घटना (संभावना सिद्धांत): Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत में, घटना [[प्रयोग (संभावना सिद्धांत)]] (नमूना स्थान का उपसमूह) के [[परिणाम (संभावना)]] का [[सबसेट]] (गणित) है जिसे संभावना सौंपी जाती है।<ref>{{cite book|last=Leon-Garcia|first=Alberto|title=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए संभाव्यता, सांख्यिकी और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|location=Upper Saddle River, NJ|publisher=Pearson|year=2008|isbn=9780131471221 |url=https://books.google.com/books?id=GUJosCkbBywC}}</ref> ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का तत्व हो सकता है,<ref>{{cite book|last=Pfeiffer|first=Paul E.|year=1978|title=संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ|page=18|url=https://books.google.com/books?id=_mayRBczVRwC&pg=PA18|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-63677-1}}</ref> और प्रयोग में अलग-अलग घटनाओं की संभावना आमतौर पर समान नहीं होती है, क्योंकि उनमें परिणामों के बहुत अलग समूह शामिल हो सकते हैं।<ref>{{cite book|last=Foerster|first=Paul A.|year=2006|title=Algebra and trigonometry: Functions and applications, Teacher's edition|edition=Classics|page=[https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/634 634]|publisher=[[Prentice Hall]]|location=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-165711-9|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/634 }}</ref> घटना जिसमें केवल ही परिणाम होता है, कहलाती है {{em|[[elementary event]]}} या {{em|atomic event}}; अर्थात्, यह [[सिंगलटन सेट]] है। घटना <math>S</math> कहा जाता है कि {{em|occur}} अगर <math>S</math> परिणाम शामिल है <math>x</math> प्रयोग (संभावना सिद्धांत) (या परीक्षण) का (अर्थात, यदि <math>x \in S</math>). किसी घटना की संभाव्यता (कुछ [[संभाव्यता माप]] के संबंध में)। <math>S</math> घटित होने की सम्भावना है कि <math>S</math> परिणाम शामिल है <math>x</math> प्रयोग की (अर्थात् यह प्रायिकता है कि <math>x \in S</math>).
एक घटना [[पूरक घटना]] को परिभाषित करती है, अर्थात् पूरक सेट (घटना)। {{em|not}} घटित होना), और ये मिलकर [[बर्नौली परीक्षण]] को परिभाषित करते हैं: क्या घटना घटित हुई या नहीं?


{{Probability fundamentals}}
आमतौर पर, जब नमूना स्थान परिमित होता है, तो नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय घटना होता है (अर्थात, नमूना स्थान के [[ सत्ता स्थापित ]] के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। हालाँकि, यह दृष्टिकोण उन मामलों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है जहां नमूना स्थान [[बेशुमार अनंत]] है। इसलिए, [[संभाव्यता स्थान]] को परिभाषित करते समय नमूना स्थान के कुछ उपसमुच्चयों को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अक्सर आवश्यक होता है (नीचे संभाव्यता स्थानों में #Events देखें)।
संभाव्यता सिद्धांत में, एक घटना एक [[प्रयोग (संभावना सिद्धांत)]] (नमूना स्थान का एक उपसमूह) के [[परिणाम (संभावना)]] का एक [[सबसेट]] (गणित) है जिसे एक संभावना सौंपी जाती है।<ref>{{cite book|last=Leon-Garcia|first=Alberto|title=इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए संभाव्यता, सांख्यिकी और यादृच्छिक प्रक्रियाएं|location=Upper Saddle River, NJ|publisher=Pearson|year=2008|isbn=9780131471221 |url=https://books.google.com/books?id=GUJosCkbBywC}}</ref> एक ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का एक तत्व हो सकता है,<ref>{{cite book|last=Pfeiffer|first=Paul E.|year=1978|title=संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ|page=18|url=https://books.google.com/books?id=_mayRBczVRwC&pg=PA18|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-63677-1}}</ref> और एक प्रयोग में अलग-अलग घटनाओं की संभावना आमतौर पर समान नहीं होती है, क्योंकि उनमें परिणामों के बहुत अलग समूह शामिल हो सकते हैं।<ref>{{cite book|last=Foerster|first=Paul A.|year=2006|title=Algebra and trigonometry: Functions and applications, Teacher's edition|edition=Classics|page=[https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/634 634]|publisher=[[Prentice Hall]]|location=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-165711-9|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0/page/634 }}</ref> एक घटना जिसमें केवल एक ही परिणाम होता है, कहलाती है {{em|[[elementary event]]}} या एक {{em|atomic event}}; अर्थात्, यह एक [[सिंगलटन सेट]] है। एक घटना <math>S</math> कहा जाता है कि {{em|occur}} अगर <math>S</math> परिणाम शामिल है <math>x</math> प्रयोग (संभावना सिद्धांत) (या परीक्षण) का (अर्थात, यदि <math>x \in S</math>). किसी घटना की संभाव्यता (कुछ [[संभाव्यता माप]] के संबंध में)। <math>S</math> घटित होने की सम्भावना है कि <math>S</math> परिणाम शामिल है <math>x</math> एक प्रयोग की (अर्थात् यह प्रायिकता है कि <math>x \in S</math>).
एक घटना एक [[पूरक घटना]] को परिभाषित करती है, अर्थात् पूरक सेट (घटना)। {{em|not}} घटित होना), और ये मिलकर [[बर्नौली परीक्षण]] को परिभाषित करते हैं: क्या घटना घटित हुई या नहीं?
 
आमतौर पर, जब नमूना स्थान परिमित होता है, तो नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय एक घटना होता है (अर्थात, नमूना स्थान के [[ सत्ता स्थापित ]] के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। हालाँकि, यह दृष्टिकोण उन मामलों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है जहां नमूना स्थान [[बेशुमार अनंत]] है। इसलिए, [[संभाव्यता स्थान]] को परिभाषित करते समय नमूना स्थान के कुछ उपसमुच्चयों को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अक्सर आवश्यक होता है (नीचे संभाव्यता स्थानों में #Events देखें)।


==एक सरल उदाहरण==
==एक सरल उदाहरण==


यदि हम बिना जोकर के 52 ताश के पत्तों का एक डेक इकट्ठा करते हैं, और डेक से एक कार्ड निकालते हैं, तो नमूना स्थान 52-तत्व सेट है, क्योंकि प्रत्येक कार्ड एक संभावित परिणाम है। एक घटना, हालांकि, नमूना स्थान का कोई उपसमूह है, जिसमें कोई सिंगलटन सेट (एक प्रारंभिक घटना), [[खाली सेट]] (संभावना शून्य के साथ एक असंभव घटना) और स्वयं नमूना स्थान (संभावना एक के साथ एक निश्चित घटना) शामिल है। अन्य घटनाएँ नमूना स्थान के उचित उपसमूह हैं जिनमें कई तत्व होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संभावित घटनाओं में शामिल हैं:
यदि हम बिना जोकर के 52 ताश के पत्तों का डेक इकट्ठा करते हैं, और डेक से कार्ड निकालते हैं, तो नमूना स्थान 52-तत्व सेट है, क्योंकि प्रत्येक कार्ड संभावित परिणाम है। घटना, हालांकि, नमूना स्थान का कोई उपसमूह है, जिसमें कोई सिंगलटन सेट (एक प्रारंभिक घटना), [[खाली सेट]] (संभावना शून्य के साथ असंभव घटना) और स्वयं नमूना स्थान (संभावना के साथ निश्चित घटना) शामिल है। अन्य घटनाएँ नमूना स्थान के उचित उपसमूह हैं जिनमें कई तत्व होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संभावित घटनाओं में शामिल हैं:
   [[Image:Venn A subset B.svg|thumb|150px|किसी घटना का [[यूलर आरेख]]। <math>B</math> नमूना स्थान है और <math>A</math> एक घटना है।<br>उनके क्षेत्रों के अनुपात से, की संभावना <math>A</math> लगभग 0.4 है.]]* जोकर बने बिना एक ही समय में लाल और काला (0 तत्व),
   [[Image:Venn A subset B.svg|thumb|150px|किसी घटना का [[यूलर आरेख]]। <math>B</math> नमूना स्थान है और <math>A</math> घटना है।<br>उनके क्षेत्रों के अनुपात से, की संभावना <math>A</math> लगभग 0.4 है.]]* जोकर बने बिना ही समय में लाल और काला (0 तत्व),
* 5 दिल (1 तत्व),
* 5 दिल (1 तत्व),
* एक राजा (4 तत्व),
* एक राजा (4 तत्व),
* एक फेस कार्ड (12 तत्व),
* एक फेस कार्ड (12 तत्व),
* एक कुदाल (13 तत्व),
* एक कुदाल (13 तत्व),
* एक फेस कार्ड या एक लाल सूट (32 तत्व),
* एक फेस कार्ड या लाल सूट (32 तत्व),
* एक कार्ड (52 तत्व)।
* एक कार्ड (52 तत्व)।
चूँकि सभी घटनाएँ सेट हैं, इसलिए उन्हें आमतौर पर सेट के रूप में लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {1, 2, 3}), और [[वेन आरेख]] का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। ऐसी स्थिति में जहां नमूना स्थान Ω में प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, संभावना <math>P</math> किसी घटना का <math>A</math> निम्नलखित में से कोई {{visible anchor|formula}}:
चूँकि सभी घटनाएँ सेट हैं, इसलिए उन्हें आमतौर पर सेट के रूप में लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {1, 2, 3}), और [[वेन आरेख]] का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। ऐसी स्थिति में जहां नमूना स्थान Ω में प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, संभावना <math>P</math> किसी घटना का <math>A</math> निम्नलखित में से कोई {{visible anchor|formula}}:
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यह नियम उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण घटना पर आसानी से लागू किया जा सकता है।
यह नियम उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण घटना पर आसानी से लागू किया जा सकता है।


==संभाव्यता स्थानों में घटनाएँ==<!--Section linked from lead-->
==संभाव्यता स्थानों में घटनाएँ==
नमूना स्थान के सभी उपसमूहों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करना तब अच्छा काम करता है जब केवल सीमित रूप से कई परिणाम होते हैं, लेकिन जब नमूना स्थान अनंत होता है तो समस्याएं उत्पन्न होती हैं। कई मानक [[संभाव्यता वितरण]]ों के लिए, जैसे कि [[सामान्य वितरण]], नमूना स्थान [[वास्तविक संख्या]]ओं का सेट या वास्तविक संख्याओं का कुछ सबसेट है। जब कोई पैथोलॉजिकल (गणित) | 'खराब व्यवहार वाले' सेटों पर विचार करता है, जैसे कि गैर-मापने योग्य सेट, तो वास्तविक संख्याओं के सभी उप-समूहों के लिए संभावनाओं को परिभाषित करने का प्रयास कठिनाइयों में पड़ जाता है। इसलिए, उपसमूहों के अधिक सीमित परिवार पर ध्यान केंद्रित करना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत के मानक उपकरण, जैसे कि [[संयुक्त संभाव्यता]] और [[सशर्त संभाव्यता]], को काम करने के लिए, सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का उपयोग करना आवश्यक है, अर्थात, एक परिवार जो अपने सदस्यों के पूरक और गणनीय संघों के तहत बंद है। सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का सबसे स्वाभाविक विकल्प [[बोरेल माप]] सेट है जो अंतरालों के संघों और प्रतिच्छेदनों से प्राप्त होता है। हालाँकि, [[लेब्सेग माप]] सेट का बड़ा वर्ग व्यवहार में अधिक उपयोगी साबित होता है।
नमूना स्थान के सभी उपसमूहों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करना तब अच्छा काम करता है जब केवल सीमित रूप से कई परिणाम होते हैं, लेकिन जब नमूना स्थान अनंत होता है तो समस्याएं उत्पन्न होती हैं। कई मानक [[संभाव्यता वितरण]]ों के लिए, जैसे कि [[सामान्य वितरण]], नमूना स्थान [[वास्तविक संख्या]]ओं का सेट या वास्तविक संख्याओं का कुछ सबसेट है। जब कोई पैथोलॉजिकल (गणित) | 'खराब व्यवहार वाले' सेटों पर विचार करता है, जैसे कि गैर-मापने योग्य सेट, तो वास्तविक संख्याओं के सभी उप-समूहों के लिए संभावनाओं को परिभाषित करने का प्रयास कठिनाइयों में पड़ जाता है। इसलिए, उपसमूहों के अधिक सीमित परिवार पर ध्यान केंद्रित करना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत के मानक उपकरण, जैसे कि [[संयुक्त संभाव्यता]] और [[सशर्त संभाव्यता]], को काम करने के लिए, सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का उपयोग करना आवश्यक है, अर्थात, परिवार जो अपने सदस्यों के पूरक और गणनीय संघों के तहत बंद है। सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का सबसे स्वाभाविक विकल्प [[बोरेल माप]] सेट है जो अंतरालों के संघों और प्रतिच्छेदनों से प्राप्त होता है। हालाँकि, [[लेब्सेग माप]] सेट का बड़ा वर्ग व्यवहार में अधिक उपयोगी साबित होता है।


सामान्य [[माप सिद्धांत]] में| संभाव्यता स्थानों के माप-सैद्धांतिक विवरण में, एक घटना को चयनित सिग्मा-बीजगणित के एक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है|{{sigma}}-नमूना स्थान के उपसमुच्चय का बीजगणित। इस परिभाषा के तहत, नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय जो इसका तत्व नहीं है {{sigma}}-बीजगणित कोई घटना नहीं है, और इसकी कोई संभावना नहीं है। हालाँकि, संभाव्यता स्थान के उचित विनिर्देश के साथ, सभी {{em|events of interest}} के तत्व हैं {{sigma}}-बीजगणित.
सामान्य [[माप सिद्धांत]] में| संभाव्यता स्थानों के माप-सैद्धांतिक विवरण में, घटना को चयनित सिग्मा-बीजगणित के तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है|{{sigma}}-नमूना स्थान के उपसमुच्चय का बीजगणित। इस परिभाषा के तहत, नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय जो इसका तत्व नहीं है {{sigma}}-बीजगणित कोई घटना नहीं है, और इसकी कोई संभावना नहीं है। हालाँकि, संभाव्यता स्थान के उचित विनिर्देश के साथ, सभी {{em|events of interest}} के तत्व हैं {{sigma}}-बीजगणित.


==नोटेशन पर एक नोट==
==नोटेशन पर नोट==


भले ही घटनाएँ कुछ नमूना स्थान के उपसमूह हैं <math>\Omega,</math> इन्हें अक्सर यादृच्छिक चर वाले विधेय या संकेतक के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>X</math> नमूना स्थान पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है <math>\Omega,</math> समारोह
भले ही घटनाएँ कुछ नमूना स्थान के उपसमूह हैं <math>\Omega,</math> इन्हें अक्सर यादृच्छिक चर वाले विधेय या संकेतक के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि <math>X</math> नमूना स्थान पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है <math>\Omega,</math> समारोह
<math display=block>\{ \omega \in \Omega \mid u < X(\omega) \leq v \}\,</math>
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अधिक आसानी से लिखा जा सकता है, जैसे, सरलता से,
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यह संभाव्यता के सूत्रों में विशेष रूप से आम है, जैसे कि
यह संभाव्यता के सूत्रों में विशेष रूप से आम है, जैसे कि
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सेट (गणित) <math>u < X \leq v</math> [[मानचित्र (गणित)]] के अंतर्गत व्युत्क्रम छवि का उदाहरण है <math>X</math> क्योंकि <math>\omega \in X^{-1}((u, v])</math> अगर और केवल अगर <math>u < X(\omega) \leq v.</math>
 
 
==यह भी देखें==
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==

Revision as of 10:01, 14 July 2023

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Probability theory
Standard deviation diagram micro.svg

संभाव्यता सिद्धांत में, घटना प्रयोग (संभावना सिद्धांत) (नमूना स्थान का उपसमूह) के परिणाम (संभावना) का सबसेट (गणित) है जिसे संभावना सौंपी जाती है।[1] ही परिणाम कई अलग-अलग घटनाओं का तत्व हो सकता है,[2] और प्रयोग में अलग-अलग घटनाओं की संभावना आमतौर पर समान नहीं होती है, क्योंकि उनमें परिणामों के बहुत अलग समूह शामिल हो सकते हैं।[3] घटना जिसमें केवल ही परिणाम होता है, कहलाती है elementary event या atomic event; अर्थात्, यह सिंगलटन सेट है। घटना कहा जाता है कि occur अगर परिणाम शामिल है प्रयोग (संभावना सिद्धांत) (या परीक्षण) का (अर्थात, यदि ). किसी घटना की संभाव्यता (कुछ संभाव्यता माप के संबंध में)। घटित होने की सम्भावना है कि परिणाम शामिल है प्रयोग की (अर्थात् यह प्रायिकता है कि ). एक घटना पूरक घटना को परिभाषित करती है, अर्थात् पूरक सेट (घटना)। not घटित होना), और ये मिलकर बर्नौली परीक्षण को परिभाषित करते हैं: क्या घटना घटित हुई या नहीं?

आमतौर पर, जब नमूना स्थान परिमित होता है, तो नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय घटना होता है (अर्थात, नमूना स्थान के सत्ता स्थापित के सभी तत्वों को घटनाओं के रूप में परिभाषित किया जाता है)। हालाँकि, यह दृष्टिकोण उन मामलों में अच्छी तरह से काम नहीं करता है जहां नमूना स्थान बेशुमार अनंत है। इसलिए, संभाव्यता स्थान को परिभाषित करते समय नमूना स्थान के कुछ उपसमुच्चयों को घटनाओं से बाहर करना संभव है, और अक्सर आवश्यक होता है (नीचे संभाव्यता स्थानों में #Events देखें)।

एक सरल उदाहरण

यदि हम बिना जोकर के 52 ताश के पत्तों का डेक इकट्ठा करते हैं, और डेक से कार्ड निकालते हैं, तो नमूना स्थान 52-तत्व सेट है, क्योंकि प्रत्येक कार्ड संभावित परिणाम है। घटना, हालांकि, नमूना स्थान का कोई उपसमूह है, जिसमें कोई सिंगलटन सेट (एक प्रारंभिक घटना), खाली सेट (संभावना शून्य के साथ असंभव घटना) और स्वयं नमूना स्थान (संभावना के साथ निश्चित घटना) शामिल है। अन्य घटनाएँ नमूना स्थान के उचित उपसमूह हैं जिनमें कई तत्व होते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संभावित घटनाओं में शामिल हैं:

किसी घटना का यूलर आरेख। नमूना स्थान है और घटना है।
उनके क्षेत्रों के अनुपात से, की संभावना लगभग 0.4 है.

* जोकर बने बिना ही समय में लाल और काला (0 तत्व),

  • 5 दिल (1 तत्व),
  • एक राजा (4 तत्व),
  • एक फेस कार्ड (12 तत्व),
  • एक कुदाल (13 तत्व),
  • एक फेस कार्ड या लाल सूट (32 तत्व),
  • एक कार्ड (52 तत्व)।

चूँकि सभी घटनाएँ सेट हैं, इसलिए उन्हें आमतौर पर सेट के रूप में लिखा जाता है (उदाहरण के लिए, {1, 2, 3}), और वेन आरेख का उपयोग करके ग्राफिक रूप से दर्शाया जाता है। ऐसी स्थिति में जहां नमूना स्थान Ω में प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है, संभावना किसी घटना का निम्नलखित में से कोई formula:

यह नियम उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण घटना पर आसानी से लागू किया जा सकता है।

संभाव्यता स्थानों में घटनाएँ

नमूना स्थान के सभी उपसमूहों को घटनाओं के रूप में परिभाषित करना तब अच्छा काम करता है जब केवल सीमित रूप से कई परिणाम होते हैं, लेकिन जब नमूना स्थान अनंत होता है तो समस्याएं उत्पन्न होती हैं। कई मानक संभाव्यता वितरणों के लिए, जैसे कि सामान्य वितरण, नमूना स्थान वास्तविक संख्याओं का सेट या वास्तविक संख्याओं का कुछ सबसेट है। जब कोई पैथोलॉजिकल (गणित) | 'खराब व्यवहार वाले' सेटों पर विचार करता है, जैसे कि गैर-मापने योग्य सेट, तो वास्तविक संख्याओं के सभी उप-समूहों के लिए संभावनाओं को परिभाषित करने का प्रयास कठिनाइयों में पड़ जाता है। इसलिए, उपसमूहों के अधिक सीमित परिवार पर ध्यान केंद्रित करना आवश्यक है। संभाव्यता सिद्धांत के मानक उपकरण, जैसे कि संयुक्त संभाव्यता और सशर्त संभाव्यता, को काम करने के लिए, सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का उपयोग करना आवश्यक है, अर्थात, परिवार जो अपने सदस्यों के पूरक और गणनीय संघों के तहत बंद है। सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित का सबसे स्वाभाविक विकल्प बोरेल माप सेट है जो अंतरालों के संघों और प्रतिच्छेदनों से प्राप्त होता है। हालाँकि, लेब्सेग माप सेट का बड़ा वर्ग व्यवहार में अधिक उपयोगी साबित होता है।

सामान्य माप सिद्धांत में| संभाव्यता स्थानों के माप-सैद्धांतिक विवरण में, घटना को चयनित सिग्मा-बीजगणित के तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है|𝜎-नमूना स्थान के उपसमुच्चय का बीजगणित। इस परिभाषा के तहत, नमूना स्थान का कोई भी उपसमुच्चय जो इसका तत्व नहीं है 𝜎-बीजगणित कोई घटना नहीं है, और इसकी कोई संभावना नहीं है। हालाँकि, संभाव्यता स्थान के उचित विनिर्देश के साथ, सभी events of interest के तत्व हैं 𝜎-बीजगणित.

नोटेशन पर नोट

भले ही घटनाएँ कुछ नमूना स्थान के उपसमूह हैं इन्हें अक्सर यादृच्छिक चर वाले विधेय या संकेतक के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि नमूना स्थान पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है समारोह

अधिक आसानी से लिखा जा सकता है, जैसे, सरलता से,
यह संभाव्यता के सूत्रों में विशेष रूप से आम है, जैसे कि
सेट (गणित) मानचित्र (गणित) के अंतर्गत व्युत्क्रम छवि का उदाहरण है क्योंकि अगर और केवल अगर

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

  1. ↑ Leon-Garcia, Alberto (2008). इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग के लिए संभाव्यता, सांख्यिकी और यादृच्छिक प्रक्रियाएं. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221.
  2. ↑ Pfeiffer, Paul E. (1978). संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाएँ. Dover Publications. p. 18. ISBN 978-0-486-63677-1.
  3. ↑ Foerster, Paul A. (2006). Algebra and trigonometry: Functions and applications, Teacher's edition (Classics ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. p. 634. ISBN 0-13-165711-9.

बाहरी संबंध

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