हेलिंगर दूरी

प्रायिकता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों में, हेलिंगर दूरी (भट्टाचार्य दूरी से निकटता से संबंधित, यद्यपि भिन्न) का उपयोग दो प्रायिकता वितरणों के बीच समानता को मापने के लिए किया जाता है। यह एक प्रकार का f-भिन्नता है। हेलिंगर दूरी को हेलिंगर अभिन्न के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जिसे 1909 में अर्नेस्ट हेलिंगर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

इसे कभी-कभी जेफ़्रीज़ दूरी भी कहा जाता है।

परिभाषा

माप सिद्धांत

माप सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, $P$ और $Q$ को माप समष्टि ${\mathcal {X}}$ पर दो प्रायिकता मापों को निरूपित करने दें जो सहायक माप $\lambda$ के संबंध में पूर्ण निरंतरता हैं। ऐसा माप सदैव स्थित रहता है, उदाहरण के लिए $\lambda =(P+Q)$। $P$ और $Q$ के बीच हेलिंगर दूरी का वर्ग मात्रा

$H^{2}(P,Q)={\frac {1}{2}}\displaystyle \int _{\mathcal {X}}\left({\sqrt {p(x)}}-{\sqrt {q(x)}}\right)^{2}\lambda (dx)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

यहाँ, $P(dx)=p(x)\lambda (dx)$ और $Q(dx)=q(x)\lambda (dx)$, अर्थात $p$ और $q$, $\lambda$ के संबंध में क्रमशः P और Q के रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न हैं। यह परिभाषा $\lambda$ पर निर्भर नहीं करती है,अर्थात P और Q के बीच हेलिंगर दूरी नहीं बदलती है यदि $\lambda$ को एक अलग प्रायिकता माप के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जिसके संबंध में P और Q दोनों पूर्ण निरंतरता हैं। सघनता के लिए, उपरोक्त सूत्र को प्रातः

$H^{2}(P,Q)={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {X}}\left({\sqrt {P(dx)}}-{\sqrt {Q(dx)}}\right)^{2}$ के रूप में लिखा जाता है।

लेब्सेग माप का उपयोग कर प्रायिकता सिद्धांत

प्रारंभिक प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में हेलिंगर दूरी को परिभाषित करने के लिए, हम λ को लेबेस्ग माप के रूप में लेते हैं, ताकि dP / dλ और dQ / dλ मात्र प्रायिकता घनत्व फलन हों। यदि हम घनत्वों को क्रमशः f और g के रूप में निरूपित करते हैं, तो वर्ग हेलिंगर दूरी को मानक गणना समाकल

$H^{2}(f,g)={\frac {1}{2}}\int \left({\sqrt {f(x)}}-{\sqrt {g(x)}}\right)^{2}\,dx=1-\int {\sqrt {f(x)g(x)}}\,dx$

के रूप में निरूपित करते हैं, जहां दूसरा रूप वर्ग का विस्तार करके और इस तथ्य का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है कि इसके डोमेन पर प्रायिकता घनत्व का अभिन्न अंग 1 के बराबर है।

हेलिंगर दूरी H(P,Q) गुण (कॉची-श्वार्ज़ असमानता से व्युत्पन्न)

$0\leq H(P,Q)\leq 1$ को संतुष्ट करती है।

असतत वितरण

दो असतत प्रायिकता वितरणों $P=(p_{1},\ldots ,p_{k})$ और $Q=(q_{1},\ldots ,q_{k})$ के लिए, उनकी हेलिंगर दूरी को

$H(P,Q)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\;{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}({\sqrt {p_{i}}}-{\sqrt {q_{i}}})^{2}}},$

के रूप में परिभाषित किया गया है, जो प्रत्यक्षतः वर्गमूल सदिश के अंतर के यूक्लिडियन दूरी से संबंधित है, अर्थात

$H(P,Q)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\;{\bigl \|}{\sqrt {P}}-{\sqrt {Q}}{\bigr \|}_{2}.$

भी, $1-H^{2}(P,Q)=\sum _{i=1}^{k}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}.$

गुण

हेलिंगर दूरी किसी दिए गए प्रायिकता समष्टि पर प्रायिकता वितरण के फलन समष्टि पर एक बंधा हुआ कार्य मीट्रिक (गणित) बनाती है।

अधिकतम दूरी 1 तब प्राप्त होती है जब P प्रत्येक सेट के लिए प्रायिकता शून्य निर्दिष्ट करता है, जिस पर Q सकारात्मक प्रायिकता निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत।

कभी-कभी कारक $1/{\sqrt {2}}$ अभिन्न के सामने छोड़ दिया गया है, इस स्थिति में हेलिंगर की दूरी शून्य से दो के वर्गमूल तक होती है।

हेलिंगर दूरी भट्टाचार्य दूरी से संबंधित है $BC(P,Q)$ जैसा कि इसे परिभाषित किया जा सकता है

$H(P,Q)={\sqrt {1-BC(P,Q)}}.$

हेलिंजर दूरियों का उपयोग अनुक्रमिक विश्लेषण और स्पर्शोन्मुख सांख्यिकी के सिद्धांत में किया जाता है। दो सामान्य वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ और $Q\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$ है:

$H^{2}(P,Q)=1-{\sqrt {\frac {2\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}{\frac {(\mu _{1}-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}}}.$

दो बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim {\mathcal {N}}(\mu _{1},\Sigma _{1})$ और $Q\sim {\mathcal {N}}(\mu _{2},\Sigma _{2})$ है

$H^{2}(P,Q)=1-{\frac {\det(\Sigma _{1})^{1/4}\det(\Sigma _{2})^{1/4}}{\det \left({\frac {\Sigma _{1}+\Sigma _{2}}{2}}\right)^{1/2}}}\exp \left\{-{\frac {1}{8}}(\mu _{1}-\mu _{2})^{T}\left({\frac {\Sigma _{1}+\Sigma _{2}}{2}}\right)^{-1}(\mu _{1}-\mu _{2})\right\}$

दो घातीय वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim \mathrm {Exp} (\alpha )$ और $Q\sim \mathrm {Exp} (\beta )$ है:

$H^{2}(P,Q)=1-{\frac {2{\sqrt {\alpha \beta }}}{\alpha +\beta }}.$

दो वेइबुल वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim \mathrm {W} (k,\alpha )$ और $Q\sim \mathrm {W} (k,\beta )$ (कहाँ $k$ एक सामान्य आकार पैरामीटर है और $\alpha \,,\beta$ क्रमशः स्केल पैरामीटर हैं):

$H^{2}(P,Q)=1-{\frac {2(\alpha \beta )^{k/2}}{\alpha ^{k}+\beta ^{k}}}.$

दर मापदंडों के साथ दो पॉइसन वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $\alpha$ और $\beta$, ताकि $P\sim \mathrm {Poisson} (\alpha )$ और $Q\sim \mathrm {Poisson} (\beta )$, है:

$H^{2}(P,Q)=1-e^{-{\frac {1}{2}}({\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }})^{2}}.$

दो बीटा वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim {\text{Beta}}(a_{1},b_{1})$ और $Q\sim {\text{Beta}}(a_{2},b_{2})$ है:

$H^{2}(P,Q)=1-{\frac {B\left({\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},{\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}\right)}{\sqrt {B(a_{1},b_{1})B(a_{2},b_{2})}}}$

कहाँ $B$ बीटा फलन है।

दो गामा वितरणों के बीच वर्गाकार हेलिंगर दूरी $P\sim {\text{Gamma}}(a_{1},b_{1})$ और $Q\sim {\text{Gamma}}(a_{2},b_{2})$ है:

$H^{2}(P,Q)=1-\Gamma \left({\scriptstyle {\frac {a_{1}+a_{2}}{2}}}\right)\left({\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}\right)^{-(a_{1}+a_{2})/2}{\sqrt {\frac {b_{1}^{a_{1}}b_{2}^{a_{2}}}{\Gamma (a_{1})\Gamma (a_{2})}}}$

कहाँ $\Gamma$ गामा फलन है।

कुल भिन्नता दूरी के साथ संबंध

हेलिंगर दूरी $H(P,Q)$ और कुल भिन्नता दूरी (या सांख्यिकीय दूरी) $\delta (P,Q)$ इस प्रकार संबंधित हैं:

$H^{2}(P,Q)\leq \delta (P,Q)\leq {\sqrt {2}}H(P,Q)\,.$

इस असमानता में स्थिरांक आपके द्वारा चुने गए पुनर्सामान्यीकरण के आधार पर बदल सकते हैं ($1/2$ या $1/{\sqrt {2}}$)।

ये असमानताएं एलपी स्पेस#परिमित आयामों में पी-मानदंड|1-मानदंड और एलपी समष्टि#परिमित आयामों में पी-मानदंड|2-मानदंड के बीच की असमानताओं से तुरंत उत्पन्न होती हैं।

यह भी देखें

• सांख्यिकीय दूरी
• कुल्बैक-लीब्लर विचलन
• भट्टाचार्य दूरी
• कुल भिन्नता दूरी
• फिशर सूचना मीट्रिक

संदर्भ

• Yang, Grace Lo; Le Cam, Lucien M. (2000). Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95036-2.
• Vaart, A. W. van der (19 June 2000). Asymptotic Statistics (Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-78450-6.
• Pollard, David E. (2002). A user's guide to measure theoretic probability. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-00289-3.