द्विघातांकी फलन: Difference between revisions

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{{short description|Exponential function of an exponential function}}
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[[Image:Double Exponential Function.svg|right|thumb|320px|एकल चरघातांकी फलन (नीला वक्र) की तुलना में दोहरा चरघातांकी फलन (लाल वक्र)।]]एक द्विघातीय फलन एक घातांकीय फलन की घात तक बढ़ाया गया स्थिरांक है। जिसका सामान्य सूत्र है:
[[Image:Double Exponential Function.svg|right|thumb|320px|एकल घातांकी फलन (नीला वक्र) की तुलना में दोहरा घातांकी फलन (लाल वक्र)।]]एक द्विघातांकी फलन एक घातांकी फलन की घात तक बढ़ाया गया स्थिरांक है। जिसका सामान्य सूत्र है:


<math>f(x) = a^{b^x}=a^{(b^x)}</math> (यहाँ a>1 और b>1), जो एक चर घातीय फलन की तुलना में कहीं अधिक तेज़ी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि ए = बी = 10:
<math>f(x) = a^{b^x}=a^{(b^x)}</math> (यहाँ a>1 और b>1),जो एक घातांकी फलन की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि ''a'' = ''b'' = 10:
*''f''(x) = 10<sup>10<sup>x</sup></sup>
*''f''(0) = 10
*''f''(1) = 10<sup>10</sup>
*''f''(2) = 10<sup>100</sup> = [[इसे काट दें|"गूगोल"]]
*''f''(3) = 10<sup>1000</sup>
*''f''(100)  = 10<sup>10<sup>100</sup></sup> = [[googolplex|"गूगोलप्लेक्स"]] .


एक  द्विघातीय फलन एक घातांकीय फलन की घात तक बढ़ाया गया स्थिरांक है
गुणनखंड घातांकी कार्यों की तुलना में तेजी से बढ़ते हैं, परंतु द्विघातांकी कार्यों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। यद्यपि, [[टेट्रेशन|अनुमापन]] और [[एकरमैन समारोह|एकरमैन फलन]] तेजी से बढ़ते हैं। विभिन्न कार्यों के विकास की दर की तुलना के लिए [[बिग ओ नोटेशन]] देखें।
*एफ(एक्स) = 10<sup>10<sup>x</sup></sup>
*एफ(0) = 10
*च(1) = 10<sup>10</sup>
*च(2) = 10<sup>100</sup> = [[इसे काट दें]]
*च(3) = 10<sup>1000</sup>
*च(100) = 10<sup>10<sup>100</sup></sup> = [[googolplex]].


घातीय कार्यों की तुलना में कारक तेजी से बढ़ते हैं, लेकिन दोगुनी घातीय कार्यों की तुलना में बहुत धीरे-धीरे। हालाँकि, [[टेट्रेशन]] और [[एकरमैन समारोह]] तेजी से बढ़ते हैं। विभिन्न कार्यों के विकास की दर की तुलना के लिए [[बिग ओ नोटेशन]] देखें।
द्विघातांकी फलन का व्युत्क्रम द्वितीय लघुगणक लॉग (लॉगx)) है।


डबल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन का व्युत्क्रम लॉगरिथम # डबल लॉगरिदम लॉग (लॉग (एक्स)) है।
== द्विघातांकी अनुक्रम ==


== दोगुना घातांक अनुक्रम ==
धनात्मक पूर्णांकों या वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को द्विघातांकी वृद्धि दर कहा जाता है यदि अनुक्रम का nवाँ पद देने वाला फलन  ऊपर और नीचे n के द्विघातांकी कार्यों द्वारा परिबद्ध है।
 
धनात्मक पूर्णांकों (या वास्तविक संख्याओं) के एक अनुक्रम को वृद्धि की दोगुनी चरघातांकी दर कहा जाता है यदि फलन दे रहा हो {{mvar|n}}अनुक्रम का वां पद ऊपर और नीचे के दोहरे चरघातांकी फलनों द्वारा परिबद्ध है {{mvar|n}}.
उदाहरणों में शामिल
* [[फर्मेट नंबर]] <math display="block">F(m) = 2^{2^m}+1</math>
* [[फर्मेट नंबर]] <math display="block">F(m) = 2^{2^m}+1</math>
* हार्मोनिक प्राइम्स: प्राइम्स पी, जिसमें अनुक्रम {{nowrap|1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/''p''}} 0, 1, 2, 3 से अधिक ...{{pb}}0 से शुरू होने वाली पहली कुछ संख्याएँ हैं 2, 5, 277, 5195977, ... {{OEIS|A016088}}
* सुसंगत अभाज्य संख्याएँ: अभाज्य संख्याएँ p, जिसमें क्रम 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p 0, 1, 2, 3 से अधिक है।.. 0 सेप्रारंभ  होने वाली पहली कुछ संख्याएँ 2, 5, 277, 5195977, ... हैं
* [[डबल मेर्सेन नंबर]] <math display="block">MM(p) = 2^{2^p-1}-1</math>
* [[डबल मेर्सेन नंबर]] <math display="block">MM(p) = 2^{2^p-1}-1</math>
* सिल्वेस्टर के अनुक्रम के तत्व {{OEIS|A000058}} <math display="block">s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor</math> जहाँ E ≈ 1.264084735305302 वर्दी का स्थिरांक है {{OEIS|A076393}}... ...
* सिल्वेस्टर अनुक्रम के तत्व <math display="block">s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor</math>यहां E ≈ 1.264084735305302 वर्दी का स्थिरांक है:
* Arity|k-ary [[बूलियन समारोह]] की संख्या: <math display="block">2^{2^k}</math>
* के-एरी  [[बूलियन समारोह|बूलियन फलन]] की संख्या: <math display="block">2^{2^k}</math>
* अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... {{OEIS|A051254}} <math display="block">a(n) = \left\lfloor A^{3^n}\right\rfloor</math> जहाँ A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।
* अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... {{OEIS|A051254}} <math display="block">a(n) = \left\lfloor A^{3^n}\right\rfloor</math> जहाँ A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।


Revision as of 10:00, 11 July 2023

एकल घातांकी फलन (नीला वक्र) की तुलना में दोहरा घातांकी फलन (लाल वक्र)।

एक द्विघातांकी फलन एक घातांकी फलन की घात तक बढ़ाया गया स्थिरांक है। जिसका सामान्य सूत्र है:

(यहाँ a>1 और b>1),जो एक घातांकी फलन की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है। उदाहरण के लिए, यदि a = b = 10:

गुणनखंड घातांकी कार्यों की तुलना में तेजी से बढ़ते हैं, परंतु द्विघातांकी कार्यों की तुलना में बहुत धीमी गति से बढ़ते हैं। यद्यपि, अनुमापन और एकरमैन फलन तेजी से बढ़ते हैं। विभिन्न कार्यों के विकास की दर की तुलना के लिए बिग ओ नोटेशन देखें।

द्विघातांकी फलन का व्युत्क्रम द्वितीय लघुगणक लॉग (लॉगx)) है।

द्विघातांकी अनुक्रम

धनात्मक पूर्णांकों या वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम को द्विघातांकी वृद्धि दर कहा जाता है यदि अनुक्रम का nवाँ पद देने वाला फलन ऊपर और नीचे n के द्विघातांकी कार्यों द्वारा परिबद्ध है।

  • फर्मेट नंबर
  • सुसंगत अभाज्य संख्याएँ: अभाज्य संख्याएँ p, जिसमें क्रम 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ⋯ + 1/p 0, 1, 2, 3 से अधिक है।.. 0 सेप्रारंभ होने वाली पहली कुछ संख्याएँ 2, 5, 277, 5195977, ... हैं
  • डबल मेर्सेन नंबर
  • सिल्वेस्टर अनुक्रम के तत्व
    यहां E ≈ 1.264084735305302 वर्दी का स्थिरांक है:
  • के-एरी बूलियन फलन की संख्या:
  • अभाज्य संख्याएँ 2, 11, 1361, ... (sequence A051254 in the OEIS)
    जहाँ A ≈ 1.306377883863 मिल्स स्थिरांक है।

मैं अल्फ्रेड हूं और नील स्लोएन ने देखा कि कई महत्वपूर्ण पूर्णांक अनुक्रमों में, प्रत्येक पद एक स्थिरांक और पिछले पद का वर्ग है। वे दिखाते हैं कि इस तरह के अनुक्रमों को मध्य एक्सपोनेंट 2 के साथ एक डबल एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के मानों को निकटतम पूर्णांक तक गोल करके बनाया जा सकता है।[1] Ionaşcu और Stănică एक अनुक्रम के लिए कुछ अधिक सामान्य पर्याप्त शर्तों का वर्णन करते हैं जो एक दोगुनी घातीय अनुक्रम और एक स्थिरांक की मंजिल हो।[2]


अनुप्रयोग

एल्गोरिथम जटिलता

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, 2-EXPTIME दोगुनी घातीय समय में हल करने योग्य निर्णय समस्याओं का वर्ग है। यह AEXPSPACE के समतुल्य है, एक्सपोनेंशियल स्पेस में वैकल्पिक ट्यूरिंग मशीन द्वारा हल की जाने वाली निर्णय समस्याओं का सेट, और EXPSPACE का सुपरसेट है।[3] 2-EXPTIME में एक समस्या का एक उदाहरण जो EXPTIME में नहीं है, प्रेस्बर्गर अंकगणित में बयानों को साबित करने या अस्वीकार करने की समस्या है।[4] एल्गोरिथम के डिजाइन और विश्लेषण में कुछ अन्य समस्याओं में, एल्गोरिथम के विश्लेषण के बजाय इसके डिजाइन के भीतर दोगुना घातीय अनुक्रम का उपयोग किया जाता है। उत्तल पतवारों की गणना के लिए चैन का एल्गोरिथ्म एक उदाहरण है, जो परीक्षण मानों h का उपयोग करके संगणनाओं का एक क्रम करता हैi = 22i (अंतिम आउटपुट आकार के लिए अनुमान), समय लेते हुए O(n log hi) अनुक्रम में प्रत्येक परीक्षण मान के लिए। इन परीक्षण मूल्यों की दोहरी घातीय वृद्धि के कारण, अनुक्रम में प्रत्येक संगणना का समय i के कार्य के रूप में अकेले घातीय रूप से बढ़ता है, और अनुक्रम के अंतिम चरण के लिए कुल समय का प्रभुत्व होता है। इस प्रकार, एल्गोरिथ्म के लिए समग्र समय O(n log h) है जहाँ h वास्तविक आउटपुट आकार है।[5]


संख्या सिद्धांत

कुछ संख्या सिद्धांत सीमाएं डबल एक्सपोनेंशियल हैं। n विशिष्ट अभाज्य गुणकों वाली विषम पूर्ण संख्याएँ अधिक से अधिक ज्ञात हैं , नीलसन (2003) का एक परिणाम।[6] उत्तल पॉलीहेड्रा में के ≥ 1 पूर्णांक बिंदुओं के साथ डी-आयामी पूर्णांक जाली में एक polytope की अधिकतम मात्रा अधिकतम होती है

पिखुरको (2001) का एक परिणाम।[7] जेसीपी मिलर और डेविड व्हीलर (कंप्यूटर वैज्ञानिक) ने 1951 में EDSAC1 पर 79 अंकों का प्राइम पाया था, तब से इलेक्ट्रॉनिक युग में सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या मोटे तौर पर वर्ष के दोहरे घातीय कार्य के रूप में बढ़ी है।[8]


सैद्धांतिक जीव विज्ञान

जनसंख्या गतिकी में मानव जनसंख्या की वृद्धि को कभी-कभी दोहरा घातीय माना जाता है। वरफोलोमेयेव और गुरेविच[9] प्रयोगात्मक रूप से फिट

जहाँ N(y) वर्ष y में लाखों में जनसंख्या है।

भौतिकी

स्व-स्पंदन के टोडा थरथरानवाला मॉडल में, आयाम का लघुगणक समय के साथ (बड़े आयामों के लिए) चरघातांकी रूप से भिन्न होता है, इस प्रकार आयाम समय के दोगुने घातीय फलन के रूप में भिन्न होता है।[10] डेन्ड्रिटिक मैक्रो मोलेक्यूल्स को दोगुने-घातीय तरीके से बढ़ने के लिए देखा गया है।[11]


संदर्भ

  1. ↑ Aho, A. V.; Sloane, N. J. A. (1973), "Some doubly exponential sequences", Fibonacci Quarterly, 11: 429–437.
  2. ↑ Ionaşcu, Eugen-Julien; Stănică, Pantelimon (2004), "Effective asymptotics for some nonlinear recurrences and almost doubly-exponential sequences" (PDF), Acta Mathematica Universitatis Comenianae, LXXIII (1): 75–87.
  3. ↑ Christos Papadimitriou, Computational Complexity (1994), ISBN 978-0-201-53082-7. Section 20.1, corollary 3, page 495.
  4. ↑ Fischer, M. J., and Michael O. Rabin, 1974, ""Super-Exponential Complexity of Presburger Arithmetic. Archived 2006-09-15 at the Wayback Machine" Proceedings of the SIAM-AMS Symposium in Applied Mathematics Vol. 7: 27–41
  5. ↑ Chan, T. M. (1996), "Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimensions", Discrete and Computational Geometry, 16 (4): 361–368, doi:10.1007/BF02712873, MR 1414961
  6. ↑ Nielsen, Pace P. (2003), "An upper bound for odd perfect numbers", INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, 3: A14.
  7. ↑ Pikhurko, Oleg (2001), "Lattice points in lattice polytopes", Mathematika, 48 (1–2): 15–24, arXiv:math/0008028, Bibcode:2000math......8028P, doi:10.1112/s0025579300014339
  8. ↑ Miller, J. C. P.; Wheeler, D. J. (1951), "Large prime numbers", Nature, 168 (4280): 838, Bibcode:1951Natur.168..838M, doi:10.1038/168838b0.
  9. ↑ Varfolomeyev, S. D.; Gurevich, K. G. (2001), "The hyperexponential growth of the human population on a macrohistorical scale", Journal of Theoretical Biology, 212 (3): 367–372, Bibcode:2001JThBi.212..367V, doi:10.1006/jtbi.2001.2384, PMID 11829357.
  10. ↑ Kouznetsov, D.; Bisson, J.-F.; Li, J.; Ueda, K. (2007), "Self-pulsing laser as oscillator Toda: Approximation through elementary functions", Journal of Physics A, 40 (9): 1–18, Bibcode:2007JPhA...40.2107K, doi:10.1088/1751-8113/40/9/016, S2CID 53330023.
  11. ↑ Kawaguchi, Tohru; Walker, Kathleen L.; Wilkins, Charles L.; Moore, Jeffrey S. (1995). "Double Exponential Dendrimer Growth". Journal of the American Chemical Society. 117 (8): 2159–2165. doi:10.1021/ja00113a005.
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