क्रमपरिवर्तन की समता

4 तत्वों के क्रमपरिवर्तन

विषम क्रमपरिवर्तन की पृष्ठभूमि हरे या नारंगी रंग की होती है। दाएँ कॉलम में संख्याएँ व्युत्क्रम (असतत गणित) संख्याएँ हैं (sequence A034968 in the OEIS), जिसमें क्रमपरिवर्तन के समान समता (गणित) है।

गणित में, जब X कम से कम दो तत्वों वाला एक परिमित समुच्चय होता है, तो X के क्रमपरिवर्तन (अर्थात् X से यदि X का कोई कुल क्रम निश्चित है, तो X के क्रमपरिवर्तन $\sigma$ की समता (विषमता या समता) को σ के लिए व्युत्क्रमों की संख्या की समता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, X के तत्व x, y के जोड़े जैसे कि x < y और σ(x) > σ(y).

क्रमपरिवर्तन σ का चिह्न, हस्ताक्षर, या चिह्न sgn(σ) दर्शाया जाता है और यदि σ सम है तो +1 के रूप में परिभाषित किया जाता है और यदि σ विषम है तो −1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। हस्ताक्षर सममित समूह S_n के वैकल्पिक चरित्र को परिभाषित करता है। क्रमपरिवर्तन के संकेत के लिए एक और संकेतन अधिक सामान्य लेवी-सिविटा प्रतीक (ε_σ) द्वारा दिया गया है, जिसे X से X, तक सभी मानचित्रों के लिए परिभाषित किया गया है, और गैर-विशेषण मानचित्रों के लिए इसका मान शून्य है।

क्रमपरिवर्तन का संकेत स्पष्ट रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

sgn(σ) = (−1)^N(σ)

जहां N(σ) σ में व्युत्क्रम (असतत गणित) की संख्या है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमपरिवर्तन के चिह्न को इसके अपघटन से ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

sgn(σ) = (−1)^m

जहाँ m अपघटन में स्थानान्तरण की संख्या है। यद्यपि ऐसा अपघटन अद्वितीय नहीं है, सभी अपघटनों में ट्रांसपोज़िशन की संख्या की समानता समान है, जिसका अर्थ है कि क्रमपरिवर्तन का संकेत अच्छी तरह से परिभाषित है।

उदाहरण

1 $\sigma (1)=3,$ $\sigma (2)=4,$ $\sigma (3)=5,$ $\sigma (4)=2,$ और $\sigma (5)=1.$ द्वारा परिभाषित सेट {1, 2, 3, 4, 5} के क्रमपरिवर्तन σ पर विचार करें, एक-पंक्ति संकेतन में, इस क्रमपरिवर्तन को 34521 दर्शाया गया है। इसे पहचान क्रमपरिवर्तन 12345 से प्राप्त किया जा सकता है तीन स्थानांतरण: पहले संख्या 2 और 4 का आदान-प्रदान करें, फिर 3 और 5 का आदान-प्रदान करें, और अंत में 1 और 3 का आदान-प्रदान करें। इससे पता चलता है कि दिया गया क्रमपरिवर्तन σ विषम है। चक्र संकेतन लेख की विधि का अनुसरण करते हुए, इसे बाएँ से दाएँ, जैसे, लिखते हुए लिखा जा सकता है

$\sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&4&5&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}}.$

उदाहरण के लिए, ट्रांसपोज़िशन की कार्यात्मक संरचना के रूप में σ लिखने के कई अन्य विधि हैं

σ = (1 5)(3 4)(2 4)(1 2)(2 3),

किंतु इसे सम संख्या में स्थानान्तरण के उत्पाद के रूप में लिखना असंभव है।

गुण

पहचान क्रमपरिवर्तन एक सम क्रमपरिवर्तन है। एक सम क्रमपरिवर्तन को सम और विषम संख्याओं की संरचना के रूप में प्राप्त किया जा सकता है और दो तत्वों के केवल एक सम संख्या के आदान-प्रदान (जिन्हें ट्रांसपोज़िशन (गणित) कहा जाता है) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जबकि एक विषम क्रमपरिवर्तन (केवल) एक विषम संख्या के ट्रांसपोज़िशन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। .

निम्नलिखित नियम सीधे पूर्णांकों के योग के संबंधित नियमों का अनुसरण करते हैं:

• दो सम क्रमपरिवर्तनों का संघटन सम होता है
• दो विषम क्रमपरिवर्तनों का संघटन सम है
• विषम और सम क्रमपरिवर्तन की संरचना विषम होती है

इनसे यह निष्कर्ष निकलता है

• प्रत्येक सम क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम भी सम होता है
• प्रत्येक विषम क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम विषम होता है

सममित समूह S_n को ध्यान में रखते हुए सेट {1, ..., n} के सभी क्रमपरिवर्तनों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मानचित्र

sgn: S_n → {−1, 1} 

जो प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को अपना हस्ताक्षर निर्दिष्ट करता है वह एक समूह समरूपता है।

इसके अतिरिक्त हम देखते हैं कि सम क्रमपरिवर्तन S_n का एक उपसमूह बनाते हैं. यह n अक्षरों पर एक प्रत्यावर्ती समूह है, जिसे A_n द्वारा दर्शाया जाता है. यह समरूपता sgn का कर्नेल (बीजगणित) है।</nowiki></ref> विषम क्रमपरिवर्तन एक उपसमूह नहीं बना सकते, क्योंकि दो विषम क्रमपरिवर्तनों का संयोजन सम है, किंतु वे A_n (S_n). का एक सहसमुच्चय बनाते हैं।.

यदि n > 1, तो S_n में उतने ही सम क्रमपरिवर्तन हैं जितने विषम हैं;[3] परिणामस्वरूप, A_n में n!/2 क्रमपरिवर्तन होते हैं। (कारण यह है कि यदि σ सम है तो (1  2)σ विषम है, और यदि σ विषम है तो (1  2)σ सम है, और ये दोनों मानचित्र एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।)

एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन सम होता है और केवल तभी जब इसकी लंबाई विषम हो। यह जैसे सूत्रों से अनुसरण करता है

$(a\ b\ c\ d\ e)=(d\ e)(c\ e)(b\ e)(a\ e){\text{ or }}(a\ b)(b\ c)(c\ d)(d\ e).$

व्यवहार में, यह निर्धारित करने के लिए कि दिया गया क्रमपरिवर्तन सम है या विषम, कोई क्रमपरिवर्तन को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखता है। क्रमपरिवर्तन विषम है यदि और केवल यदि इस गुणनखंड में विषम संख्या में सम-लंबाई चक्र सम्मिलित हों।

यह निर्धारित करने के लिए एक और विधि है कि कोई दिया गया क्रमपरिवर्तन सम है या विषम, संबंधित क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का निर्माण करना और उसके निर्धारक की गणना करना है। निर्धारक का मान क्रमपरिवर्तन की समता के समान है।

विषम क्रम (समूह सिद्धांत) का प्रत्येक क्रमपरिवर्तन सम होना चाहिए। क्रमपरिवर्तन (1 2)(3 4) में A₄ दर्शाता है कि इसका विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं है।

दो परिभाषाओं की समानता

यह खंड प्रमाण प्रस्तुत करता है कि क्रमपरिवर्तन σ की समता को दो समकक्ष विधि से परिभाषित किया जा सकता है:

• σ में व्युत्क्रमों की संख्या की समता के रूप में (किसी भी क्रम के तहत); या
• ट्रांसपोज़िशन की संख्या की समता के रूप में σ को विघटित किया जा सकता है (चूँकि हम इसे विघटित करना चुनते हैं)।

Proof 1

Let σ be a permutation on a ranked domain S. Every permutation can be produced by a sequence of transpositions (2-element exchanges). Let the following be one such decomposition

σ = T₁ T₂ ... T_k

We want to show that the parity of k is equal to the parity of the number of inversions of σ.

Every transposition can be written as a product of an odd number of transpositions of adjacent elements, e.g.

(2 5) = (2 3) (3 4) (4 5) (4 3) (3 2).

Generally, we can write the transposition (i i+d) on the set {1,...,i,...,i+d,...} as the composition of 2d−1 adjacent transpositions by recursion on d:

• The base case d=1 is trivial.

• In the recursive case, first rewrite (i, i+d) as (i, i+1) (i+1, i+d) (i, i+1). Then recursively rewrite (i+1, i+d) as adjacent transpositions.

If we decompose in this way each of the transpositions T₁ ... T_k above, we get the new decomposition:

σ = A₁ A₂ ... A_m

where all of the A₁...A_m are adjacent. Also, the parity of m is the same as that of k.

This is a fact: for all permutation τ and adjacent transposition a, aτ either has one less or one more inversion than τ. In other words, the parity of the number of inversions of a permutation is switched when composed with an adjacent transposition.

Therefore, the parity of the number of inversions of σ is precisely the parity of m, which is also the parity of k. This is what we set out to prove.

We can thus define the parity of σ to be that of its number of constituent transpositions in any decomposition. And this must agree with the parity of the number of inversions under any ordering, as seen above. Therefore, the definitions are indeed well-defined and equivalent.

Proof 2

An alternative proof uses the Vandermonde polynomial

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\prod _{i<j}(x_{i}-x_{j}).$

So for instance in the case n = 3, we have

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{1}-x_{3}).$

Now for a given permutation σ of the numbers {1, ..., n}, we define

$\operatorname {sgn}(\sigma )={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}.$

Since the polynomial $P(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$ has the same factors as $P(x_{1},\dots ,x_{n})$ except for their signs, it follows that sgn(σ) is either +1 or −1. Furthermore, if σ and τ are two permutations, we see that

${\begin{aligned}\operatorname {sgn}(\sigma \tau )&={\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\\[4pt]&={\frac {P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}{P(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\cdot {\frac {P(x_{\sigma (\tau (1))},\ldots ,x_{\sigma (\tau (n))})}{P(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})}}\\[4pt]&=\operatorname {sgn}(\sigma )\cdot \operatorname {sgn}(\tau ).\end{aligned}}$

Since with this definition it is furthermore clear that any transposition of two elements has signature −1, we do indeed recover the signature as defined earlier.

Proof 3

A third approach uses the presentation of the group S_n in terms of generators τ₁, ..., τ_n−1 and relations

• $\tau _{i}^{2}=1$  for all i
• $\tau _{i}^{}\tau _{i+1}\tau _{i}=\tau _{i+1}\tau _{i}\tau _{i+1}$   for all i < n − 1
• $\tau _{i}^{}\tau _{j}=\tau _{j}\tau _{i}$   if $|i-j|\geq 2.$

[Here the generator $\tau _{i}$ represents the transposition (i, i + 1).] All relations keep the length of a word the same or change it by two. Starting with an even-length word will thus always result in an even-length word after using the relations, and similarly for odd-length words. It is therefore unambiguous to call the elements of S_n represented by even-length words "even", and the elements represented by odd-length words "odd".

Proof 4

Recall that a pair x, y such that x < y and σ(x) > σ(y) is called an inversion. We want to show that the count of inversions has the same parity as the count of 2-element swaps. To do that, we can show that every swap changes the parity of the count of inversions, no matter which two elements are being swapped and what permutation has already been applied. Suppose we want to swap the ith and the jth element. Clearly, inversions formed by i or j with an element outside of [i, j] will not be affected. For the n = j − i − 1 elements within the interval (i, j), assume v_i of them form inversions with i and v_j of them form inversions with j. If i and j are swapped, those v_i inversions with i are gone, but n − v_i inversions are formed. The count of inversions i gained is thus n − 2v_i, which has the same parity as n.

Similarly, the count of inversions j gained also has the same parity as n. Therefore, the count of inversions gained by both combined has the same parity as 2n or 0. Now if we count the inversions gained (or lost) by swapping the ith and the jth element, we can see that this swap changes the parity of the count of inversions, since we also add (or subtract) 1 to the number of inversions gained (or lost) for the pair (i,j).

Note that initially when no swap is applied, the count of inversions is 0. Now we obtain equivalence of the two definitions of parity of a permutation.

Proof 5

Consider the elements that are sandwiched by the two elements of a transposition. Each one lies completely above, completely below, or in between the two transposition elements.

An element that is either completely above or completely below contributes nothing to the inversion count when the transposition is applied. Elements in-between contribute $2$.

As the transposition itself supplies $\pm 1$ inversion, and all others supply 0 (mod 2) inversions, a transposition changes the parity of the number of inversions.

अन्य परिभाषाएँ एवं प्रमाण

$n$ के क्रमपरिवर्तन की समता है इसके चक्रीय क्रमपरिवर्तन में अंक भी एन्कोड किए गए हैं।

मान लीजिए σ = (i₁ i₂ ... i_r+1)(j₁ j₂ ... j_s+1)...(ℓ₁ ℓ₂ ... ℓ_u+1) असंयुक्त चक्रों में σ का अद्वितीय चक्र संकेतन | अपघटन हो, जिसे किसी भी क्रम में बनाया जा सकता है क्योंकि वे आवागमन करते हैं। एक चक्र (a b c ... x y z) सम्मिलित है k + 1 अंक सदैव k ट्रांसपोज़िशन (2-चक्र) बनाकर प्राप्त किए जा सकते हैं:

$(a\ b\ c\dots x\ y\ z)=(a\ b)(b\ c)\dots (x\ y)(y\ z),$

इसलिए k को चक्र का आकार कहें, और देखें कि, इस परिभाषा के तहत, ट्रांसपोज़िशन आकार 1 के चक्र हैं। m असंयुक्त चक्रों में एक अपघटन से हम k₁ + k₂ + ... + k_m ट्रांसपोज़िशन में σ का अपघटन प्राप्त कर सकते हैं, जहां k_i ith चक्र का आकार है। संख्या N(σ) = k₁ + k₂ + ... + k_m को σ का विभेदक कहा जाता है, और इसकी गणना इस प्रकार भी की जा सकती है

$n{\text{ minus the number of disjoint cycles in the decomposition of }}\sigma$

यदि हम σ के निश्चित बिंदुओं को 1-चक्र के रूप में सम्मिलित करने का ध्यान रखते हैं।

मान लीजिए कि क्रमपरिवर्तन σ के बाद एक ट्रांसपोज़िशन (a b) प्रयुक्त किया जाता है। जब a और b σ के विभिन्न चक्रों में होते हैं

$(a\ b)(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$,

और यदि a और b σ के एक ही चक्र में हैं

$(a\ b)(ac_{1}c_{2}\dots c_{r}\ b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})=(a\ c_{1}\ c_{2}\dots c_{r})(b\ d_{1}\ d_{2}\dots d_{s})$.

किसी भी स्थिति में, यह देखा जा सकता है N((a b)σ) = N(σ) ± 1, इसलिए N((a b)σ) की समता N(σ) की समता से भिन्न होगी।

यदि σ = t₁t₂ ... t_r एक क्रमपरिवर्तन σ का स्थानान्तरण में एक मनमाना अपघटन है, तो t₂ के बाद r स्थानान्तरण $t_{1}$ को प्रयुक्त करके ... t_r के बाद पहचान के बाद (जिसका N शून्य है) निरीक्षण करें कि N(σ) ) और r में समान समानता है। σ की समता को N(σ) की समता के रूप में परिभाषित करके, एक क्रमपरिवर्तन जिसमें एक समान लंबाई का अपघटन होता है वह एक सम क्रमपरिवर्तन होता है और एक क्रमपरिवर्तन जिसमें एक विषम लंबाई का अपघटन होता है वह एक विषम क्रमपरिवर्तन होता है।

टिप्पणियां

ता को N(σ) की समता के रूप में परिभाषित करके, एक क्रमपरिवर्तन जिसमें एक समान लंबाई का अपघटन होता है वह एक सम क्रमपरिवर्तन होता है और एक क्र

• उपरोक्त तर्क की सावधानीपूर्वक जांच से पता चलता है r ≥ N(σ), और चूंकि चक्रों में σ का कोई भी अपघटन, जिसका आकार r के समान है, को r स्थानान्तरण की संरचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, संख्या N(σ) σ के अपघटन में चक्रों के आकार का न्यूनतम संभव योग है, जिसमें सम्मिलित है ऐसे स्थिति जिनमें सभी चक्र स्थानान्तरण हैं।
• यह प्रमाण उन बिंदुओं के समूह में (संभवतः इच्छानुसार ) क्रम प्रस्तुत नहीं करता है जिन पर σ कार्य करता है।

सामान्यीकरण

समता को कॉक्सेटर समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक लंबाई फ़ंक्शन ℓ(v) को परिभाषित करता है, जो जेनरेटर की पसंद पर निर्भर करता है (सममित समूह, आसन्न ट्रांसपोज़िशन के लिए), और फिर फ़ंक्शन v ↦ (−1)^ℓ(v) एक सामान्यीकृत संकेत मानचित्र देता है।

यह भी देखें

• पन्द्रह पहेली एक क्लासिक एप्लीकेशन है
• ज़ोलोटारेव की लेम्मा

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Even Permutation". MathWorld.
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. Vol. 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Rotman, J.J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate texts in mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94285-8.
• Goodman, Frederick M. Algebra: Abstract and Concrete. ISBN 978-0-9799142-0-1.
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: the application to quantum mechanics. Dover classics of science and mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43798-9.