/1 queue Burke's theorem M/M/c queue M/M/∞ queue M/G/1 queue Pollaczek–Khinchine formula Matrix analytic method M/G/k queue G/M/1 queue G/G/1 queue Kingman's formula Lindley equation Fork–join queue Bulk queue
Arrival processes	Poisson point process Markovian arrival process Rational arrival process
Queueing networks	Jackson network Traffic equations Gordon–Newell theorem Mean value analysis Buzen's algorithm Kelly network G-network BCMP network
Service policies	FIFO LIFO Processor sharing Round-robin Shortest job next Shortest remaining time
Key concepts	Continuous-time Markov chain Kendall's notation Little's law Product-form solution Balance equation Quasireversibility Flow-equivalent server method Arrival theorem Decomposition method Beneš method
Limit theorems	Fluid limit Mean-field theory Heavy traffic approximation Reflected Brownian motion
Extensions	Fluid queue Layered queueing network Polling system Adversarial queueing network Loss network Retrial queue
Information systems	Data buffer Erlang (unit) Erlang distribution Flow control (data) Message queue Network congestion Network scheduler Pipeline (software) Quality of service Scheduling (computing) Teletraffic engineering
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प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति: Difference between revisions

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Revision as of 12:13, 5 July 2023

Contents

परिभाषा

स्थिरता की स्थिति

सीमांत और स्थिर वितरण

एक आयाम

एकाधिक आयाम

सिमुलेशन

एक आयाम

एकाधिक आयाम

अन्य सीमा के नियम

यह भी देखें

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Revision as of 12:13, 5 July 2023

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एक आयाम

एकाधिक आयाम

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