मूल्यांकन (माप सिद्धांत): Difference between revisions
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एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित है) को | एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को खुले सेटों के प्रत्येक निर्देशित परिवार <math> \scriptstyle \{U_i\}_{i\in I} </math> के लिए निरंतर कहा जाता है (यानी खुले सेटों का एक [[अनुक्रमित परिवार]] जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़ी सूचकांक के लिए) <math>i</math> और <math>j</math> [[सूचकांक सेट]] <math> I </math> से संबंधित हैं, एक सूचकांक <math>k</math> मौजूद है जैसे कि <math>\scriptstyle U_i\subseteq U_k</math> और <math>\scriptstyle U_j\subseteq U_k</math> निम्नलिखित समानता रखते हैं: | ||
<math display=block>v\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) = \sup_{i\in I} v(U_i).</math> | <math display="block">v\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) = \sup_{i\in I} v(U_i).</math>यह गुण मापों की τ-योगात्मकता के अनुरूप है। | ||
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Revision as of 08:44, 9 July 2023
माप सिद्धांत में, या कम से कम डोमेन सिद्धांत के माध्यम से इसके दृष्टिकोण में, एक मूल्यांकन एक टोपोलॉजिकल स्पेस के विवृत समुच्चयों के वर्ग से लेकर अपरिमित सहित धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक का एक प्रतिचित्र है, जिसमें कुछ गुण होते हैं। यह एक माप से निकटता से संबंधित अवधारणा है, और इस तरह, यह माप सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग पाता है।
डोमेन/माप सिद्धांत परिभाषा
मान लीजिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस है: एक मूल्यांकन कोई भी निर्धारित फ़ंक्शन है
निरंतर मूल्यांकन
एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को खुले सेटों के प्रत्येक निर्देशित परिवार के लिए निरंतर कहा जाता है (यानी खुले सेटों का एक अनुक्रमित परिवार जो इस अर्थ में भी निर्देशित होता है कि प्रत्येक जोड़ी सूचकांक के लिए) और सूचकांक सेट से संबंधित हैं, एक सूचकांक मौजूद है जैसे कि और निम्नलिखित समानता रखते हैं:
सरल मूल्यांकन
एक मूल्यांकन (जैसा कि डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत में परिभाषित किया गया है) को सरल कहा जाता है यदि यह गैर-नकारात्मक संख्या के साथ एक परिमित सेट रैखिक संयोजन है | कैल्यूएशन (माप सिद्धांत) के गैर-नकारात्मक गुणांक#डिराक मूल्यांकन, अर्थात,
यह भी देखें
- किसी दिए गए मूल्यांकन के लिए विस्तार समस्या (डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में) यह पता लगाना शामिल है कि किस प्रकार की परिस्थितियों में इसे उचित टोपोलॉजिकल स्पेस पर माप तक बढ़ाया जा सकता है, जो वही स्थान हो भी सकता है और नहीं भी इसे परिभाषित किया गया है: कागजात Alvarez-Manilla, Edalat & Saheb-Djahromi 2000 और Goubault-Larrecq 2005संदर्भ अनुभाग में इस उद्देश्य के लिए समर्पित हैं और कई ऐतिहासिक विवरण भी देते हैं।
- [[उत्तल सबसेट]]ों पर मूल्यांकन और [[ कई गुना ]] पर मूल्यांकन की अवधारणाएं डोमेन सिद्धांत/माप सिद्धांत के अर्थ में मूल्यांकन का एक सामान्यीकरण हैं। उत्तल सेटों पर एक मूल्यांकन को जटिल संख्या मानने की अनुमति है, और अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान के गैर-रिक्त सेट | गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का सेट है: मैनिफोल्ड्स पर एक मूल्यांकन एक जटिल मूल्यवान परिमित योगात्मक है दिए गए मैनिफोल्ड के सभी कॉम्पैक्ट सबमैनिफोल्ड के वर्ग (गणित) के एक उचित उपसमूह पर परिभाषित माप।[lower-alpha 1]
उदाहरण
डिराक मूल्यांकन
होने देना एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, और रहने देंका एक बिंदु हो: वो नक्शा
यह भी देखें
टिप्पणियाँ
उद्धृत कार्य
- Alvarez-Manilla, Maurizio; Edalat, Abbas; Saheb-Djahromi, Nasser (2000), "An extension result for continuous valuations", Journal of the London Mathematical Society, 61 (2): 629–640, CiteSeerX 10.1.1.23.9676, doi:10.1112/S0024610700008681.
- Goubault-Larrecq, Jean (2005), "Extensions of valuations", Mathematical Structures in Computer Science, 15 (2): 271–297, doi:10.1017/S096012950400461X
बाहरी संबंध
- Alesker, Semyon, "various preprints on valuation s", arXiv preprint server, primary site at Cornell University. Several papers dealing with valuations on convex sets, valuations on manifolds and related topics.
- The nLab page on valuations