रेसट्रैक सिद्धांत

गणना में, रेसट्रैक सिद्धांत उनके यौगिक के संदर्भ में दो कार्यों की गति और वृद्धि का वर्णन करता है।

यह सिद्धांत इस तथ्य से लिया गया है कि यदि फ्रैंक फ्लीटफीट नाम का घोड़ा हमेशा ग्रेग गूसेलेग नाम के घोड़े से तेज दौड़ता है, तो यदि फ्रैंक और ग्रेग एक ही स्थान और एक ही समय से दौड़ शुरू करते हैं, तो फ्रैंक जीत जाएगा। संक्षेप में, जो घोड़ा तेजी से दौड़ता है और तेजी से दौड़ता है वह जीत जाता है।

प्रतीकों में:

अगर $f'(x)>g'(x)$ सभी के लिए $x>0$, और अगर $f(0)=g(0)$, तब $f(x)>g(x)$ सभी के लिए $x>0$.

या, > के लिए ≥ को प्रतिस्थापित करने से प्रमेय उत्पन्न होता है

अगर $f'(x)\geq g'(x)$ सभी के लिए $x>0$, और अगर $f(0)=g(0)$, तब $f(x)\geq g(x)$ सभी के लिए $x\geq 0$.

जिसे इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है

प्रमाण

फ़ंक्शन पर विचार करके इस सिद्धांत को सिद्ध किया जा सकता है $h(x)=f(x)-g(x)$. यदि हमें व्युत्पन्न लेना होता तो हम उस पर ध्यान देते $x>0$,

$h'=f'-g'>0.$

उस पर भी गौर करें $h(0)=0$. इन अवलोकनों को मिलाकर, हम अंतराल पर माध्य मान प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $[0,x]$ और पाओ

$0<h'(x_{0})={\frac {h(x)-h(0)}{x-0}}={\frac {f(x)-g(x)}{x}}.$

अनुमान से, $x>0$, इसलिए दोनों पक्षों को इससे गुणा करें $x$ देता है $f(x)-g(x)>0$. यह संकेत करता है $f(x)>g(x)$.

सामान्यीकरण

रेसट्रैक सिद्धांत के कथन को निम्नानुसार थोड़ा सामान्यीकृत किया जा सकता है;

अगर $f'(x)>g'(x)$ सभी के लिए $x>a$, और अगर $f(a)=g(a)$, तब $f(x)>g(x)$ सभी के लिए $x>a$.

जैसा कि ऊपर दिया गया है, > के लिए ≥ को प्रतिस्थापित करने से प्रमेय उत्पन्न होता है

अगर $f'(x)\geq g'(x)$ सभी के लिए $x>a$, और अगर $f(a)=g(a)$, तब $f(x)\geq g(x)$ सभी के लिए $x>a$.

प्रमाण

इस सामान्यीकरण को रेसट्रैक सिद्धांत से इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:

कार्यों पर विचार करें $f_{2}(x)=f(x-a)$ और $g_{2}(x)=g(x-a)$. मान लें कि $f'(x)>g'(x)$ सभी के लिए $x>a$, और $f(a)=g(a)$,

$f_{2}'(x)>g_{2}'(x)$ सभी के लिए $x>0$, और $f_{2}(0)=g_{2}(0)$, जो उपरोक्त रेसट्रैक सिद्धांत के प्रमाण से अभिप्राय है $f_{2}(x)>g_{2}(x)$ सभी के लिए $x>0$ इसलिए $f(x)>g(x)$ सभी के लिए $x>a$.

आवेदन

रेसट्रैक सिद्धांत का उपयोग लेम्मा (गणित) को साबित करने के लिए किया जा सकता है जो यह दिखाने के लिए आवश्यक है कि घातीय फ़ंक्शन किसी भी पावर फ़ंक्शन की तुलना में तेजी से बढ़ता है। आवश्यक लेम्मा वह है

$e^{x}>x$

सभी वास्तविक के लिए $x$. के लिए यह स्पष्ट है $x<0$ लेकिन इसके लिए रेसट्रैक सिद्धांत आवश्यक है $x>0$. यह देखने के लिए कि इसका उपयोग कैसे किया जाता है, हम कार्यों पर विचार करते हैं

$f(x)=e^{x}$

और

$g(x)=x+1.$

नोटिस जो $f(0)=g(0)$ ओर वो

$e^{x}>1$

क्योंकि घातांकीय फलन हमेशा बढ़ता रहता है (एकरस )। $f'(x)>g'(x)$. इस प्रकार रेसट्रैक सिद्धांत द्वारा $f(x)>g(x)$. इस प्रकार,

$e^{x}>x+1>x$

सभी के लिए $x>0$.

संदर्भ

• Deborah Hughes-Hallet, et al., Calculus.