सूक्ष्म निरंतरता

गैरमानक विश्लेषण में, शास्त्रीय गणित के अन्दर अनुशासन, बिंदु a पर आंतरिक फलन f की सूक्ष्म निरंतरता (या S-निरंतरता) को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

सभी x के लिए a के अपरिमित रूप से निकट, मान f(x) अपरिमित रूप से f(a) के निकट है।

यहां x f के डोमेन से होकर निकलता है। और सूत्रों में, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

यदि $x\approx a$ तब $f(x)\approx f(a)$.

इस प्रकार से $\mathbb {R}$, पर परिभाषित फलन f के लिए परिभाषा को हेलो के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: f $c\in \mathbb {R}$ पर माइक्रोकंटिन्यूअस है यदि और केवल यदि $f(hal(c))\subseteq hal(f(c))$ जहां हाइपररियल्स के लिए एफ का प्राकृतिक विस्तार अभी भी f दर्शाया गया है। किन्तु वैकल्पिक रूप से, c पर सूक्ष्म निरंतरता की संपत्ति को इस तरह व्यक्त किया जा सकता है कि यह संरचना ${\text{st}}\circ f$ c के प्रभामंडल पर स्थिर है, जहां "st" मानक भाग फलन होते है।

इतिहास

इस प्रकार से किसी फलन की निरंतरता की आधुनिक संपत्ति को प्रथम समय 1817 में बोल्ज़ानो द्वारा परिभाषित किया गया था। चूंकि यह, 1860 के दशक में हेइन में इसकी पुनः खोज तक बोल्ज़ानो के काम पर उच्च गणितीय समुदाय पर ध्यान नहीं दिया गया था। इस मध्य , कॉची की पाठ्यपुस्तक कौर्स डी एनालिसिस ने 1821 में उपरोक्त के अनुसार इनफिनिटिमल्स का उपयोग करके निरंतरता को परिभाषित किया गया था ।

निरंतरता और एकसमान निरंतरता

सूक्ष्म निरंतरता का गुण सामान्यतः वास्तविक फलन f के प्राकृतिक विस्तार f* पर प्रयुक्त होता है। इस प्रकार, वास्तविक अंतराल I पर परिभाषित f निरंतर है यदि और केवल यदि F* I के प्रत्येक बिंदु पर माइक्रोकंटिन्यूअस है। इस मध्य , F I पर समान रूप से निरंतर है यदि और केवल यदि f* प्रत्येक बिंदु (मानक और गैरमानक) पर माइक्रोकंटिन्यूअस है इसके डोमेन I का प्राकृतिक विस्तार I* (देखें डेविस, 1977, पृष्ठ 96) में प्रयुक्त किया गया था ।

उदाहरण 1

इस प्रकार से खुले अंतराल (0,1) पर वास्तविक फलन $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ समान रूप से निरंतर नहीं है क्योंकि f का प्राकृतिक विस्तार f* एक अनंत लघु $a>0$. पर माइक्रोकंटिन्यूअस होने में विफल रहता है। वास्तव में , ऐसे a के लिए, a और 2a के मान अनंत रूप से समीप हैं, जिससे f* के मान, अर्थात् ${\tfrac {1}{a}}$ और ${\tfrac {1}{2a}}$, अनंत रूप से समीप नहीं होते हैं।

उदाहरण 2

इस प्रकार से $\mathbb {R}$ पर फलन $f(x)=x^{2}$ समान रूप से निरंतर नहीं है क्योंकि f* एक अनंत बिंदु $H\in \mathbb {R} ^{*}$ पर माइक्रोकंटिन्यूअस होने में विफल रहता है, अर्थात, $e={\tfrac {1}{H}}$ और K = H + e, समुच्चय करने पर कोई सरलता से देख सकता है कि H और K अनंत रूप से समीप हैं जिससे f*(H ) और f*(K) अनंत रूप से समीप नहीं हैं।

समान अभिसरण

इस प्रकार से समान अभिसरण इसी तरह हाइपररियल समुच्चय में एक सरलीकृत परिभाषा को स्वीकार किये जाते है। इस प्रकार, एक अनुक्रम $f_{n}$ समान रूप से f में परिवर्तित हो जाता है यदि f* के डोमेन में सभी x और सभी अनंत n के लिए, $f_{n}^{*}(x)$ अनंत रूप से $f^{*}(x)$. के समीप होते है।

यह भी देखें

• मानक भाग फलन

ग्रन्थसूची

• Martin Davis (1977) Applied nonstandard analysis. Pure and Applied Mathematics. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney. xii+181 pp. ISBN 0-471-19897-8
• Gordon, E. I.; Kusraev, A. G.; Kutateladze, S. S.: Infinitesimal analysis. Updated and revised translation of the 2001 Russian original. Translated by Kutateladze. Mathematics and its Applications, 544. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.