प्रतिच्छेदन सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित में, प्रतिच्छेदन सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति की मुख्य शाखाओं में से एक है, जहां यह किसी दी गई विविधता की दो उप-विविधताओ के प्रतिच्छेदन के बारे में जानकारी देता है।^[1] विविधताओ के लिए सिद्धांत पुराना है, जिसकी जड़ें वक्र और उन्मूलन सिद्धांत पर बेज़ाउट के प्रमेय में हैं। दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल सिद्धांत अधिक तेजी से एक निश्चित रूप में पहुंच गया।

प्रतिच्छेदन सिद्धांत का अभी भी विकास जारी है। वर्तमान में मुख्य फोकस इस पर है: आभासी मौलिक चक्र क्वांटम प्रतिच्छेदन वलय, ग्रोमोव-विटन सिद्धांत और स्कीम (गणित) से स्टैक (गणित) तक प्रतिच्छेदन सिद्धांत का विस्तार है।^[2]

टोपोलॉजिकल इंटरसेक्शन फॉर्म

जुड़ा हुआ स्थान उन्मुखता के लिए $M$ अनेक गुना के आयाम का $2 n$ प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर परिभाषित किया गया है $n$ -वें कोहोमोलॉजी समूह (जिसे सामान्यतः 'मध्य आयाम' कहा जाता है) मौलिक वर्ग पर कप उत्पाद के मूल्यांकन द्वारा $[M]$ में $H 2 n (M, \partial M)$ . स्पष्ट रूप से कहा गया है, एक द्विरेखीय रूप है

\lambda _{M}\colon H^{n}(M,\partial M)\times H^{n}(M,\partial M)\to \mathbf {Z}

द्वारा दिए गए

\lambda _{M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z}

साथ

\lambda _{M}(a,b)=(-1)^{n}\lambda _{M}(b,a)\in \mathbf {Z} .

यह n सम के लिए एक सममित रूप है (इसलिए 2n = 4k दोगुना सम), इस स्थिति में M के हस्ताक्षर को प्रपत्र के हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया गया है, और n विषम के लिए एक वैकल्पिक रूप है (इसलिए 2n = 4k + 2 एकल है) यहां तक की)। इन्हें समान रूप से ε-सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जहां सममित और तिरछा-सममित रूपों के लिए क्रमशः $ε = (-1) n = \pm1$ है। कुछ परिस्थितियों में इस फॉर्म को ε-द्विघात रूप में परिष्कृत करना संभव है, चूँकि इसके लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है जैसे कि स्पर्शरेखा बंडल का फ़्रेमिंग ओरिएंटेबिलिटी की स्थिति को छोड़ना और इसके अतिरिक्त $Z /2 Z$ गुणांक के साथ काम करना संभव है।

ये रूप महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय हैं। उदाहरण के लिए, माइकल फ्रीडमैन के एक प्रमेय में कहा गया है कि बस जुड़े हुए सघन स्थान 4-मैनिफोल्ड (लगभग) होमोमोर्फिज्म तक उनके प्रतिच्छेदन रूपों द्वारा निर्धारित होते हैं।

पोंकारे द्वंद्व से, यह पता चलता है कि इसे ज्यामितीय रूप से सोचने का एक विधि है। यदि संभव हो, तो $a$ और $b$ के पोंकारे दोहरे के लिए प्रतिनिधि $n$ -आयामी सबमैनिफोल्ड्स $A$ , $B$ चुनें। फिर $λ M (a, b)$ A और B का उन्मुख प्रतिच्छेदन संख्या है, जो अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि चूंकि A और B के आयाम M के कुल आयाम के योग हैं, इसलिए वे सामान्य रूप से अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह शब्दावली प्रतिच्छेदन रूप की व्याख्या करता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में प्रतिच्छेदन सिद्धांत

विलियम फुल्टन (गणितज्ञ) इंटरसेक्शन थ्योरी (1984) में लिखते हैं

<ब्लॉककोट>

... यदि $A$ और $B$ एक गैर-एकवचन विविधता $X$ की उप-विविधता हैं, तो प्रतिच्छेदन उत्पाद $A \cdot B$ बीजगणितीय चक्रों का एक समतुल्य वर्ग होना चाहिए जो कि $A \cap B$ , $A$ और $B$ की ज्यामिति से निकटता से संबंधित है। दो चरम स्थिति सबसे अधिक परिचित रहे हैं। यदि प्रतिच्छेदन उचित है, अर्थात $dim(A \cap B) = dim A + dim B - dim X$ दूसरे चरम पर, यदि $A = B$ एक गैर-एकवचन उपविविधता है, तो स्व-प्रतिच्छेदन सूत्र कहता है कि $A \cdot B$ को $X$ में $A$ के सामान्य बंडल के शीर्ष चेर्न वर्ग द्वारा दर्शाया गया है।

एक परिभाषा देने के लिए, सामान्य स्थिति में, प्रतिच्छेदन बहुलता आंद्रे वेइल की 1946 की पुस्तक फाउंडेशन ऑफ अलजेब्रिक ज्योमेट्री की प्रमुख चिंता थी। 1920 के दशक में बार्टेल लिएन्डर्ट वैन डेर वेर्डन या बी का कार्य एल. वैन डेर वेर्डन ने पहले ही प्रश्न का समाधान कर दिया था; बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में विचार अच्छी तरह से ज्ञात थे, किंतु मूलभूत प्रश्नों को उसी भावना से संबोधित नहीं किया गया था।

गतिशील चक्र

बीजगणितीय चक्र को प्रतिच्छेद करने की एक अच्छी तरह से काम करने वाली मशीनरी $V$ और $W$ को केवल सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन लेने से कहीं अधिक की आवश्यकता है $V \cap W$ विचाराधीन चक्रों का। यदि दो चक्र अच्छी स्थिति में हैं तो प्रतिच्छेदन उत्पाद दर्शाया जाता है $V \cdot W$ , दो उप-विविधताओ के सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन से युक्त होना चाहिए। हालाँकि चक्र ख़राब स्थिति में हो सकते हैं, उदा. समतल में दो समानांतर रेखाएँ, या एक समतल जिसमें एक रेखा (3-स्थान में प्रतिच्छेद) होती है। दोनों ही मामलों में चौराहा एक बिंदु होना चाहिए, क्योंकि, फिर से, यदि एक चक्र चलता है, तो यह चौराहा होगा। दो चक्रों का मिलन $V$ और $W$ को उचित कहा जाता है यदि (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन का संहिताकरण $V \cap W$ के संहिताकरणों का योग है $V$ और $W$ , क्रमशः, यानी अपेक्षित मूल्य।

इसलिए, बीजगणितीय चक्रों पर उचित तुल्यता संबंधों का उपयोग करके चक्रों को चलाने की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। समतुल्यता इतनी व्यापक होनी चाहिए कि कोई भी दो चक्र दिए जा सकें $V$ और $W$ , समतुल्य चक्र हैं $V'$ और $W'$ ऐसा कि चौराहा $V' \cap W'$ उचित है. बेशक, दूसरी ओर, दूसरे समकक्ष के लिए $V''$ और $W''$ , $V' \cap W'$ के बराबर होना चाहिए $V'' \cap W''$ .

प्रतिच्छेदन सिद्धांत के प्रयोजनों के लिए, तर्कसंगत तुल्यता सबसे महत्वपूर्ण है। संक्षेप में, दो $r$ विविधता पर आयामी चक्र $X$ यदि कोई परिमेय फलन है तो परिमेय रूप से समतुल्य हैं $f$ एक पर $(r + 1)$ -आयामी उपविविधता $Y$ , यानी बीजगणितीय विविधता के फ़ंक्शन फ़ील्ड का एक तत्व $k (Y)$ या समकक्ष एक फ़ंक्शन $f : Y \to P 1$ , ऐसा है कि $V - W = f -1 (0) - f -1 (\infty)$ , कहाँ $f -1 (\cdot)$ को बहुलता से गिना जाता है। तर्कसंगत तुल्यता ऊपर वर्णित आवश्यकताओं को पूरा करती है।

प्रतिच्छेदन बहुलता

रेखाओं और परवलय का प्रतिच्छेदन

चक्रों की प्रतिच्छेदन बहुलता की परिभाषा में मार्गदर्शक सिद्धांत एक निश्चित अर्थ में निरंतरता है। निम्नलिखित प्रारंभिक उदाहरण पर विचार करें: एक परवलय का प्रतिच्छेदन $y = x 2$ और एक अक्ष $y = 0$ होना चाहिए $2 \cdot (0, 0)$ , क्योंकि यदि चक्रों में से एक चलता है (फिर भी एक अपरिभाषित अर्थ में), तो वास्तव में दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं जो दोनों में परिवर्तित होते हैं $(0, 0)$ जब चक्र चित्रित स्थिति के करीब पहुंचते हैं। (जहां तक परवलय और रेखा का स्पष्ट रूप से खाली प्रतिच्छेदन है, यह चित्र भ्रामक है $y = -3$ खाली है, क्योंकि केवल समीकरणों के वास्तविक समाधान दर्शाए गए हैं)।

प्रतिच्छेदन बहुलता की पहली पूरी तरह से संतोषजनक परिभाषा जीन पियरे सेरे द्वारा दी गई थी: चलो परिवेश विविधता $X$ चिकनी हो (या सभी स्थानीय रिंग नियमित स्थानीय रिंग)। आगे चलो $V$ और $W$ दो (अघुलनशील कम बंद) उप-विविधता हों, जैसे कि उनका प्रतिच्छेदन उचित हो। निर्माण स्थानीय है, इसलिए विविधताओ को दो आदर्शों द्वारा दर्शाया जा सकता है $I$ और $J$ के निर्देशांक वलय में $X$ . होने देना $Z$ सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन का एक अप्रासंगिक घटक बनें $V \cap W$ और $z$ यह सामान्य बिंदु है। की बहुलता $Z$ प्रतिच्छेदन उत्पाद में $V \cdot W$ द्वारा परिभाषित किया गया है

\mu (Z;V,W):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{X,z}}{\text{Tor}}_{i}^{{\mathcal {O}}_{X,z}}({\mathcal {O}}_{X,z}/I,{\mathcal {O}}_{X,z}/J),

स्थानीय रिंग के ऊपर एक मॉड्यूल की लंबाई पर वैकल्पिक योग $X$ में $z$ उप-विविधताओ के अनुरूप कारक रिंगों के टोर काम करता है समूहों का। इस अभिव्यक्ति को कभी-कभी सेरे के टोर-सूत्र के रूप में जाना जाता है।

टिप्पणियां:

पहला सारांश, की लंबाई
$\left({\mathcal {O}}_{X,z}/I\right)\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,z}}\left({\mathcal {O}}_{X,z}/J\right)={\mathcal {O}}_{Z,z}$ *: बहुलता का अनुभवहीन अनुमान है; हालाँकि, जैसा कि सेरे दिखाता है, यह पर्याप्त नहीं है।
योग सीमित है, क्योंकि नियमित स्थानीय वलय ${\mathcal {O}}_{X,z}$ परिमित टोर-आयाम है।
यदि का प्रतिच्छेदन $V$ और $W$ उचित नहीं है, उपरोक्त बहुलता शून्य होगी। यदि यह उचित है, तो यह पूर्णतः सकारात्मक है। (दोनों कथन परिभाषा से स्पष्ट नहीं हैं)।
वर्णक्रमीय अनुक्रम तर्क का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है $μ (Z; V, W) = μ (Z; W, V)$ .

चाउ रिंग

चाउ रिंग निम्नलिखित क्रमविनिमेय प्रतिच्छेदन उत्पाद के साथ बीजगणितीय चक्रों पर मॉड्यूलो तुल्यता संबंधों का समूह है:

V\cdot W:=\sum _{i}\mu (Z_{i};V,W)Z_{i}

जब भी V और W अनुप्रस्थ रूप से मिलते हैं, कहाँ $V\cap W=\cup _{i}Z_{i}$ सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन का अपरिवर्तनीय घटकों में अपघटन है।

स्व-प्रतिच्छेदन

दो उप-विविधता दी गईं $V$ और $W$ , कोई उनका प्रतिच्छेदन ले सकता है $V \cap W$ , किंतु यह भी संभव है, यद्यपि अधिक सूक्ष्म, एकल उपविविधता के आत्म-प्रतिच्छेदन को परिभाषित करना।

उदाहरण के लिए, एक वक्र दिया गया है $C$ किसी सतह पर $S$ , स्वयं के साथ इसका प्रतिच्छेदन (सेट के रूप में) केवल स्वयं है: $C \cap C = C$ . यह स्पष्ट रूप से सही है, किंतु दूसरी ओर असंतोषजनक है: किसी सतह पर दो अलग-अलग वक्र दिए जाने पर (बिना किसी घटक के समान), वे बिंदुओं के कुछ सेट में प्रतिच्छेद करते हैं, जिन्हें उदाहरण के लिए कोई भी गिन सकता है, एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त कर सकता है, और हम किसी दिए गए वक्र के लिए भी ऐसा ही करना चाह सकते हैं: सादृश्य यह है कि अलग-अलग वक्रों को प्रतिच्छेद करना दो संख्याओं को गुणा करने जैसा है: $xy$ , जबकि स्व-प्रतिच्छेदन एक एकल संख्या का वर्ग करने जैसा है: $x 2$ . औपचारिक रूप से, सादृश्य को एक सममित द्विरेखीय रूप (गुणा) और एक द्विघात रूप (वर्गीकरण) के रूप में बताया गया है।

इसका एक ज्यामितीय समाधान वक्र को प्रतिच्छेद करना है $C$ स्वयं के साथ नहीं, बल्कि स्वयं के थोड़े से धकेले गए संस्करण के साथ। समतल में, इसका अर्थ केवल वक्र का अनुवाद करना है $C$ किसी दिशा में, किंतु सामान्य तौर पर एक वक्र लेने की बात की जाती है $C'$ वह विभाजकों की रैखिक प्रणाली है $C$ , और चौराहे की गिनती $C \cdot C'$ , इस प्रकार एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त करके, निरूपित किया जाता है $C \cdot C$ . ध्यान दें कि अलग-अलग वक्रों के लिए इसके विपरीत $C$ और $D$ , प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदु परिभाषित नहीं हैं, क्योंकि वे की पसंद पर निर्भर करते हैं $C'$ , किंतु "स्वयं प्रतिच्छेदन बिंदु $C''$ के रूप में व्याख्या की जा सकती है $k$ सामान्य बिंदु पर $C$ , कहाँ $k = C \cdot C$ . अधिक ठीक से, आत्म-प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ का सामान्य बिंदु है $C$ , बहुलता के साथ लिया गया $C \cdot C$ .

वैकल्पिक रूप से, कोई इस समस्या को बीजगणितीय रूप से दोहराकर, और वर्ग को देखकर "हल" कर सकता है (या प्रेरित कर सकता है) $[C] \cup [C]$ - यह दोनों एक संख्या देता है, और एक ज्यामितीय व्याख्या का प्रश्न उठाता है। ध्यान दें कि कोहोमोलॉजी कक्षाओं में उत्तीर्ण होना एक वक्र को एक रैखिक प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित करने के समान है।

ध्यान दें कि स्व-प्रतिच्छेदन संख्या ऋणात्मक हो सकती है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण से पता चलता है।

उदाहरण

एक पंक्ति पर विचार करें $L$ प्रक्षेप्य तल में $P 2$ : इसमें स्व-प्रतिच्छेदन संख्या 1 है क्योंकि अन्य सभी रेखाएं इसे एक बार काटती हैं: कोई भी धक्का दे सकता है $L$ के लिए रवाना $L'$ , और $L \cdot L' = 1$ (किसी भी विकल्प के लिए)। $L'$ , इस तरह $L \cdot L = 1$ . प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं कि विमान एक प्रकार का है $x 2$ (रेखाओं का केवल एक ही वर्ग है, और वे सभी एक दूसरे को काटते हैं)।

ध्यान दें कि यूक्लिडियन विमान पर, कोई भी धक्का दे सकता है $L$ एक समानांतर रेखा के लिए, इसलिए (ज्यामितीय रूप से सोचते हुए) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या पुश-ऑफ की पसंद पर निर्भर करती है। एक का कहना है कि "एफ़िन प्लेन में एक अच्छा प्रतिच्छेदन सिद्धांत नहीं है", और गैर-प्रोजेक्टिव विविधताओ पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत बहुत अधिक कठिन है।

ए पर एक पंक्ति $P 1 \times P 1$ (जिसकी व्याख्या गैर-एकवचन चतुर्भुज के रूप में भी की जा सकती है $Q$ में $P 3$ ) में स्व-प्रतिच्छेदन है $0$ , चूँकि एक लाइन को स्वयं से हटाया जा सकता है। (यह एक शासित सतह है।) प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं $P 1 \times P 1$ एक प्रकार का है $xy$ - रेखाओं के दो मूल वर्ग हैं, जो एक दूसरे को एक बिंदु पर काटते हैं ( $xy$ ), किंतु शून्य स्व-प्रतिच्छेदन (नहीं) है $x 2$ या $y 2$ शर्तें)।

ब्लो-अप्स

स्व-प्रतिच्छेदन संख्याओं का एक प्रमुख उदाहरण ब्लो-अप का असाधारण वक्र है, जो कि द्विवार्षिक ज्यामिति में एक केंद्रीय ऑपरेशन है। एक बीजगणितीय सतह दी गई है $S$ , एक बिंदु पर उड़ने से एक वक्र बनता है $C$ . यह वक्र $C$ अपने जीनस द्वारा पहचाना जा सकता है, जो कि है $0$ , और इसकी स्व-प्रतिच्छेदन संख्या, जो है $-1$ . (यह स्पष्ट नहीं है।) ध्यान दें कि परिणाम के रूप में, $P 2$ और $P 1 \times P 1$ मिनिमल मॉडल (बिरेशनल ज्योमेट्री) हैं (वे ब्लो-अप नहीं हैं), क्योंकि उनमें नकारात्मक स्व-प्रतिच्छेदन वाला कोई वक्र नहीं है। वास्तव में, गुइडो कैस्टेलनुवोवो का कैस्टेलनुओवो संकुचन प्रमेय इसका विपरीत बताता है: प्रत्येक $(-1)$ -वक्र कुछ ब्लो-अप का असाधारण वक्र है (इसे "उड़ाया जा सकता है")।

यह भी देखें

चाउ समूह
ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय
गणनात्मक ज्यामिति

संदर्भ

Gathman, Andreas, Algebraic Geometry, archived from the original on 2016-05-21, retrieved 2018-05-11
Tian, Yichao, Course Notes in Intersection Theory (PDF)^{[dead link]}

ग्रन्थसूची

Eisenbud, David; Harris, Joe (2016). 3264 and All That: A Second Course in Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01708-5.
Fulton, William (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 2, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, ISBN 978-0-387-98549-7 MR1644323
Fulton, William; Serge, Lang, Riemann-Roch Algebra, ISBN 978-1-4419-3073-6
Serre, Jean-Pierre (1965), Algèbre locale. Multiplicités, Cours au Collège de France, 1957--1958, rédigé par Pierre Gabriel. Seconde édition, 1965. Lecture Notes in Mathematics, vol. 11, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0201468

[FOOTNOTEEisenbudHarris201614-1] Eisenbud & Harris 2016, p. 14.

[FOOTNOTEEisenbudHarris20162-2] Eisenbud & Harris 2016, p. 2.

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Branch of algebraic geometry}}
-{{Distinguish|Intersection (set theory)|Intersectionality}}
+{{Distinguish|प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत)|अंतर्विभागीयता}}
-{{No footnotes|date=June 2020}}
-गणित में, प्रतिच्छेदन सिद्धांत [[बीजगणितीय ज्यामिति]] की मुख्य शाखाओं में से एक है, जहां यह किसी दिए गए किस्म की दो उप-किस्मों के प्रतिच्छेदन के बारे में जानकारी देता है।{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=14}} किस्मों के लिए सिद्धांत पुराना है, जिसकी जड़ें वक्र और [[उन्मूलन सिद्धांत]] पर बेज़ाउट के प्रमेय में हैं। दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल सिद्धांत अधिक तेजी से एक निश्चित रूप में पहुंच गया।
-प्रतिच्छेदन सिद्धांत का अभी भी विकास जारी है। वर्तमान में मुख्य फोकस इस पर है: आभासी मौलिक चक्र, क्वांटम प्रतिच्छेदन वलय, [[ग्रोमोव-विटन सिद्धांत]] और स्कीम (गणित) से [[स्टैक (गणित)]] तक प्रतिच्छेदन सिद्धांत का विस्तार।{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=2}}
+गणित में, प्रतिच्छेदन सिद्धांत बीजगणितीय ज्यामिति की मुख्य शाखाओं में से एक है, जहां यह किसी दी गई विविधता की दो उप-विविधताओ के प्रतिच्छेदन के बारे में जानकारी देता है।{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=14}} विविधताओ के लिए सिद्धांत पुराना है, जिसकी जड़ें वक्र और उन्मूलन सिद्धांत पर बेज़ाउट के प्रमेय में हैं। दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल सिद्धांत अधिक तेजी से एक निश्चित रूप में पहुंच गया।
+प्रतिच्छेदन सिद्धांत का अभी भी विकास जारी है। वर्तमान में मुख्य फोकस इस पर है: आभासी मौलिक चक्र क्वांटम प्रतिच्छेदन वलय, [[ग्रोमोव-विटन सिद्धांत]] और स्कीम (गणित) से [[स्टैक (गणित)]] तक प्रतिच्छेदन सिद्धांत का विस्तार है।{{sfn|Eisenbud|Harris|2016|p=2}}
 ==टोपोलॉजिकल इंटरसेक्शन फॉर्म==
-{{See also|ε-quadratic form#Manifolds|Intersection form (4-manifold)}}
+{{See also|ε-द्विघात रूप या मैनिफोल्ड्स|प्रतिच्छेदन प्रपत्र (4-कई गुना)}}
-[[ जुड़ा हुआ स्थान ]] [[ उन्मुखता ]] के लिए {{mvar|M}} अनेक गुना के आयाम का {{math|2''n''}} प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}-वें कोहोमोलॉजी समूह (जिसे आमतौर पर 'मध्य आयाम' कहा जाता है) [[मौलिक वर्ग]] पर [[कप उत्पाद]] के मूल्यांकन द्वारा {{math|[''M'']}} में {{math|''H''<sub>2''n''</sub>(''M'', ∂''M'')}}. सटीक रूप से कहा गया है, एक [[द्विरेखीय रूप]] है
+[[ जुड़ा हुआ स्थान | जुड़ा हुआ स्थान]][[ उन्मुखता ]] के लिए {{mvar|M}} अनेक गुना के आयाम का {{math|2''n''}} प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर परिभाषित किया गया है {{mvar|n}}-वें कोहोमोलॉजी समूह (जिसे सामान्यतः 'मध्य आयाम' कहा जाता है) [[मौलिक वर्ग]] पर [[कप उत्पाद]] के मूल्यांकन द्वारा {{math|[''M'']}} में {{math|''H''<sub>2''n''</sub>(''M'', ∂''M'')}}. स्पष्ट रूप से कहा गया है, एक [[द्विरेखीय रूप]] है
 :<math>\lambda_M \colon H^n(M,\partial M) \times H^n(M,\partial M)\to \mathbf{Z}</math>
@@ Line 17: / Line 17: @@
 :<math>\lambda_M(a,b)=(-1)^n\lambda_M(b,a) \in \mathbf{Z}.</math>
-यह एक [[सममित द्विरेखीय रूप]] है {{mvar|n}} फिर भी {{math|2''n'' {{=}} 4''k''}} दोगुना सम), जिस स्थिति में [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)]]। {{mvar|M}} को फॉर्म के हस्ताक्षर और एक वैकल्पिक फॉर्म के रूप में परिभाषित किया गया है {{mvar|n}} अजीब (तो {{math|2''n'' {{=}} 4''k'' + 2}} [[अकेले भी]] है)। इन्हें समान रूप से ε-सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जहां {{math|''ε'' {{=}} (−1)<sup>''n''</sup> {{=}} ±1}} क्रमशः सममित और तिरछा-सममित रूपों के लिए। कुछ परिस्थितियों में इस रूप को ε-द्विघात रूप में परिष्कृत करना संभव है|{{mvar|ε}}-द्विघात रूप, हालांकि इसके लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है जैसे स्पर्शरेखा बंडल का [[फ़्रेमयुक्त अनेक गुना]] उन्मुखीकरण की स्थिति को छोड़ना और इसके साथ काम करना संभव है {{math|'''Z'''/2'''Z'''}} इसके बजाय गुणांक।
+यह n सम के लिए एक सममित रूप है (इसलिए 2n = 4k दोगुना सम), इस स्थिति में M के हस्ताक्षर को प्रपत्र के हस्ताक्षर के रूप में परिभाषित किया गया है, और n विषम के लिए एक वैकल्पिक रूप है (इसलिए 2n = 4k + 2 एकल है) यहां तक की)। इन्हें समान रूप से ε-सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जा सकता है, जहां सममित और तिरछा-सममित रूपों के लिए क्रमशः {{math|''ε'' {{=}} (−1)<sup>''n''</sup> {{=}} ±1}} है। कुछ परिस्थितियों में इस फॉर्म को ε-द्विघात रूप में परिष्कृत करना संभव है, चूँकि इसके लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता होती है जैसे कि स्पर्शरेखा बंडल का फ़्रेमिंग ओरिएंटेबिलिटी की स्थिति को छोड़ना और इसके अतिरिक्त {{math|'''Z'''/2'''Z'''}} गुणांक के साथ काम करना संभव है।
-ये रूप महत्वपूर्ण [[ टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय ]] हैं। उदाहरण के लिए, [[माइकल फ्रीडमैन]] के एक प्रमेय में कहा गया है कि बस जुड़े हुए [[ सघन स्थान ]] [[4-कई गुना]]्स (लगभग) [[होमियोमोर्फिज्म]] तक [[प्रतिच्छेदन प्रपत्र (4-कई गुना)]]4-मैनिफोल्ड) द्वारा निर्धारित होते हैं।
+ये रूप महत्वपूर्ण [[ टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय ]] हैं। उदाहरण के लिए, [[माइकल फ्रीडमैन]] के एक प्रमेय में कहा गया है कि बस जुड़े हुए [[ सघन स्थान ]] [[4-कई गुना|4-]]मैनिफोल्ड  (लगभग) होमोमोर्फिज्म तक उनके प्रतिच्छेदन रूपों द्वारा निर्धारित होते हैं।
-पोंकारे द्वंद्व से, यह पता चलता है कि इसे ज्यामितीय रूप से सोचने का एक तरीका है। यदि संभव हो तो प्रतिनिधि चुनें {{mvar|n}}-आयामी उपमानव {{mvar|A}}, {{mvar|B}} पोंकारे दोहरे के लिए {{mvar|a}} और {{mvar|b}}. तब {{math|''λ<sub>M</sub>''&thinsp;(''a'', ''b'')}} का उन्मुख प्रतिच्छेदन संख्या है {{mvar|A}} और {{mvar|B}}, जो अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि के आयामों के बाद से {{mvar|A}} और {{mvar|B}} के कुल आयाम का योग {{mvar|M}} वे सामान्यतः पृथक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह शब्दावली प्रतिच्छेदन रूप की व्याख्या करता है।
+पोंकारे द्वंद्व से, यह पता चलता है कि इसे ज्यामितीय रूप से सोचने का एक विधि है। यदि संभव हो, तो  {{mvar|a}} और {{mvar|b}} के पोंकारे दोहरे के लिए प्रतिनिधि {{mvar|n}}-आयामी सबमैनिफोल्ड्स {{mvar|A}}, {{mvar|B}} चुनें। फिर {{math|''λ<sub>M</sub>''&thinsp;(''a'', ''b'')}}  A और B का उन्मुख प्रतिच्छेदन संख्या है, जो अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि चूंकि A और B के आयाम M के कुल आयाम के योग हैं, इसलिए वे सामान्य रूप से अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह शब्दावली प्रतिच्छेदन रूप की व्याख्या करता है।
 ==बीजगणितीय ज्यामिति में प्रतिच्छेदन सिद्धांत==
 [[विलियम फुल्टन (गणितज्ञ)]] इंटरसेक्शन थ्योरी (1984) में लिखते हैं
-<ब्लॉककोट>... यदि {{mvar|A}} और {{mvar|B}} एक गैर-एकवचन किस्म की उप-किस्में हैं {{mvar|X}}, प्रतिच्छेदन उत्पाद {{math|''A'' · ''B''}} बीजगणितीय चक्रों का एक समतुल्य वर्ग होना चाहिए जो कि कैसे की ज्यामिति से निकटता से संबंधित है {{math|''A'' ∩ ''B''}}, {{mvar|A}} और {{mvar|B}} में स्थित हैं {{mvar|X}}. दो चरम मामले सबसे अधिक परिचित रहे हैं। यदि चौराहा उचित है, अर्थात {{math|1=dim(''A'' ∩ ''B'') = dim ''A'' + dim ''B'' − dim ''X''}}, तब {{math|''A'' · ''B''}} के अपरिवर्तनीय घटकों का एक रैखिक संयोजन है {{math|''A'' ∩ ''B''}}, गुणांकों के साथ प्रतिच्छेदन बहुलताएँ। दूसरे चरम पर, यदि {{math|1=''A'' = ''B''}} एक गैर-एकवचन उपविविधता है, स्व-प्रतिच्छेदन सूत्र ऐसा कहता है {{math|''A'' · ''B''}} को [[सामान्य बंडल]] के शीर्ष चेर्न वर्ग द्वारा दर्शाया जाता है {{mvar|A}} में {{mvar|X}}.</blockquote>
+'''<ब्लॉककोट>'''
+... यदि  {{mvar|A}} और {{mvar|B}} एक गैर-एकवचन विविधता {{mvar|X}} की उप-विविधता हैं, तो प्रतिच्छेदन उत्पाद {{math|''A'' · ''B''}} बीजगणितीय चक्रों का एक समतुल्य वर्ग होना चाहिए जो कि {{math|''A'' ∩ ''B''}}, {{mvar|A}} और {{mvar|B}} की ज्यामिति से निकटता से संबंधित है। दो चरम स्थिति सबसे अधिक परिचित रहे हैं। यदि प्रतिच्छेदन उचित है, अर्थात {{math|1=dim(''A'' ∩ ''B'') = dim ''A'' + dim ''B'' − dim ''X''}} दूसरे चरम पर, यदि {{math|1=''A'' = ''B''}} एक गैर-एकवचन उपविविधता है, तो स्व-प्रतिच्छेदन सूत्र कहता है कि {{math|''A'' · ''B''}} को {{mvar|X}} में {{mvar|A}} के सामान्य बंडल के शीर्ष चेर्न वर्ग द्वारा दर्शाया गया है।
-एक परिभाषा देने के लिए, सामान्य मामले में, प्रतिच्छेदन बहुलता आंद्रे वेइल की 1946 की पुस्तक ''फाउंडेशन ऑफ अलजेब्रिक ज्योमेट्री'' की प्रमुख चिंता थी। 1920 के दशक में बार्टेल लिएन्डर्ट वैन डेर वेर्डन|बी का कार्य। एल. वैन डेर वेर्डन ने पहले ही प्रश्न का समाधान कर दिया था; बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में विचार अच्छी तरह से ज्ञात थे, लेकिन मूलभूत प्रश्नों को उसी भावना से संबोधित नहीं किया गया था।
+एक परिभाषा देने के लिए, सामान्य स्थिति में, प्रतिच्छेदन बहुलता आंद्रे वेइल की 1946 की पुस्तक ''फाउंडेशन ऑफ अलजेब्रिक ज्योमेट्री'' की प्रमुख चिंता थी। 1920 के दशक में बार्टेल लिएन्डर्ट वैन डेर वेर्डन या बी का कार्य एल. वैन डेर वेर्डन ने पहले ही प्रश्न का समाधान कर दिया था; बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में विचार अच्छी तरह से ज्ञात थे, किंतु मूलभूत प्रश्नों को उसी भावना से संबोधित नहीं किया गया था।
 ===गतिशील चक्र===
-[[बीजगणितीय चक्र]]ों को प्रतिच्छेद करने की एक अच्छी तरह से काम करने वाली मशीनरी {{mvar|V}} और {{mvar|W}} को केवल सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन लेने से कहीं अधिक की आवश्यकता है {{math|''V'' ∩ ''W''}} विचाराधीन चक्रों का। यदि दो चक्र अच्छी स्थिति में हैं तो प्रतिच्छेदन उत्पाद दर्शाया जाता है {{math|''V'' · ''W''}}, दो उप-किस्मों के सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन से युक्त होना चाहिए। हालाँकि चक्र ख़राब स्थिति में हो सकते हैं, उदा. समतल में दो समानांतर रेखाएँ, या एक समतल जिसमें एक रेखा (3-स्थान में प्रतिच्छेद) होती है। दोनों ही मामलों में चौराहा एक बिंदु होना चाहिए, क्योंकि, फिर से, यदि एक चक्र चलता है, तो यह चौराहा होगा। दो चक्रों का मिलन {{mvar|V}} और {{mvar|W}} को उचित कहा जाता है यदि (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन का [[संहिताकरण]] {{math|''V'' ∩ ''W''}} के संहिताकरणों का योग है {{mvar|V}} और {{mvar|W}}, क्रमशः, यानी अपेक्षित मूल्य।
+[[बीजगणितीय चक्र]] को प्रतिच्छेद करने की एक अच्छी तरह से काम करने वाली मशीनरी {{mvar|V}} और {{mvar|W}} को केवल सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन लेने से कहीं अधिक की आवश्यकता है {{math|''V'' ∩ ''W''}} विचाराधीन चक्रों का। यदि दो चक्र अच्छी स्थिति में हैं तो प्रतिच्छेदन उत्पाद दर्शाया जाता है {{math|''V'' · ''W''}}, दो उप-विविधताओ के सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन से युक्त होना चाहिए। हालाँकि चक्र ख़राब स्थिति में हो सकते हैं, उदा. समतल में दो समानांतर रेखाएँ, या एक समतल जिसमें एक रेखा (3-स्थान में प्रतिच्छेद) होती है। दोनों ही मामलों में चौराहा एक बिंदु होना चाहिए, क्योंकि, फिर से, यदि एक चक्र चलता है, तो यह चौराहा होगा। दो चक्रों का मिलन {{mvar|V}} और {{mvar|W}} को उचित कहा जाता है यदि (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन का [[संहिताकरण]] {{math|''V'' ∩ ''W''}} के संहिताकरणों का योग है {{mvar|V}} और {{mvar|W}}, क्रमशः, यानी अपेक्षित मूल्य।
 इसलिए, बीजगणितीय चक्रों पर उचित तुल्यता संबंधों का उपयोग करके चक्रों को चलाने की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। समतुल्यता इतनी व्यापक होनी चाहिए कि कोई भी दो चक्र दिए जा सकें {{mvar|V}} और {{mvar|W}}, समतुल्य चक्र हैं {{math|''V′''}} और {{math|''W′''}} ऐसा कि चौराहा {{math|''V′'' ∩ ''W′''}} उचित है. बेशक, दूसरी ओर, दूसरे समकक्ष के लिए {{math|''V′′''}} और {{math|''W′′''}}, {{math|''V′'' ∩ ''W′''}} के बराबर होना चाहिए {{math|''V′′'' ∩ ''W′′''}}.
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 [[Image:intersection number.png|right|thumb|200px|रेखाओं और परवलय का प्रतिच्छेदन]]चक्रों की [[प्रतिच्छेदन बहुलता]] की परिभाषा में मार्गदर्शक सिद्धांत एक निश्चित अर्थ में निरंतरता है। निम्नलिखित प्रारंभिक उदाहरण पर विचार करें: एक परवलय का प्रतिच्छेदन {{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}} और एक अक्ष {{math|1=''y'' = 0}} होना चाहिए {{math|2 · (0, 0)}}, क्योंकि यदि चक्रों में से एक चलता है (फिर भी एक अपरिभाषित अर्थ में), तो वास्तव में दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं जो दोनों में परिवर्तित होते हैं {{math|(0, 0)}} जब चक्र चित्रित स्थिति के करीब पहुंचते हैं। (जहां तक परवलय और रेखा का स्पष्ट रूप से खाली प्रतिच्छेदन है, यह चित्र भ्रामक है {{math|1=''y'' = −3}}खाली है, क्योंकि केवल समीकरणों के वास्तविक समाधान दर्शाए गए हैं)।
-प्रतिच्छेदन बहुलता की पहली पूरी तरह से संतोषजनक परिभाषा [[ जीन पियरे सेरे ]] द्वारा दी गई थी: चलो परिवेश विविधता {{mvar|X}} चिकनी हो (या सभी स्थानीय रिंग [[नियमित स्थानीय रिंग]])। आगे चलो {{mvar|V}} और {{mvar|W}} दो (अघुलनशील कम बंद) उप-किस्में हों, जैसे कि उनका प्रतिच्छेदन उचित हो। निर्माण स्थानीय है, इसलिए किस्मों को दो आदर्शों द्वारा दर्शाया जा सकता है {{mvar|I}} और {{mvar|J}} के निर्देशांक वलय में {{mvar|X}}. होने देना {{mvar|Z}} सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन का एक अप्रासंगिक घटक बनें {{math|''V'' ∩ ''W''}} और {{mvar|z}} यह [[सामान्य बिंदु]] है। की बहुलता {{mvar|Z}} प्रतिच्छेदन उत्पाद में {{math|''V'' · ''W''}} द्वारा परिभाषित किया गया है
+प्रतिच्छेदन बहुलता की पहली पूरी तरह से संतोषजनक परिभाषा [[ जीन पियरे सेरे ]] द्वारा दी गई थी: चलो परिवेश विविधता {{mvar|X}} चिकनी हो (या सभी स्थानीय रिंग [[नियमित स्थानीय रिंग]])। आगे चलो {{mvar|V}} और {{mvar|W}} दो (अघुलनशील कम बंद) उप-विविधता हों, जैसे कि उनका प्रतिच्छेदन उचित हो। निर्माण स्थानीय है, इसलिए विविधताओ को दो आदर्शों द्वारा दर्शाया जा सकता है {{mvar|I}} और {{mvar|J}} के निर्देशांक वलय में {{mvar|X}}. होने देना {{mvar|Z}} सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन का एक अप्रासंगिक घटक बनें {{math|''V'' ∩ ''W''}} और {{mvar|z}} यह [[सामान्य बिंदु]] है। की बहुलता {{mvar|Z}} प्रतिच्छेदन उत्पाद में {{math|''V'' · ''W''}} द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\mu(Z; V, W) := \sum^\infty_{i=0} (-1)^i \text{length}_{\mathcal O_{X, z}} \text{Tor}_i^{\mathcal O_{X, z}} (\mathcal O_{X, z}/I, \mathcal O_{X, z}/J),</math>
-स्थानीय रिंग के ऊपर [[एक मॉड्यूल की लंबाई]] पर वैकल्पिक योग {{mvar|X}} में {{mvar|z}} उप-किस्मों के अनुरूप कारक रिंगों के [[टोर काम करता है]] समूहों का। इस अभिव्यक्ति को कभी-कभी सेरे के टोर-सूत्र के रूप में जाना जाता है।
+स्थानीय रिंग के ऊपर [[एक मॉड्यूल की लंबाई]] पर वैकल्पिक योग {{mvar|X}} में {{mvar|z}} उप-विविधताओ के अनुरूप कारक रिंगों के [[टोर काम करता है]] समूहों का। इस अभिव्यक्ति को कभी-कभी सेरे के टोर-सूत्र के रूप में जाना जाता है।
 टिप्पणियां:
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 ===स्व-प्रतिच्छेदन===
-दो उप-किस्में दी गईं {{mvar|V}} और {{mvar|W}}, कोई उनका प्रतिच्छेदन ले सकता है {{math|''V'' ∩ ''W''}}, लेकिन यह भी संभव है, यद्यपि अधिक सूक्ष्म, एकल उपविविधता के आत्म-प्रतिच्छेदन को परिभाषित करना।
+दो उप-विविधता दी गईं {{mvar|V}} और {{mvar|W}}, कोई उनका प्रतिच्छेदन ले सकता है {{math|''V'' ∩ ''W''}}, किंतु यह भी संभव है, यद्यपि अधिक सूक्ष्म, एकल उपविविधता के आत्म-प्रतिच्छेदन को परिभाषित करना।
-उदाहरण के लिए, एक वक्र दिया गया है {{mvar|C}} किसी सतह पर {{mvar|S}}, स्वयं के साथ इसका प्रतिच्छेदन (सेट के रूप में) केवल स्वयं है: {{math|1=''C'' ∩ ''C'' = ''C''}}. यह स्पष्ट रूप से सही है, लेकिन दूसरी ओर असंतोषजनक है: किसी सतह पर दो अलग-अलग वक्र दिए जाने पर (बिना किसी घटक के समान), वे बिंदुओं के कुछ सेट में प्रतिच्छेद करते हैं, जिन्हें उदाहरण के लिए कोई भी गिन सकता है, एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त कर सकता है, और हम किसी दिए गए वक्र के लिए भी ऐसा ही करना चाह सकते हैं: सादृश्य यह है कि अलग-अलग वक्रों को प्रतिच्छेद करना दो संख्याओं को गुणा करने जैसा है: {{math|''xy''}}, जबकि स्व-प्रतिच्छेदन एक एकल संख्या का वर्ग करने जैसा है: {{math|''x''<sup>2</sup>}}. औपचारिक रूप से, सादृश्य को एक सममित द्विरेखीय रूप (गुणा) और एक [[द्विघात रूप]] (वर्गीकरण) के रूप में बताया गया है।
+उदाहरण के लिए, एक वक्र दिया गया है {{mvar|C}} किसी सतह पर {{mvar|S}}, स्वयं के साथ इसका प्रतिच्छेदन (सेट के रूप में) केवल स्वयं है: {{math|1=''C'' ∩ ''C'' = ''C''}}. यह स्पष्ट रूप से सही है, किंतु दूसरी ओर असंतोषजनक है: किसी सतह पर दो अलग-अलग वक्र दिए जाने पर (बिना किसी घटक के समान), वे बिंदुओं के कुछ सेट में प्रतिच्छेद करते हैं, जिन्हें उदाहरण के लिए कोई भी गिन सकता है, एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त कर सकता है, और हम किसी दिए गए वक्र के लिए भी ऐसा ही करना चाह सकते हैं: सादृश्य यह है कि अलग-अलग वक्रों को प्रतिच्छेद करना दो संख्याओं को गुणा करने जैसा है: {{math|''xy''}}, जबकि स्व-प्रतिच्छेदन एक एकल संख्या का वर्ग करने जैसा है: {{math|''x''<sup>2</sup>}}. औपचारिक रूप से, सादृश्य को एक सममित द्विरेखीय रूप (गुणा) और एक [[द्विघात रूप]] (वर्गीकरण) के रूप में बताया गया है।
-इसका एक ज्यामितीय समाधान वक्र को प्रतिच्छेद करना है {{mvar|C}} स्वयं के साथ नहीं, बल्कि स्वयं के थोड़े से धकेले गए संस्करण के साथ। समतल में, इसका अर्थ केवल वक्र का अनुवाद करना है {{mvar|C}} किसी दिशा में, लेकिन सामान्य तौर पर एक वक्र लेने की बात की जाती है {{math|''C′''}} वह [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] है {{mvar|C}}, और चौराहे की गिनती {{math|''C'' · ''C′''}}, इस प्रकार एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त करके, निरूपित किया जाता है {{math|''C'' · ''C''}}. ध्यान दें कि अलग-अलग वक्रों के लिए इसके विपरीत {{mvar|C}} और {{mvar|D}}, प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदु परिभाषित नहीं हैं, क्योंकि वे की पसंद पर निर्भर करते हैं {{math|''C′''}}, लेकिन "स्वयं प्रतिच्छेदन बिंदु {{math|''C′′''}} के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|k}} सामान्य बिंदु पर {{mvar|C}}, कहाँ {{math|1=''k'' = ''C'' · ''C''}}. अधिक ठीक से, आत्म-प्रतिच्छेदन बिंदु {{mvar|C}} का सामान्य बिंदु है {{mvar|C}}, बहुलता के साथ लिया गया {{math|''C'' · ''C''}}.
+इसका एक ज्यामितीय समाधान वक्र को प्रतिच्छेद करना है {{mvar|C}} स्वयं के साथ नहीं, बल्कि स्वयं के थोड़े से धकेले गए संस्करण के साथ। समतल में, इसका अर्थ केवल वक्र का अनुवाद करना है {{mvar|C}} किसी दिशा में, किंतु सामान्य तौर पर एक वक्र लेने की बात की जाती है {{math|''C′''}} वह [[विभाजकों की रैखिक प्रणाली]] है {{mvar|C}}, और चौराहे की गिनती {{math|''C'' · ''C′''}}, इस प्रकार एक प्रतिच्छेदन संख्या प्राप्त करके, निरूपित किया जाता है {{math|''C'' · ''C''}}. ध्यान दें कि अलग-अलग वक्रों के लिए इसके विपरीत {{mvar|C}} और {{mvar|D}}, प्रतिच्छेदन के वास्तविक बिंदु परिभाषित नहीं हैं, क्योंकि वे की पसंद पर निर्भर करते हैं {{math|''C′''}}, किंतु "स्वयं प्रतिच्छेदन बिंदु {{math|''C′′''}} के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|k}} सामान्य बिंदु पर {{mvar|C}}, कहाँ {{math|1=''k'' = ''C'' · ''C''}}. अधिक ठीक से, आत्म-प्रतिच्छेदन बिंदु {{mvar|C}} का सामान्य बिंदु है {{mvar|C}}, बहुलता के साथ लिया गया {{math|''C'' · ''C''}}.
 वैकल्पिक रूप से, कोई इस समस्या को बीजगणितीय रूप से दोहराकर, और वर्ग को देखकर "हल" कर सकता है (या प्रेरित कर सकता है) {{math|[''C''] ∪ [''C'']}} - यह दोनों एक संख्या देता है, और एक ज्यामितीय व्याख्या का प्रश्न उठाता है। ध्यान दें कि कोहोमोलॉजी कक्षाओं में उत्तीर्ण होना एक वक्र को एक रैखिक प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित करने के समान है।
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 एक पंक्ति पर विचार करें {{mvar|L}} [[प्रक्षेप्य तल]] में {{math|'''P'''<sup>2</sup>}}: इसमें स्व-प्रतिच्छेदन संख्या 1 है क्योंकि अन्य सभी रेखाएं इसे एक बार काटती हैं: कोई भी धक्का दे सकता है {{mvar|L}} के लिए रवाना {{math|''L′''}}, और {{math|1=''L'' · ''L′'' = 1}} (किसी भी विकल्प के लिए)। {{math|''L′''}}, इस तरह {{math|1=''L'' · ''L'' = 1}}. प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं कि विमान एक प्रकार का है {{math|''x''<sup>2</sup>}} (रेखाओं का केवल एक ही वर्ग है, और वे सभी एक दूसरे को काटते हैं)।
-ध्यान दें कि यूक्लिडियन विमान पर, कोई भी धक्का दे सकता है {{mvar|L}} एक समानांतर रेखा के लिए, इसलिए (ज्यामितीय रूप से सोचते हुए) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या पुश-ऑफ की पसंद पर निर्भर करती है। एक का कहना है कि "एफ़िन प्लेन में एक अच्छा प्रतिच्छेदन सिद्धांत नहीं है", और गैर-प्रोजेक्टिव किस्मों पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत बहुत अधिक कठिन है।
+ध्यान दें कि यूक्लिडियन विमान पर, कोई भी धक्का दे सकता है {{mvar|L}} एक समानांतर रेखा के लिए, इसलिए (ज्यामितीय रूप से सोचते हुए) प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या पुश-ऑफ की पसंद पर निर्भर करती है। एक का कहना है कि "एफ़िन प्लेन में एक अच्छा प्रतिच्छेदन सिद्धांत नहीं है", और गैर-प्रोजेक्टिव विविधताओ पर प्रतिच्छेदन सिद्धांत बहुत अधिक कठिन है।
-ए पर एक पंक्ति {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} (जिसकी व्याख्या गैर-एकवचन चतुर्भुज के रूप में भी की जा सकती है {{mvar|Q}} में {{math|'''P'''<sup>3</sup>}}) में स्व-प्रतिच्छेदन है {{math|0}}, चूँकि एक लाइन को स्वयं से हटाया जा सकता है। (यह एक [[शासित सतह]] है।) प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} एक प्रकार का है {{mvar|xy}} - रेखाओं के दो मूल वर्ग हैं, जो एक दूसरे को एक बिंदु पर काटते हैं ({{mvar|xy}}), लेकिन शून्य स्व-प्रतिच्छेदन (नहीं) है {{math|''x''<sup>2</sup>}} या {{math|''y''<sup>2</sup>}} शर्तें)।
+ए पर एक पंक्ति {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} (जिसकी व्याख्या गैर-एकवचन चतुर्भुज के रूप में भी की जा सकती है {{mvar|Q}} में {{math|'''P'''<sup>3</sup>}}) में स्व-प्रतिच्छेदन है {{math|0}}, चूँकि एक लाइन को स्वयं से हटाया जा सकता है। (यह एक [[शासित सतह]] है।) प्रतिच्छेदन रूपों के संदर्भ में, हम कहते हैं {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} एक प्रकार का है {{mvar|xy}} - रेखाओं के दो मूल वर्ग हैं, जो एक दूसरे को एक बिंदु पर काटते हैं ({{mvar|xy}}), किंतु शून्य स्व-प्रतिच्छेदन (नहीं) है {{math|''x''<sup>2</sup>}} या {{math|''y''<sup>2</sup>}} शर्तें)।
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