लांबिक फलन: Difference between revisions

Revision as of 22:39, 8 July 2023

गणित में, लाम्बिक फलन फलन समष्टि से संबंधित होते हैं जो सदिश समष्टि होता है जो द्विरेखीय रूप से सुसज्जित होता है। अतः जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में अंतराल (गणित) होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग हो सकता है:

\langle f,g\rangle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.

फलन $f$ और $g$ लाम्बिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात $\langle f,\,g\rangle =0$ जब भी $f\neq g$ होता है। इस प्रकार से परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के आधार (रैखिक बीजगणित) के साथ, लाम्बिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। अतः वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश बिंदु गुणनफल के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लाम्बिक) होते हैं।

अतः मान लीजिए $\{f_{0},f_{1},\ldots \}$ गैर-शून्य L²-मानदंड ${\textstyle \left\|f_{n}\right\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n}\rangle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx\right)^{\frac {1}{2}}}$ के लाम्बिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम $\left\{f_{n}/\left\|f_{n}\right\|_{2}\right\}$ L²-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक लम्बवत अनुक्रम बनाता है। इस प्रकार से परिभाषित L²-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।

त्रिकोणमितीय फलन

अतः लाम्बिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जब $m\neq n$ और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन sin nx और sin mx अंतराल $x\in (-\pi ,\pi )$ पर लाम्बिक होते हैं। अतः तब

2\sin \left(mx\right)\sin \left(nx\right)=\cos \left(\left(m-n\right)x\right)-\cos \left(\left(m+n\right)x\right)

के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है।^[1] इस प्रकार से कोटिज्या फलन के साथ, इन लाम्बिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए त्रिकोणमितीय बहुपद में एकत्रित किया जा सकता है।

बहुपद

इस प्रकार से यदि कोई अंतराल $[-1,1]$ पर एकपदी अनुक्रम $\left\{1,x,x^{2},\dots \right\}$ से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। अतः लाम्बिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।

इस प्रकार से लाम्बिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन $w(x)$ सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:

\langle f,g\rangle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.

अतः $(0,\infty )$ पर लैगुएरे बहुपद के लिए भार फलन $w(x)=e^{-x}$ है।

इस प्रकार से भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों $(-\infty ,\infty )$ पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन $w(x)=e^{-x^{2}}$ या $w(x)=e^{-x^{2}/2}$ है।

अतः चेबीशेव बहुपदों को $[-1,1]$ पर परिभाषित किया गया है और भार ${\textstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ या ${\textstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ का उपयोग किया गया है।

ज़र्निक बहुपद को इकाई चक्रिका पर परिभाषित किया गया है और इस प्रकार से इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।

बाइनरी-मान फलन

अतः वाल्श फलन और उसकी तरंगिका अलग-अलग श्रेणियों के साथ लाम्बिक फलन के उदाहरण हैं।

तर्कसंगत फलन

अतः इस प्रकार से x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों की रूप रेखा है।

इस प्रकार से लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लाम्बिक वर्ग [−1, 1] प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लाम्बिक वर्गों [0, ∞) की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी [−1, 1] को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लाम्बिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।

विभेदक समीकरणों में

इस प्रकार से सीमा स्थितियों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों के हलों को प्रायः लाम्बिक हल फलनों (या आइगेनफलन ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला बनती है।

यह भी देखें

आइगेनमान एवं आइगेनसदिश
हिल्बर्ट समष्टि
करहुनेन-लोवे प्रमेय
लॉरीसेला का प्रमेय
वानियर फलन

संदर्भ

↑ Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

George B। Arfken & Hans J। Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, Academic Press।
Price, Justin J. (1975). "Topics in orthogonal functions". American Mathematical Monthly. 82: 594–609. doi:10.2307/2319690.
Giovanni Sansone (translated by Ainsley H। Diamond) (1959) Orthogonal Functions, Interscience Publishers।

बाहरी संबंध

Orthogonal Functions, on MathWorld।

[1] Antoni Zygmund (1935) Trigonometrical Series, page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw

[1]

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-गणित में, लाम्बिक फलन [[कार्य स्थान|फलन समष्टि]] से संबंधित होते हैं जो [[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप |द्विरेखीय रूप]] से सुसज्जित होता है। जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
+गणित में, लाम्बिक फलन [[कार्य स्थान|फलन समष्टि]] से संबंधित होते हैं जो [[ सदिश स्थल |सदिश समष्टि]] होता है जो [[ द्विरेखीय रूप |द्विरेखीय रूप]] से सुसज्जित होता है। अतः जब फलन समष्टि में फलन के प्रांत के रूप में [[अंतराल (गणित)]] होता है, तो द्विरैखिक रूप अंतराल पर फलनों के गुणनफल का [[अभिन्न]] अंग हो सकता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  .</math>
-फलन <math>f</math> और <math>g</math> लाम्बिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब भी <math>f \neq g</math> होता है। परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, लाम्बिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश [[डॉट उत्पाद|बिंदु गुणनफल]] के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लाम्बिक) होते हैं।
+फलन <math>f</math> और <math>g</math> लाम्बिक होते हैं जब यह पूर्णांक शून्य होता है, अर्थात <math>\langle f, \, g \rangle = 0</math> जब भी <math>f \neq g</math> होता है। इस प्रकार से परिमित-विमीय समष्टि में सदिश के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के साथ, लाम्बिक फलन फलन समष्टि के लिए अनंत आधार बना सकते हैं। अतः वैचारिक रूप से, उपरोक्त पूर्णांक सदिश [[डॉट उत्पाद|बिंदु गुणनफल]] के समतुल्य है; यदि उनका बिंदु-गुणनफल शून्य है तो दो सदिश परस्पर स्वतंत्र (लाम्बिक) होते हैं।
-मान लीजिए <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math> के लाम्बिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> L<sup>2</sup>-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। परिभाषित L<sup>2</sup>-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
+अतः मान लीजिए <math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> गैर-शून्य L<sup>2</sup>-मानदंड <math display="inline"> \left\| f_n \right\| _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math> के लाम्बिक फलनों का क्रम है। यह इस प्रकार है कि अनुक्रम <math>\left\{ f_n / \left\| f_n \right\| _2 \right\}</math> L<sup>2</sup>-मानदंड एक के फलनों का है, जो एक [[लम्बवत अनुक्रम]] बनाता है। इस प्रकार से परिभाषित L<sup>2</sup>-मानदंड के लिए, पूर्णांक को परिबद्ध किया जाना चाहिए, जो फलन को वर्ग-अभिन्न होने तक सीमित करता है।
 ==त्रिकोणमितीय फलन==
 {{Main article|फूरियर श्रेणी|सुसंगत विश्लेषण}}
-लाम्बिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। उदाहरण के लिए, जब <math>m \neq n</math> और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल <math>x \in (-\pi, \pi)</math> पर लाम्बिक होते हैं। तब
+अतः लाम्बिक फलन के कई समुच्चय अनुमानित फलन के लिए मानक आधार बन गए हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जब <math>m \neq n</math> और n धनात्मक पूर्णांक होते हैं, तो ज्या फलन {{nowrap|sin ''nx''}} और {{nowrap|sin ''mx''}} अंतराल <math>x \in (-\pi, \pi)</math> पर लाम्बिक होते हैं। अतः तब
 :<math>2 \sin \left(mx\right) \sin \left(nx\right) = \cos \left(\left(m - n\right)x\right) - \cos\left(\left(m+n\right) x\right) </math>
-के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> कोटिज्या फलन के साथ, इन लाम्बिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में एकत्रित किया जा सकता है।
+के लिए, और दो ज्या फलनों के गुणनफल का अभिन्न अंग समाप्त हो जाता है।<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> इस प्रकार से कोटिज्या फलन के साथ, इन लाम्बिक फलन को फूरियर श्रृंखला के साथ अंतराल पर दिए गए फलन को अनुमानित करने के लिए [[त्रिकोणमितीय बहुपद]] में एकत्रित किया जा सकता है।
 ==बहुपद==
 {{main article|लम्बिक बहुपद}}
-यदि कोई अंतराल <math>[-1,1]</math> पर [[एकपद|एकपदी]] अनुक्रम <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। लाम्बिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
+इस प्रकार से यदि कोई अंतराल <math>[-1,1]</math> पर [[एकपद|एकपदी]] अनुक्रम <math> \left\{1, x, x^2, \dots\right\} </math> से प्रारंभ करता है और ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू करता है,तो उसे लीजेंड्रे बहुपद प्राप्त होता है। अतः लाम्बिक बहुपदों का अन्य संग्रह संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं।
-लाम्बिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन <math>w(x)</math> सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:
+इस प्रकार से लाम्बिक बहुपदों के अध्ययन में भार फलन <math>w(x)</math> सम्मिलित होते हैं जिन्हें द्विरेखीय रूप में डाला जाता है:
 :<math> \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx  .</math>
-<math>(0,\infty)</math> पर [[लैगुएरे बहुपद]] के लिए भार फलन <math>w(x) = e^{-x}</math> है।
+अतः <math>(0,\infty)</math> पर [[लैगुएरे बहुपद]] के लिए भार फलन <math>w(x) = e^{-x}</math> है।
-भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों <math>(-\infty,\infty)</math> पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math> है।
+इस प्रकार से भौतिक विज्ञानी और संभाव्यता सिद्धांतकार दोनों <math>(-\infty,\infty)</math> पर हर्माइट बहुपद का उपयोग करते हैं, जहां भार फलन <math>w(x) = e^{-x^2}</math> या <math>w(x) = e^{- x^2/2}</math> है।
-[[चेबीशेव बहुपद|चेबीशेव बहुपदों]] को <math>[-1,1]</math> पर परिभाषित किया गया है और भार <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math> का उपयोग किया गया है।
+अतः [[चेबीशेव बहुपद|चेबीशेव बहुपदों]] को <math>[-1,1]</math> पर परिभाषित किया गया है और भार <math display="inline">w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math> या <math display="inline">w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math> का उपयोग किया गया है।
-ज़र्निक बहुपद को [[यूनिट डिस्क|इकाई चक्रिका]] पर परिभाषित किया गया है और इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।
+ज़र्निक बहुपद को [[यूनिट डिस्क|इकाई चक्रिका]] पर परिभाषित किया गया है और इस प्रकार से इसमें त्रिज्यीय और कोणीय दोनों भागों की लंबिकता है।
 ==बाइनरी-मान फलन==
-[[वाल्श समारोह|वाल्श फलन]] और [[ उसकी तरंगिका |उसकी तरंगिका]] अलग-अलग श्रेणियों के साथ लाम्बिक फलन के उदाहरण हैं।
+अतः [[वाल्श समारोह|वाल्श फलन]] और [[ उसकी तरंगिका |उसकी तरंगिका]] अलग-अलग श्रेणियों के साथ लाम्बिक फलन के उदाहरण हैं।
 ==तर्कसंगत फलन==
-[[File:ChebychevRational1.png|thumb|x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों का प्लॉट।]]लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लाम्बिक वर्ग {{nowrap|[−1, 1]}} प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लाम्बिक वर्गों {{nowrap|[0, ∞)}} की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी {{nowrap|[−1, 1]}} को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लाम्बिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।
+[[File:ChebychevRational1.png|thumb|अतः इस प्रकार से x=0.01 और 100 के बीच क्रम n=0,1,2,3 और 4 के चेबीशेव तर्कसंगत फलनों की रूप रेखा है।]]इस प्रकार से लीजेंड्रे और चेबीशेव बहुपद अंतराल के लिए लाम्बिक वर्ग {{nowrap|[−1, 1]}} प्रदान करते हैं जबकि कभी-कभी लाम्बिक वर्गों {{nowrap|[0, ∞)}} की आवश्यकता होती है। अतः इस स्थिति में तर्क लाने के लिए पहले केली परिवर्तन वास्तविक होमोग्राफी {{nowrap|[−1, 1]}} को लागू करना सुविधाजनक है। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप तर्कसंगत फलन लाम्बिक फलन के वर्ग बनते हैं जिन्हें लीजेंड्रे तर्कसंगत फलन और चेबीशेव तर्कसंगत फलन कहा जाता है।
 ==विभेदक समीकरणों में==
-सीमा स्थितियों के साथ रैखिक [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के हलों को प्रायः लाम्बिक हल फलनों (या [[eigenfunction|आइगेनफलन]] ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] बनती है।
+इस प्रकार से सीमा स्थितियों के साथ रैखिक [[अंतर समीकरण|अंतर समीकरणों]] के हलों को प्रायः लाम्बिक हल फलनों (या [[eigenfunction|आइगेनफलन]] ) के भारित योग के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे [[सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला]] बनती है।
 ==यह भी देखें==

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