पुनरावृत्त फ़ंक्शन: Difference between revisions

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पिछले पंचभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है,
जिसके अंतर्गत यह Image_(mathematics)#Image_of_an_element है

F

. यदि परिवर्तन (फलन)

F

को अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, फिर ए और के
दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।

गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन $X \to X$ होता है (अर्थात, कुछ समुच्चय (गणित) से एक फलन $X$ स्वयं के लिए) जो फलन संरचना द्वारा किसी अन्य फलन द्वारा प्राप्त किया जाता है $f : X \to X$ अपने साथ एक निश्चित संख्या में बार। एक ही फलन को बार-बार अनुप्रयुक्त करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक वस्तु से प्रारंभ करके, किसी दिए गए फलन को अनुप्रयुक्त करने का परिणाम फिर से निविष्ट के रूप में फलन में सिंचित किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:

L =

{\mathit {F}}\,

( K ), M =

{\mathit {F}}\,\circ {\mathit {F}}\,

( K ) =

{\mathit {F}}\;^{2}\,

( K ),
फलन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ।

पुनरावृत्त कार्य अभिकलित्र विज्ञान, भग्न, गतिशील प्रणाली, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा

एक समुच्चय (गणित) एक्स पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

मान लीजिए कि $X$ एक समुच्चय हो और $f : X \to X$ एक फलन (गणित) बनें।

परिभाषित $f n$ के n-वें पुनरावृत्त के रूप में $f$ (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन^{[citation needed]}^[1]^[2]और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल^[3]^[1]^[4]^[2]), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा:

f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}

और

f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},

कहाँ

id X

पहचान फलन चालू है

X

और

\circ

फलन संरचना को दर्शाता है। वह है,

\circ

,

हमेशा सहयोगी.

क्योंकि संकेतन $f n$ फलन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है $f$ या घातांक#पुनरावृत्त फलन $f$ (बाद वाला आमतौर पर त्रिकोणमितीय फलनों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ^{[citation needed]} उपयोग करना चुनें $\circ$ रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $f \circ n (x)$ के लिए $n$ -फलन का पुनरावृत्त $f (x)$ , जैसे, उदाहरण के लिए, $f \circ3 (x)$ अर्थ $f (f (f (x)))$ . इसी उद्देश्य से, $f [n] (x)$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स द्वारा किया गया था^[5]^[2]^{[nb 1]} जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने सुझाव दिया था $n f (x)$ बजाय।^[6]^[2]^{[nb 2]}

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम

सामान्यतः, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए अनुप्रयुक्त होती है $m$ और $n$ ,

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

यह संरचनात्मक रूप से घातांक की संपत्ति के समान है $a m a n = a m + n$ , अर्थात विशेष स्थिति $f (x) = ax$ .

सामान्यतः, मनमाने ढंग से सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए $m$ और $n$ , इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, सीएफ। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, $T m (T n (x)) = T m n (x)$ , तब से $T n (x) = cos(n arccos(x))$ .

रिश्ता $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ भी घातांक की संपत्ति के अनुरूप है $(a m) n = (a n) m = a mn$ .

फलनों का क्रम $f n$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,^[7]^[8] चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया।

किसी प्रदत्त के लिए $x$ में $X$ , मानों का क्रम $f n (x)$ की कक्षा (गतिकी) कहलाती है $x$ .

यदि $f n (x) = f n + m (x)$ कुछ पूर्णांक के लिए $m>0$ , कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। का ऐसा सबसे छोटा मान $m$ किसी प्रदत्त के लिए $x$ को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिंदु कहते हैं। अभिकलित्र विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि को खोजने की कलन विधि समस्या है।

निश्चित अंक

यदि $f (x) = x$ कुछ के लिए $x$ में $X$ (अर्थात, की कक्षा की अवधि $x$ है $1$ ), तब $x$ पुनरावृत्त क्रम का एक निश्चित बिंदु (गणित) कहलाता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः इस रूप में दर्शाया जाता है $Fix (f)$ . ऐसे कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय सम्मिलित हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई तकनीकें हैं।^[9] उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर अनुप्रयुक्त की गई ऐटकेन विधि को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।

व्यवहार को सीमित करना

पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसे स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक अस्थिर निश्चित बिंदु के स्थिति में होगा।^[10] जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के अंतर्गत छोटे पड़ोस (गणित) के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृत्तियों को स्थिर बहुविध और अस्थिर समुच्चयों में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने प्रारंभ किया था उसके निकट भी कभी वापस नहीं आते हैं।

अपरिवर्तनीय माप

यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के अंतर्गत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन संचालक या स्थानांतरण संचालक का एक आइजेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवैल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।

सामान्यतः, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक शिफ्ट, ट्रांसफर संचालक और उसके सहायक से मेल खाती है, व्यापारी संचालक दोनों को स्थान परिवर्तन पर शिफ्ट संचालक की क्रिया के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। परिमित प्रकार के उप-शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त फलनों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले फलनों में।

आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

g: R→R का एक तुच्छ क्रियात्मक 5वाँ मूल है f: R⁺→R⁺, f(x) = sin(x). एफ की गणना(π⁄6) = 1⁄2 = जी⁵(π⁄6) दिखाई जा रही है।

धारणा {{math|f^1/n}समीकरण बनाते समय } का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए $g n (x) = f (x)$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर स्थिति है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल|बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक जड़ों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए $n = 2$ और $f (x) = 4 x - 6$ , दोनों $g (x) = 6 - 2 x$ और $g (x) = 2 x - 2$ समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति $f 1/2 (x)$ किसी अद्वितीय फलन को इंगित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#बीजगणित|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। यदि f हो तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है' के कार्यक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के अंतर्गत कक्षा से संबंधित होती हैं।

किसी फलन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फलन का कार्यात्मक वर्गमूल $f$ एक फलन है $g$ ऐसा है कि $g (g (x)) = f (x)$ .^[11] यह फलन $g (x)$ को इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है $f 1/2 (x)$ . इसी प्रकार, $f 1/3 (x)$ फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f 1/3 (f 1/3 (f 1/3 (x))) = f (x)$ , जबकि $f 2/3 (x)$ को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f 1/3 (f 1/3 (x))$ , इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है $f m ○ f n = f m + n$ . इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गिनती हो $n$ एक सतत मापदण्ड बन जाता है, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का निरंतर समय।^[12]^[13] ऐसे स्थितियों में, कोई सिस्टम को प्रवाह (गणित) के रूप में संदर्भित करता है। (सीएफ. नीचे #संयुग्मता पर अनुभाग।)

यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो ऋणात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, $f -1 (x)$ का सामान्य व्युत्क्रम है $f$ , जबकि $f -2 (x)$ स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्। $f -2 (x) = f -1 (f -1 (x))$ . भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक सकारात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f -1/2 (x)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f -1/2 (f -1/2 (x)) = f -1 (x)$ , या, समकक्ष, ऐसे कि $f -1/2 (f 1/2 (x)) = f 0 (x) = x$ .

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

एक निश्चित बिंदु का उपयोग करके भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है।^[14]

सर्वप्रथम फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि $f (a) = a$ .
परिभाषित करना $f n (a) = a$ वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर अनुप्रयुक्त होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
बढ़ाना $f n (x)$ टेलर श्रृंखला के रूप में निश्चित बिंदु a के आसपास, $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)\left.{\frac {d}{dx}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f^{n}(x)\right|_{x=a}+\cdots$
विस्तार करें $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(x-a)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
के लिए स्थानापन्न $f k (a) = a$ , किसी भी k के लिए, $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, $f^{n}(x)=a+(x-a)f'(a)^{n}+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$ एक विशेष स्थिति है जब $f'(a) = 1$ , $f^{n}(x)=x+{\frac {(x-a)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(x-a)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है, हालांकि अप्रभावी रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें तेजी से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मन पर निम्नलिखित अनुभाग में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।

उदाहरण 1

उदाहरण के लिए, समुच्चयन $f (x) = Cx + D$ निश्चित बिंदु देता है $a = D /(1 - C)$ , इसलिए उपरोक्त सूत्र बस पर समाप्त होता है

f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,

जिसे जांचना साधारण बात है.

उदाहरण 2

का मान ज्ञात कीजिये ${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः प्रक्षेपित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। अपने पास $f (x) = \sqrt 2 x$ . एक निश्चित बिंदु है $a = f (2) = 2$ .

तो समुच्चय करें $x = 1$ और $f n (1)$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है,

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots

जो, केवल पहले तीन पदों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान तक सही है जब n धनात्मक-cf है। टेट्रेशन:

f n (1) = n \sqrt 2

. (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए

a = f (4) = 4

श्रृंखला को अलग करने का कारण बनता है।)

के लिए $n = -1$ , श्रृंखला व्युत्क्रम फलन की गणना करती है 2+ln x/ln 2.

उदाहरण 3

समारोह के साथ $f (x) = x b$ , श्रृंखला प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें

f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,

जो कि केवल x की टेलर श्रृंखला है^{(बीⁿ )} का विस्तार 1 के आसपास हुआ।

संयुग्मता

यदि $f$ और $g$ दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक होमियोमोर्फिज्म मौजूद है $h$ ऐसा है कि $g = h -1 ○ f ○ h$ , तब $f$ और $g$ को सांस्थितिक संयुग्मता कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सांस्थितिक संयुग्मता को पुनरावृत्ति के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है $g n = h -1 ○ f n ○ h$ . इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी सांस्थितिकी संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से लॉजिस्टिक मानचित्र से संयुग्मित है। एक विशेष स्थिति के रूप में, ले रहा हूँ $f (x) = x + 1$ , एक की पुनरावृत्ति होती है $g (x) = h -1 (h (x) + 1)$ जैसा

g n (x) = h -1 (h (x) + n)

, किसी भी फलन के लिए

h

.

प्रतिस्थापन करना $x = h -1 (y) = ϕ (y)$ पैदावार

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के नाम से जाना जाता है।

यहां तक कि सख्त होमियोमोर्फिज्म के अभाव में भी, एक निश्चित बिंदु के निकट, यहां पर माना जाता है $x$ = 0, $f$ (0) = 0, कोई भी प्रायः हल कर सकता है^[15] किसी फलन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है $f (x)$ स्थानीय रूप से मात्र फैलाव से संयुग्मित, $g (x) = f'(0) x$ , वह है

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ(x))

.

इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के अंतर्गत (उदाहरण के लिए, $f'(0) \neq 1$ ), एकपदी की कक्षा के संयुग्म की मात्रा,

Ψ -1 (f'(0) n Ψ(x))

,

कहाँ $n$ इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! हालाँकि, यहाँ प्रतिपादक है $n$ अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक निरंतर समय है:^[16] पिकार्ड अनुक्रम (cf. परिवर्तन अर्धसमूह) के मोनोइड को एक पूर्ण सतत समूह में सामान्यीकृत किया गया है।^[17]

पहली छमाही की अवधि में साइन फलन की पुनरावृत्ति (blue)। अर्ध-पुनरावृत्ति (orange), अर्थात, ज्या का कार्यात्मक वर्गमूल; उसका कार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर का चौथाई-पुनरावृत्त (काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64वें तक पुनरावृत्त होता है। (blue) साइन के नीचे के फलन इसके नीचे छह अभिन्न पुनरावृत्त हैं, जो दूसरे पुनरावृत्त से प्रारंभ होते हैं (red) और समाप्त होते हैं 64वाँ पुनरावृत्त। green लिफाफा त्रिकोण सीमित शून्य पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, सॉटूथ फलन साइन फलन के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है। धराशायी रेखा ऋणात्मक प्रथम पुनरावृत्त है, अर्थात साइन (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम। (सामान्य शिक्षाशास्त्र वेबसाइट से।^[18] नोटेशन के लिए, [2] देखें।)

यह विधि (प्रमुख eigenfunction Ψ का विक्षुब्ध निर्धारण, सीएफ कार्लमैन मैट्रिक्स) पिछले अनुभाग के एल्गोरिदम के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है।

मार्कोव चेन

यदि फलन रैखिक है और इसे स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण

अराजक मानचित्रों की सूची है। प्रसिद्ध पुनरावृत्त फ़ंक्शंस में मैंडेलब्रॉट समुच्चय और पुनरावृत्त फलन सिस्टम सम्मिलित हैं।

अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर,^[19] 1870 में, लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष स्थितियों पर काम किया, जैसे कि अराजक स्थिति $f (x) = 4 x (1 - x)$ , ताकि $Ψ(x) = arcsin 2 (\sqrt x)$ , इस तरह $f n (x) = sin 2 (2 n arcsin(\sqrt x))$ .

श्रोडर ने एक गैर-अराजक स्थिति को भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, $f (x) = 2 x (1 - x)$ , उपज $Ψ(x) = - 1 / 2 ln(1 - 2 x)$ , और इसलिए $f n (x) = - 1 / 2 ((1 - 2 x) 2 n - 1)$ .

यदि $f$ एक समुच्चय पर एक समूह तत्व की समूह क्रिया (गणित) है, तो पुनरावृत्त फलन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फ़ंक्शंस में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका में कुछ सूचीबद्ध हैं^[19]यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

$f(x)$	$f^{n}(x)$
$x+b$	$x+nb$
$ax+b\ (a\neq 1)$	$a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b$
$ax^{b}\ (b\neq 1)$	$a^{\frac {b^{n}-1}{b-1}}x^{b^{n}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b}{4a}}$ (टिप्पणी देखें)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}-b}{2a}}$ जहाँ: $\alpha ={\frac {2ax+b}{2}}$
$ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}-2b-8}{4a}}$ (टिप्पणी देखें)	${\frac {2\alpha ^{2^{n}}+2\alpha ^{-2^{n}}-b}{2a}}$ जहाँ: $\alpha ={\frac {2ax+b\pm {\sqrt {(2ax+b)^{2}-16}}}{4}}$
${\frac {ax+b}{cx+d}}$ (आंशिक रैखिक परिवर्तन)^[20]	${\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c}}\left[{\frac {(cx-a+\alpha )\alpha ^{n-1}-(cx-a+\beta )\beta ^{n-1}}{(cx-a+\alpha )\alpha ^{n}-(cx-a+\beta )\beta ^{n}}}\right]$ जहाँ: $\alpha ={\frac {a+d+{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$ $\beta ={\frac {a+d-{\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$
$g^{-1}{\Big (}h{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Big )}$	$g^{-1}{\Bigl (}h^{n}{\bigl (}g(x){\bigr )}{\Bigr )}$
$g^{-1}{\bigl (}g(x)+b{\bigr )}$ (सामान्य एबल समीकरण)	$g^{-1}{\bigl (}g(x)+nb{\bigr )}$
${\sqrt {x^{2}+b}}$	${\sqrt {x^{2}+bn}}$
$g^{-1}{\Bigl (}a\ g(x)+b{\Bigr )}\ (a\neq 1\vee b=0)$	$g^{-1}{\Bigl (}a^{n}g(x)+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b{\Bigr )}$
${\sqrt {ax^{2}+b}}$	${\sqrt {a^{n}x^{2}+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}}$
$T_{m}(x)=\cos(m\arccos x)$ (पूर्णांक m के लिए चेबीशेव बहुपद)	$T_{mn}=\cos(m^{n}\arccos x)$

ध्यान दें: ये दो विशेष स्थिति हैं $ax 2 + bx + c$ एकमात्र ऐसे स्थिति हैं जिनमें बंद-फ़ॉर्म समाधान होता है। क्रमशः बी = 2 = -ए और बी = 4 = -ए चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक लॉजिस्टिक स्थितियों में कम कर देता है।

इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयुग्मन द्वारा आपस में संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, जो अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों के सरल संयुग्मन से संबंधित हैं, संदर्भ में पाए जा सकते हैं।^[21]

अध्ययन के साधन

पुनरावृत्त फलनों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फलन और ट्रांसफर संचालकों के साथ किया जा सकता है।

अभिकलित्र विज्ञान में

अभिकलित्र विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य रिकर्सन (अभिकलित्र विज्ञान) के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कैलकुलस जैसे व्यापक विषयों, या अभिकलित्र प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थ जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।

पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ

दो महत्वपूर्ण फलनों को पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

और समतुल्य उत्पाद:

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

कार्यात्मक व्युत्पन्न

पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण

पुनरावृत्त फलन संयुक्त फलन के श्रृंखला विस्तार में सामने आते हैं, जैसे कि $g (f (x))$

पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन (भौतिकी) को देखते हुए,

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

^{^[22]}

फलन $f$ के nवें पुनरावृत्त के लिए, हमारे पास है

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x)

उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि $f (x) = x + t$ , तब $v (x) = t$ हैं। फलस्वरूप, $g (x + t) = exp(t \partial/\partial x) g (x)$ , एक सहज शिफ्ट संचालक द्वारा क्रिया है।

इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई यादृच्छिक $v (x)$ दिए गए $f (x)$ को निर्दिष्ट कर सकता है,

f(x)=h^{-1}(h(x)+1)

जहाँ

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx

यह बात व्याख्या करने से स्पष्ट होती है;

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक $t$ के लिए, अब, एक उप-अवधारणा के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्रतिफलन के बराबर है,

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x))

प्रारंभिक प्रवाह वेग $v$ संपूर्ण प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रतिफलन को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य हल प्रदान करता है,^[23] $f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~$

यह भी देखें

तर्कहीन आवर्तन
पुनरावृत्त कार्य प्रणाली
पुनरावृत्त विधि
आवर्तन संख्या
सरकोव्स्की की प्रमेय
भिन्नात्मक कलन
पुनरावृत्ति संबंध
श्रोडर का समीकरण
कार्यात्मक वर्गमूल
एबेल फलन
विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ
प्रवाह (गणित)
टेट्रेशन
कार्यात्मक समीकरण

↑ while $f (n)$ is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation| $n$ th derivative]]
↑ Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."^[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,^[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […] (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
↑ Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.
↑ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (in français). Vol. IV. p. 229.
↑ Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. Vol. I (new ed.). Boston, USA. p. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
↑ Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in français). Vol. I. p. 195. Part I.
↑ Kuczma, Marek (1968). एकल चर में कार्यात्मक समीकरण. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers.
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↑ Istratescu, Vasile (1981). Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel, Holland. ISBN 90-277-1224-7.
↑ "Finding f such that f(f(x))=g(x) given g". MathOverflow.
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↑ "तेतरतीओं.ऑर्ग".
↑ Kimura, Tosihusa (1971). "On the Iteration of Analytic Functions", Funkcialaj Ekvacioj Archived 2012-04-26 at the Wayback Machine 14, 197-238.
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↑ For explicit instance, example 2 above amounts to just $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ , for any n, not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant Schröder's equation, $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . This solution is also the infinite m limit of $(f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .
↑ Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.
↑ ^19.0 ^19.1 Schröder, Ernst (1870). "पुनरावृत्त कार्यों के बारे में". Math. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.
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↑ Katsura, S.; Fukuda, W. (1985). "अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 130 (3): 597. Bibcode:1985PhyA..130..597K. doi:10.1016/0378-4371(85)90048-2.
↑ Berkson, E.; Porta, H. (1978). "विश्लेषणात्मक कार्यों और रचना संचालकों के अर्धसमूह". The Michigan Mathematical Journal. 25: 101–115. doi:10.1307/mmj/1029002009. Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). "Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID 115176169.
↑ Aczel, J. (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236.

बाहरी कड़ियाँ

Gill, John (January 2017). "जटिल कार्यों की अनंत रचनाओं के प्राथमिक सिद्धांत पर एक प्राइमर". Colorado State University.

श्रेणी:गतिशील प्रणालियाँ श्रेणी:फ्रैक्टल्स श्रेणी:अनुक्रम और शृंखला श्रेणी:निश्चित अंक (गणित) श्रेणी:फलन और मैपिंग श्रेणी:कार्यात्मक समीकरण

[6] while $f (n)$ is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation| $n$ th derivative]]

[NB_Rucker-8] Alfred Pringsheim's and Jules Molk's (1907) notation $n f (x)$ to denote function compositions must not be confused with Rudolf von Bitter Rucker's (1982) notation $n x$ , introduced by Hans Maurer (1901) and Reuben Louis Goodstein (1947) for tetration, or with David Patterson Ellerman's (1995) $n x$ pre-superscript notation for roots.

[Herschel_1820-1] 1.0 ^1.1 Herschel, John Frederick William (1820). "Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences". A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. pp. 1–13 [5–6]. Archived from the original on 2020-08-04. Retrieved 2020-08-04. [1] (NB. Inhere, Herschel refers to his 1813 work and mentions Hans Heinrich Bürmann's older work.)

[Cajori_1929-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Cajori, Florian (1952) [March 1929]. "§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions". A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd ed.). Chicago, USA: Open court publishing company. pp. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Retrieved 2016-01-18. […] §473. Iterated logarithms […] We note here the symbolism used by Pringsheim and Molk in their joint Encyclopédie article: "²log_b a = log_b (log_b a), …, ^k+1log_b a = log_b (^klog_b a)."^[a] […] §533. John Herschel's notation for inverse functions, sin⁻¹ x, tan⁻¹ x, etc., was published by him in the Philosophical Transactions of London, for the year 1813. He says (p. 10): "This notation cos.⁻¹ e must not be understood to signify 1/cos. e, but what is usually written thus, arc (cos.=e)." He admits that some authors use cos.^m A for (cos. A)^m, but he justifies his own notation by pointing out that since d² x, Δ³ x, Σ² x mean dd x, ΔΔΔ x, ΣΣ x, we ought to write sin.² x for sin. sin. x, log.³ x for log. log. log. x. Just as we write d⁻ⁿ V=∫ⁿ V, we may write similarly sin.⁻¹ x=arc (sin.=x), log.⁻¹ x.=c^x. Some years later Herschel explained that in 1813 he used fⁿ(x), f⁻ⁿ(x), sin.⁻¹ x, etc., "as he then supposed for the first time. The work of a German Analyst, Burmann, has, however, within these few months come to his knowledge, in which the same is explained at a considerably earlier date. He[Burmann], however, does not seem to have noticed the convenience of applying this idea to the inverse functions tan⁻¹, etc., nor does he appear at all aware of the inverse calculus of functions to which it gives rise." Herschel adds, "The symmetry of this notation and above all the new and most extensive views it opens of the nature of analytical operations seem to authorize its universal adoption."^[b] […] §535. Persistence of rival notations for inverse function.— […] The use of Herschel's notation underwent a slight change in Benjamin Peirce's books, to remove the chief objection to them; Peirce wrote: "cos^[−1] x," "log^[−1] x."^[c] […] §537. Powers of trigonometric functions.—Three principal notations have been used to denote, say, the square of sin x, namely, (sin x)², sin x², sin² x. The prevailing notation at present is sin² x, though the first is least likely to be misinterpreted. In the case of sin² x two interpretations suggest themselves; first, sin x · sin x; second,^[d] sin (sin x). As functions of the last type do not ordinarily present themselves, the danger of misinterpretation is very much less than in case of log² x, where log x · log x and log (log x) are of frequent occurrence in analysis. […] The notation sinⁿ x for (sin x)ⁿ has been widely used and is now the prevailing one. […] (xviii+367+1 pages including 1 addenda page) (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)

[Herschel_1813-3] Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. "On a Remarkable Application of Cotes's Theorem". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. doi:10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR 107384. S2CID 118124706.

[Peano_1903-4] Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (in français). Vol. IV. p. 229.

[Peirce_1852-5] Peirce, Benjamin (1852). Curves, Functions and Forces. Vol. I (new ed.). Boston, USA. p. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[Pringsheim-Molk_1907-7] Pringsheim, Alfred; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (in français). Vol. I. p. 195. Part I.

[9] Kuczma, Marek (1968). एकल चर में कार्यात्मक समीकरण. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers.

[10] Kuczma, M., Choczewski B., and Ger, R. (1990). पुनरावृत्तीय कार्यात्मक समीकरण. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35561-3.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[11] Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993). जटिल गतिशीलता. Universitext: Tracts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97942-5.

[12] Istratescu, Vasile (1981). Fixed Point Theory, An Introduction, D. Reidel, Holland. ISBN 90-277-1224-7.

[13] "Finding f such that f(f(x))=g(x) given g". MathOverflow.

[14] Aldrovandi, R.; Freitas, L. P. (1998). "गतिशील मानचित्रों का सतत पुनरावृत्ति". J. Math. Phys. 39 (10): 5324. arXiv:physics/9712026. Bibcode:1998JMP....39.5324A. doi:10.1063/1.532574. hdl:11449/65519. S2CID 119675869.

[15] Berkolaiko, G.; Rabinovich, S.; Havlin, S. (1998). "विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण". J. Math. Anal. Appl. 224: 81–90. doi:10.1006/jmaa.1998.5986.

[16] "तेतरतीओं.ऑर्ग".

[17] Kimura, Tosihusa (1971). "On the Iteration of Analytic Functions", Funkcialaj Ekvacioj Archived 2012-04-26 at the Wayback Machine 14, 197-238.

[18] Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2009). "विकास प्रोफ़ाइल और कार्यात्मक समीकरण". Journal of Physics A. 42 (48): 485208. arXiv:0909.2424. Bibcode:2009JPhA...42V5208C. doi:10.1088/1751-8113/42/48/485208. S2CID 115173476.

[19] For explicit instance, example 2 above amounts to just $f n (x) = Ψ -1 ((ln 2) n Ψ(x))$ , for any n, not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant Schröder's equation, $Ψ(\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ(x)$ . This solution is also the infinite m limit of $(f m (x) - 2)/(ln 2) m$ .

[20] Curtright, T. L. Evolution surfaces and Schröder functional methods.

[schr-21] 19.0 ^19.1 Schröder, Ernst (1870). "पुनरावृत्त कार्यों के बारे में". Math. Ann. 3 (2): 296–322. doi:10.1007/BF01443992. S2CID 116998358.

[22] Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online

[23] Katsura, S.; Fukuda, W. (1985). "अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल". Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. 130 (3): 597. Bibcode:1985PhyA..130..597K. doi:10.1016/0378-4371(85)90048-2.

[24] Berkson, E.; Porta, H. (1978). "विश्लेषणात्मक कार्यों और रचना संचालकों के अर्धसमूह". The Michigan Mathematical Journal. 25: 101–115. doi:10.1307/mmj/1029002009. Curtright, T. L.; Zachos, C. K. (2010). "Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 43 (44): 445101. arXiv:1002.0104. Bibcode:2010JPhA...43R5101C. doi:10.1088/1751-8113/43/44/445101. S2CID 115176169.

[acz-25] Aczel, J. (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236.

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Contents

परिभाषा

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम

निश्चित अंक

व्यवहार को सीमित करना

अपरिवर्तनीय माप

आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

संयुग्मता

मार्कोव चेन

उदाहरण

अध्ययन के साधन

अभिकलित्र विज्ञान में

पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ

कार्यात्मक व्युत्पन्न

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण

यह भी देखें

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संदर्भ

बाहरी कड़ियाँ

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-[[File:An iterated direct similarity yields spirals.svg|thumb|upright=1.8|बार-बार स्वयं के साथ फ़ंक्शन संरचना, [[समानता (ज्यामिति)]] {{math|''F''}}<br
+[[File:An iterated direct similarity yields spirals.svg|thumb|upright=1.8|'नियमित' [[पंचकोण]] को क्रमिक संकेंद्रित वस्तुओं के पंचकोणों में इस तरह से बदलता है कि प्रत्येक की रूपरेखा<br
-/>समानता (ज्यामिति)#समानता_के साथ_a_center एस सबसे छोटे नियमित बहुभुज को बड़ा करता है|'नियमित' [[पंचकोण]] को क्रमिक संकेंद्रित वस्तुओं के पंचकोणों में इस तरह से बदलता है कि प्रत्येक की रूपरेखा<br
 />पिछले पंचभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है,<br
-/>जिसके अंतर्गत यह Image_(mathematics)#Image_of_an_element है {{math|''F''}}. यदि परिवर्तन (फ़ंक्शन) {{math|''F''}}<br
+/>जिसके अंतर्गत यह Image_(mathematics)#Image_of_an_element है {{math|''F''}}. यदि परिवर्तन (फलन) {{math|''F''}}<br
 /> को अनिश्चित काल तक दोहराया जाता है, फिर ''ए'' और ''के''<br
-/>दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।]]गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन होता है {{math|''X&nbsp;→&nbsp;X''}} (अर्थात, कुछ [[सेट (गणित)]] से एक फ़ंक्शन {{mvar|X}}स्वयं के लिए) जो फ़ंक्शन संरचना द्वारा किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X''}} अपने साथ एक निश्चित संख्या में बार। एक ही फ़ंक्शन को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक ऑब्जेक्ट से शुरू करके, किसी दिए गए फ़ंक्शन को लागू करने का परिणाम फिर से इनपुट के रूप में फ़ंक्शन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:
+/>दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।]]गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन {{math|''X&nbsp;→&nbsp;X''}} होता है (अर्थात, कुछ [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] से एक फलन {{mvar|X}}स्वयं के लिए) जो फलन संरचना द्वारा किसी अन्य फलन द्वारा प्राप्त किया जाता है {{math|''f''&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X''}} अपने साथ एक निश्चित संख्या में बार। एक ही फलन को बार-बार अनुप्रयुक्त करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी प्रारंभिक वस्तु से प्रारंभ करके, किसी दिए गए फलन को अनुप्रयुक्त करने का परिणाम फिर से निविष्ट के रूप में फलन में सिंचित किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर:
-:{{nobr|1=''L'' = <math>\mathit{F}\,</math>( ''K ''),   ''M '' = <math>\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,</math>( ''K '') = <math>\mathit{F}\;^{2}\,</math>( ''K ''),}}<br />फ़ंक्शन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ।
+:{{nobr|1=''L'' = <math>\mathit{F}\,</math>( ''K ''),   ''M '' = <math>\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,</math>( ''K '') = <math>\mathit{F}\;^{2}\,</math>( ''K ''),}}<br />फलन संरचना के वृत्त-आकार के प्रतीक के साथ।
-पुनरावृत्त कार्य [[कंप्यूटर विज्ञान]], [[भग्न]], [[गतिशील प्रणाली]], गणित और [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।
+पुनरावृत्त कार्य [[कंप्यूटर विज्ञान|अभिकलित्र विज्ञान]], [[भग्न]], [[गतिशील प्रणाली]], गणित और [[पुनर्सामान्यीकरण समूह]] भौतिकी में अध्ययन की वस्तुएं हैं।
 ==परिभाषा==
-एक सेट (गणित) एक्स पर पुनरावृत्त फ़ंक्शन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।
+एक समुच्चय (गणित) एक्स पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।
-होने देना {{mvar|''X''}} एक सेट हो और {{math|''f'':  ''X'' → ''X''}} एक [[फ़ंक्शन (गणित)]] बनें।
+मान लीजिए कि {{mvar|''X''}} एक समुच्चय हो और {{math|''f'':  ''X'' → ''X''}} एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] बनें।
-परिभाषित {{math| ''f'' <sup>''n''</sup>}} के n-वें पुनरावृत्त के रूप में {{mvar|''f''}} (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन{{citation needed|date=August 2020|reason=The fact is undisputable, but for historical completeness, let's find Bürmann's original work on this and add here as a citation. It must be dated significantly before 1813 (according to Herschel in 1820 und Cajori in 1929.)}}<ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>और [[जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल]]<!-- in 1813 --><ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Peano_1903"/><ref name="Cajori_1929"/>), जहां n एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, द्वारा:
+परिभाषित {{math| ''f'' <sup>''n''</sup>}} के n-वें पुनरावृत्त के रूप में {{mvar|''f''}} (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन{{citation needed|date=August 2020|reason=The fact is undisputable, but for historical completeness, let's find Bürmann's original work on this and add here as a citation. It must be dated significantly before 1813 (according to Herschel in 1820 und Cajori in 1929.)}}<ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>और [[जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल]]<!-- in 1813 --><ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Peano_1903"/><ref name="Cajori_1929"/>), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा:
 <math display="block">f^0 ~   \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X</math>
 और
 <math display="block">f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n},</math>
-कहाँ {{math|id<sub>''X''</sub>}} पहचान फ़ंक्शन चालू है {{mvar|''X''}} और {{math|''f'' <math>\circ</math> ''g''}} फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है। वह है,
+कहाँ {{math|id<sub>''X''</sub>}} पहचान फलन चालू है {{mvar|''X''}} और {{math|''f'' <math>\circ</math> ''g''}} फलन संरचना को दर्शाता है। वह है,
 :{{math|(''f'' {{text| {{math| <math>\circ</math> }} }} ''g'')(''x'') {{=}} ''f'' (''g''(''x''))}},
 हमेशा सहयोगी.
-क्योंकि संकेतन {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} फ़ंक्शन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है {{mvar|''f''}} या घातांक#पुनरावृत्त फ़ंक्शन {{mvar|''f''}} (बाद वाला आमतौर पर [[त्रिकोणमितीय कार्य]]ों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ{{citation needed|date=August 2020|reason=Origin? Example authors?}} उपयोग करना चुनें {{math|∘}}रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} के लिए {{mvar|n}}-फ़ंक्शन का पुनरावृत्त {{math|''f''(''x'')}}, जैसे, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}}. इसी उद्देश्य से, {{math|''f'' <sup>[''n'']</sup>(''x'')}} का प्रयोग [[ बेंजामिन पियर्स ]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb">while {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}} is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation|{{math|''n''}}th derivative]]</ref> जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने सुझाव दिया था {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} बजाय।<ref name="Pringsheim-Molk_1907"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb" name="NB_Rucker"/>
+क्योंकि संकेतन {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} फलन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है {{mvar|''f''}} या घातांक#पुनरावृत्त फलन {{mvar|''f''}} (बाद वाला आमतौर पर [[त्रिकोणमितीय कार्य|त्रिकोणमितीय]] फलनों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ{{citation needed|date=August 2020|reason=Origin? Example authors?}} उपयोग करना चुनें {{math|∘}}रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना {{math|''f''{{i sup|∘''n''}}(''x'')}} के लिए {{mvar|n}}-फलन का पुनरावृत्त {{math|''f''(''x'')}}, जैसे, उदाहरण के लिए, {{math|''f''{{i sup|∘3}}(''x'')}} अर्थ {{math|''f''(''f''(''f''(''x'')))}}. इसी उद्देश्य से, {{math|''f'' <sup>[''n'']</sup>(''x'')}} का प्रयोग [[ बेंजामिन पियर्स ]] द्वारा किया गया था<ref name="Peirce_1852"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb">while {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}} is taken for the [[Derivative#Lagrange's notation|{{math|''n''}}th derivative]]</ref> जबकि [[अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम]] और [[जूल्स मोल्क]] ने सुझाव दिया था {{math|{{i sup|''n''}}''f''(''x'')}} बजाय।<ref name="Pringsheim-Molk_1907"/><ref name="Cajori_1929"/><ref group="nb" name="NB_Rucker"/>
 ==एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम==
-सामान्य तौर पर, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए लागू होती है {{mvar|m}} और {{mvar|n}},
+सामान्यतः, निम्नलिखित पहचान सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए अनुप्रयुक्त होती है {{mvar|m}} और {{mvar|n}},
 : <math>f^m \circ f^n =   f^n \circ f^m = f^{m+n}~.</math>
-यह संरचनात्मक रूप से [[घातांक]] की संपत्ति के समान है {{math|1=''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup>}}, यानी विशेष मामला {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}.
+यह संरचनात्मक रूप से [[घातांक]] की संपत्ति के समान है {{math|1=''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup>}}, अर्थात विशेष स्थिति {{math|1=''f''(''x'') = ''ax''}}.
-सामान्य तौर पर, मनमाने ढंग से सामान्य (नकारात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए {{mvar|m}} और {{mvar|n}}, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, सीएफ। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह [[चेबीशेव बहुपद]]ों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, {{math|1=''T''<sub>''m''</sub>(''T''<sub>''n''</sub>(''x'')) = ''T''<sub>''m n''</sub>(''x'')}}, तब से  {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(''x'') = cos(''n'' arccos(''x''))}}.
+सामान्यतः, मनमाने ढंग से सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए {{mvar|m}} और {{mvar|n}}, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, सीएफ। श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह [[चेबीशेव बहुपद]]ों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, {{math|1=''T''<sub>''m''</sub>(''T''<sub>''n''</sub>(''x'')) = ''T''<sub>''m n''</sub>(''x'')}}, तब से  {{math|1=''T''<sub>''n''</sub>(''x'') = cos(''n'' arccos(''x''))}}.
 रिश्ता  {{math|1=(''f''<sup> ''m''</sup>)<sup>''n''</sup>(''x'') = (''f''<sup> ''n''</sup>)<sup>''m''</sup>(''x'') = ''f''<sup> ''mn''</sup>(''x'')}} भी घातांक की संपत्ति के अनुरूप है  {{math|1=(''a''<sup>''m''</sup>)<sup>''n''</sup> = (''a''<sup>''n''</sup>)<sup>''m''</sup> = ''a''<sup>''mn''</sup>}}.
-कार्यों का क्रम  {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,<ref>{{cite book |title=एकल चर में कार्यात्मक समीकरण|last=Kuczma |first=Marek| author-link=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne |year=1968 |publisher=PWN – Polish Scientific Publishers |location=Warszawa}}</ref><ref>{{cite book|title=पुनरावृत्तीय कार्यात्मक समीकरण| last=Kuczma| first=M., Choczewski B., and Ger, R. |year=1990|publisher=Cambridge University Press|isbn= 0-521-35561-3|url=https://archive.org/details/iterativefunctio0000kucz|url-access=registration}}</ref> चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया।
+फलनों का क्रम  {{math|''f'' <sup>''n''</sup>}} को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,<ref>{{cite book |title=एकल चर में कार्यात्मक समीकरण|last=Kuczma |first=Marek| author-link=Marek Kuczma|series=Monografie Matematyczne |year=1968 |publisher=PWN – Polish Scientific Publishers |location=Warszawa}}</ref><ref>{{cite book|title=पुनरावृत्तीय कार्यात्मक समीकरण| last=Kuczma| first=M., Choczewski B., and Ger, R. |year=1990|publisher=Cambridge University Press|isbn= 0-521-35561-3|url=https://archive.org/details/iterativefunctio0000kucz|url-access=registration}}</ref> चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया।
 किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|X}}, मानों का क्रम  {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'')}} की [[कक्षा (गतिकी)]] कहलाती है {{mvar|x}}.
-अगर  {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup> (''x'') =  ''f'' <sup>''n''+''m''</sup> (''x'')}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|m>0}}, कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। का ऐसा सबसे छोटा मान {{mvar|m}} किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|x}} को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु {{mvar|x}} को ही आवर्त बिंदु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले [[आवधिक बिंदु]] और कक्षा की अवधि को खोजने की [[ कलन विधि ]] समस्या है।
+यदि  {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup> (''x'') =  ''f'' <sup>''n''+''m''</sup> (''x'')}} कुछ पूर्णांक के लिए {{math|m>0}}, कक्षा को आवर्त कक्षा कहा जाता है। का ऐसा सबसे छोटा मान {{mvar|m}} किसी प्रदत्त के लिए {{mvar|x}} को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु {{mvar|x}} को ही आवर्त बिंदु कहते हैं। अभिकलित्र विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहले [[आवधिक बिंदु]] और कक्षा की अवधि को खोजने की [[ कलन विधि ]] समस्या है।
 ==निश्चित अंक==
-अगर {{math|1=''f''(''x'') = ''x''}} कुछ के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|X}} (अर्थात, की कक्षा की अवधि {{mvar|x}} है {{math|1}}), तब {{mvar|x}}पुनरावृत्त क्रम का एक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] कहलाता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को अक्सर इस रूप में दर्शाया जाता है {{math|'''Fix'''(''f'')}}. ऐसे कई [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]] मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें [[बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय]] और [[ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय]] शामिल हैं।
+यदि {{math|1=''f''(''x'') = ''x''}} कुछ के लिए {{mvar|x}} में {{mvar|X}} (अर्थात, की कक्षा की अवधि {{mvar|x}} है {{math|1}}), तब {{mvar|x}}पुनरावृत्त क्रम का एक [[निश्चित बिंदु (गणित)]] कहलाता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को प्रायः इस रूप में दर्शाया जाता है {{math|'''Fix'''(''f'')}}. ऐसे कई [[निश्चित-बिंदु प्रमेय]] मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिनमें [[बानाच निश्चित बिंदु प्रमेय]] और [[ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय]] सम्मिलित हैं।
-[[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]] द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के [[अभिसरण त्वरण]] के लिए कई तकनीकें हैं।<ref>{{Cite book| last1=Carleson|first1=L.| last2=Gamelin|first2=T. D. W.| title=जटिल गतिशीलता|series=Universitext: Tracts in Mathematics| publisher=Springer-Verlag| year=1993| isbn=0-387-97942-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl}}</ref> उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू की गई [[ऐटकेन विधि]] को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।
+[[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]] द्वारा उत्पन्न अनुक्रमों के [[अभिसरण त्वरण]] के लिए कई तकनीकें हैं।<ref>{{Cite book| last1=Carleson|first1=L.| last2=Gamelin|first2=T. D. W.| title=जटिल गतिशीलता|series=Universitext: Tracts in Mathematics| publisher=Springer-Verlag| year=1993| isbn=0-387-97942-5| url-access=registration| url=https://archive.org/details/complexdynamics0000carl}}</ref> उदाहरण के लिए, एक पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर अनुप्रयुक्त की गई [[ऐटकेन विधि]] को स्टीफ़ेंसन विधि के रूप में जाना जाता है, और यह द्विघात अभिसरण उत्पन्न करती है।
 ==व्यवहार को सीमित करना==
-पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे सेट हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसे मामले में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे [[आकर्षक निश्चित बिंदु]] के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक [[अस्थिर निश्चित बिंदु]] के मामले में होगा।<ref>Istratescu, Vasile  (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'',  D. Reidel, Holland.  {{ISBN|90-277-1224-7}}.</ref> जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के [[संचय बिंदु]]ओं के सेट को सीमा सेट या ω-सीमा सेट के रूप में जाना जाता है।
+पुनरावृत्ति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर एकत्रित होते हैं। ऐसे स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे [[आकर्षक निश्चित बिंदु]] के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृत्ति एक ही बिंदु से दूर जाने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह एक [[अस्थिर निश्चित बिंदु]] के स्थिति में होगा।<ref>Istratescu, Vasile  (1981). ''Fixed Point Theory, An Introduction'',  D. Reidel, Holland.  {{ISBN|90-277-1224-7}}.</ref> जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में परिवर्तित होते हैं, तो कक्षा के [[संचय बिंदु]]ओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।
-आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे [[पड़ोस (गणित)]] के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृत्तियों को स्थिर मैनिफोल्ड्स और [[अस्थिर सेट]]ों में वर्गीकृत किया जा सकता है। ([[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ]] भी देखें।)
+आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्यीकृत होते हैं; पुनरावृत्ति के अंतर्गत छोटे [[पड़ोस (गणित)]] के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृत्तियों को स्थिर बहुविध और [[अस्थिर सेट|अस्थिर समुच्चय]]ों में वर्गीकृत किया जा सकता है। ([[विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ|विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ]] भी देखें।)
-अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था उसके करीब भी कभी वापस नहीं आते हैं।
+अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने प्रारंभ किया था उसके निकट भी कभी वापस नहीं आते हैं।
 ==[[अपरिवर्तनीय माप]]==
-यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन ऑपरेटर या [[ स्थानांतरण ऑपरेटर ]] का एक आइजेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवैल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।
+यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिशीलता के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के अंतर्गत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रुएल-फ्रोबेनियस-पेरोन संचालक या [[ स्थानांतरण ऑपरेटर | स्थानांतरण संचालक]] का एक आइजेनस्टेट है, जो 1 के आइगेनवैल्यू के अनुरूप है। छोटे आइगेनवैल्यू अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।
-सामान्य तौर पर, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक शिफ्ट, ट्रांसफर ऑपरेटर और उसके सहायक से मेल खाती है, [[ व्यापारी संचालक ]] दोनों को [[ स्थान परिवर्तन ]] पर [[शिफ्ट ऑपरेटर]] की कार्रवाई के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। परिमित प्रकार के उप-शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त कार्यों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले कार्यों में।
+सामान्यतः, क्योंकि दोहराया पुनरावृत्ति एक शिफ्ट, ट्रांसफर संचालक और उसके सहायक से मेल खाती है, [[ व्यापारी संचालक ]] दोनों को [[ स्थान परिवर्तन ]] पर [[शिफ्ट ऑपरेटर|शिफ्ट संचालक]] की क्रिया के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। परिमित प्रकार के उप-शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त फलनों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से अराजकता की ओर ले जाने वाले फलनों में।
-==आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और नकारात्मक पुनरावृति==
+==आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति==
-[[File:TrivFctRootExm svg.svg|thumb|{{color|#20b080|''g'': '''R'''→'''R'''}} का एक तुच्छ क्रियात्मक 5वाँ मूल है {{color|#901070|2=''f'': '''R'''<sup>+</sup>→'''R'''<sup>+</sup>, ''f''(''x'') = sin(''x'')}}. एफ की गणना({{frac|π|6}}) = {{frac|1|2}} = जी<sup>5</sup>({{frac|π|6}}) दिखाई जा रही है।]]धारणा {{math|''f''{{i sup|1/''n''}}}समीकरण बनाते समय } का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए {{math|1=''g''<sup>''n''</sup>(''x'') = ''f''(''x'')}} के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर मामला है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल|बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक जड़ों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 2}} और {{math|1=''f''(''x'') = 4''x'' − 6}}, दोनों {{math|1=''g''(''x'') = 6 − 2''x''}} और {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 2}} समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} किसी अद्वितीय फ़ंक्शन को इंगित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#बीजगणित|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। यदि f हो तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है{{'}} के डोमेन को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के तहत कक्षा से संबंधित होती हैं।
+[[File:TrivFctRootExm svg.svg|thumb|{{color|#20b080|''g'': '''R'''→'''R'''}} का एक तुच्छ क्रियात्मक 5वाँ मूल है {{color|#901070|2=''f'': '''R'''<sup>+</sup>→'''R'''<sup>+</sup>, ''f''(''x'') = sin(''x'')}}. एफ की गणना({{frac|π|6}}) = {{frac|1|2}} = जी<sup>5</sup>({{frac|π|6}}) दिखाई जा रही है।]]<nowiki>धारणा {{math|</nowiki>''f''{{i sup|1/''n''}}}समीकरण बनाते समय } का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए {{math|1=''g''<sup>''n''</sup>(''x'') = ''f''(''x'')}} के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर स्थिति है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल|बैबेज के पहचान मानचित्र की कार्यात्मक जड़ों के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए {{math|1=''n'' = 2}} और {{math|1=''f''(''x'') = 4''x'' − 6}}, दोनों {{math|1=''g''(''x'') = 6 − 2''x''}} और {{math|1=''g''(''x'') = 2''x'' − 2}} समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} किसी अद्वितीय फलन को इंगित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#बीजगणित|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। यदि f हो तो f का एक तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है{{'}} के कार्यक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आम तौर पर अध्ययन के अंतर्गत कक्षा से संबंधित होती हैं।
-किसी फ़ंक्शन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] {{mvar|f}} एक फ़ंक्शन है {{mvar|g}} ऐसा है कि {{math|1=''g''(''g''(''x'')) = ''f''(''x'')}}.<ref>{{cite web |work=MathOverflow |title=Finding f such that f(f(x))=g(x) given g |url=https://mathoverflow.net/q/66538 }}</ref> यह फ़ंक्शन {{math|''g''(''x'')}} को इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} . इसी प्रकार, {{math|''f''<sup> 1/3</sup>(''x'')}} फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''x''))) = ''f''(''x'')}}, जबकि {{math|''f''{{i sup|2/3}}(''x'')}} को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|''f''{{i sup| 1/3}}(''f''{{i sup|1/3}}(''x''))}}, इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है {{math|1=''f''<sup> ''m''</sup> ○ ''f''<sup> ''n''</sup> = ''f''<sup> ''m'' + ''n''</sup>}}. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गिनती हो {{mvar|n}} एक सतत पैरामीटर बन जाता है, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का निरंतर समय।<ref>{{cite journal |first1=R. |last1=Aldrovandi |first2=L. P. |last2=Freitas |title=गतिशील मानचित्रों का सतत पुनरावृत्ति|journal=J. Math. Phys. |volume=39 |issue=10 |pages=5324 |year=1998 |doi=10.1063/1.532574 |arxiv=physics/9712026 |bibcode=1998JMP....39.5324A |hdl=11449/65519 |s2cid=119675869 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=G. |last1=Berkolaiko |first2=S. |last2=Rabinovich |first3=S. |last3=Havlin |title=विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण|journal=J. Math. Anal. Appl. |volume=224 |pages=81–90 |year=1998 |doi=10.1006/jmaa.1998.5986 |doi-access=free }}</ref>
+किसी फलन के भिन्नात्मक पुनरावृत्ति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फलन का [[कार्यात्मक वर्गमूल]] {{mvar|f}} एक फलन है {{mvar|g}} ऐसा है कि {{math|1=''g''(''g''(''x'')) = ''f''(''x'')}}.<ref>{{cite web |work=MathOverflow |title=Finding f such that f(f(x))=g(x) given g |url=https://mathoverflow.net/q/66538 }}</ref> यह फलन {{math|''g''(''x'')}} को इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करके लिखा जा सकता है {{math|''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')}} . इसी प्रकार, {{math|''f''<sup> 1/3</sup>(''x'')}} फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''f''<sup>1/3</sup>(''x''))) = ''f''(''x'')}}, जबकि {{math|''f''{{i sup|2/3}}(''x'')}} को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|''f''{{i sup| 1/3}}(''f''{{i sup|1/3}}(''x''))}}, इत्यादि, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित है {{math|1=''f''<sup> ''m''</sup> ○ ''f''<sup> ''n''</sup> = ''f''<sup> ''m'' + ''n''</sup>}}. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्ति गिनती हो {{mvar|n}} एक सतत मापदण्ड बन जाता है, एक निरंतर कक्षा (गतिशीलता) का एक प्रकार का निरंतर समय।<ref>{{cite journal |first1=R. |last1=Aldrovandi |first2=L. P. |last2=Freitas |title=गतिशील मानचित्रों का सतत पुनरावृत्ति|journal=J. Math. Phys. |volume=39 |issue=10 |pages=5324 |year=1998 |doi=10.1063/1.532574 |arxiv=physics/9712026 |bibcode=1998JMP....39.5324A |hdl=11449/65519 |s2cid=119675869 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite journal |first1=G. |last1=Berkolaiko |first2=S. |last2=Rabinovich |first3=S. |last3=Havlin |title=विश्लेषणात्मक पुनरावर्तन के कार्लमैन प्रतिनिधित्व का विश्लेषण|journal=J. Math. Anal. Appl. |volume=224 |pages=81–90 |year=1998 |doi=10.1006/jmaa.1998.5986 |doi-access=free }}</ref>
-ऐसे मामलों में, कोई सिस्टम को [[प्रवाह (गणित)]] के रूप में संदर्भित करता है। (सीएफ. नीचे #संयुग्मता पर अनुभाग।)
+ऐसे स्थितियों में, कोई सिस्टम को [[प्रवाह (गणित)]] के रूप में संदर्भित करता है। (सीएफ. नीचे #संयुग्मता पर अनुभाग।)
-यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो नकारात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''x'')}} का सामान्य व्युत्क्रम है {{mvar|f}}, जबकि {{math|''f''<sup> −2</sup>(''x'')}} स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्। {{math|1=''f''<sup> −2</sup>(''x'') = ''f''<sup> −1</sup>(''f''<sup> −1</sup>(''x''))}}. भिन्नात्मक नकारात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक सकारात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')}} को इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> −1</sup>(''x'')}}, या, समकक्ष, ऐसे कि {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> 0</sup>(''x'') = ''x''}}.
+यदि कोई फलन विशेषण है (और इसलिए उसका व्युत्क्रम फलन है), तो ऋणात्मक पुनरावृत्त फलन व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1</sup>(''x'')}} का सामान्य व्युत्क्रम है {{mvar|f}}, जबकि {{math|''f''<sup> −2</sup>(''x'')}} स्वयं से बना व्युत्क्रम है, अर्थात्। {{math|1=''f''<sup> −2</sup>(''x'') = ''f''<sup> −1</sup>(''f''<sup> −1</sup>(''x''))}}. भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्तियों को भिन्नात्मक सकारात्मक पुनरावृत्तियों के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, {{math|''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')}} को इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> −1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> −1</sup>(''x'')}}, या, समकक्ष, ऐसे कि {{math|1=''f''<sup> −1/2</sup>(''f''<sup> 1/2</sup>(''x'')) = ''f''<sup> 0</sup>(''x'') = ''x''}}.
 === भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र===
 एक निश्चित बिंदु का उपयोग करके भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए श्रृंखला सूत्र खोजने की कई विधियों में से एक इस प्रकार है।<ref>{{cite web |title=तेतरतीओं.ऑर्ग|url=http://Tetration.org/Tetration/index.html }}</ref>
-# सबसे पहले फ़ंक्शन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि {{math|1=''f''(''a'') = ''a''}}.
+# सर्वप्रथम फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि {{math|1=''f''(''a'') = ''a''}}.
-# परिभाषित करना {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''a'') = ''a''}} वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर लागू होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
+# परिभाषित करना {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''a'') = ''a''}} वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृत्तियों पर अनुप्रयुक्त होने वाली सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
 # बढ़ाना {{math|''f''<sup>''n''</sup>(''x'')}} [[टेलर श्रृंखला]] के रूप में निश्चित बिंदु a के आसपास, <math display="block">
 f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots
@@ Line 87: / Line 86: @@
 # शब्दों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, <math display="block">
 f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots
-</math> एक विशेष मामला है जब {{math|1=''f'' '(a) = 1}}, <math display="block">
+</math> एक विशेष स्थिति है जब {{math|1=''f'' '(a) = 1}}, <math display="block">
 f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f''(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f''(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots
 </math>
@@ Line 93: / Line 92: @@
 ====उदाहरण 1====
-उदाहरण के लिए, सेटिंग {{math|''f''(''x'') {{=}} ''Cx'' + ''D''}} निश्चित बिंदु देता है {{math|''a'' {{=}} ''D''/(1 − ''C'')}}, इसलिए उपरोक्त सूत्र बस पर समाप्त होता है
+उदाहरण के लिए, समुच्चयन {{math|''f''(''x'') {{=}} ''Cx'' + ''D''}} निश्चित बिंदु देता है {{math|''a'' {{=}} ''D''/(1 − ''C'')}}, इसलिए उपरोक्त सूत्र बस पर समाप्त होता है
 <math display="block">
 f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~,
 </math>
-जिसे जांचना मामूली बात है.
+जिसे जांचना साधारण बात है.
 ====उदाहरण 2====
 का मान ज्ञात कीजिये <math>\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }</math> जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः प्रक्षेपित मान जब n एक पूर्णांक नहीं है)। अपने पास {{math|1=''f''(''x'') = {{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>}}. एक निश्चित बिंदु है {{math|1=''a'' = ''f''(2) = 2}}.
-तो सेट करें {{math|1=''x'' = 1}} और {{math|''f'' <sup>''n''</sup> (1)}} 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है,
+तो समुच्चय करें {{math|1=''x'' = 1}} और {{math|''f'' <sup>''n''</sup> (1)}} 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित एक अनंत श्रृंखला है,
 <math display="block">
 \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots
@@ Line 119: / Line 118: @@
 ==संयुग्मता==
-अगर {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] मौजूद है {{mvar|h}} ऐसा है कि  {{math| ''g'' {{=}}  ''h''<sup>−1</sup> ○ ''f'' ○ ''h'' }},  तब {{mvar|f}} और {{mvar|g}} को [[टोपोलॉजिकल संयुग्मता]] कहा जाता है।
+यदि {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] मौजूद है {{mvar|h}} ऐसा है कि  {{math| ''g'' {{=}}  ''h''<sup>−1</sup> ○ ''f'' ○ ''h'' }},  तब {{mvar|f}} और {{mvar|g}} को [[टोपोलॉजिकल संयुग्मता|सांस्थितिक संयुग्मता]] कहा जाता है।
-स्पष्ट रूप से, टोपोलॉजिकल संयुग्मता को पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित किया जाता है {{math|''g''<sup>''n''</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''h''<sup>−1</sup> &nbsp;○&nbsp;''f'' <sup>''n''</sup> ○ ''h''}}. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी टोपोलॉजिकली संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से [[लॉजिस्टिक मानचित्र]] से संयुग्मित है। एक विशेष मामले के रूप में, ले रहा हूँ {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''&nbsp;+&nbsp;1}}, एक की पुनरावृत्ति होती है {{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;1)}} जैसा
+स्पष्ट रूप से, सांस्थितिक संयुग्मता को पुनरावृत्ति के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है {{math|''g''<sup>''n''</sup>&nbsp;{{=}}&nbsp;''h''<sup>−1</sup> &nbsp;○&nbsp;''f'' <sup>''n''</sup> ○ ''h''}}. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली को हल कर सकता है, तो उसके पास सभी सांस्थितिकी संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, तम्बू मानचित्र स्थलाकृतिक रूप से [[लॉजिस्टिक मानचित्र]] से संयुग्मित है। एक विशेष स्थिति के रूप में, ले रहा हूँ {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''&nbsp;+&nbsp;1}}, एक की पुनरावृत्ति होती है {{math|''g''(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;1)}} जैसा
-:{{math|''g''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''n'')}}, किसी भी फ़ंक्शन के लिए {{mvar|h}}.
+:{{math|''g''<sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''h''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''n'')}}, किसी भी फलन के लिए {{mvar|h}}.
 प्रतिस्थापन करना {{math|''x'' {{=}} ''h''<sup>&minus;1</sup>(''y'') {{=}} ''ϕ''(''y'')}} पैदावार
 :{{math|''g''(''ϕ''(''y'')) {{=}} ''ϕ''(''y''+1)}}, एक रूप जिसे एबेल समीकरण के नाम से जाना जाता है।
-यहां तक कि सख्त होमियोमोर्फिज्म के अभाव में भी, एक निश्चित बिंदु के करीब, यहां पर माना जाता है {{mvar|x}} = 0, {{mvar|f}}(0) = 0, कोई भी अक्सर हल कर सकता है<ref>Kimura, Tosihusa  (1971). "On the Iteration of Analytic Functions",  [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120426011125/http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ |date=2012-04-26  }} '''14''', 197-238.</ref> किसी फ़ंक्शन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है {{math|''f''(''x'')}}स्थानीय रूप से मात्र फैलाव से संयुग्मित, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f'' '(0) ''x''}}, वह है
+यहां तक कि सख्त होमियोमोर्फिज्म के अभाव में भी, एक निश्चित बिंदु के निकट, यहां पर माना जाता है {{mvar|x}} = 0, {{mvar|f}}(0) = 0, कोई भी प्रायः हल कर सकता है<ref>Kimura, Tosihusa  (1971). "On the Iteration of Analytic Functions",  [http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ ''Funkcialaj Ekvacioj''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120426011125/http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~fe/ |date=2012-04-26  }} '''14''', 197-238.</ref> किसी फलन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है {{math|''f''(''x'')}}स्थानीय रूप से मात्र फैलाव से संयुग्मित, {{math|''g''(''x'') {{=}} ''f'' '(0) ''x''}}, वह है
 :{{math|''f''(''x'') {{=}}  Ψ<sup>−1</sup>(''f'' '(0) Ψ(''x''))}}.
-इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (उदाहरण के लिए, {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}), एकपदी की कक्षा के संयुग्म की मात्रा,
+इस प्रकार, इसकी पुनरावृत्ति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के अंतर्गत (उदाहरण के लिए, {{math|''f'' '(0) ≠ 1}}), एकपदी की कक्षा के संयुग्म की मात्रा,
 :{{math|Ψ<sup>−1</sup>(''f'' '(0)<sup>''n''</sup> Ψ(''x''))}},
 कहाँ {{mvar|n}} इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! हालाँकि, यहाँ प्रतिपादक है {{mvar|n}} अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक निरंतर समय है:<ref>{{cite journal |author-last1=Curtright |author-first1=T. L. |author-link1=Thomas Curtright|author-last2=Zachos |author-first2=C. K. |author-link2=Cosmas Zachos | year=2009|title=विकास प्रोफ़ाइल और कार्यात्मक समीकरण|journal=Journal of Physics A |volume=42|issue=48 |pages=485208|doi=10.1088/1751-8113/42/48/485208|arxiv=0909.2424|bibcode=2009JPhA...42V5208C|s2cid=115173476 }}</ref> पिकार्ड अनुक्रम (cf. [[परिवर्तन अर्धसमूह]]) के [[मोनोइड]] को एक पूर्ण [[सतत समूह]] में सामान्यीकृत किया गया है।<ref>For explicit instance, example 2 above amounts to just {{math|''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') {{=}} Ψ<sup>−1</sup>((ln&nbsp;2)<sup>''n''</sup> Ψ(''x''))}}, for ''any n'', not necessarily integer, where Ψ is the solution of the relevant [[Schröder's equation]], {{math|Ψ({{sqrt|2}}<sup>''x''</sup>) {{=}}&nbsp;ln&nbsp;2&nbsp;Ψ(''x'')}}. This solution is also the infinite ''m'' limit of {{math|(''f'' <sup>''m''</sup>(''x'')&nbsp;−&nbsp;2)/(ln&nbsp;2)<sup>''m''</sup>}}.</ref>
-[[File:Sine_iterations.svg|right|thumb|380px|पहली छमाही की अवधि में साइन फ़ंक्शन की पुनरावृत्ति (<span style= color:blue >blue</span>)। अर्ध-पुनरावृत्ति (<span style= color:orange >orange</span>), यानी, ज्या का कार्यात्मक वर्गमूल; उसका कार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर का चौथाई-पुनरावृत्त (काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64वें तक पुनरावृत्त होता है। (<span style= color:blue >blue</span>) साइन के नीचे के फ़ंक्शन इसके नीचे छह अभिन्न पुनरावृत्त हैं, जो दूसरे पुनरावृत्त से शुरू होते हैं (<span style= color:red >red</span>) और समाप्त होते हैं 64वाँ पुनरावृत्त। <span style= color:green >green</span> लिफाफा त्रिकोण सीमित शून्य पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, सॉटूथ फ़ंक्शन साइन फ़ंक्शन के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है। धराशायी रेखा नकारात्मक प्रथम पुनरावृत्त है, अर्थात साइन (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम।
+[[File:Sine_iterations.svg|right|thumb|380px|पहली छमाही की अवधि में साइन फलन की पुनरावृत्ति (<span style= color:blue >blue</span>)। अर्ध-पुनरावृत्ति (<span style= color:orange >orange</span>), अर्थात, ज्या का कार्यात्मक वर्गमूल; उसका कार्यात्मक वर्गमूल, उसके ऊपर का चौथाई-पुनरावृत्त (काला); और आगे भिन्नात्मक 1/64वें तक पुनरावृत्त होता है। (<span style= color:blue >blue</span>) साइन के नीचे के फलन इसके नीचे छह अभिन्न पुनरावृत्त हैं, जो दूसरे पुनरावृत्त से प्रारंभ होते हैं (<span style= color:red >red</span>) और समाप्त होते हैं 64वाँ पुनरावृत्त। <span style= color:green >green</span> लिफाफा त्रिकोण सीमित शून्य पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, सॉटूथ फलन साइन फलन के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में कार्य करता है। धराशायी रेखा ऋणात्मक प्रथम पुनरावृत्त है, अर्थात साइन (आर्क्सिन) का व्युत्क्रम।
 (सामान्य शिक्षाशास्त्र वेबसाइट से।<ref>Curtright, T. L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods.]</ref> नोटेशन के लिए, [http://www.physics.miami.edu/~curtright/TheRootsOfSin.pdf] देखें।)]]यह विधि (प्रमुख [[eigenfunction]] Ψ का विक्षुब्ध निर्धारण, सीएफ [[कार्लमैन मैट्रिक्स]]) पिछले अनुभाग के एल्गोरिदम के बराबर है, हालांकि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित है।
 ==मार्कोव चेन==
-यदि फ़ंक्शन रैखिक है और इसे [[स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को [[मार्कोव श्रृंखला]] के रूप में जाना जाता है।
+यदि फलन रैखिक है और इसे [[स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को [[मार्कोव श्रृंखला]] के रूप में जाना जाता है।
 ==उदाहरण==
 [[अराजक मानचित्रों की सूची]] है।
-प्रसिद्ध पुनरावृत्त फ़ंक्शंस में [[मैंडेलब्रॉट सेट]] और [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम]] शामिल हैं।
+प्रसिद्ध पुनरावृत्त फ़ंक्शंस में [[मैंडेलब्रॉट सेट|मैंडेलब्रॉट समुच्चय]] और [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम|पुनरावृत्त फलन सिस्टम]] सम्मिलित हैं।
-अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर,<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |author-link=Ernst Schröder (mathematician) |year=1870 |title=पुनरावृत्त कार्यों के बारे में|journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 |s2cid=116998358 }}</ref> 1870 में, लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष मामलों पर काम किया, जैसे कि अराजक मामला {{math|1=''f''(''x'') = 4''x''(1 − ''x'')}}, ताकि {{math|1=Ψ(''x'') = arcsin<sup>2</sup>({{radic|''x''}})}}, इस तरह {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') = sin<sup>2</sup>(2<sup>''n''</sup> arcsin({{radic|''x''}}))}}.
+अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर,<ref name="schr">{{cite journal |last=Schröder |first=Ernst |author-link=Ernst Schröder (mathematician) |year=1870 |title=पुनरावृत्त कार्यों के बारे में|journal=Math. Ann. |volume=3 |issue= 2|pages=296–322 | doi=10.1007/BF01443992 |s2cid=116998358 }}</ref> 1870 में, लॉजिस्टिक मानचित्र के विशेष स्थितियों पर काम किया, जैसे कि अराजक स्थिति {{math|1=''f''(''x'') = 4''x''(1 − ''x'')}}, ताकि {{math|1=Ψ(''x'') = arcsin<sup>2</sup>({{radic|''x''}})}}, इस तरह {{math|1=''f'' <sup>''n''</sup>(''x'') = sin<sup>2</sup>(2<sup>''n''</sup> arcsin({{radic|''x''}}))}}.
-श्रोडर ने एक गैर-अराजक मामले को भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, {{math|1=''f''(''x'') = 2''x''(1 − ''x'')}}, उपज {{math|1=Ψ(''x'') = −{{sfrac|1|2}} ln(1 − 2''x'')}}, और इसलिए  {{math|1=''f''<sup>''n''</sup>(''x'') = −{{sfrac|1|2}}((1 − 2''x'')<sup>2<sup>''n''</sup></sup> − 1)}}.
+श्रोडर ने एक गैर-अराजक स्थिति को भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, {{math|1=''f''(''x'') = 2''x''(1 − ''x'')}}, उपज {{math|1=Ψ(''x'') = −{{sfrac|1|2}} ln(1 − 2''x'')}}, और इसलिए  {{math|1=''f''<sup>''n''</sup>(''x'') = −{{sfrac|1|2}}((1 − 2''x'')<sup>2<sup>''n''</sup></sup> − 1)}}.
-अगर {{mvar|''f''}} एक सेट पर एक समूह तत्व की [[समूह क्रिया (गणित)]] है, तो पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक [[मुक्त समूह]] से मेल खाता है।
+यदि {{mvar|''f''}} एक समुच्चय पर एक समूह तत्व की [[समूह क्रिया (गणित)]] है, तो पुनरावृत्त फलन एक [[मुक्त समूह]] से मेल खाता है।
 अधिकांश फ़ंक्शंस में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं। नीचे दी गई तालिका में कुछ सूचीबद्ध हैं<ref name="schr"/>यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी अभिव्यक्तियाँ गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।
@@ Line 165: / Line 164: @@
 |<math>a^{\frac{b^n-1}{b-1}}x^{b^n}</math>
 |-
-|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b}{4a}</math> (see note)<br>
+|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b}{4a}</math> (टिप्पणी देखें)<br>
 |<math>\frac{2\alpha^{2^n} - b}{2a}</math><br>
-where:
+जहाँ:
 *<math>\alpha = \frac{2ax + b}{2}</math>
 |-
-|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b - 8}{4a}</math> (see note)<br>
+|<math>ax^2 + bx + \frac{b^2 - 2b - 8}{4a}</math> (टिप्पणी देखें)<br>
 |<math>\frac{2\alpha^{2^n} + 2\alpha^{-2^n} - b}{2a}</math><br>
-where:
+जहाँ:
 *<math>\alpha = \frac{2ax + b \pm \sqrt{(2ax + b)^2 - 16}}{4}</math>
 |-
-|<math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> &nbsp; ([[fractional linear transformation]])<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''[[American Mathematical Monthly]]'' '''62''', September 1955, 489&ndash;492.   [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362  online]</ref>
+|<math>\frac{ax + b}{cx + d}</math> &nbsp; ([[fractional linear transformation|आंशिक रैखिक परिवर्तन]])<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''[[American Mathematical Monthly]]'' '''62''', September 1955, 489&ndash;492.   [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362  online]</ref>
 |<math>\frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c} \left [ \frac{(cx - a + \alpha)\alpha^{n - 1} - (cx - a + \beta)\beta^{n - 1}}{(cx - a + \alpha)\alpha^{n} - (cx - a + \beta)\beta^{n}} \right ]</math><br>
-where:
+जहाँ:
 *<math>\alpha = \frac{a + d + \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
 *<math>\beta = \frac{a + d - \sqrt{(a - d)^2 + 4bc}}{2}</math>
@@ Line 184: / Line 183: @@
 |<math>g^{-1}\Bigl(h^n\bigl(g(x)\bigr)\Bigr)</math>
 |-
-|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+b\bigr)</math> &nbsp; (generic [[Abel equation]])
+|<math>g^{-1}\bigl(g(x)+b\bigr)</math> &nbsp; (सामान्य [[Abel equation|एबल समीकरण]])
 |<math>g^{-1}\bigl(g(x)+nb\bigr)</math>
 |-
@@ Line 196: / Line 195: @@
 | <math>\sqrt{a^nx^2 + \frac{a^n - 1}{a - 1}b}</math>
 |-
-| <math>T_m (x)=\cos (m \arccos x)</math> ([[Chebyshev polynomials#Trigonometric definition|Chebyshev polynomial]] for integer ''m'')
+| <math>T_m (x)=\cos (m \arccos x)</math> (पूर्णांक ''m'' के लिए [[Chebyshev polynomials#Trigonometric definition|चेबीशेव बहुपद]])
 | <math>T_{mn}=\cos(m^n \arccos x)</math>
 |}
-ध्यान दें: ये दो विशेष मामले हैं {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} एकमात्र ऐसे मामले हैं जिनमें बंद-फ़ॉर्म समाधान होता है। क्रमशः बी = 2 = -ए और बी = 4 = -ए चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक लॉजिस्टिक मामलों में कम कर देता है।
+ध्यान दें: ये दो विशेष स्थिति हैं {{math|''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''}} एकमात्र ऐसे स्थिति हैं जिनमें बंद-फ़ॉर्म समाधान होता है। क्रमशः बी = 2 = -ए और बी = 4 = -ए चुनना, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अव्यवस्थित और अराजक लॉजिस्टिक स्थितियों में कम कर देता है।
 इनमें से कुछ उदाहरण सरल संयुग्मन द्वारा आपस में संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, जो अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों के सरल संयुग्मन से संबंधित हैं, संदर्भ में पाए जा सकते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Katsura | first1 = S. | last2 = Fukuda | first2 = W. | doi = 10.1016/0378-4371(85)90048-2 | title = अराजक व्यवहार दिखाने वाले सटीक रूप से हल करने योग्य मॉडल| journal = Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications | volume = 130 | issue = 3 | pages = 597 | year = 1985 | bibcode = 1985PhyA..130..597K }}</ref>
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 ==अध्ययन के साधन==
-पुनरावृत्त कार्यों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फ़ंक्शन और ट्रांसफर ऑपरेटरों के साथ किया जा सकता है।
+पुनरावृत्त फलनों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर ज़ेटा फलन और ट्रांसफर संचालकों के साथ किया जा सकता है।
-==कंप्यूटर विज्ञान में==
+==अभिकलित्र विज्ञान में==
-कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य [[रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)]] के एक विशेष मामले के रूप में होते हैं, जो बदले में [[लैम्ब्डा कैलकुलस]] जैसे व्यापक विषयों, या कंप्यूटर प्रोग्राम के [[सांकेतिक शब्दार्थ]] जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।
+अभिकलित्र विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य [[रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)|रिकर्सन (अभिकलित्र विज्ञान)]] के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में [[लैम्ब्डा कैलकुलस]] जैसे व्यापक विषयों, या अभिकलित्र प्रोग्राम के [[सांकेतिक शब्दार्थ]] जैसे संकीर्ण विषयों के अध्ययन को आधार बनाते हैं।
-==पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषाएँ==
+==पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ==
-दो महत्वपूर्ण [[कार्यात्मक (गणित)]] को पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:
+दो महत्वपूर्ण [[कार्यात्मक (गणित)|फलनों]] को पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये हैं सारांश:
 :<math>
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-==[[कार्यात्मक व्युत्पन्न]]==
+==कार्यात्मक व्युत्पन्न==
-पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:
+पुनरावृत्त फलन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है:
 :<math>\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) </math>
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 ==झूठ का डेटा परिवहन समीकरण==
-संयुक्त फ़ंक्शंस के श्रृंखला विस्तार में पुनरावृत्त फ़ंक्शंस सामने आते हैं, जैसे  {{math|''g''(''f''(''x''))}}.
+पुनरावृत्त फलन संयुक्त फलन के श्रृंखला विस्तार में सामने आते हैं, जैसे कि {{math|''g''(''f''(''x''))}}
-कोएनिग्स फ़ंक्शन#असमान अर्धसमूहों की संरचना, या [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)]] को देखते हुए,
+पुनरावृत्ति वेग, या [[बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)|बीटा फलन (भौतिकी)]] को देखते हुए,
-:<math>v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}</math> के लिए {{mvar|n}}<sup>फ़ंक्शन का पुनरावृत्तीकरण {{mvar|f}}, अपने पास<ref>{{Cite journal | last1 = Berkson | first1 = E. | last2 = Porta | first2 = H. | doi = 10.1307/mmj/1029002009 | title = विश्लेषणात्मक कार्यों और रचना संचालकों के अर्धसमूह| journal = The Michigan Mathematical Journal | volume = 25 | pages = 101–115 | year = 1978 | doi-access = free }}  {{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.1088/1751-8113/43/44/445101 | title = Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 43 | issue = 44 | pages = 445101 | year = 2010 | arxiv = 1002.0104 | bibcode = 2010JPhA...43R5101C | s2cid = 115176169 }}</ref>
+:<math>v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}</math>  <sup><ref>{{Cite journal | last1 = Berkson | first1 = E. | last2 = Porta | first2 = H. | doi = 10.1307/mmj/1029002009 | title = विश्लेषणात्मक कार्यों और रचना संचालकों के अर्धसमूह| journal = The Michigan Mathematical Journal | volume = 25 | pages = 101–115 | year = 1978 | doi-access = free }}  {{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. L. | last2 = Zachos | first2 = C. K. | doi = 10.1088/1751-8113/43/44/445101 | title = Chaotic maps, Hamiltonian flows and holographic methods | journal = Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical | volume = 43 | issue = 44 | pages = 445101 | year = 2010 | arxiv = 1002.0104 | bibcode = 2010JPhA...43R5101C | s2cid = 115176169 }}</ref>
+:फलन ''{{mvar|f}}''  के nवें पुनरावृत्त के लिए, हमारे पास है
 :<math>
-g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x).
+g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x)
 </math>
-उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x'' + ''t''}}, तब {{math|''v''(''x'') {{=}} ''t''}}. फलस्वरूप,  {{math|''g''(''x'' + ''t'') {{=}} exp(''t'' ∂/∂''x'')  ''g''(''x'')}}, एक सादे शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा कार्रवाई।
+उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x'' + ''t''}}, तब {{math|''v''(''x'') {{=}} ''t''}} हैं। फलस्वरूप,  {{math|''g''(''x'' + ''t'') {{=}} exp(''t'' ∂/∂''x'')  ''g''(''x'')}}, एक सहज शिफ्ट संचालक द्वारा क्रिया है।
-इसके विपरीत, कोई निर्दिष्ट कर सकता है {{math|''f''(''x'')}} मनमाने ढंग से दिया गया {{math|''v''(''x'')}}, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से,
+इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई यादृच्छिक {{math|''v''(''x'')}} दिए गए  {{math|''f''(''x'')}} को निर्दिष्ट कर सकता है,
 :<math>
-f(x) = h^{-1}(h(x)+1) ,
+f(x) = h^{-1}(h(x)+1)
 </math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>
-h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx .
+h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx
 </math>
-यह बात नोट करने से स्पष्ट होती है
+यह बात व्याख्या करने से स्पष्ट होती है;
-:<math>f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.</math>
+:<math>f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~</math>
-सतत पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए {{mvar|t}}, फिर, अब एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है, यह एक निरंतर समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्राप्ति के बराबर है,
+सतत पुनरावृत्ति सूचकांक {{mvar|t}} के लिए, अब, एक उप-अवधारणा के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के लिए ली की प्रसिद्ध घातीय प्रतिफलन के बराबर है,
-:<math>e^{t~\frac{\partial ~~}{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x)).</math>
+:<math>e^{t~\frac{\partial ~~}{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x))</math>
-प्रारंभिक प्रवाह वेग {{mvar|v}} संपूर्ण प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय अहसास को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है,<ref  name="acz">Aczel, J. (2006), ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'' (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, {{ISBN|978-0486445236}}.</ref> :<math>f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x)  ~.</math>
+प्रारंभिक प्रवाह वेग {{mvar|v}} संपूर्ण प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रतिफलन को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य हल प्रदान करता है,<ref  name="acz">Aczel, J. (2006), ''Lectures on Functional Equations and Their Applications'' (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, {{ISBN|978-0486445236}}.</ref><math>f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x)  ~</math>
-{{see also|Shift operator#Functions of a real variable}}
+{{see also|शिफ्ट संचालक#वास्तविक चर राशि के फलन}}
 ==यह भी देखें==
 {{Div col|colwidth=15em}}
-* तर्कहीन घूर्णन
+* तर्कहीन आवर्तन
 * [[पुनरावृत्त कार्य प्रणाली]]
 * पुनरावृत्त विधि
-*रोटेशन संख्या
+*आवर्तन संख्या
-* सरकोव्स्की का प्रमेय
+* सरकोव्स्की की प्रमेय
 * [[भिन्नात्मक कलन]]
 * [[पुनरावृत्ति संबंध]]
 * श्रोडर का समीकरण
 *कार्यात्मक वर्गमूल
-* [[हाबिल समारोह]]
+* [[एबेल फलन]]
-* विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
+* विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
@@ Line 297: / Line 297: @@
 श्रेणी:अनुक्रम और शृंखला
 श्रेणी:निश्चित अंक (गणित)
-श्रेणी:फ़ंक्शन और मैपिंग
+श्रेणी:फलन और मैपिंग
 श्रेणी:कार्यात्मक समीकरण

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पुनरावृत्त फ़ंक्शन: Difference between revisions

Revision as of 22:51, 10 July 2023

परिभाषा

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति अनुक्रम

निश्चित अंक

व्यवहार को सीमित करना

अपरिवर्तनीय माप

आंशिक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र

उदाहरण 1

उदाहरण 2

उदाहरण 3

संयुग्मता

मार्कोव चेन

उदाहरण

अध्ययन के साधन

अभिकलित्र विज्ञान में

पुनरावृत्त फलनों के संदर्भ में परिभाषाएँ

कार्यात्मक व्युत्पन्न

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण

यह भी देखें

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