बीजीय फलन: Difference between revisions

Revision as of 09:09, 10 July 2023

गणित में, बीजगणितीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसे परिभाषित किया जा सकता है बहुपद समीकरण के एक फलन के शून्य के रूप में अधिकांशतः बीजगणितीय फलन शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग करते हुए बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं, जिसमें केवल बीजगणितीय संचालन जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना सम्मिलित होता है। ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं:

$f(x)=1/x$
$f(x)={\sqrt {x}}$
$f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}$

चूँकि कुछ बीजगणितीय कार्यों को ऐसे सीमित अभिव्यक्तियों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफिनी प्रमेय है)। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, ब्रिंग रेडिकल के लिए, जो कि परिभाषित कार्य अंतर्निहित कार्य है

f(x)^{5}+f(x)+x=0

.

अधिक स्पष्ट शब्दों में, एक चर x में डिग्री n का एक बीजगणितीय कार्य एक कार्य $y=f(x),$ है जो अपने डोमेन में निरंतर है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है

a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0

जहां गुणांक $a i (x)$ पूर्णांक गुणांक के साथ $x$ के बहुपद फलन हैं। यह दिखाया जा सकता है कि यदि बीजगणितीय संख्याओं को $a i (x)$ के गुणांकों के लिए स्वीकार किया जाता है तो कार्यों का समान वर्ग प्राप्त होता है। यदि गुणांकों में पारलौकिक संख्याएँ आती हैं, तो कार्य, सामान्यतः बीजगणितीय नहीं होता है, किंतु यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर बीजगणितीय होता है।

एक परिमेय संख्या पर, और अधिक सामान्यतः, एक बीजगणितीय संख्या पर एक बीजगणितीय फलन का मान सदैव एक बीजगणितीय संख्या होता है। कभी-कभी, गुणांक $a_{i}(x)$ जो रिंग $R$ पर बहुपद होते हैं, पर विचार किया जाता है, और फिर " $R$ पर बीजगणितीय कार्य" के बारे में बात की जाती है।

एक कार्य जो बीजगणितीय नहीं है उसे ट्रान्सेंडैंटल कार्य कहा जाता है, उदाहरण के लिए यह $\exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)$ का स्थिति है। पारलौकिक फलनों की एक संरचना एक बीजगणितीय फलन दे सकती है: $f(x)=\cos \arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}$ .

चूँकि घात n के एक बहुपद समीकरण में n तक जड़ें होती हैं (और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर बिल्कुल n जड़ें होती हैं, जैसे कि जटिल संख्याएँ), एक बहुपद समीकरण किसी एकल कार्य को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n कार्य तक, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है शाखाएँ. उदाहरण के लिए यूनिट सर्कल के समीकरण पर विचार करें: $y^{2}+x^{2}=1.\,$ , यह y निर्धारित करता है, केवल समग्र चिह्न को छोड़कर; इसलिए इसकी दो शाखाएँ हैं: $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,$

m चरों में एक बीजगणितीय फलन को इसी प्रकार एक फलन $y=f(x_{1},\dots ,x_{m})$ के रूप में परिभाषित किया जाता है जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:

p(y,x_{1},x_{2},\dots ,x_{m})=0.

सामान्यतः यह माना जाता है कि p एक अपरिवर्तनीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय कार्य के अस्तित्व की आश्वासन अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा दी जाती है।

औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चर में एक बीजगणितीय कार्य तर्कसंगत कार्य K(x₁, ..., x_m).के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन का एक तत्व है।

एक चर में बीजगणितीय कार्य

परिचय और सिंहावलोकन

बीजगणितीय कार्य की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई सुराग प्रदान करती है। सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में मानना सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय परिचालनों द्वारा बनाए जा सकते हैं: जोड़, गुणा, भाग (गणित), और एनवां मूल लेना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय कार्यों को रेडिकल द्वारा व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।

सबसे पहले, ध्यान दें कि कोई भी बहुपद फलन $y=p(x)$ एक बीजगणितीय फलन है, क्योंकि यह केवल समीकरण का हल y है

y-p(x)=0.\,

अधिक सामान्यतः, कोई भी तर्कसंगत कार्य $y={\frac {p(x)}{q(x)}}$ बीजगणितीय है, इसका समाधान है

q(x)y-p(x)=0.

इसके अतिरिक्त किसी भी बहुपद का nवाँ मूल ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$ एक बीजीय फलन है, जो समीकरण को हल करता है

y^{n}-p(x)=0.

आश्चर्यजनक रूप से, बीजगणितीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बीजगणितीय फलन होता है। यह मानने के लिए कि y एक समाधान है

a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,

x के प्रत्येक मान के लिए, तो y के प्रत्येक मान के लिए x भी इस समीकरण का एक समाधान है। वास्तव में, x और y की भूमिकाओं को आपस में बदलना और पदों को एकत्रित करते है ,

b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.

x को y के एक फलन के रूप में लिखने से व्युत्क्रम फलन मिलता है, जो एक बीजगणितीय फलन भी है।

चूँकि , प्रत्येक कार्य का व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = x²क्षैतिज रेखा परीक्षण में विफल रहता है: यह एक-से-एक कार्य |एक-से-एक होने में विफल रहता है। व्युत्क्रम बीजगणितीय फलन $x=\pm {\sqrt {y}}$ है इसे समझने का दूसरा विधि यह है कि हमारे बीजीय फलन को परिभाषित करने वाले बहुपद समीकरण की शाखाओं का समुच्चय (गणित) एक बीजगणितीय वक्र का ग्राफ है।

सम्मिश्र संख्याओं की भूमिका

बीजगणितीय दृष्टिकोण से, जटिल संख्याएँ बीजगणितीय कार्यों के अध्ययन में स्वाभाविक रूप से प्रवेश करती हैं। सबसे पहले, बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं। इसलिए किसी भी बहुपद संबंध p(y, x) = 0 के प्रत्येक बिंदु x पर y के लिए कम से कम एक समाधान (और सामान्यतः y में p की डिग्री से अधिक नहीं होने वाले कई समाधान) होने की आश्वासन है, परन्तु हम y को मानने की अनुमति दें जटिल और साथ ही वास्तविक संख्या मान है जो की इस प्रकार, बीजगणितीय फलन के फलन के डोमेन से जुड़ी समस्याओं को सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है।

छवि:y^3-xy+1=0.png|thumb| बीजीय फलन y की तीन शाखाओं का ग्राफ़, जहाँ y³--xy+1=0, डोमेन 3/2 पर^2/3 <x <50।

इसके अतिरिक्त यथापि कोई अंततः वास्तविक बीजगणितीय कार्यों में रुचि रखता हो, किंतु जटिल संख्याओं का सहारा लिए बिना जोड़, गुणा, विभाजन और एनवें मूल लेने के संदर्भ में कार्य को व्यक्त करने का कोई साधन नहीं हो सकता है ( एक अपरिवर्तनीय मौका देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण द्वारा निर्धारित बीजीय फलन पर विचार करें

y^{3}-xy+1=0.\,

घन सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.

$x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ वर्गमूल वास्तविक है और घनमूल इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित है, जो अद्वितीय वास्तविक मूल प्रदान करता है। दूसरी ओर, $x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},$ के लिए, वर्गमूल वास्तविक नहीं है, और किसी को वर्गमूल के लिए, गैर-वास्तविक वर्गमूल को चुनना होगा। इस प्रकार घनमूल को तीन अवास्तविक संख्याओं में से चुनना होगा। यदि सूत्र के दो शब्दों में समान विकल्प किए जाते हैं, तो घनमूल के लिए तीन विकल्प संलग्न छवि में दिखाई गई तीन शाखाएँ प्रदान करते हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके इस कार्य को nवें मूल के संदर्भ में व्यक्त करने का कोई विधि नहीं है, यथापि परिणामी कार्य दिखाए गए ग्राफ़ के डोमेन पर वास्तविक-मूल्यवान होता है।

अधिक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक स्तर पर, जटिल संख्याओं का उपयोग करने से व्यक्ति को बीजगणितीय कार्यों पर चर्चा करने के लिए जटिल विश्लेषण की शक्तिशाली तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति मिलती है। विशेष रूप से, तर्क सिद्धांत का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय कार्य वास्तव में कम से कम बहु-मूल्यवान अर्थ में एक विश्लेषणात्मक कार्य है।

औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि p(x, y) सम्मिश्र चर x और y में एक सम्मिश्र बहुपद है। मान लीजिए कि x₀ ∈ C ऐसा है कि y के बहुपद p(x₀, y) में n भिन्न शून्य हैं। हम दिखाएंगे कि x₀ के पड़ोस में बीजगणितीय फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है। n गैर-अतिव्यापी डिस्क Δ_i का एक सिस्टम चुनें जिसमें इनमें से प्रत्येक शून्य हो। फिर तर्क सिद्धांत से होता है

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_{0},y)}}\,dy=1.

निरंतरता से, यह x के पड़ोस में सभी x₀ के लिए भी प्रयुक्त होता है विशेष रूप से, p(x, y) का Δ_i में केवल एक ही मूल है, अवशेष प्रमेय द्वारा दिया गया है:

f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}y{\frac {p_{y}(x,y)}{p(x,y)}}\,dy

जो एक विश्लेषणात्मक कार्य है.

मोनोड्रोमी

ध्यान दें कि विश्लेषणात्मकता के पूर्वगामी प्रमाण ने n विभिन्न कार्य तत्वों f_i(x) की एक प्रणाली के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है, परन्तु कि x, p(x, y) का एक महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है। एक महत्वपूर्ण बिंदु वह बिंदु है जहां विशिष्ट शून्य की संख्या पी की डिग्री से छोटी होती है, और यह केवल वहां होता है जहां पी की उच्चतम डिग्री शब्द विलुप्त हो जाता है, और जहां विवेचक विलुप्त हो जाता है। इसलिए ऐसे बिंदु c₁, ..., c_m बहुत ही सीमित संख्या में हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास फ़ंक्शन तत्वों f_i के गुणों का एक निकटतम विश्लेषण यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि मोनोड्रोमी कवर महत्वपूर्ण बिंदुओं (और संभवतः अनंत पर बिंदु) पर प्रयुक्त होता है। इस प्रकार f_i के होलोमोर्फिक विस्तार में सबसे खराब बीजगणितीय ध्रुव और महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सामान्य बीजगणितीय शाखाएं हैं।

ध्यान दें कि, महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर, हमारे पास है

p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x))

चूँकि f_i परिभाषा के अनुसार p के विशिष्ट शून्य हैं। मोनोड्रोमी समूह कारकों को क्रमपरिवर्तित करके कार्य करता है, और इस प्रकार p के गैलोइस समूह का 'मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व' बनाता है। (सार्वभौमिक आवरण स्थान पर मोनोड्रोमी क्रिया संबंधित है किंतु रीमैन सतहों के सिद्धांत में अलग धारणा है।)

इतिहास

बीजगणितीय कार्यों से संबंधित विचार कम से कम रेने डेसकार्टेस तक जाते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि बीजगणितीय कार्यों की पहली चर्चा एडवर्ड वारिंग के 1794 में मानव ज्ञान के सिद्धांतों पर एक निबंध में हुई थी जिसमें वह लिखते हैं:

मान लीजिए कि कोटि को दर्शाने वाली एक मात्रा, भुज x का एक बीजगणितीय फलन है, विभाजन और जड़ों के निष्कर्षण की सामान्य विधियों द्वारा, इसे x के आयामों के अनुसार आरोही या अवरोही एक अनंत श्रृंखला में कम करें और फिर प्रत्येक का अभिन्न अंग ज्ञात करें प्रत्येक परिणामी पद है

यह भी देखें

बीजगणतीय अभिव्यक्ति
विश्लेषणात्मक कार्य
जटिल कार्य
प्राथमिक कार्य
कार्य (गणित)
सामान्यीकृत कार्य
[[विशेष कार्यों और उपनामों की सूची]]
कार्यों के प्रकारों की सूची
बहुपद
तर्कसंगत कार्य
विशेष कार्य
पारलौकिक कार्य

संदर्भ

Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
van der Waerden, B.L. (1931). Modern Algebra, Volume II. Springer.

बाहरी संबंध

Definition of "Algebraic function" in the Encyclopedia of Math
Weisstein, Eric W. "Algebraic Function". MathWorld.
Algebraic Function at PlanetMath.
Definition of "Algebraic function" Archived 2020-10-26 at the Wayback Machine in David J. Darling's Internet Encyclopedia of Science

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-गणित में, बीजगणितीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसे परिभाषित किया जा सकता है
+गणित में, बीजगणितीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसे परिभाषित किया जा सकता है [[बहुपद समीकरण]] के एक फलन के शून्य के रूप में  अधिकांशतः बीजगणितीय फलन शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग करते हुए बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं, जिसमें केवल बीजगणितीय संचालन जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना सम्मिलित होता है। ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं:
-[[बहुपद समीकरण]] के एक फलन के शून्य के रूप में। अक्सर बीजगणितीय फलन शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग करते हुए बीजगणितीय अभिव्यक्ति होते हैं, जिसमें केवल बीजगणितीय संचालन जोड़, घटाव, गुणा, भाग और एक भिन्नात्मक घात तक बढ़ाना शामिल होता है। ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं:
 * <math>f(x) = 1/x</math>
 * <math>f(x) = \sqrt{x}</math>
 * <math>f(x) = \frac{\sqrt{1 + x^3}}{x^{3/7} - \sqrt{7} x^{1/3}}</math>
-हालाँकि, कुछ बीजगणितीय कार्यों को ऐसे सीमित अभिव्यक्तियों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफिनी प्रमेय है)। यह मामला है, उदाहरण के लिए, [[ कट्टरपंथी लाओ |कट्टरपंथी लाओ]] के लिए, जो कि परिभाषित फ़ंक्शन अंतर्निहित फ़ंक्शन है
+चूँकि कुछ बीजगणितीय कार्यों को ऐसे सीमित अभिव्यक्तियों द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (यह एबेल-रफिनी प्रमेय है)। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, [[ कट्टरपंथी लाओ |ब्रिंग रेडिकल]] के लिए, जो कि परिभाषित कार्य अंतर्निहित कार्य है
 : <math>f(x)^5+f(x)+x = 0</math>.
-अधिक सटीक शब्दों में, डिग्री का एक बीजीय फलन {{math|''n''}} एक चर में {{math|''x''}} एक फ़ंक्शन है <math>y = f(x),</math> यह किसी फलन के अपने क्षेत्र में सतत फलन है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है
+अधिक स्पष्ट शब्दों में, एक चर x में डिग्री n का एक बीजगणितीय कार्य एक कार्य <math>y = f(x),</math> है जो अपने डोमेन में निरंतर है और एक बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है
 : <math>a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0</math>
-जहां गुणांक {{math|''a''<sub>''i''</sub>(''x'')}} के बहुपद फलन हैं {{math|''x''}}, पूर्णांक गुणांक के साथ। यह दिखाया जा सकता है कि यदि बीजगणितीय संख्याओं को गुणांक के लिए स्वीकार किया जाता है तो कार्यों का समान वर्ग प्राप्त होता है {{math|''a''<sub>''i''</sub>(''x'')}}'एस। यदि गुणांकों में [[पारलौकिक संख्या]]एँ आती हैं, तो फ़ंक्शन, सामान्य तौर पर, बीजगणितीय नहीं होता है, लेकिन यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न [[फ़ील्ड (गणित)]] पर बीजगणितीय होता है।
+जहां गुणांक {{math|''a''<sub>''i''</sub>(''x'')}} पूर्णांक गुणांक के साथ {{math|''x''}} के बहुपद फलन हैं। यह दिखाया जा सकता है कि यदि बीजगणितीय संख्याओं को {{math|''a''<sub>''i''</sub>(''x'')}} के गुणांकों के लिए स्वीकार किया जाता है तो कार्यों का समान वर्ग प्राप्त होता है। यदि गुणांकों में पारलौकिक संख्याएँ आती हैं, तो कार्य, सामान्यतः बीजगणितीय नहीं होता है, किंतु यह इन गुणांकों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर बीजगणितीय होता है।
-एक परिमेय संख्या पर, और अधिक सामान्यतः, एक [[बीजगणितीय संख्या]] पर एक बीजगणितीय फलन का मान हमेशा एक बीजगणितीय संख्या होता है।
+एक परिमेय संख्या पर, और अधिक सामान्यतः, एक बीजगणितीय संख्या पर एक बीजगणितीय फलन का मान सदैव एक बीजगणितीय संख्या होता है। कभी-कभी, गुणांक <math>a_i(x)</math> जो रिंग {{mvar|R}} पर बहुपद होते हैं, पर विचार किया जाता है, और फिर "{{mvar|R}} पर बीजगणितीय कार्य" के बारे में बात की जाती है।
-कभी-कभी, गुणांक <math>a_i(x)</math> जो एक वलय पर बहुपद हैं (गणित) {{mvar|R}} पर विचार किया जाता है, और फिर बीजगणितीय कार्यों के बारे में बात की जाती है {{mvar|R}} .
-एक फ़ंक्शन जो बीजगणितीय नहीं है, उसे [[पारलौकिक कार्य]] कहा जाता है, उदाहरण के लिए यह का मामला है <math>\exp x, \tan x, \ln x, \Gamma(x)</math>. पारलौकिक फलनों की एक संरचना एक बीजगणितीय फलन दे सकती है: <math>f(x)=\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}</math>.
+एक कार्य जो बीजगणितीय नहीं है उसे ट्रान्सेंडैंटल कार्य कहा जाता है, उदाहरण के लिए यह <math>\exp x, \tan x, \ln x, \Gamma(x)</math> का स्थिति है। पारलौकिक फलनों की एक संरचना एक बीजगणितीय फलन दे सकती है: <math>f(x)=\cos \arcsin x = \sqrt{1-x^2}</math>.
-चूँकि एक बहुपद n की घात वाले बहुपद समीकरण में n तक जड़ें होती हैं (और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर बिल्कुल n जड़ें होती हैं, जैसे कि जटिल संख्याएँ), एक बहुपद समीकरण किसी एकल फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n तक होता है
+चूँकि घात n के एक बहुपद समीकरण में n तक जड़ें होती हैं (और बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर बिल्कुल n जड़ें होती हैं, जैसे कि जटिल संख्याएँ), एक बहुपद समीकरण किसी एकल कार्य को स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं करता है, लेकिन n कार्य तक, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है शाखाएँ. उदाहरण के लिए यूनिट सर्कल के समीकरण पर विचार करें:<math>y^2+x^2=1.\,</math>, यह y निर्धारित करता है, केवल समग्र चिह्न को छोड़कर; इसलिए  इसकी दो शाखाएँ हैं:<math>y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,</math>
-फ़ंक्शंस, जिन्हें कभी-कभी [[ शाखा काटना |शाखा काटना]] भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए [[इकाई चक्र]] के समीकरण पर विचार करें:
-<math>y^2+x^2=1.\,</math>
+m चरों में एक बीजगणितीय फलन को इसी प्रकार एक फलन <math>y=f(x_1,\dots ,x_m)</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:
-यह y निर्धारित करता है, केवल समग्र चिह्न को छोड़कर; तदनुसार, इसकी दो शाखाएँ हैं:
-<math>y=\pm \sqrt{1-x^2}.\,</math>
-''m'' वेरिएबल्स में एक बीजगणितीय फ़ंक्शन को समान रूप से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है <math>y=f(x_1,\dots ,x_m)</math> जो m + 1 चरों में एक बहुपद समीकरण को हल करता है:
 :<math>p(y,x_1,x_2,\dots,x_m) = 0.</math>
-सामान्यतः यह माना जाता है कि p एक अपरिवर्तनीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय फ़ंक्शन के अस्तित्व की गारंटी अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा दी जाती है।
+सामान्यतः यह माना जाता है कि p एक अपरिवर्तनीय बहुपद होना चाहिए। एक बीजगणितीय कार्य के अस्तित्व की आश्वासन अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा दी जाती है।
-औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चरों में एक बीजगणितीय फ़ंक्शन, [[तर्कसंगत कार्य]]ों K(x) के क्षेत्र के [[बीजगणितीय समापन]] का एक तत्व है<sub>1</sub>, ..., एक्स<sub>''m''</sub>).
+औपचारिक रूप से, क्षेत्र K पर m चर में एक बीजगणितीय कार्य तर्कसंगत कार्य ''K''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>m</sub>'').के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन का एक तत्व है।
 == एक चर में बीजगणितीय कार्य ==
 === परिचय और सिंहावलोकन ===
-बीजगणितीय फ़ंक्शन की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई सुराग प्रदान करती है। सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में मानना सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय परिचालनों द्वारा बनाए जा सकते हैं: जोड़, [[गुणा]], भाग (गणित), और एनवां मूल लेना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय कार्यों को रेडिकल द्वारा व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।
+बीजगणितीय कार्य की अनौपचारिक परिभाषा उनके गुणों के बारे में कई सुराग प्रदान करती है। सहज ज्ञान प्राप्त करने के लिए, बीजगणितीय कार्यों को ऐसे कार्यों के रूप में मानना सहायक हो सकता है जो सामान्य बीजगणितीय परिचालनों द्वारा बनाए जा सकते हैं: जोड़, [[गुणा]], भाग (गणित), और एनवां मूल लेना। यह कुछ अतिसरलीकरण है; गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के कारण, बीजगणितीय कार्यों को रेडिकल द्वारा व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है।
 सबसे पहले, ध्यान दें कि कोई भी बहुपद फलन <math>y = p(x)</math> एक बीजगणितीय फलन है, क्योंकि यह केवल समीकरण का हल y है
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 :<math>q(x)y-p(x)=0.</math>
-इसके अलावा, किसी भी बहुपद का nवाँ मूल <math display="inline">y=\sqrt[n]{p(x)}</math> एक बीजीय फलन है, जो समीकरण को हल करता है
+इसके अतिरिक्त  किसी भी बहुपद का nवाँ मूल <math display="inline">y=\sqrt[n]{p(x)}</math> एक बीजीय फलन है, जो समीकरण को हल करता है
 :<math>y^n-p(x)=0.</math>
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 :<math>a_n(x)y^n+\cdots+a_0(x)=0,</math>
-x के प्रत्येक मान के लिए, तो y के प्रत्येक मान के लिए x भी इस समीकरण का एक समाधान है। वास्तव में, x और y की भूमिकाओं को आपस में बदलना और पदों को एकत्रित करना,
+x के प्रत्येक मान के लिए, तो y के प्रत्येक मान के लिए x भी इस समीकरण का एक समाधान है। वास्तव में, x और y की भूमिकाओं को आपस में बदलना और पदों को एकत्रित करते है ,
 :<math>b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots+b_0(y)=0.</math>
 x को y के एक फलन के रूप में लिखने से व्युत्क्रम फलन मिलता है, जो एक बीजगणितीय फलन भी है।
-हालाँकि, प्रत्येक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = x<sup>2</sup>[[क्षैतिज रेखा परीक्षण]] में विफल रहता है: यह एक-से-एक फ़ंक्शन|एक-से-एक होने में विफल रहता है। व्युत्क्रम बीजगणितीय फलन है <math>x = \pm\sqrt{y}</math>.
+चूँकि , प्रत्येक कार्य का व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, y = x<sup>2</sup>[[क्षैतिज रेखा परीक्षण]] में विफल रहता है: यह एक-से-एक कार्य '''|एक-से-एक''' होने में विफल रहता है। व्युत्क्रम बीजगणितीय फलन <math>x = \pm\sqrt{y}</math> है इसे समझने का दूसरा विधि यह है कि हमारे बीजीय फलन को परिभाषित करने वाले बहुपद समीकरण की शाखाओं का समुच्चय (गणित) एक [[बीजगणितीय वक्र]] का ग्राफ है।
-इसे समझने का दूसरा तरीका यह है कि हमारे बीजीय फलन को परिभाषित करने वाले बहुपद समीकरण की शाखाओं का समुच्चय (गणित) एक [[बीजगणितीय वक्र]] का ग्राफ है।
 === सम्मिश्र संख्याओं की भूमिका ===
-बीजगणितीय दृष्टिकोण से, जटिल संख्याएँ बीजगणितीय कार्यों के अध्ययन में स्वाभाविक रूप से प्रवेश करती हैं। सबसे पहले, बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं। इसलिए किसी भी [[बहुपद]] संबंध p(y, x) = 0 के प्रत्येक बिंदु x पर y के लिए कम से कम एक समाधान (और सामान्य तौर पर y में p की डिग्री से अधिक नहीं होने वाले कई समाधान) होने की गारंटी है, बशर्ते हम y को मानने की अनुमति दें जटिल और साथ ही [[वास्तविक संख्या]] मान। इस प्रकार, बीजगणितीय फलन के फलन के डोमेन से जुड़ी समस्याओं को सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है।
+बीजगणितीय दृष्टिकोण से, जटिल संख्याएँ बीजगणितीय कार्यों के अध्ययन में स्वाभाविक रूप से प्रवेश करती हैं। सबसे पहले, बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र हैं। इसलिए किसी भी [[बहुपद]] संबंध p(y, x) = 0 के प्रत्येक बिंदु x पर y के लिए कम से कम एक समाधान (और सामान्यतः y में p की डिग्री से अधिक नहीं होने वाले कई समाधान) होने की आश्वासन है, परन्तु हम y को मानने की अनुमति दें जटिल और साथ ही [[वास्तविक संख्या]] मान है जो की इस प्रकार, बीजगणितीय फलन के फलन के डोमेन से जुड़ी समस्याओं को सुरक्षित रूप से कम किया जा सकता है।
 छवि:y^3-xy+1=0.png|thumb| बीजीय फलन y की तीन शाखाओं का ग्राफ़, जहाँ y<sup>3</sup>--xy+1=0, डोमेन 3/2 पर<sup>2/3</sup> <x <50।
-इसके अलावा, भले ही कोई अंततः वास्तविक बीजगणितीय कार्यों में रुचि रखता हो, लेकिन जटिल संख्याओं का सहारा लिए बिना जोड़, गुणा, विभाजन और एनवें मूल लेने के संदर्भ में फ़ंक्शन को व्यक्त करने का कोई साधन नहीं हो सकता है ([[ एक अपरिवर्तनीय मौका | एक अपरिवर्तनीय मौका]] देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण द्वारा निर्धारित बीजीय फलन पर विचार करें
+इसके अतिरिक्त यथापि कोई अंततः वास्तविक बीजगणितीय कार्यों में रुचि रखता हो, किंतु जटिल संख्याओं का सहारा लिए बिना जोड़, गुणा, विभाजन और एनवें मूल लेने के संदर्भ में कार्य को व्यक्त करने का कोई साधन नहीं हो सकता है ([[ एक अपरिवर्तनीय मौका | एक अपरिवर्तनीय मौका]] देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण द्वारा निर्धारित बीजीय फलन पर विचार करें
 :<math>y^3-xy+1=0.\,</math>
@@ Line 67: / Line 62: @@
 y=-\frac{2x}{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}+\frac{\sqrt[3]{-108+12\sqrt{81-12x^3}}}{6}.
 </math>
-के लिए <math>x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> वर्गमूल वास्तविक है और घनमूल इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित है, जो अद्वितीय वास्तविक मूल प्रदान करता है। दूसरी ओर, के लिए <math>x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> वर्गमूल वास्तविक नहीं है, और किसी को वर्गमूल के लिए, गैर-वास्तविक वर्गमूल को चुनना होगा। इस प्रकार घनमूल को तीन अवास्तविक संख्याओं में से चुनना होगा। यदि सूत्र के दो शब्दों में समान विकल्प किए जाते हैं, तो घनमूल के लिए तीन विकल्प संलग्न छवि में दिखाई गई तीन शाखाएँ प्रदान करते हैं।
+<math>x\le \frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> वर्गमूल वास्तविक है और घनमूल इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित है, जो अद्वितीय वास्तविक मूल प्रदान करता है। दूसरी ओर, <math>x>\frac{3}{\sqrt[3]{4}},</math> के लिए, वर्गमूल वास्तविक नहीं है, और किसी को वर्गमूल के लिए, गैर-वास्तविक वर्गमूल को चुनना होगा। इस प्रकार घनमूल को तीन अवास्तविक संख्याओं में से चुनना होगा। यदि सूत्र के दो शब्दों में समान विकल्प किए जाते हैं, तो घनमूल के लिए तीन विकल्प संलग्न छवि में दिखाई गई तीन शाखाएँ प्रदान करते हैं।
-यह सिद्ध किया जा सकता है कि केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके इस फ़ंक्शन को nवें मूल के संदर्भ में व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है, भले ही परिणामी फ़ंक्शन दिखाए गए ग्राफ़ के डोमेन पर वास्तविक-मूल्यवान हो।
+यह सिद्ध किया जा सकता है कि केवल वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके इस कार्य को nवें मूल के संदर्भ में व्यक्त करने का कोई विधि नहीं है, यथापि परिणामी कार्य दिखाए गए ग्राफ़ के डोमेन पर वास्तविक-मूल्यवान होता है।
-अधिक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक स्तर पर, जटिल संख्याओं का उपयोग करने से व्यक्ति को बीजगणितीय कार्यों पर चर्चा करने के लिए [[जटिल विश्लेषण]] की शक्तिशाली तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति मिलती है। विशेष रूप से, [[तर्क सिद्धांत]] का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय फ़ंक्शन वास्तव में एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन है, कम से कम बहु-मूल्यवान अर्थ में।
+अधिक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक स्तर पर, जटिल संख्याओं का उपयोग करने से व्यक्ति को बीजगणितीय कार्यों पर चर्चा करने के लिए [[जटिल विश्लेषण]] की शक्तिशाली तकनीकों का उपयोग करने की अनुमति मिलती है। विशेष रूप से, [[तर्क सिद्धांत]] का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय कार्य   वास्तव में कम से कम बहु-मूल्यवान अर्थ में एक विश्लेषणात्मक कार्य  है।
-औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि p(x, y) सम्मिश्र चर x और y में एक सम्मिश्र बहुपद है। लगता है कि
+औपचारिक रूप से, मान लीजिए कि p(x, y) सम्मिश्र चर x और y में एक सम्मिश्र बहुपद है। मान लीजिए कि ''x''<sub>0</sub> ∈ '''C''' ऐसा है कि y के बहुपद ''p''(''x''<sub>0</sub>, ''y'') में n भिन्न शून्य हैं। हम दिखाएंगे कि ''x''<sub>0</sub> के पड़ोस में बीजगणितीय फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है। n गैर-अतिव्यापी डिस्क Δ<sub>''i''</sub> का एक सिस्टम चुनें जिसमें इनमें से प्रत्येक शून्य हो। फिर तर्क सिद्धांत से होता है
-एक्स<sub>0</sub>∈ C इस प्रकार है कि बहुपद ''p''(''x''<sub>0</sub>, y) में y के n भिन्न शून्य हैं। हम दिखाएंगे कि x के [[पड़ोस (गणित)]] में बीजगणितीय फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक है<sub>0</sub>. n गैर-अतिव्यापी डिस्क की एक प्रणाली चुनें Δ<sub>''i''</sub> इनमें से प्रत्येक शून्य युक्त। फिर तर्क सिद्धांत से
 :<math>\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} \frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}\,dy = 1.</math>
-निरंतरता से, यह x के पड़ोस में सभी x के लिए भी लागू होता है<sub>0</sub>. विशेष रूप से, p(x, y) का Δ में केवल एक ही मूल है<sub>''i''</sub>, अवशेष प्रमेय द्वारा दिया गया:
+निरंतरता से, यह x के पड़ोस में सभी ''x''<sub>0</sub> के लिए भी प्रयुक्त होता है विशेष रूप से, p(x, y) का Δ<sub>''i''</sub> में केवल एक ही मूल है, अवशेष प्रमेय द्वारा दिया गया है:
 :<math>f_i(x) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Delta_i} y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}\,dy</math>
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 === मोनोड्रोमी ===
-ध्यान दें कि विश्लेषणात्मकता के पूर्वगामी प्रमाण ने n विभिन्न 'फ़ंक्शन तत्वों' f की एक प्रणाली के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है<sub>''i''</sub>(x), बशर्ते कि x, p(x, y) का 'महत्वपूर्ण बिंदु' नहीं है। एक महत्वपूर्ण बिंदु वह बिंदु है जहां विशिष्ट शून्य की संख्या पी की डिग्री से छोटी होती है, और यह केवल वहां होता है जहां पी की उच्चतम डिग्री शब्द गायब हो जाता है, और जहां विवेचक गायब हो जाता है। इसलिए ऐसे बिंदु बहुत ही सीमित हैं<sub>1</sub>, ..., सी<sub>''m''</sub>.
+ध्यान दें कि विश्लेषणात्मकता के पूर्वगामी प्रमाण ने n विभिन्न कार्य तत्वों ''f<sub>i</sub>''<sub> </sub>(''x'') की एक प्रणाली के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है, परन्तु कि x, p(x, y) का एक महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है। एक महत्वपूर्ण बिंदु वह बिंदु है जहां विशिष्ट शून्य की संख्या पी की डिग्री से छोटी होती है, और यह केवल वहां होता है जहां पी की उच्चतम डिग्री शब्द विलुप्त हो जाता है, और जहां विवेचक विलुप्त हो जाता है। इसलिए ऐसे बिंदु ''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>m</sub>'' बहुत ही सीमित संख्या में हैं।
-फ़ंक्शन तत्वों एफ के गुणों का एक करीबी विश्लेषण<sub>''i''</sub> महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि [[प्रमेय मोनोड्रोम]] महत्वपूर्ण बिंदुओं (और संभवतः [[रीमैन क्षेत्र]]) पर [[रामीकरण (गणित)]] है। इस प्रकार एफ का [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] विस्तार<sub>''i''</sub> इसमें क्रांतिक बिंदुओं पर सबसे ख़राब बीजगणितीय ध्रुव और सामान्य बीजगणितीय शाखाएँ हैं।
+महत्वपूर्ण बिंदुओं के पास फ़ंक्शन तत्वों ''f<sub>i</sub>'' के गुणों का एक निकटतम विश्लेषण यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि मोनोड्रोमी कवर महत्वपूर्ण बिंदुओं (और संभवतः अनंत पर बिंदु) पर प्रयुक्त होता है। इस प्रकार ''f<sub>i</sub>'' के होलोमोर्फिक विस्तार में सबसे खराब बीजगणितीय ध्रुव और महत्वपूर्ण बिंदुओं पर सामान्य बीजगणितीय शाखाएं हैं।
 ध्यान दें कि, महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर, हमारे पास है
 :<math>p(x,y) = a_n(x)(y-f_1(x))(y-f_2(x))\cdots(y-f_n(x))</math>
-चूँकि एफ<sub>''i''</sub> परिभाषा के अनुसार पी के विशिष्ट शून्य हैं। [[मोनोड्रोमी समूह]] कारकों को क्रमपरिवर्तित करके कार्य करता है, और इस प्रकार पी के [[गैलोइस समूह]] का 'मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व' बनाता है। ([[सार्वभौमिक आवरण स्थान]] पर [[मोनोड्रोमी क्रिया]] संबंधित है लेकिन रीमैन सतहों के सिद्धांत में अलग धारणा है।)
+चूँकि ''f<sub>i</sub>'' परिभाषा के अनुसार ''p'' के विशिष्ट शून्य हैं। [[मोनोड्रोमी समूह]] कारकों को क्रमपरिवर्तित करके कार्य करता है, और इस प्रकार ''p'' के [[गैलोइस समूह]] का 'मोनोड्रोमी प्रतिनिधित्व' बनाता है। ([[सार्वभौमिक आवरण स्थान]] पर [[मोनोड्रोमी क्रिया]] संबंधित है किंतु रीमैन सतहों के सिद्धांत में अलग धारणा है।)
 == इतिहास ==
 बीजगणितीय कार्यों से संबंधित विचार कम से कम रेने डेसकार्टेस तक जाते हैं। ऐसा प्रतीत होता है कि बीजगणितीय कार्यों की पहली चर्चा [[एडवर्ड वारिंग]] के 1794 में मानव ज्ञान के सिद्धांतों पर एक निबंध में हुई थी जिसमें वह लिखते हैं:
-:मान लीजिए कि कोटि को दर्शाने वाली एक मात्रा, भुज x का एक बीजगणितीय फलन है, विभाजन और जड़ों के निष्कर्षण की सामान्य विधियों द्वारा, इसे x के आयामों के अनुसार आरोही या अवरोही एक अनंत श्रृंखला में घटाएं, और फिर का अभिन्न अंग ज्ञात करें प्रत्येक परिणामी पद.
+:मान लीजिए कि कोटि को दर्शाने वाली एक मात्रा, भुज x का एक बीजगणितीय फलन है, विभाजन और जड़ों के निष्कर्षण की सामान्य विधियों द्वारा, इसे x के आयामों के अनुसार आरोही या अवरोही एक अनंत श्रृंखला में कम करें और फिर प्रत्येक का अभिन्न अंग ज्ञात करें प्रत्येक परिणामी पद है
+:
 ==यह भी देखें==
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 * [[जटिल कार्य]]
 * [[प्राथमिक कार्य]]
-* फ़ंक्शन (गणित)
+* कार्य (गणित)
 * [[सामान्यीकृत कार्य]]
 * [[[[विशेष कार्य]]ों और उपनामों की सूची]]

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