स्थानीय क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 19:28, 9 July 2023

गणित में, क्षेत्र K को (गैर-आर्किमिडीयन) 'स्थानीय क्षेत्र' कहा जाता है, यदि यह अलग मूल्यांकन v से प्रेरित संस्थितिक के संबंध में पूर्ण शेष स्थान है और यदि मूल्यांकन k का इसका अवशेष क्षेत्र परिमित है।^[1] समान रूप से, स्थानीय क्षेत्र अअसतत स्थान टोपोलॉजी के संबंध में स्थानीय रूप से सघन संस्थितिक क्षेत्र है।^[2] कभी-कभी, वास्तविक संख्या R, और जटिल संख्या C (उनके मानक संस्थितिक के साथ) को स्थानीय क्षेत्र के रूप में भी परिभाषित किया जाता है; यह वह फलन है जिसे हम नीचे अपनाएंगे। स्थानीय क्षेत्र को देखते हुए, उस पर परिभाषित मूल्यांकन (बीजगणित) दो प्रकार का हो सकता है, प्रत्येक दो मूल प्रकार के स्थानीय क्षेत्रों में से एक इस मिलता है: वे जिनमें मूल्यांकन आर्किमिडीयन गुण है और वे जिनमें यह नहीं है। पहले अर्थ में, कोई स्थानीय क्षेत्र को आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कहता है, दूसरे अर्थ में, कोई इसे गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कहता है।^[3] संख्या सिद्धांत में व्यापक क्षेत्रों की पूर्णता के रूप में स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।^[4]

जबकि आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र कम से कम 250 वर्षों से गणित में काफी प्रसिद्ध हैं, गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों के पहले उदाहरण, धनात्मक अभाज्य पूर्णांक पी के लिए p-एडिक संख्याओं के क्षेत्र, कर्ट हेंसल द्वारा 19 वीं सदी के अंत में प्रस्तुत किए गए थे।

प्रत्येक स्थानीय क्षेत्र निम्नलिखित में से किसी एक के लिए समरूपी (संस्थितिकी क्षेत्र के रूप में) है:^[3]

आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र (विशेषता (बीजगणित) शून्य): वास्तविक संख्या R, और जटिल संख्या C है।
विशेषता शून्य के गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र: p-एडिक संख्या Q_pके परिमित विस्तार (जहाँ p कोई अभाज्य संख्या है)।
विशेषता p के गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र (किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए): अकारिक लॉरेंट श्रृंखला F_q((T)) क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र F_q पर, जहां q, p का घातांक है।

विशेष रूप से, संख्या सिद्धांत में महत्व, स्थानीय क्षेत्रों की कक्षाएं उनके अधिकतम आदर्शों में से एक के अनुरूप उनके असतत मूल्यांकन के संबंध में बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों की पूर्णता के रूप में दिखाई देती हैं। आधुनिक संख्या सिद्धांत में शोध पत्र अधिकांशतः अधिक सामान्य धारणा पर विचार करते हैं, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि शेष क्षेत्र धनात्मक विशेषता का पूर्ण क्षेत्र हो, जरूरी नहीं कि सीमित हो।^[5] यह आलेख पूर्व परिभाषा का उपयोग करता है।

प्रेरित निरपेक्ष मान

क्षेत्र K पर ऐसे निरपेक्ष मान को देखते हुए, निम्नलिखित संथितिकी को K पर परिभाषित किया जा सकता है: धनात्मक वास्तविक संख्या m के लिए, उपसमुच्चय B_m को परिभाषित करना है।

B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.

फिर, b+B_m K में b का आस-पास आधार बनाएं।

इसके विपरीत, अलग-अलग स्थानीय रूप से सघन संस्थितिकी वाले संस्थितिकी क्षेत्र में इसकी संस्थितिकी को परिभाषित करने वाला पूर्ण मूल्य होता है। इसका निर्माण क्षेत्र के हार माप (गणित) क्षेत्र की बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों की बुनियादी विशेषताएं

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के लिए (|·| द्वारा दर्शाए गए निरपेक्ष मान के साथ), निम्नलिखित ऑब्जेक्ट्स महत्वपूर्ण हैं:

यह 'पूर्णांकों का वलय' है ${\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}$ जो अलग मूल्यांकन रिंग है, F की बंद एकल गेंद है, और सघन स्थान है;
इसके पूर्णांकों के वलय में 'इकाइयाँ' ${\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}$ जो समूह (गणित) बनाता है और F का इकाई क्षेत्र है;
अद्वितीय अशून्य प्रमुख आदर्श ${\mathfrak {m}}$ इसके पूर्णांकों के वलय में जो इसकी खुली इकाई गेंद $\{a\in F:|a|<1\}$ है;
प्रमुख आदर्श $\varpi$ का ${\mathfrak {m}}$ का $F$ एकरूपकारक कहा जाता है;
इसका शेष क्षेत्र $k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}$ जो परिमित है (चूँकि यह सघन और असतत स्थान है)।

F के प्रत्येक अशून्य तत्व a को a = ϖⁿu के साथ इकाई के रूप में लिखा जा सकता है, और n के साथ अद्वितीय पूर्णांक है। F का 'सामान्यीकृत मूल्यांकन' विशेषण फलन v : F → 'Z' ∪ {∞} है जिसे अद्वितीय पूर्णांक n पर अशून्य a भेजकर परिभाषित किया गया है जैसे कि a = ϖⁿu के साथ u एक इकाई, और 0 को ∞ भेजकर होता है। यदि q शेष क्षेत्र की प्रमुखता है, तो स्थानीय क्षेत्र के रूप में इसकी संरचना से प्रेरित F पर निरपेक्ष मान इस प्रकार दिया गया है:^[6]

|a|=q^{-v(a)}.

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र की समतुल्य और बहुत महत्वपूर्ण परिभाषा यह है कि यह एक ऐसा क्षेत्र है जो पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र है और जिसका शेष क्षेत्र परिमित है।

उदाहरण

p-एडिक संख्याएँ: Q_p के पूर्णांकों का वलय p-एडिक पूर्णांकों का वलय 'Z' होता है_p. इसका प्रमुख आदर्श p 'Z' है_p और इसका अवशेष क्षेत्र Z/pZ है। Q_p का प्रत्येक अशून्य तत्व u pⁿ के रूप में लिखा जा सकता है | जहां Z_pमें u एक इकाई है और n पूर्णांक है, तो v(u pⁿ) = n सामान्यीकृत मूल्यांकन के लिए होता है ।
परिमित क्षेत्र पर अकारिक लॉरेंट श्रृंखला: Fq((T)) के पूर्णांक की रिंग अकारिक शक्ति श्रृंखला F_qका वलय T है | इसका अधिकतम आदर्श (T) है (अर्थात शक्ति श्रृंखला जिसका स्थिर पद शून्य है) और इसका शेष क्षेत्र F_q है | इसका सामान्यीकृत मूल्यांकन अकारिक लॉरेंट श्रृंखला की (निचली) डिग्री से निम्नानुसार संबंधित है:
$v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m$ (जहाँ a_−m अशून्य है)।
सम्मिश्र संख्याओं पर अकारिक लॉरेंट श्रृंखला कोई स्थानीय क्षेत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, इसका शेष क्षेत्र C[[T]]/(T) = C है, जो परिमित नहीं है।

उच्च इकाई समूह

तब गैर-आर्कमिडियन स्थानीय क्षेत्र का उच्च इकाई समूह F है |

U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}

n ≥ 1 के लिए. समूह U⁽¹⁾ प्रमुख इकाइयों के समूह को कहते हैं तथा इसके किसी भी तत्व को प्रमुख इकाई कहते हैं। पूर्ण इकाई समूह ${\mathcal {O}}^{\times }$ U⁽⁰⁾से दर्शाया जाता है.

उच्च इकाई समूह इकाई समूह का घटता हुआ निस्पंदन (गणित) बनाते हैं

{\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots

जिसका भागफल समूह द्वारा दिया गया है

{\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}

n ≥ 1 के लिए है।^[7] (यहाँ $\approx$ इसका अर्थ अविहित समरूपता है।)

इकाई समूह की संरचना

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के अशून्य तत्वों का गुणक समूह समरूपी है

F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}

जहां q शेष क्षेत्र का क्रम है, और μ_q−1 एकता (F) की (q−1)st जड़ों का समूह है। एबेलियन समूह के रूप में इसकी संरचना इसकी विशेषता (बीजगणित) पर निर्भर करती है:

यदि F में धनात्मक विशेषता p है, तो

F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }

जहाँ N प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाता है;

यदि F में विशेषता शून्य है (अर्थात यह Q_p डिग्री का d का सीमित विस्तार है), फिर

F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}

जहाँ a ≥ 0 को परिभाषित किया गया है जिससे कि F

\mu _{p^{a}}

में एकता की p-शक्ति जड़ों का समूह हो |^[8]

स्थानीय क्षेत्रों का सिद्धांत

इस सिद्धांत में स्थानीय क्षेत्रों के प्रकारों का अध्ययन, हेंसल के लेम्मा का उपयोग करके स्थानीय क्षेत्रों का विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के गैलोइस विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के गैलोइस समूहों के प्रभाव समूह निस्पंदन, स्थानीय क्षेत्रों पर मानक मानचित्र का व्यवहार, स्थानीय पारस्परिक समरूपता और स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में अस्तित्व प्रमेय, स्थानीय लैंगलैंड्स पत्राचार, हॉज-टेट सिद्धांत (जिसे p-एडिक हॉज सिद्धांत भी कहा जाता है), स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में हिल्बर्ट प्रतीक के लिए स्पष्ट सूत्र, उदाहरण देखना होगा।^[9]

उच्च-आयामी स्थानीय फ़ील्ड

स्थानीय क्षेत्र को कभी-कभी एक-आयामी स्थानीय क्षेत्र कहा जाता है।

गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र को उस व्युत्क्रमणीय बिंदु पर स्थान 1 की एक-आयामी अंकगणितीय योजना के स्थानीय रिंग के पूरा होने के अंशों के क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है।

अऋणात्मक पूर्णांक n के लिए, एक n-आयामी स्थानीय क्षेत्र पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र है जिसका शेष क्षेत्र एक (n - 1)-आयामी स्थानीय क्षेत्र है।^[5] स्थानीय क्षेत्र की परिभाषा के आधार पर, शून्य-आयामी स्थानीय क्षेत्र या तो एक सीमित क्षेत्र होता है (इस लेख में प्रयुक्त परिभाषा के साथ), या धनात्मक विशेषता वाला आदर्श क्षेत्र होता है।

ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतिम परिमित अवशेष क्षेत्र वाले n-आयामी स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से n-आयामी अंकगणितीय योजना की उप-योजनाओं के पूर्ण संकेत से जुड़े होते हैं।

यह भी देखें

हेंसल की लेम्मा
रामीकरण समूह
स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत
उच्च स्थानीय क्षेत्र

उद्धरण

↑ Cassels & Fröhlich 1967, p. 129, Ch. VI, Intro..
↑ Weil 1995, p. 20.
↑ ^3.0 ^3.1 Milne 2020, p. 127, Remark 7.49.
↑ Neukirch 1999, p. 134, Sec. 5.
↑ ^5.0 ^5.1 Fesenko & Vostokov 2002, Def. 1.4.6.
↑ Weil 1995, Ch. I, Theorem 6.
↑ Neukirch 1999, p. 122.
↑ Neukirch 1999, Theorem II.5.7.
↑ Fesenko & Vostokov 2002, Chapters 1-4, 7.

संदर्भ

Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, vol. 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
Milne, James S. (2020), Algebraic Number Theory (3.08 ed.)
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraic Number Theory. Vol. 322. Translated by Schappacher, Norbert. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
Weil, André (1995), Basic number theory, Classics in Mathematics, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 3-540-58655-5
Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, vol. 67 (First ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7

बाहरी संबंध

"Local field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[FOOTNOTECasselsFröhlich1967129Ch._VI,_Intro.-1] Cassels & Fröhlich 1967, p. 129, Ch. VI, Intro..

[FOOTNOTEWeil199520-2] Weil 1995, p. 20.

[FOOTNOTEMilne2020127Remark_7.49-3] 3.0 ^3.1 Milne 2020, p. 127, Remark 7.49.

[FOOTNOTENeukirch1999134Sec._5-4] Neukirch 1999, p. 134, Sec. 5.

[FOOTNOTEFesenkoVostokov2002Def._1.4.6-5] 5.0 ^5.1 Fesenko & Vostokov 2002, Def. 1.4.6.

[FOOTNOTEWeil1995Ch._I,_Theorem_6-6] Weil 1995, Ch. I, Theorem 6.

[FOOTNOTENeukirch1999122-7] Neukirch 1999, p. 122.

[FOOTNOTENeukirch1999Theorem_II.5.7-8] Neukirch 1999, Theorem II.5.7.

[FOOTNOTEFesenkoVostokov2002Chapters_1-4,_7-9] Fesenko & Vostokov 2002, Chapters 1-4, 7.

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 क्षेत्र K पर ऐसे निरपेक्ष मान को देखते हुए, निम्नलिखित संथितिकी को K पर परिभाषित किया जा सकता है: धनात्मक वास्तविक संख्या m के लिए, उपसमुच्चय B<sub>m</sub> को परिभाषित करना है।
 :<math>B_m:=\{ a\in K:|a|\leq m\}.</math>
-फिर, b+B<sub>m</sub> K में b का पड़ोस आधार बनाएं।
+फिर, b+B<sub>m</sub> K में b का आस-पास आधार बनाएं।
-इसके विपरीत, गैर-अलग-अलग स्थानीय रूप से सघन संस्थितिकी वाले संस्थितिकी क्षेत्र में इसकी संस्थितिकी को परिभाषित करने वाला पूर्ण मूल्य होता है। इसका निर्माण क्षेत्र के हार माप (गणित) क्षेत्र की बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।
+इसके विपरीत, अलग-अलग स्थानीय रूप से सघन संस्थितिकी वाले संस्थितिकी क्षेत्र में इसकी संस्थितिकी को परिभाषित करने वाला पूर्ण मूल्य होता है। इसका निर्माण क्षेत्र के हार माप (गणित) क्षेत्र की बीजगणितीय संरचनाओं का उपयोग करके किया जा सकता है।
 ==गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्रों की बुनियादी विशेषताएं==
 गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के लिए (|·| द्वारा दर्शाए गए निरपेक्ष मान के साथ), निम्नलिखित ऑब्जेक्ट्स महत्वपूर्ण हैं:
-*यह 'पूर्णांकों का वलय' है <math>\mathcal{O} = \{a\in F: |a|\leq 1\}</math> जो अलग मूल्यांकन रिंग है, F की बंद एकल गेंद है, और [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] है;
+*यह '''<nowiki/>'पूर्णांकों का वलय'''' है <math>\mathcal{O} = \{a\in F: |a|\leq 1\}</math> जो अलग मूल्यांकन रिंग है, F की बंद एकल गेंद है, और [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] है;
-*इसके पूर्णांकों के वलय में 'इकाइयाँ' <math>\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}</math> जो [[समूह (गणित)]] बनाता है और F का [[इकाई क्षेत्र]] है;
+*इसके पूर्णांकों के वलय में '''<nowiki/>'इकाइयाँ'''' <math>\mathcal{O}^\times = \{a\in F: |a|= 1\}</math> जो [[समूह (गणित)]] बनाता है और F का [[इकाई क्षेत्र]] है;
-*अद्वितीय अशून्य प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{m}</math> इसके पूर्णांकों के वलय में जो इसकी खुली इकाई गेंद है <math>\{a\in F: |a|< 1\}</math>;
+*अद्वितीय अशून्य प्रमुख आदर्श <math>\mathfrak{m}</math> इसके पूर्णांकों के वलय में जो इसकी खुली इकाई गेंद <math>\{a\in F: |a|< 1\}</math> है;
 *[[प्रमुख आदर्श]] <math>\varpi</math> का <math>\mathfrak{m}</math> का <math>F</math> एकरूपकारक कहा जाता है;
 *इसका शेष क्षेत्र <math>k=\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math> जो परिमित है (चूँकि यह सघन और असतत स्थान है)।
-F के प्रत्येक अशून्य तत्व a को a = ϖ के रूप में लिखा जा सकता है<sup>n</sup>u के साथ आपके पास एक इकाई है, और n के साथ एक अद्वितीय पूर्णांक है।
+F के प्रत्येक अशून्य तत्व a को a = ϖ<sup>n</sup>u के साथ इकाई के रूप में लिखा जा सकता है, और n के साथ अद्वितीय पूर्णांक है। F का '''<nowiki/>'सामान्यीकृत मूल्यांकन'''' [[विशेषण फलन]] v : F → 'Z' ∪ {∞} है जिसे अद्वितीय पूर्णांक n पर अशून्य a भेजकर परिभाषित किया गया है जैसे कि a = ϖ<sup>n</sup>u के साथ u एक इकाई, और 0 को ∞ भेजकर होता है। यदि q शेष क्षेत्र की [[प्रमुखता]] है, तो स्थानीय क्षेत्र के रूप में इसकी संरचना से प्रेरित F पर निरपेक्ष मान इस प्रकार दिया गया है:{{sfn|Weil|1995|loc=Ch. I, Theorem 6}}
-F का 'सामान्यीकृत मूल्यांकन' [[विशेषण फलन]] v : F → 'Z' ∪ {∞} है जिसे अद्वितीय पूर्णांक n पर एक गैर-शून्य a भेजकर परिभाषित किया गया है जैसे कि a = ϖ<sup>n</sup>u के साथ u एक इकाई, और 0 को ∞ भेजकर। यदि q अवशेष क्षेत्र की [[प्रमुखता]] है, तो स्थानीय क्षेत्र के रूप में इसकी संरचना से प्रेरित F पर निरपेक्ष मान इस प्रकार दिया गया है:{{sfn|Weil|1995|loc=Ch. I, Theorem 6}}
 :<math>|a|=q^{-v(a)}.</math>
-गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र की एक समतुल्य और बहुत महत्वपूर्ण परिभाषा यह है कि यह एक ऐसा क्षेत्र है जो पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र है और जिसका अवशेष क्षेत्र परिमित है।
+गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र की समतुल्य और बहुत महत्वपूर्ण परिभाषा यह है कि यह एक ऐसा क्षेत्र है जो पूर्ण मूल्यवान क्षेत्र है और जिसका शेष क्षेत्र परिमित है।
 ===उदाहरण===
-# ''पी''-एडिक संख्याएँ: क्यू के पूर्णांकों का वलय<sub>''p''</sub> पी-एडिक पूर्णांकों का वलय 'Z' है<sub>''p''</sub>. इसका प्रमुख आदर्श p'Z' है<sub>''p''</sub> और इसका अवशेष क्षेत्र Z/''p''Z है। Q का प्रत्येक गैर-शून्य तत्व<sub>p</sub> यू पी के रूप में लिखा जा सकता है<sup>n</sup> जहां 'Z' में u एक इकाई है<sub>''p''</sub> और n एक पूर्णांक है, तो v(u p<sup>n</sup>) = n सामान्यीकृत मूल्यांकन के लिए।
+# '''p-एडिक संख्याएँ''': '''Q'''<s><sub>p</sub></s> के पूर्णांकों का वलय p-एडिक पूर्णांकों का वलय 'Z' होता है<sub>''p''</sub>. इसका प्रमुख आदर्श p ''''Z'''<nowiki/>' है<sub>''p''</sub> और इसका अवशेष क्षेत्र Z/''p''Z है। '''Q'''<sub>p</sub> का प्रत्येक अशून्य तत्व u p<sup>n</sup> के रूप में लिखा जा सकता है | जहां '''Z'''<sub>''p''</sub>में u एक इकाई है और n पूर्णांक है, तो v(u p<sup>n</sup>) = n सामान्यीकृत मूल्यांकन के लिए होता है ।
-#'एक परिमित क्षेत्र पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला': 'एफ' के पूर्णांक की अंगूठी<sub>''q''</sub>((T)) [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] 'F' का वलय है<sub>''q''</sub><nowiki></nowiki>T<nowiki></nowiki>. इसका अधिकतम आदर्श (T) है (अर्थात शक्ति श्रृंखला जिसका स्थिर पद शून्य है) और इसका अवशेष क्षेत्र 'F' है<sub>''q''</sub>. इसका सामान्यीकृत मूल्यांकन औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला की (निचली) डिग्री से निम्नानुसार संबंधित है:
+#'''परिमित क्षेत्र पर अकारिक लॉरेंट श्रृंखला''': '''F'''q((T)) के पूर्णांक की रिंग '''[[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|अकारिक]]''' [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|शक्ति श्रृंखला]]  '''F'''<sub>q</sub>का वलय T है | इसका अधिक<nowiki></nowiki>त<nowiki></nowiki>म आदर्श (T) है (अर्थात शक्ति श्रृंखला जिसका स्थिर पद शून्य है) और इसका शेष क्षेत्र '''F'''<sub>''q''</sub> है | इसका सामान्यीकृत मूल्यांकन अकारिक लॉरेंट श्रृंखला की (निचली) डिग्री से निम्नानुसार संबंधित है:
-#::<math>v\left(\sum_{i=-m}^\infty a_iT^i\right) = -m</math> (जहाँ एक<sub>&minus;''m''</sub> गैर-शून्य है)।
+#::<math>v\left(\sum_{i=-m}^\infty a_iT^i\right) = -m</math> (जहाँ a<sub>&minus;''m''</sub> अशून्य है)।
-#सम्मिश्र संख्याओं पर औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला कोई स्थानीय क्षेत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, इसका अवशेष क्षेत्र 'C'<nowiki></nowiki>T<nowiki></nowiki>/(T) = 'C' है, जो परिमित नहीं है।
+#सम्मिश्र संख्याओं पर अकारिक लॉरेंट श्रृंखला कोई स्थानीय क्षेत्र नहीं है। उदाहरण के लिए, इसका शेष क्षेत्र '''C'''<nowiki>[[T]]</nowiki><nowiki></nowiki>/<nowiki></nowiki>(T) = '''C''' है, जो परिमित नहीं है।
 ===<span id= उच्च इकाई > </span><span id= प्रिंसिपल इकाई > </span> उच्च इकाई समूह ===
-तब''<sup>गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र का उच्च इकाई समूह ''एफ'' है
+तब ''गैर-आर्कमिडियन स्थानीय क्षेत्र का उच्च इकाई समूह F है |''
 :<math>U^{(n)}=1+\mathfrak{m}^n=\left\{u\in\mathcal{O}^\times:u\equiv1\, (\mathrm{mod}\,\mathfrak{m}^n)\right\}</math>
-n ≥ 1 के लिए. समूह U<sup>(1)</sup>प्रधान इकाइयों के समूह को कहते हैं तथा इसके किसी भी तत्व को प्रधान इकाई कहते हैं। पूर्ण इकाई समूह <math>\mathcal{O}^\times</math> यू से दर्शाया जाता है<sup>(0)</sup>.
+n ≥ 1 के लिए. समूह U<sup>(1)</sup> प्रमुख इकाइयों के समूह को कहते हैं तथा इसके किसी भी तत्व को प्रमुख इकाई कहते हैं। पूर्ण इकाई समूह <math>\mathcal{O}^\times</math> U<sup>(0)</sup>से दर्शाया जाता है.
 उच्च इकाई समूह इकाई समूह का घटता हुआ [[निस्पंदन (गणित)]] बनाते हैं
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 जिसका [[भागफल समूह]] द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathcal{O}^\times/U^{(n)}\cong\left(\mathcal{O}/\mathfrak{m}^n\right)^\times\text{ and }\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx\mathcal{O}/\mathfrak{m}</math>
-n ≥ 1 के लिए.{{sfn|Neukirch|1999|p=122}} (यहाँ<math>\approx</math>इसका मतलब एक गैर-विहित समरूपता है।)
+n ≥ 1 के लिए है।{{sfn|Neukirch|1999|p=122}} (यहाँ<math>\approx</math>इसका अर्थ अविहित समरूपता है।)
 ===इकाई समूह की संरचना===
-गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के गैर-शून्य तत्वों का गुणक समूह समरूपी है
+गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र F के अशून्य तत्वों का गुणक समूह समरूपी है
 :<math>F^\times\cong(\varpi)\times\mu_{q-1}\times U^{(1)}</math>
-जहां q अवशेष क्षेत्र का क्रम है, और μ<sub>''q''−1</sub> एकता (F में) की (q−1)st जड़ों का समूह है। एबेलियन समूह के रूप में इसकी संरचना इसकी विशेषता (बीजगणित) पर निर्भर करती है:
+जहां q शेष क्षेत्र का क्रम है, और μ<sub>''q''−1</sub> एकता (F) की (q−1)st जड़ों का समूह है। एबेलियन समूह के रूप में इसकी संरचना इसकी विशेषता (बीजगणित) पर निर्भर करती है:
-*यदि F में सकारात्मक विशेषता p है, तो
+*यदि F में धनात्मक विशेषता p है, तो
 ::<math>F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/{(q-1)}\oplus\mathbf{Z}_p^\mathbf{N}</math>
 :जहाँ N [[प्राकृतिक संख्या]]ओं को दर्शाता है;
-*यदि ''F'' में विशेषता शून्य है (अर्थात यह Q का एक सीमित विस्तार है<sub>''p''</sub> डिग्री का d), फिर
+*यदि ''F'' में विशेषता शून्य है (अर्थात यह Q<sub>''p''</sub>  डिग्री का d का सीमित विस्तार है), फिर
 ::<math>F^\times\cong\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}/(q-1)\oplus\mathbf{Z}/p^a\oplus\mathbf{Z}_p^d</math>
-:जहाँ a ≥ 0 को परिभाषित किया गया है ताकि F में एकता की p-शक्ति जड़ों का समूह हो <math>\mu_{p^a}</math>.{{sfn|Neukirch|1999|loc=Theorem II.5.7}}
+:जहाँ a ≥ 0 को परिभाषित किया गया है जिससे कि F <math>\mu_{p^a}</math> में एकता की p-शक्ति जड़ों का समूह हो |{{sfn|Neukirch|1999|loc=Theorem II.5.7}}
 == स्थानीय क्षेत्रों का सिद्धांत ==
-इस सिद्धांत में स्थानीय क्षेत्रों के प्रकारों का अध्ययन, हेंसल के लेम्मा का उपयोग करके स्थानीय क्षेत्रों का विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के [[गैलोइस विस्तार]], स्थानीय क्षेत्रों के [[गैलोइस समूह]]ों के [[प्रभाव समूह]] निस्पंदन, स्थानीय क्षेत्रों पर मानक मानचित्र का व्यवहार, स्थानीय पारस्परिक समरूपता और [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] में अस्तित्व प्रमेय, [[स्थानीय लैंगलैंड्स पत्राचार]], [[हॉज-टेट सिद्धांत]] (जिसे [[पी-एडिक हॉज सिद्धांत]] भी कहा जाता है), स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में [[हिल्बर्ट प्रतीक]] के लिए स्पष्ट सूत्र, उदाहरण देखें।{{sfn|Fesenko|Vostokov|2002|loc=Chapters 1-4, 7}}
+इस सिद्धांत में स्थानीय क्षेत्रों के प्रकारों का अध्ययन, हेंसल के लेम्मा का उपयोग करके स्थानीय क्षेत्रों का विस्तार, स्थानीय क्षेत्रों के [[गैलोइस विस्तार]], स्थानीय क्षेत्रों के [[गैलोइस समूह|गैलोइस समूहों]] के [[प्रभाव समूह]] निस्पंदन, स्थानीय क्षेत्रों पर मानक मानचित्र का व्यवहार, स्थानीय पारस्परिक समरूपता और [[स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत]] में अस्तित्व प्रमेय, [[स्थानीय लैंगलैंड्स पत्राचार]], [[हॉज-टेट सिद्धांत]] (जिसे [[पी-एडिक हॉज सिद्धांत|p-एडिक हॉज सिद्धांत]] भी कहा जाता है), स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में [[हिल्बर्ट प्रतीक]] के लिए स्पष्ट सूत्र, उदाहरण देखना होगा।{{sfn|Fesenko|Vostokov|2002|loc=Chapters 1-4, 7}}
 == उच्च-आयामी स्थानीय फ़ील्ड ==
-{{main|Higher local field}}
+{{main|  उच्चतर स्थानीय क्षेत्र }}
-स्थानीय फ़ील्ड को कभी-कभी एक-आयामी स्थानीय फ़ील्ड कहा जाता है।
-एक गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र को उसके गैर-एकवचन बिंदु पर रैंक 1 की एक-आयामी अंकगणितीय योजना के [[स्थानीय रिंग]] के पूरा होने के अंशों के क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है।
+स्थानीय क्षेत्र को कभी-कभी एक-आयामी स्थानीय क्षेत्र कहा जाता है।
-एक [[गैर-नकारात्मक पूर्णांक]] n के लिए, एक n-आयामी स्थानीय क्षेत्र एक पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र है जिसका अवशेष क्षेत्र एक (n - 1)-आयामी स्थानीय क्षेत्र है।{{sfn|Fesenko|Vostokov|2002|loc=Def. 1.4.6}} स्थानीय क्षेत्र की परिभाषा के आधार पर, एक शून्य-आयामी स्थानीय क्षेत्र या तो एक सीमित क्षेत्र होता है (इस लेख में प्रयुक्त परिभाषा के साथ), या सकारात्मक विशेषता वाला एक आदर्श क्षेत्र होता है।
+गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र को उस व्युत्क्रमणीय बिंदु पर स्थान 1 की एक-आयामी अंकगणितीय योजना के [[स्थानीय रिंग]] के पूरा होने के अंशों के क्षेत्र के रूप में देखा जा सकता है।
-ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतिम परिमित अवशेष क्षेत्र वाले एन-आयामी स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से एन-आयामी अंकगणितीय योजना की उप-योजनाओं के पूर्ण ध्वज से जुड़े होते हैं।
+[[गैर-नकारात्मक पूर्णांक|अऋणात्मक  पूर्णांक]] n के लिए, एक n-आयामी स्थानीय क्षेत्र पूर्ण असतत मूल्यांकन क्षेत्र है जिसका शेष क्षेत्र एक (n - 1)-आयामी स्थानीय क्षेत्र है।{{sfn|Fesenko|Vostokov|2002|loc=Def. 1.4.6}} स्थानीय क्षेत्र की परिभाषा के आधार पर, शून्य-आयामी स्थानीय क्षेत्र या तो एक सीमित क्षेत्र होता है (इस लेख में प्रयुक्त परिभाषा के साथ), या धनात्मक विशेषता वाला आदर्श क्षेत्र होता है।
+ज्यामितीय दृष्टिकोण से, अंतिम परिमित अवशेष क्षेत्र वाले n-आयामी स्थानीय क्षेत्र स्वाभाविक रूप से n-आयामी अंकगणितीय योजना की उप-योजनाओं के पूर्ण संकेत से जुड़े होते हैं।
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