स्क्वीज़ प्रमेय: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
Line 2: | Line 2: | ||
{{Redirect|Sandwich theorem|the result in measure theory|Ham sandwich theorem}} | {{Redirect|Sandwich theorem|the result in measure theory|Ham sandwich theorem}} | ||
[[File:Sandwich lemma.svg|thumb|300px|जब कोई अनुक्रम समान सीमा वाले दो अन्य अभिसरण अनुक्रमों के बीच स्थित होता है, तो वह इस सीमा तक भी परिवर्तित हो जाता है।]][[ गणना ]] में, निचोड़ प्रमेय (जिसे अन्य नामों के साथ सैंडविच प्रमेय भी कहा जाता है{{efn|Also known as the ''pinching theorem'', the ''sandwich rule'', the ''police theorem'', the ''between theorem'' and sometimes the ''squeeze lemma''. In Italy, the theorem is also known as the ''theorem of carabinieri''.}}) | [[File:Sandwich lemma.svg|thumb|300px|जब कोई अनुक्रम समान सीमा वाले दो अन्य अभिसरण अनुक्रमों के बीच स्थित होता है, तो वह इस सीमा तक भी परिवर्तित हो जाता है।]][[ गणना ]] में, निचोड़ प्रमेय (जिसे अन्य नामों के साथ सैंडविच प्रमेय भी कहा जाता है{{efn|Also known as the ''pinching theorem'', the ''sandwich rule'', the ''police theorem'', the ''between theorem'' and sometimes the ''squeeze lemma''. In Italy, the theorem is also known as the ''theorem of carabinieri''.}}) फ़ंक्शन के फ़ंक्शन की सीमा के संबंध में [[प्रमेय]] है जो दो अन्य कार्यों के बीच फंसा हुआ है। | ||
निचोड़ प्रमेय का उपयोग कैलकुलस और [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है, आमतौर पर दो अन्य कार्यों के साथ तुलना के माध्यम से | निचोड़ प्रमेय का उपयोग कैलकुलस और [[गणितीय विश्लेषण]] में किया जाता है, आमतौर पर दो अन्य कार्यों के साथ तुलना के माध्यम से फ़ंक्शन की सीमा की पुष्टि करने के लिए जिनकी सीमाएं ज्ञात होती हैं। इसका पहली बार ज्यामितीय रूप से उपयोग गणितज्ञ [[आर्किमिडीज]]़ और कनिडस के यूडोक्सस द्वारा पाई की गणना करने के प्रयास में किया गया था।{{pi}}, और [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] द्वारा आधुनिक शब्दों में तैयार किया गया था। | ||
== कथन == | == कथन == | ||
Line 18: | Line 18: | ||
* कार्य <math display="inline">g</math> और <math display="inline">h</math> की [[ऊपरी सीमा]] (क्रमशः) कही जाती है <math display="inline">f</math>. | * कार्य <math display="inline">g</math> और <math display="inline">h</math> की [[ऊपरी सीमा]] (क्रमशः) कही जाती है <math display="inline">f</math>. | ||
* यहाँ, <math display="inline">a</math> के [[आंतरिक (टोपोलॉजी)]] में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है <math display="inline">I</math>. वास्तव में, यदि <math display="inline">a</math> का | * यहाँ, <math display="inline">a</math> के [[आंतरिक (टोपोलॉजी)]] में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है <math display="inline">I</math>. वास्तव में, यदि <math display="inline">a</math> का समापन बिंदु है <math display="inline">I</math>, तो उपरोक्त सीमाएँ बाएँ या दाएँ हाथ की सीमाएँ हैं। | ||
* | * समान कथन अनंत अंतरालों के लिए लागू होता है: उदाहरण के लिए, यदि <math display="inline">I=(0, \infty)</math>, तो निष्कर्ष मान्य है, सीमाओं को मानते हुए <math display="inline">x \to \infty</math>. | ||
यह प्रमेय अनुक्रमों के लिए भी मान्य है। होने देना <math>(a_n), (c_n)</math> दो अनुक्रमों का अभिसरण हो <math>\ell</math>, और <math>(b_n)</math> | यह प्रमेय अनुक्रमों के लिए भी मान्य है। होने देना <math>(a_n), (c_n)</math> दो अनुक्रमों का अभिसरण हो <math>\ell</math>, और <math>(b_n)</math> क्रम। अगर <math>\forall n\geq N, N\in\N</math> अपने पास <math>a_n\leq b_n\leq c_n</math>, तब <math>(b_n)</math> भी जुट जाता है <math>\ell</math>. | ||
===प्रमाण=== | ===प्रमाण=== | ||
Line 27: | Line 27: | ||
इसलिए सभी असमानताएँ वास्तव में समानताएँ हैं, और थीसिस तुरंत अनुसरण करती है। | इसलिए सभी असमानताएँ वास्तव में समानताएँ हैं, और थीसिस तुरंत अनुसरण करती है। | ||
का उपयोग करते हुए | का उपयोग करते हुए प्रत्यक्ष प्रमाण <math>(\varepsilon, \delta)</math>-सीमा की परिभाषा, इसे वास्तविक रूप से सिद्ध करना होगा <math display="inline">\varepsilon > 0</math> वहाँ वास्तविकता मौजूद है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x</math> साथ <math>|x - a| < \delta</math>, अपने पास <math>|f(x) - L| < \varepsilon</math>. प्रतीकात्मक रूप से, | ||
<math display="block"> \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, (|x - a | < \delta \ \Rightarrow |f(x) - L |< \varepsilon).</math> | <math display="block"> \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, (|x - a | < \delta \ \Rightarrow |f(x) - L |< \varepsilon).</math> | ||
Line 120: | Line 120: | ||
=== चौथा उदाहरण === | === चौथा उदाहरण === | ||
निचोड़ प्रमेय का उपयोग अभी भी बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस में किया जा सकता है, लेकिन निचला (और ऊपरी फ़ंक्शन) लक्ष्य फ़ंक्शन के नीचे (और ऊपर) होना चाहिए, न कि केवल | निचोड़ प्रमेय का उपयोग अभी भी बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस में किया जा सकता है, लेकिन निचला (और ऊपरी फ़ंक्शन) लक्ष्य फ़ंक्शन के नीचे (और ऊपर) होना चाहिए, न कि केवल पथ के साथ, बल्कि रुचि के बिंदु के पूरे पड़ोस के आसपास और यह केवल तभी काम करता है जब फ़ंक्शन वास्तव में वहां सीमा है। इसलिए, इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की बिंदु पर सीमा होती है, लेकिन इसका उपयोग यह साबित करने के लिए कभी नहीं किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की किसी बिंदु पर कोई सीमा नहीं होती है।<ref>{{cite book|chapter=Chapter 15.2 Limits and Continuity| pages=909–910|title=बहुपरिवर्तनीय कलन|year=2008|last1=Stewart|first1=James| author-link1=James Stewart (mathematician)| edition=6th|isbn=978-0495011637}}</ref> | ||
<math display="block">\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}</math> | <math display="block">\lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^2+y^2}</math> |
Revision as of 06:59, 10 July 2023
गणना में, निचोड़ प्रमेय (जिसे अन्य नामों के साथ सैंडविच प्रमेय भी कहा जाता है[lower-alpha 1]) फ़ंक्शन के फ़ंक्शन की सीमा के संबंध में प्रमेय है जो दो अन्य कार्यों के बीच फंसा हुआ है।
निचोड़ प्रमेय का उपयोग कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है, आमतौर पर दो अन्य कार्यों के साथ तुलना के माध्यम से फ़ंक्शन की सीमा की पुष्टि करने के लिए जिनकी सीमाएं ज्ञात होती हैं। इसका पहली बार ज्यामितीय रूप से उपयोग गणितज्ञ आर्किमिडीज़ और कनिडस के यूडोक्सस द्वारा पाई की गणना करने के प्रयास में किया गया था।π, और कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा आधुनिक शब्दों में तैयार किया गया था।
कथन
निचोड़ प्रमेय औपचारिक रूप से इस प्रकार बताया गया है।[1]
Theorem — Let I be an interval containing the point a. Let g, f, and h be functions defined on I, except possibly at a itself. Suppose that for every x in I not equal to a, we have
Then
- कार्य और की ऊपरी सीमा (क्रमशः) कही जाती है .
- यहाँ, के आंतरिक (टोपोलॉजी) में स्थित होने की आवश्यकता नहीं है . वास्तव में, यदि का समापन बिंदु है , तो उपरोक्त सीमाएँ बाएँ या दाएँ हाथ की सीमाएँ हैं।
- समान कथन अनंत अंतरालों के लिए लागू होता है: उदाहरण के लिए, यदि , तो निष्कर्ष मान्य है, सीमाओं को मानते हुए .
यह प्रमेय अनुक्रमों के लिए भी मान्य है। होने देना दो अनुक्रमों का अभिसरण हो , और क्रम। अगर अपने पास , तब भी जुट जाता है .
प्रमाण
उपरोक्त परिकल्पनाओं के अनुसार, हम निम्न और श्रेष्ठ की सीमा लेते हैं:
का उपयोग करते हुए प्रत्यक्ष प्रमाण -सीमा की परिभाषा, इसे वास्तविक रूप से सिद्ध करना होगा वहाँ वास्तविकता मौजूद है ऐसा कि सभी के लिए साथ , अपने पास . प्रतीकात्मक रूप से,
|
(1) |
और
मतलब कि
|
(2) |
तो हमारे पास हैं
अनुक्रमों के लिए प्रमाण बहुत समान है, का उपयोग करते हुए -किसी अनुक्रम की सीमा की परिभाषा.
उदाहरण
पहला उदाहरण
सीमा
हालाँकि, साइन फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार,
दूसरा उदाहरण
संभवतः निचोड़कर सीमा खोजने के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण समानता के प्रमाण हैं
इन दो सीमाओं का उपयोग इस तथ्य के प्रमाण में किया जाता है कि साइन फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कोसाइन फ़ंक्शन है। त्रिकोणमितीय फलनों के व्युत्पन्नों के अन्य प्रमाणों में उस तथ्य पर भरोसा किया जाता है।
तीसरा उदाहरण
यह दिखाना संभव है
दाईं ओर के चित्रण में, वृत्त के दो छायांकित क्षेत्रों में से छोटे का क्षेत्रफल है
चौथा उदाहरण
निचोड़ प्रमेय का उपयोग अभी भी बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस में किया जा सकता है, लेकिन निचला (और ऊपरी फ़ंक्शन) लक्ष्य फ़ंक्शन के नीचे (और ऊपर) होना चाहिए, न कि केवल पथ के साथ, बल्कि रुचि के बिंदु के पूरे पड़ोस के आसपास और यह केवल तभी काम करता है जब फ़ंक्शन वास्तव में वहां सीमा है। इसलिए, इसका उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की बिंदु पर सीमा होती है, लेकिन इसका उपयोग यह साबित करने के लिए कभी नहीं किया जा सकता है कि किसी फ़ंक्शन की किसी बिंदु पर कोई सीमा नहीं होती है।[3]
संदर्भ
टिप्पणियाँ
- ↑ Also known as the pinching theorem, the sandwich rule, the police theorem, the between theorem and sometimes the squeeze lemma. In Italy, the theorem is also known as the theorem of carabinieri.
संदर्भ
- ↑ Sohrab, Houshang H. (2003). बुनियादी वास्तविक विश्लेषण (2nd ed.). Birkhäuser. p. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.
- ↑ Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, pp. 80-81 (German). See also Sal Khan: Proof: limit of (sin x)/x at x=0 (video, Khan Academy)
- ↑ Stewart, James (2008). "Chapter 15.2 Limits and Continuity". बहुपरिवर्तनीय कलन (6th ed.). pp. 909–910. ISBN 978-0495011637.
बाहरी संबंध
- Weisstein, Eric W. "Squeezing Theorem". MathWorld.
- Squeeze Theorem by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the Wolfram Demonstrations Project.
- Squeeze Theorem on ProofWiki.