आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण: Difference between revisions
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समीकरणों को [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा 1915 में एक [[टेंसर समीकरण]] के रूप में प्रकाशित किया गया था<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण|journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21}}</ref> जो स्थानीय समष्टि काल ''वक्रता'' ([[आइंस्टीन टेंसर]] द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल ([[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर]] द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था। | समीकरणों को [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा 1915 में एक [[टेंसर समीकरण]] के रूप में प्रकाशित किया गया था<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण|journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21}}</ref> जो स्थानीय समष्टि काल ''वक्रता'' ([[आइंस्टीन टेंसर]] द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल ([[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर]] द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था। | ||
जिस तरह से [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से चार्ज (भौतिकी) और विद्युत धाराओं के वितरण से संबंधित हैं, उसी तरह ईएफई [[स्पेसटाइम ज्यामिति]] को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और तनाव के वितरण से संबंधित करता है, यानी, वे | जिस तरह से [[विद्युत चुम्बकीय]] क्षेत्र मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से चार्ज (भौतिकी) और विद्युत धाराओं के वितरण से संबंधित हैं, उसी तरह ईएफई [[स्पेसटाइम ज्यामिति]] को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और तनाव के वितरण से संबंधित करता है, यानी, वे मात्रिकनिर्धारित करते हैं स्पेसटाइम में तनाव-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए स्पेसटाइम का टेंसर (सामान्य सापेक्षता)। मात्रिकटेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस तरह से उपयोग किए जाने पर ईएफई को गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। ईएफई के समाधान मात्रिकटेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण ([[सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स]]) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना [[जियोडेसिक समीकरण]] का उपयोग करके की जाती है। | ||
स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, ईएफई एक कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो [[प्रकाश की गति]] से बहुत कम है।<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref> | स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, ईएफई एक कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो [[प्रकाश की गति]] से बहुत कम है।<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref> | ||
ईएफई के लिए सटीक समाधान केवल [[स्पेसटाइम समरूपता]] जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। [[सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान]]ों की विशेष कक्षाओं का अक्सर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण घटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और [[अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार]]। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से केवल छोटे विचलन के रूप में स्पेसटाइम का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया गया है, जिससे रेखीयकृत गुरुत्वाकर्षण#रैखिकीकृत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण प्राप्त होते हैं। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। | ईएफई के लिए सटीक समाधान केवल [[स्पेसटाइम समरूपता]] जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। [[सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान]]ों की विशेष कक्षाओं का अक्सर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण घटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और [[अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार|अंतरिक्ष का मात्रिकविस्तार]]। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से केवल छोटे विचलन के रूप में स्पेसटाइम का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया गया है, जिससे रेखीयकृत गुरुत्वाकर्षण#रैखिकीकृत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण प्राप्त होते हैं। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। | ||
==गणितीय रूप== | ==गणितीय रूप== | ||
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:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math> | :<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math> | ||
[[File:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|[[ आगे होना ]], नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE]]कहाँ <math>G_{\mu \nu}</math> आइंस्टीन टेंसर है, <math>g_{\mu \nu}</math> | [[File:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|[[ आगे होना ]], नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE]]कहाँ <math>G_{\mu \nu}</math> आइंस्टीन टेंसर है, <math>g_{\mu \nu}</math> मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) है, <math>T_{\mu \nu}</math> तनाव-ऊर्जा टेंसर है, <math>\Lambda</math> [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक]] है और <math>\kappa</math> आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है. | ||
आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है | ||
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math> | :<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math> | ||
कहाँ {{mvar|R{{sub|μν}}}} रिक्की वक्रता है, और {{mvar|R}} [[अदिश वक्रता]] है. यह एक सममित द्वितीय-डिग्री टेंसर है जो केवल | कहाँ {{mvar|R{{sub|μν}}}} रिक्की वक्रता है, और {{mvar|R}} [[अदिश वक्रता]] है. यह एक सममित द्वितीय-डिग्री टेंसर है जो केवल मात्रिकटेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है। | ||
आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|4}}}}, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure). In Einstein's original publication, the choice is {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|2}}}}, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice| last3=Schiffer|first3=Menahem| url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=सामान्य सापेक्षता का परिचय|date=1975|publisher=McGraw-Hill| isbn=0-07-000423-4| edition=2d |location=New York|oclc=1046135}}</ref> | आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|4}}}}, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure). In Einstein's original publication, the choice is {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|2}}}}, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice| last3=Schiffer|first3=Menahem| url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=सामान्य सापेक्षता का परिचय|date=1975|publisher=McGraw-Hill| isbn=0-07-000423-4| edition=2d |location=New York|oclc=1046135}}</ref> | ||
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मानक इकाइयों में, बाईं ओर के प्रत्येक पद में 1/लंबाई की इकाइयाँ होती हैं<sup>2</sup>. | मानक इकाइयों में, बाईं ओर के प्रत्येक पद में 1/लंबाई की इकाइयाँ होती हैं<sup>2</sup>. | ||
बाईं ओर की अभिव्यक्ति | बाईं ओर की अभिव्यक्ति मात्रिकद्वारा निर्धारित स्पेसटाइम की वक्रता को दर्शाती है; दाईं ओर की अभिव्यक्ति स्पेसटाइम की तनाव-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करती है। फिर ईएफई की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि तनाव-ऊर्जा-संवेग स्पेसटाइम की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है। | ||
ये समीकरण, [[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)]] के साथ मिलकर,<ref name="SW1993">{{cite book| last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature| year=1993 | publisher=Vintage Press|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> जो यह निर्धारित करता है कि स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पदार्थ स्पेसटाइम के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य सापेक्षता के सामान्य सापेक्षता के गणित का मूल बनता है। | ये समीकरण, [[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)]] के साथ मिलकर,<ref name="SW1993">{{cite book| last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature| year=1993 | publisher=Vintage Press|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> जो यह निर्धारित करता है कि स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पदार्थ स्पेसटाइम के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य सापेक्षता के सामान्य सापेक्षता के गणित का मूल बनता है। | ||
ईएफई सममित टेंसर | सममित 4 × 4 टेंसर के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची पहचानें स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे | ईएफई सममित टेंसर | सममित 4 × 4 टेंसर के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची पहचानें स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिकमें चार [[गेज फिक्सिंग]]|गेज-फिक्सिंग [[स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान)]] रह जाती है, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती है। | ||
हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने उनके परिणामों का पता लगाया है {{mvar|n}} आयाम.<ref name="Stephani et al">{{cite book | last1 = Stephani | first1 = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान| publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> सामान्य सापेक्षता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (जब प्राप्त होता है {{math|''T''{{sub|''μν''}}}} हर जगह शून्य है) [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]]्स को परिभाषित करें। | हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने उनके परिणामों का पता लगाया है {{mvar|n}} आयाम.<ref name="Stephani et al">{{cite book | last1 = Stephani | first1 = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान| publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> सामान्य सापेक्षता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (जब प्राप्त होता है {{math|''T''{{sub|''μν''}}}} हर जगह शून्य है) [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]]्स को परिभाषित करें। | ||
समीकरण जितने दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पदार्थ और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, ईएफई को | समीकरण जितने दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पदार्थ और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, ईएफई को मात्रिकटेंसर के लिए समीकरण समझा जाता है <math>g_{\mu \nu}</math>, चूंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल गैर-रेखीय तरीके से मात्रिकपर निर्भर करते हैं। जब पूरी तरह से लिखा जाता है, तो ईएफई दस युग्मित, गैर-रेखीय, हाइपरबोलिक-अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है।<ref>{{cite journal |first=Alan D. |last=Rendall |title=आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय|journal=Living Rev. Relativ. |volume=8 |year=2005 |issue=1 |at=Article number: 6 |doi=10.12942/lrr-2005-6 |pmid=28179868 |pmc=5256071 |arxiv=gr-qc/0505133 |bibcode=2005LRR.....8....6R |doi-access=free }}</ref> | ||
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आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग संकेत का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर स्थिरांक का संकेत नकारात्मक होता है: | आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग संकेत का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर स्थिरांक का संकेत नकारात्मक होता है: | ||
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.</math> | <math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.</math> | ||
ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा यदि {{math|(+ − − −)}} एमटीडब्ल्यू के बजाय | ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा यदि {{math|(+ − − −)}} एमटीडब्ल्यू के बजाय मात्रिक[[ संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें ]] का उपयोग किया जाता है {{math|(− + + +)}} मात्रिकसाइन कन्वेंशन यहां अपनाया गया। | ||
===समतुल्य सूत्रीकरण=== | ===समतुल्य सूत्रीकरण=== | ||
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में {{math|1=''D'' = 4}} आयाम यह कम हो जाता है | में {{math|1=''D'' = 4}} आयाम यह कम हो जाता है | ||
<math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .</math> | <math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .</math> | ||
ट्रेस को फिर से उलटने से मूल ईएफई बहाल हो जाएगा। कुछ मामलों में ट्रेस-रिवर्स्ड फॉर्म अधिक सुविधाजनक हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई कमजोर-फ़ील्ड सीमा में रुचि रखता है और प्रतिस्थापित कर सकता है) <math>g_{\mu \nu}</math> सटीकता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना [[मिन्कोवस्की मीट्रिक]] | ट्रेस को फिर से उलटने से मूल ईएफई बहाल हो जाएगा। कुछ मामलों में ट्रेस-रिवर्स्ड फॉर्म अधिक सुविधाजनक हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई कमजोर-फ़ील्ड सीमा में रुचि रखता है और प्रतिस्थापित कर सकता है) <math>g_{\mu \nu}</math> सटीकता के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना [[मिन्कोवस्की मीट्रिक|मिन्कोवस्की]] मात्रिकके साथ दाईं ओर की अभिव्यक्ति में)। | ||
== ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक== | == ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक== | ||
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निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान को [[निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता)]] कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। गैर-तुच्छ उदाहरणों में [[श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान]] और [[केर समाधान]] शामिल हैं। | निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधान को [[निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता)]] कहा जाता है। फ़्लैट मिन्कोव्स्की स्थान निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। गैर-तुच्छ उदाहरणों में [[श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान]] और [[केर समाधान]] शामिल हैं। | ||
लुप्त हो रहे [[रिक्की टेंसर]] के साथ [[ विविध ]]्स, {{math|1=''R{{sub|μν}}'' = 0}}, [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]]्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में | लुप्त हो रहे [[रिक्की टेंसर]] के साथ [[ विविध ]]्स, {{math|1=''R{{sub|μν}}'' = 0}}, [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]]्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिकके आनुपातिक रिक्की टेंसर के साथ मैनिफोल्ड्स होते हैं। | ||
==आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण== | ==आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण== | ||
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{{Main|Solutions of the Einstein field equations}} | {{Main|Solutions of the Einstein field equations}} | ||
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान स्पेसटाइम के | आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान स्पेसटाइम के मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) हैं। ये मेट्रिक्स स्पेसटाइम में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित स्पेसटाइम की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि फ़ील्ड समीकरण गैर-रैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात अनुमान लगाए बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले स्पेसटाइम के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार सिस्टम का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन मामलों में अनुमान लगाए जाते हैं। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसे कई मामले हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं, और उन्हें सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान कहा जाता है।<ref name="Stephani et al" /> | ||
आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक [[ब्रह्मांड]] विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह [[ब्लैक होल]] की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है। | आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक [[ब्रह्मांड]] विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह [[ब्लैक होल]] की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है। | ||
एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345}}</ref> इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की,<ref>{{cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011 |bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312 }}</ref> आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी [[गतिशील प्रणाली]] के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं<ref>{{cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.| volume=14|issue=8 |page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974 }}</ref> और कोहली और हसलाम.<ref>{{cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273}}</ref> | एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345}}</ref> इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की,<ref>{{cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011 |bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312 }}</ref> आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी [[गतिशील प्रणाली]] के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं<ref>{{cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.| volume=14|issue=8 |page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974 }}</ref> और कोहली और हसलाम.<ref>{{cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273}}</ref> | ||
==रखीयकृत EFE== | |||
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{{Main|Linearized gravity}} | {{Main|Linearized gravity}} | ||
ईएफई की गैर-रैखिकता सटीक समाधान ढूंढना कठिन बना देती है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका एक अनुमान लगाना है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण पदार्थ के स्रोत (स्रोतों) से दूर, [[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]] बहुत कमजोर है और अंतरिक्ष-समय मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के करीब है। फिर | ईएफई की गैर-रैखिकता सटीक समाधान ढूंढना कठिन बना देती है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका एक अनुमान लगाना है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण पदार्थ के स्रोत (स्रोतों) से दूर, [[गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र]] बहुत कमजोर है और अंतरिक्ष-समय मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के करीब है। फिर मात्रिकको मिन्कोव्स्की मात्रिकके योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिकसे वास्तविक मात्रिकके विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग [[गुरुत्वाकर्षण विकिरण]] की घटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है। | ||
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EFE के लिखित रूप में मात्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिकटेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math>[[लेवी-सिविटा प्रतीक]] का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display="block">g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,.</math>मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में व्युत्क्रमानुपाती करने के बाद इसे हर से हटाने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त शक्ति से गुणा करने पर मात्रिक टेंसर और इसके पहले और दूसरे व्युत्पन्न में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Katanaev|first=M. O.|s2cid=6263993|year=2006|title=Polynomial form of the Hilbert–Einstein action|journal=Gen. Rel. Grav.|volume=38|issue=8|pages=1233–1240|arxiv=gr-qc/0507026|doi=10.1007/s10714-006-0310-5 | bibcode=2006GReGr..38.1233K}}</ref> | |||
<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math> | |||
[[लेवी-सिविटा प्रतीक]] का उपयोग करना; और 4 आयामों में | |||
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==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
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* | *कंफर्मैस्टैटिक समष्टि काल | ||
*आइंस्टीन-हिल्बर्ट | *आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया | ||
* | *तुल्यता सिद्धांत | ||
*सामान्य | *सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान | ||
* | *सामान्य आपेक्षिकता संसाधन | ||
* | *सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास | ||
*हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण | *हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण | ||
*सामान्य | *सामान्य आपेक्षिकता का गणित | ||
* | *संख्यात्मक आपेक्षिकता | ||
* | *रिक्की कैल्कुलस | ||
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Revision as of 21:41, 6 July 2023
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आपेक्षिकता के सामान्य सिद्धांत में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) समष्टि काल की ज्यामिति को उसके भीतर द्रव्य के वितरण से संबंधित करते हैं।[1]
समीकरणों को अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा 1915 में एक टेंसर समीकरण के रूप में प्रकाशित किया गया था[2] जो स्थानीय समष्टि काल वक्रता (आइंस्टीन टेंसर द्वारा व्यक्त) को उस समष्टि काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल (प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर द्वारा व्यक्त) से संबंधित करता था।
जिस तरह से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र मैक्सवेल के समीकरणों के माध्यम से चार्ज (भौतिकी) और विद्युत धाराओं के वितरण से संबंधित हैं, उसी तरह ईएफई स्पेसटाइम ज्यामिति को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और तनाव के वितरण से संबंधित करता है, यानी, वे मात्रिकनिर्धारित करते हैं स्पेसटाइम में तनाव-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए स्पेसटाइम का टेंसर (सामान्य सापेक्षता)। मात्रिकटेंसर और आइंस्टीन टेंसर के बीच का संबंध इस तरह से उपयोग किए जाने पर ईएफई को गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। ईएफई के समाधान मात्रिकटेंसर के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कणों और विकिरण (सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स) के जड़त्वीय प्रक्षेप पथ की गणना जियोडेसिक समीकरण का उपयोग करके की जाती है।
स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, ईएफई एक कमजोर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम कर देता है जो प्रकाश की गति से बहुत कम है।[3] ईएफई के लिए सटीक समाधान केवल स्पेसटाइम समरूपता जैसी सरलीकृत धारणाओं के तहत ही पाया जा सकता है। सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधानों की विशेष कक्षाओं का अक्सर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण घटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि घूमते हुए ब्लैक होल और अंतरिक्ष का मात्रिकविस्तार। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से केवल छोटे विचलन के रूप में स्पेसटाइम का अनुमान लगाने में और सरलीकरण प्राप्त किया गया है, जिससे रेखीयकृत गुरुत्वाकर्षण#रैखिकीकृत आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण प्राप्त होते हैं। इन समीकरणों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण तरंगों जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
गणितीय रूप
Part of a series on |
Spacetime |
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आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (ईएफई) को इस रूप में लिखा जा सकता है:[4][1]
कहाँ आइंस्टीन टेंसर है, मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) है, तनाव-ऊर्जा टेंसर है, ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक है और आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है.
आइंस्टीन टेंसर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
कहाँ Rμν रिक्की वक्रता है, और R अदिश वक्रता है. यह एक सममित द्वितीय-डिग्री टेंसर है जो केवल मात्रिकटेंसर और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।
आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है[5][6]
कहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और c निर्वात में प्रकाश की गति है।
इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
मानक इकाइयों में, बाईं ओर के प्रत्येक पद में 1/लंबाई की इकाइयाँ होती हैं2.
बाईं ओर की अभिव्यक्ति मात्रिकद्वारा निर्धारित स्पेसटाइम की वक्रता को दर्शाती है; दाईं ओर की अभिव्यक्ति स्पेसटाइम की तनाव-ऊर्जा-संवेग सामग्री का प्रतिनिधित्व करती है। फिर ईएफई की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह बताता है कि तनाव-ऊर्जा-संवेग स्पेसटाइम की वक्रता को कैसे निर्धारित करता है।
ये समीकरण, जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता) के साथ मिलकर,[7] जो यह निर्धारित करता है कि स्वतंत्र रूप से गिरता हुआ पदार्थ स्पेसटाइम के माध्यम से कैसे चलता है, सामान्य सापेक्षता के सामान्य सापेक्षता के गणित का मूल बनता है।
ईएफई सममित टेंसर | सममित 4 × 4 टेंसर के एक सेट से संबंधित एक टेंसर समीकरण है। प्रत्येक टेंसर में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची पहचानें स्वतंत्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिकमें चार गेज फिक्सिंग|गेज-फिक्सिंग स्वतंत्रता की डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) रह जाती है, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती है।
हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने उनके परिणामों का पता लगाया है n आयाम.[8] सामान्य सापेक्षता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (जब प्राप्त होता है Tμν हर जगह शून्य है) आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स को परिभाषित करें।
समीकरण जितने दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पदार्थ और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, ईएफई को मात्रिकटेंसर के लिए समीकरण समझा जाता है , चूंकि रिक्की टेंसर और स्केलर वक्रता दोनों जटिल गैर-रेखीय तरीके से मात्रिकपर निर्भर करते हैं। जब पूरी तरह से लिखा जाता है, तो ईएफई दस युग्मित, गैर-रेखीय, हाइपरबोलिक-अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है।[9]
संकेत परिपाटी
ईएफई का उपरोक्त रूप ग्रेविटेशन (पुस्तक)|मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है।[10] लेखकों ने मौजूद परंपराओं का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:
आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की टेंसर के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग संकेत का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर स्थिरांक का संकेत नकारात्मक होता है:
समतुल्य सूत्रीकरण
ईएफई के दोनों पक्षों की अदिश वक्रता#परिभाषा लेने पर एक प्राप्त होता है
ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में
- इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित स्थिर अवस्था समाधान अस्थिर है, और
- एडविन हबल के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।
फिर आइंस्टीन ने त्याग दिया Λ, जॉर्ज गामो से टिप्पणी करते हुए कहा कि ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी।[16] इस शब्द के शामिल होने से विसंगतियाँ पैदा नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के खगोल विज्ञान अवलोकनों से पता चला है कि ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है, और इसे समझाने के लिए इसका एक सकारात्मक मूल्य है Λ ज़रूरी है।[17][18] किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक नगण्य है।
आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और तनाव-ऊर्जा टेंसर के हिस्से के रूप में शामिल किया जा सकता है:
इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के बराबर है। इसके कारण सामान्य सापेक्षता में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और निर्वात ऊर्जा शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।
सुविधाएँ
ऊर्जा और संवेग का संरक्षण
सामान्य सापेक्षता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है
Contracting the differential Bianchi identity
The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:
Next, contract again with the metric
The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that
A final contraction with gεδ gives
Using the EFE, this immediately gives,
जो तनाव-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण कानून एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य सापेक्षता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।
अरैखिकता
ईएफई की गैर-रैखिकता सामान्य सापेक्षता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र और चार्ज और वर्तमान वितरण में रैखिक हैं (यानी दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण है, जो तरंग तरंग क्रिया में रैखिक है।
पत्राचार सिद्धांत
ईएफई कमजोर-क्षेत्र सन्निकटन और धीमी गति सन्निकटन दोनों का उपयोग करके न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को कम करता है। वास्तव में, स्थिरांक G ईएफई में प्रदर्शित होना इन दो अनुमानों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।
Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, Φ, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field g = −∇Φ, see Gauss's law for gravity
In tensor notation, these become
In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form
To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero
Our assumptions force α = i and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to
Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component
So
From the definition of the Ricci tensor
Our simplifying assumptions make the squares of Γ disappear together with the time derivatives
Combining the above equations together
निर्वात क्षेत्र समीकरण
यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर {{mvar|Tμν}विचाराधीन क्षेत्र में } शून्य है, तो फ़ील्ड समीकरणों को फ़ील्ड समीकरण#वैक्यूम फ़ील्ड समीकरण भी कहा जाता है। व्यवस्थित करके Tμν = 0 #समतुल्य योगों|ट्रेस-उलट क्षेत्र समीकरणों में, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिन्हें 'आइंस्टीन वैक्यूम समीकरण' (ईवीई) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है
लुप्त हो रहे रिक्की टेंसर के साथ विविध ्स, Rμν = 0, रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स के रूप में संदर्भित होते हैं और आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के रूप में मात्रिकके आनुपातिक रिक्की टेंसर के साथ मैनिफोल्ड्स होते हैं।
आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण
यदि ऊर्जा-संवेग टेंसर Tμν मुक्त स्थान में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय तनाव-ऊर्जा टेंसर
समाधान
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान स्पेसटाइम के मात्रिकटेंसर (सामान्य सापेक्षता) हैं। ये मेट्रिक्स स्पेसटाइम में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित स्पेसटाइम की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि फ़ील्ड समीकरण गैर-रैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें हमेशा पूरी तरह से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात अनुमान लगाए बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले स्पेसटाइम के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार सिस्टम का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन मामलों में अनुमान लगाए जाते हैं। इन्हें आमतौर पर पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसे कई मामले हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूरी तरह से हल हो गए हैं, और उन्हें सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान कहा जाता है।[8]
आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह ब्लैक होल की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।
एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।[21] इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, गैर-रेखीय, साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि सू और वेनराइट ने चर्चा की,[22] आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी गतिशील प्रणाली के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं[23] और कोहली और हसलाम.[24]
रखीयकृत EFE
ईएफई की गैर-रैखिकता सटीक समाधान ढूंढना कठिन बना देती है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका एक अनुमान लगाना है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण पदार्थ के स्रोत (स्रोतों) से दूर, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बहुत कमजोर है और अंतरिक्ष-समय मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के करीब है। फिर मात्रिकको मिन्कोव्स्की मात्रिकके योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-शक्ति शब्दों को अनदेखा करते हुए, मिन्कोव्स्की मात्रिकसे वास्तविक मात्रिकके विचलन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होता है। इस रैखिककरण प्रक्रिया का उपयोग गुरुत्वाकर्षण विकिरण की घटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।
बहुपद रूप
EFE के लिखित रूप में मात्रिक टेंसर के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिकटेंसर बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के निर्धारक को लिखा जा सकता है
यह भी देखें
- कंफर्मैस्टैटिक समष्टि काल
- आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया
- तुल्यता सिद्धांत
- सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
- सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
- सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
- हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
- सामान्य आपेक्षिकता का गणित
- संख्यात्मक आपेक्षिकता
- रिक्की कैल्कुलस
टिप्पणियाँ
- ↑ 1.0 1.1 Einstein, Albert (1916). "सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की नींव". Annalen der Physik. 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP...354..769E. doi:10.1002/andp.19163540702. Archived from the original (PDF) on 2012-02-06.
- ↑ Einstein, Albert (November 25, 1915). "गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Retrieved 2017-08-21.
- ↑ Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. pp. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3.
- ↑ Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007). Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 180. ISBN 978-0-387-69200-5.
- ↑ With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, κ = 8πG/c4, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure). In Einstein's original publication, the choice is κ = 8πG/c2, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.
- ↑ Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975). सामान्य सापेक्षता का परिचय (2d ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000423-4. OCLC 1046135.
- ↑ Weinberg, Steven (1993). Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature. Vintage Press. pp. 107, 233. ISBN 0-09-922391-0.
- ↑ 8.0 8.1 Stephani, Hans; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
- ↑ Rendall, Alan D. (2005). "आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय". Living Rev. Relativ. 8 (1). Article number: 6. arXiv:gr-qc/0505133. Bibcode:2005LRR.....8....6R. doi:10.12942/lrr-2005-6. PMC 5256071. PMID 28179868.
- ↑ Misner, Thorne & Wheeler (1973), p. 501ff.
- ↑ Weinberg (1972).
- ↑ Peebles, Phillip James Edwin (1980). ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना. Princeton University Press. ISBN 0-691-08239-1.
- ↑ Efstathiou, G.; Sutherland, W. J.; Maddox, S. J. (1990). "ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और ठंडा डार्क मैटर". Nature. 348 (6303): 705. Bibcode:1990Natur.348..705E. doi:10.1038/348705a0. S2CID 12988317.
- ↑ Collins, P. D. B.; Martin, A. D.; Squires, E. J. (1989). कण भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान. New York: Wiley. ISBN 0-471-60088-1.
- ↑ Peacock (1999).
- ↑ Gamow, George (April 28, 1970). My World Line : An Informal Autobiography. Viking Adult. ISBN 0-670-50376-2. Retrieved 2007-03-14.
- ↑ Wahl, Nicolle (2005-11-22). "Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?". News@UofT. University of Toronto. Archived from the original on 2007-03-07.
- ↑ Turner, Michael S. (May 2001). "Making Sense of the New Cosmology". Int. J. Mod. Phys. A. 17 (S1): 180–196. arXiv:astro-ph/0202008. Bibcode:2002IJMPA..17S.180T. doi:10.1142/S0217751X02013113. S2CID 16669258.
- ↑ Brown, Harvey (2005). भौतिक सापेक्षता. Oxford University Press. p. 164. ISBN 978-0-19-927583-0.
- ↑ Trautman, Andrzej (1977). "Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings". International Journal of Theoretical Physics. 16 (9): 561–565. Bibcode:1977IJTP...16..561T. doi:10.1007/BF01811088. S2CID 123364248..
- ↑ Ellis, G. F. R.; MacCallum, M. (1969). "सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग". Comm. Math. Phys. 12 (2): 108–141. Bibcode:1969CMaPh..12..108E. doi:10.1007/BF01645908. S2CID 122577276.
- ↑ Hsu, L.; Wainwright, J (1986). "Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions". Class. Quantum Grav. 3 (6): 1105–1124. Bibcode:1986CQGra...3.1105H. doi:10.1088/0264-9381/3/6/011. S2CID 250907312.
- ↑ LeBlanc, V. G. (1997). "चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ". Class. Quantum Grav. 14 (8): 2281. Bibcode:1997CQGra..14.2281L. doi:10.1088/0264-9381/14/8/025. S2CID 250876974.
- ↑ Kohli, Ikjyot Singh; Haslam, Michael C. (2013). "डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं". Phys. Rev. D. 88 (6): 063518. arXiv:1304.8042. Bibcode:2013PhRvD..88f3518K. doi:10.1103/physrevd.88.063518. S2CID 119178273.
- ↑ Katanaev, M. O. (2006). "Polynomial form of the Hilbert–Einstein action". Gen. Rel. Grav. 38 (8): 1233–1240. arXiv:gr-qc/0507026. Bibcode:2006GReGr..38.1233K. doi:10.1007/s10714-006-0310-5. S2CID 6263993.
संदर्भ
See General relativity resources.
- Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0344-0.
- Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.
- Peacock, John A. (1999). Cosmological Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0521410724.
बाहरी संबंध
- "Einstein equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Caltech Tutorial on Relativity — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
- The Meaning of Einstein's Equation — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
- Video Lecture on Einstein's Field Equations by MIT Physics Professor Edmund Bertschinger.
- Arch and scaffold: How Einstein found his field equations Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations
बाहरी छवियाँ
- डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन
- सुज़ैन इम्बर, अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य सापेक्षता का प्रभाव, बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।
श्रेणी:अल्बर्ट आइंस्टीन
श्रेणी:भौतिकी के समीकरण
श्रेणी:सामान्य सापेक्षता
श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण