मोस्टो कठोरता सिद्धांत

गणित में, मोस्टो की कठोरता प्रमेय, या मजबूत कठोरता प्रमेय, या मोस्टो-प्रसाद कठोरता प्रमेय, अनिवार्य रूप से बताता है कि दो से अधिक आयाम के पूर्ण, परिमित-आयतन अतिशयोक्तिपूर्ण अनेक गुना की ज्यामिति मौलिक समूह द्वारा निर्धारित की जाती है और इसलिए अद्वितीय होती है। प्रमेय को बंद मैनिफोल्ड्स के लिए सिद्ध किया गया था Mostow (1968) और द्वारा परिमित मात्रा कई गुना तक बढ़ाया गया Marden (1974) 3 आयामों में, और द्वारा Prasad (1973) सभी आयामों में कम से कम 3. Gromov (1981) ने ग्रोमोव मानदंड का उपयोग करके वैकल्पिक प्रमाण दिया। Besson, Courtois & Gallot (1996) सबसे सरल उपलब्ध प्रमाण दिया।

जबकि प्रमेय से पता चलता है कि परिमित मात्रा हाइपरबोलिक पर (पूर्ण) हाइपरबोलिक संरचनाओं का विरूपण स्थान $n$-कई गुना (के लिए $n>2$) जीनस (गणित) की अतिशयोक्तिपूर्ण सतह के लिए बिंदु है $g>1$ आयाम का मॉड्यूलि स्थान है $6g-6$ जो निरंतर वक्रता (विभिन्नता तक) के सभी मेट्रिक्स को मानकीकृत करता है, जो टेइचमुलर सिद्धांत के लिए आवश्यक तथ्य है। तीन आयामों में अनंत आयतन पर अतिशयोक्तिपूर्ण संरचनाओं के विरूपण स्थानों का समृद्ध सिद्धांत भी है।

प्रमेय

प्रमेय को ज्यामितीय सूत्रीकरण (परिमित-आयतन, पूर्ण मैनिफोल्ड से संबंधित) और बीजगणितीय सूत्रीकरण (ली समूहों में जाली से संबंधित) में दिया जा सकता है।

ज्यामितीय रूप

होने देना $\mathbb {H} ^{n}$ हो $n$-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान। पूर्ण हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड को भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $\mathbb {H} ^{n}$ स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले आइसोमेट्री के समूह द्वारा और समूह क्रिया (गणित)#क्रिया के प्रकार (यह इसे हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित करने के बराबर है। अनुभागीय वक्रता -1 के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड जो कि रीमैनियन मैनिफोल्ड है #मीट्रिक रिक्त स्थान के रूप में रीमैनियन मैनिफोल्ड)। यह परिमित आयतन का होता है यदि आयतन रूप का अभिन्न अंग परिमित है (उदाहरण के लिए, यदि यह सघन है तो यही स्थिति है)। मोस्टो कठोरता प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है:

कल्पना करना $M$ और $N$ आयाम के पूर्ण परिमित-आयतन अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड हैं $n\geq 3$. यदि कोई समरूपता मौजूद है $f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)$ तब यह अद्वितीय आइसोमेट्री से प्रेरित होता है $M$ को $N$.

यहाँ $\pi _{1}(X)$ अनेक गुना का मूल समूह है $X$. अगर $X$ के भागफल के रूप में प्राप्त अतिपरवलयिक मैनिफोल्ड है $\mathbb {H} ^{n}$ समूह द्वारा $\Gamma$ तब $\pi _{1}(X)\cong \Gamma$.

एक समतुल्य कथन यह है कि कोई भी समरूपता समतुल्य है $M$ को $N$ अद्वितीय आइसोमेट्री के लिए समरूप किया जा सकता है। प्रमाण वास्तव में दिखाता है कि यदि $N$ से अधिक बड़ा आयाम है $M$ तो उनके बीच कोई समरूपता तुल्यता नहीं हो सकती।

बीजगणितीय रूप

हाइपरबोलिक स्पेस की आइसोमेट्री का समूह $\mathbb {H} ^{n}$ लाई समूह से पहचाना जा सकता है $\mathrm {PO} (n,1)$ (द्विघात रूप का प्रक्षेप्य ओर्थोगोनल समूह#वास्तविक द्विघात रूप $(n,1)$. फिर निम्नलिखित कथन ऊपर वाले के बराबर है।

होने देना $n\geq 3$ और $\Gamma$ और $\Lambda$ में दो जाली (असतत उपसमूह) हों $\mathrm {PO} (n,1)$ और मान लीजिए कि समूह समरूपता है $f\colon \Gamma \to \Lambda$. तब $\Gamma$ और $\Lambda$ में संयुग्मित हैं $\mathrm {PO} (n,1)$. अर्थात्, वहाँ मौजूद है $g\in \mathrm {PO} (n,1)$ ऐसा है कि $\Lambda =g\Gamma g^{-1}$.

अधिक व्यापकता में

मोस्टो कठोरता (अपने ज्यामितीय सूत्रीकरण में) अधिक सामान्यतः सभी पूर्ण, परिमित आयतन, गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार (यूक्लिडियन कारकों के बिना) आयाम के स्थानीय रूप से सममित स्थानों के कम से कम तीन के मौलिक समूहों के लिए रखती है, या सरल झूठ में सभी अक्षांशों के लिए इसके बीजगणितीय सूत्रीकरण में समूह स्थानीय रूप से समरूपी नहीं हैं $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

अनुप्रयोग

मोस्टो कठोरता प्रमेय से यह पता चलता है कि परिमित-आयतन हाइपरबोलिक एन-मैनिफोल्ड एम (एन>2 के लिए) की आइसोमेट्री का समूह परिमित और आइसोमोर्फिक है $\operatorname {Out} (\pi _{1}(M))$.

समतलीय ग्राफ के सर्कल पैकिंग प्रमेय की विशिष्टता को साबित करने के लिए थर्स्टन द्वारा मोस्टो कठोरता का भी उपयोग किया गया था.

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में रुचि की मोस्टो कठोरता का परिणाम यह है कि हाइपरबोलिक समूह मौजूद हैं जो अर्ध-आइसोमेट्री|अर्ध-आइसोमेट्रिक हैं लेकिन एक-दूसरे के अनुरूपता (समूह सिद्धांत) नहीं हैं।

यह भी देखें

• अतिकठोरता, उच्च-रैंक वाले स्थानों के लिए मजबूत परिणाम
• स्थानीय कठोरता, विकृतियों के बारे में परिणाम जो आवश्यक रूप से जाली नहीं हैं।

संदर्भ

• Besson, Gérard; Courtois, Gilles; Gallot, Sylvestre (1996), "Minimal entropy and Mostow's rigidity theorems", Ergodic Theory and Dynamical Systems, 16 (4): 623–649, doi:10.1017/S0143385700009019
• Gromov, Michael (1981), "Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen)", Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80 (PDF), Lecture Notes in Math., vol. 842, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 40–53, doi:10.1007/BFb0089927, ISBN 978-3-540-10292-2, MR 0636516, archived from the original on 2016-01-10
• Marden, Albert (1974), "The geometry of finitely generated kleinian groups", Annals of Mathematics, Second Series, 99 (3): 383–462, doi:10.2307/1971059, ISSN 0003-486X, JSTOR 1971059, MR 0349992, Zbl 0282.30014
• Mostow, G. D. (1968), "Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms", Publ. Math. IHES, 34: 53–104, doi:10.1007/bf02684590
• Mostow, G. D. (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces, Annals of mathematics studies, vol. 78, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08136-6, MR 0385004
• Prasad, Gopal (1973), "Strong rigidity of Q-rank 1 lattices", Inventiones Mathematicae, 21 (4): 255–286, doi:10.1007/BF01418789, ISSN 0020-9910, MR 0385005
• Spatzier, R. J. (1995), "Harmonic Analysis in Rigidity Theory", in Petersen, Karl E.; Salama, Ibrahim A. (eds.), Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Cambridge University Press, pp. 153–205, ISBN 0-521-45999-0. (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
• Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes. (Gives two proofs: one similar to Mostow's original proof, and another based on the Gromov norm)