गैबोर परिवर्तन

गैबोर ट्रांसफॉर्म, जिसका नाम डेनिस गैबोर के नाम पर रखा गया है, कम समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म का विशेष मामला है। इसका उपयोग सिग्नल के स्थानीय खंडों की साइन तरंग आवृत्ति और चरण (तरंगों) सामग्री को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह समय के साथ बदलता है। रूपांतरित किए जाने वाले फ़ंक्शन को पहले गॉसियन फ़ंक्शन से गुणा किया जाता है, जिसे विंडो फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है, और परिणामी फ़ंक्शन को समय-आवृत्ति विश्लेषण प्राप्त करने के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ रूपांतरित किया जाता है। विंडो फ़ंक्शन का मतलब है कि विश्लेषण किए जा रहे समय के पास सिग्नल का वजन अधिक होगा। सिग्नल x(t) का गैबोर रूपांतरण इस सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

गाऊसी फ़ंक्शन का परिमाण.

गॉसियन फ़ंक्शन की सीमा अनंत है और यह कार्यान्वयन के लिए अव्यावहारिक है। हालाँकि, गॉसियन फ़ंक्शन के वितरण के लिए महत्व का स्तर चुना जा सकता है (उदाहरण के लिए 0.00001)।

${\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0.00001;&\left|a\right|\leq 1.9143\\e^{-{\pi }a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}$

अभिन्न की इन सीमाओं के बाहर ($\left|a\right|>1.9143$) गाऊसी फ़ंक्शन इतना छोटा है कि इसे अनदेखा किया जा सकता है। इस प्रकार गैबोर परिवर्तन का संतोषजनक अनुमान लगाया जा सकता है

$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$

यह सरलीकरण गैबोर परिवर्तन को व्यावहारिक और साकार करने योग्य बनाता है।

किसी विशेष एप्लिकेशन के लिए समय-आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन ट्रेडऑफ़ को प्रतिस्थापित करके अनुकूलित करने के लिए विंडो फ़ंक्शन की चौड़ाई को भी बदला जा सकता है ${-{\pi }(t-\tau )^{2}}$ साथ ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ कुछ चुने हुए लोगों के लिए $\alpha$.

व्युत्क्रम गैबोर रूपांतरण

गैबोर परिवर्तन उलटा है। क्योंकि यह अति-पूर्ण है, मूल सिग्नल को विभिन्न तरीकों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अनविंडोइंग दृष्टिकोण का उपयोग किसी के लिए भी किया जा सकता है $\tau _{0}\in (-\infty ,\infty )$:

$x(t)=e^{\pi (t-\tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega$

वैकल्पिक रूप से, समय के सभी घटकों को साथ जोड़ा जा सकता है:

$x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega \,d\tau$

गैबोर परिवर्तन के गुण

गैबोर ट्रांसफॉर्म में फूरियर ट्रांसफॉर्म की तरह कई गुण हैं। ये गुण निम्नलिखित तालिकाओं में सूचीबद्ध हैं।

	Signal	Gabor transform	Remarks
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	Linearity property
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	Shifting property
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	Modulation property

		Remarks
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left|x(t)\right|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2}}dt$	Power integration property
2	$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{*}(\tau ,\omega )\,d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{*}(t)\,d\tau$	Energy sum property
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega )\right|^{2}\,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|G_{x}(\tau ,\omega _{0})\right|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ for }}\omega >\omega _{0}\end{cases}}$	Power decay property
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)$	Recovery property

अनुप्रयोग और उदाहरण

समय/आवृत्ति वितरण.

गैबर ट्रांसफॉर्म का मुख्य अनुप्रयोग समय-आवृत्ति विश्लेषण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के तौर पर निम्नलिखित फ़ंक्शन को लें। इनपुट सिग्नल में t ≤ 0 होने पर 1 Hz आवृत्ति घटक होता है और t > 0 होने पर 2 Hz आवृत्ति घटक होता है

$x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&{\text{for }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{for }}t>0.\end{cases}}$

लेकिन यदि उपलब्ध कुल बैंडविड्थ 5 हर्ट्ज है, तो x(t) को छोड़कर अन्य आवृत्ति बैंड बर्बाद हो जाते हैं। गैबर ट्रांसफॉर्म को लागू करके समय-आवृत्ति विश्लेषण के माध्यम से, उपलब्ध बैंडविड्थ को जाना जा सकता है और उन आवृत्ति बैंडों का उपयोग अन्य अनुप्रयोगों के लिए किया जा सकता है और बैंडविड्थ को बचाया जा सकता है। दाईं ओर की तस्वीर इनपुट सिग्नल x(t) और गैबर ट्रांसफॉर्म का आउटपुट दिखाती है। जैसी कि हमारी अपेक्षा थी, आवृत्ति वितरण को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। t ≤ 0 है और दूसरा t > 0 है। सफेद भाग x(t) द्वारा व्याप्त आवृत्ति बैंड है और काले भाग का उपयोग नहीं किया जाता है। ध्यान दें कि समय के प्रत्येक बिंदु के लिए नकारात्मक आवृत्ति (ऊपरी सफेद भाग) और सकारात्मक (निचला सफेद भाग) आवृत्ति घटक दोनों होते हैं।

असतत गैबर-परिवर्तन

गैबोर प्रतिनिधित्व का अलग संस्करण

$y(t)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)$

साथ $g_{nm}(t)=s(t-m\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$ इन समीकरणों में गैबोर-आधार-फ़ंक्शन को अलग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। इसके द्वारा निरंतर पैरामीटर t को असतत समय k द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके अलावा गैबोर प्रतिनिधित्व में अब सीमित योग सीमा पर विचार किया जाना चाहिए। इस प्रकार, नमूना संकेत y(k) को लंबाई N के M समय फ़्रेम में विभाजित किया गया है $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}$, महत्वपूर्ण नमूने के लिए कारक Ω है $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$.

डीएफटी (असतत फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन) के समान एन असतत विभाजन में विभाजित आवृत्ति डोमेन प्राप्त किया जाता है। इन एन वर्णक्रमीय विभाजनों का व्युत्क्रम परिवर्तन तब समय विंडो के लिए एन मान y(k) की ओर ले जाता है, जिसमें एन नमूना मान शामिल होते हैं। एन नमूना मानों के साथ समग्र एम टाइम विंडो के लिए, प्रत्येक सिग्नल y(k) में K = N होता है $\cdot$ एम नमूना मान: (असतत गैबोर प्रतिनिधित्व)

$y(k)=\sum _{m=0}^{M-1}\sum _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)$

साथ $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$ उपरोक्त समीकरण के अनुसार, एन $\cdot$ एम गुणांक $C_{nm}$ सिग्नल के नमूना मान K की संख्या के अनुरूप।

अति-नमूनाकरण के लिए $\Omega$ इसके लिए सेट है $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\pi }{N^{\prime }}}$ N′ > N के साथ, जिसके परिणामस्वरूप असतत गैबोर प्रतिनिधित्व के दूसरे योग में N′ > N योग गुणांक प्राप्त होता है। इस मामले में, प्राप्त गैबोर-गुणांक की संख्या एम होगी$\cdot$एन′ > के. इसलिए, नमूना मूल्यों की तुलना में अधिक गुणांक उपलब्ध हैं और इसलिए अनावश्यक प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जाएगा।

स्केल्ड गैबर ट्रांसफॉर्म

जैसे कि कम समय में फूरियर रूपांतरण, समय और आवृत्ति डोमेन में रिज़ॉल्यूशन को अलग-अलग विंडो फ़ंक्शन चौड़ाई चुनकर समायोजित किया जा सकता है। गैबोर में भिन्नता जोड़कर, मामलों को रूपांतरित करें $\sigma$, निम्नलिखित समीकरण के रूप में:

स्केल्ड (सामान्यीकृत) गॉसियन विंडो इस प्रकार दर्शाती है:

$W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}$

तो स्केल्ड गैबर ट्रांसफॉर्म को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$G_{x}(t,f)={\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad$

एक बड़े के साथ $\sigma$, विंडो फ़ंक्शन संकीर्ण होगा, जिससे समय डोमेन में उच्च रिज़ॉल्यूशन होगा लेकिन आवृत्ति डोमेन में कम रिज़ॉल्यूशन होगा। इसी प्रकार, छोटा $\sigma$ फ़्रीक्वेंसी डोमेन में उच्च रिज़ॉल्यूशन लेकिन समय डोमेन में कम रिज़ॉल्यूशन वाली विस्तृत विंडो की ओर ले जाएगा।

गैबोर परिवर्तन का समय-कारण एनालॉग

अस्थायी संकेतों को संसाधित करते समय, भविष्य के डेटा तक नहीं पहुंचा जा सकता है, जिससे वास्तविक समय संकेतों को संसाधित करने के लिए गैबोर फ़ंक्शन का उपयोग करने का प्रयास करने पर समस्याएं पैदा होती हैं। गैबोर फ़िल्टर का समय-कारण एनालॉग विकसित किया गया है गैबोर फ़ंक्शन में गॉसियन कर्नेल को समय-कारण और समय-पुनरावर्ती कर्नेल के साथ बदलने पर आधारित, जिसे समय-कारण सीमा कर्नेल कहा जाता है। इस तरह, समय-कारण सीमा कर्नेल के परिणामी जटिल-मूल्य विस्तार के आधार पर समय-आवृत्ति विश्लेषण गैबोर फ़ंक्शन के रूप में अस्थायी संकेत के अनिवार्य रूप से समान परिवर्तनों को पकड़ना संभव बनाता है, और हाइजेनबर्ग समूह के अनुरूप, देखें अधिक जानकारी के लिए।

यह भी देखें

• गैबोर फिल्टर
• गैबोर वेवलेट
• गैबर परमाणु
• समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
• एस परिवर्तन
• अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
• विग्नर वितरण समारोह

संदर्भ

• D. Gabor, Theory of Communication, Part 1, J. Inst. of Elect. Eng. Part III, Radio and Communication, vol 93, p. 429 1946 (http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf)
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.