संवृत्त-रूप व्यंजक: Difference between revisions

Revision as of 22:40, 10 July 2023

गणित में, एक संवृत्त-रूप व्यंजक, एक ऐसा व्यंजक है जिसे अचर, चर तथा मानक संक्रियाओं और फलनों की एक परिमित संख्या द्वारा निर्मित किया जाता है। जैसे $+, -, \times, \div$ , एन वर्गमूल, घातांक, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलन और व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन आदि। इसमें कोई सीमा या अभिन्न स्वीकार नहीं किए जाते हैं।

संक्रिया तथा फलनों के समुच्चय लेखक और संदर्भ के साथ भिन्न हो सकतें है।

सामान्यतः, यदि किसी फलन को संवृत्त-रूप व्यंजक के रूप मर स्वीकारा जाता है, तो इसके व्युत्पन्न को संवृत्त-रूप व्यंजक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार श्रृंखला नियम द्वारा, व्युतपन्नों को संवृत्त-रूप व्यंजको से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। चूँकि किसी व्युत्पन्न के व्यंजक, फलनों की तुलना में अत्यधिक बड़े हो सकते है, यह केवल सुविधा का प्रश्न है कि क्या व्युत्पन्न को संवृत्त-रूप व्यंजकों के रूप में स्वीकार किया जाता है।

उदाहरण: बहुपद मूल

सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी द्विघात समीकरण के समाधान को जोड़, घटाव, गुणा, भाग, और वर्गमूल निष्कर्षण के रूप में संवृत्त-रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक प्राथमिक फलन है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण

ax^{2}+bx+c=0,

सुव्यवस्थित है क्योंकि इसके समाधानों को एक संवृत्त-रूप व्यंजक अर्थात प्राथमिक फलनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैː

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

इसी प्रकार, घन और चतुर्थक समीकरणों के समाधान, अंकगणित, वर्गमूल और $n$ वें मूल का उपयोग करके व्यक्त किए जा सकते हैं। यद्यपि, उदाहरण के लिए, ऐसे संवृत्त-रूप समाधानों के अतिरिक्त क्विंटिक समीकरण भी हैं। जैसे $x 5 - x + 1 = 0$ ; यह एबेल-रफिनी प्रमेय है।

बहुपद मूल के लिए संवृत्त-रूपों के अस्तित्व का अध्ययन, गैलोइस सिद्धांत नामक गणित के क्षेत्र की प्रारंभिक प्रेरणा और मुख्य उपलब्धियों में से एक है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

अतिरिक्त फलनों को सम्मिलित करने के लिए संवृत्त-रूप व्यंजक की परिभाषा को परिवर्तित करने से संवृत्त-रूप समाधान वाले समीकरणों का समुच्चय भी परिवर्तित हो सकता है। कई संचयी वितरण फलनों को संवृत्त-रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जब तक कि किसी विशेष फलन जैसे कि त्रुटि फलन या गामा फलन को अच्छी तरह से ज्ञात नहीं कर लिया जाता है। यदि सामान्य हाइपरज्यामितीय फलन को सम्मिलित किया जाए तो क्विंटिक समीकरण को हल करना संभव है, यद्यपि समाधान बीजगणितीय रूप से उपयोगी होने के लिए अत्यधिक जटिल है। कई व्यावहारिक कंप्यूटर अनुप्रयोगों के लिए, यह मान लेना पूरी तरह से उचित है कि गामा फलन और अन्य विशेष फलन अच्छी तरह से ज्ञात हैं क्योंकि इनके संख्यात्मक फलनान्वयन व्यापक रूप से उपलब्ध हैं।

विश्लेषणात्मक व्यंजक

एक विश्लेषणात्मक व्यंजक जिन्हे विश्लेषणात्मक सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय व्यंजक है जिन्हे प्रसिद्ध संक्रियाओ का उपयोग करके निर्मित किया जाता है। इन्हे गणना के लिए उपयोगी माना जाता है। संवृत्त-रूप व्यंजकों के समान, अनुमत प्रसिद्ध फलनों का समुच्चय संदर्भ के अनुसार भिन्न हो सकता है परंतु इसमें सदैव अंकगणितीयसंक्रिया (जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन), एक वास्तविक घातांक लघुगणक, तथा त्रिकोणमितीय फलन सम्मिलित होता है।

यद्यपि, विश्लेषणात्मक व्यंजक माने जाने वाले व्यंजकों का वर्ग संवृत्त-रूप वाले व्यंजकों की तुलना में व्यापक होता है। विशेष रूप से, बेसेल फलन और गामा फलन जैसे विशेष फलनों को सामान्यतः अनुमति दी जाती है, जिसमे प्रायः अनंत श्रृंखला और निरंतर भिन्न भी उपस्थित होते हैं। दूसरी ओर, सामान्य अनुक्रम की सीमा और विशेष रूप से अभिन्न को प्रायः बाहर रखा जाता है।

यदि एक विश्लेषणात्मक व्यंजक में केवल बीजगणितीय संक्रिया (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, और तर्कसंगत घातांक के लिए घातांक) और तर्कसंगत अचर सम्मिलित होते हैं तो इसे विशेष रूप से बीजगणितीय व्यंजक के रूप में जाना जाता है।

व्यंजकों के विभिन्न वर्गों की तुलना

संवृत्त-रूप व्यंजक, विश्लेषणात्मक व्यंजकों का एक महत्वपूर्ण उप-वर्ग हैं, जिसमें प्रसिद्ध फलनों के अनुप्रयोगों की एक परिमित संख्या होती है। व्यापक विश्लेषणात्मक व्यंजकों के विपरीत, संवृत्त-रूप व्यंजकों में अनंत श्रृंखला या निरंतर भिन्न सम्मिलित नहीं होते हैं; न तो किसी अनुक्रम का अभिन्न समीकरण या सीमा सम्मिलित होता है। दरअसल, स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा, इकाई अंतराल पर किसी भी निरंतर फलन को बहुपद की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए बहुपद वाले और सीमाओं के अंतर्गत संवृत्त फलनों के किसी भी वर्ग में आवश्यक रूप से सभी निरंतर फलन सम्मिलित होंगे।

इसी प्रकार, एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली को एक संवृत्त-रूप समाधान कहा जाता है यदि, कम से कम एक समीकरण समाधान को एक संवृत्त-रूप व्यंजक के रूप में व्यक्त करता है; और इसे एक विश्लेषणात्मक समाधान कहा जाता है यदि कम से कम एक समाधान को विश्लेषणात्मक व्यंजक के रूप में व्यक्त किया जा सके। संवृत्त-रूप समाधान की चर्चा में संवृत्त-रूप फलन और संवृत्त-रूप संख्या के बीच एक सूक्ष्म अंतर है, जिस पर चर्चा की गई है। एक संवृत्त-रूप या विश्लेषणात्मक समाधान को कभी-कभी स्पष्ट समाधान के रूप में भी जाना जाता है।

v t e	Arithmetic expressions	Polynomial expressions	Algebraic expressions	Closed-form expressions	Analytic expressions	Mathematical expressions
Constant	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Elementary arithmetic operation	Yes	Addition, subtraction, and multiplication only	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite sum	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite product	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Finite continued fraction	Yes	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Variable	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer exponent	No	Yes	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer nth root	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Rational exponent	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Integer factorial	No	No	Yes	Yes	Yes	Yes
Irrational exponent	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Logarithm	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse trigonometric function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Inverse hyperbolic function	No	No	No	Yes	Yes	Yes
Root of a polynomial that is not an algebraic solution	No	No	No	No	Yes	Yes
Gamma function and factorial of a non-integer	No	No	No	No	Yes	Yes
Bessel function	No	No	No	No	Yes	Yes
Special function	No	No	No	No	Yes	Yes
Infinite sum (series) (including power series)	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite product	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Infinite continued fraction	No	No	No	No	Convergent only	Yes
Limit	No	No	No	No	No	Yes
Derivative	No	No	No	No	No	Yes
Integral	No	No	No	No	No	Yes

गैर-संवृत्त-रूप व्यंजकों के समाधान

संवृत्त-रूप व्यंजकों में परिवर्तन

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x}{2^{n}}}

व्यंजक संवृत्त-रूप में नहीं है क्योंकि समाकलन में अनंत संख्यायों की प्राथमिक संक्रियाए सम्मिलित हैं। यद्यपि, एक ज्यामितीय श्रृंखला का योग करके इस व्यंजक को संवृत्त-रूप में व्यक्त किया जा सकता है:^[1]

f(x)=2x.

विभेदक गैलोज़ सिद्धांत

किसी संवृत्त-रूप व्यंजक के अभिन्न पूर्णाङ्क स्वयं एक संवृत्त-रूप व्यंजक के रूप में अभिव्यक्त हो भी सकते है और नहीं भी। बीजगणितीय गैलोज़ सिद्धांत के अनुरूप इस अध्ययन को विभेदक गैलोज़ सिद्धांत कहा जाता है।

विभेदक गैलोज़ सिद्धांत का मूल प्रमेय 1830 और 1840 के दशक में जोसेफ लिउविले द्वारा दिया गया था और इसलिए इसे लिउविले के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

प्राथमिक फलन का एक मानक उदाहरण जिसके प्रतिअवकलन में संवृत्त-रूप व्यंजक नहीं है:

e^{-x^{2}},

जिसका एक प्रतिअवकलन (गुणात्मक स्थिरांक तक) त्रुटि फलन है:

\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.

गणितीय प्रारूपण तथा कंप्यूटर अनुरूपण

संवृत्त-रूप या विश्लेषणात्मक समाधानों के लिए अत्यधिक जटिल समीकरणों या प्रणालियों का विश्लेषण प्रायः गणितीय प्रारूपण तथा कंप्यूटर अनुरूपण द्वारा किया जा सकता है।

संवृत्त-रूप संख्या

सम्मिश्र संख्या $C$ के तीन उपक्षेत्रों को एक संवृत्त-रूप संख्या के कूटबद्ध धारणा के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है; व्यापकता के बढ़ते क्रम में, इन्हे लिउविलियन संख्या, ईएल संख्या और प्राथमिक संख्याओं के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। लिउविलियन संख्याएँ, जिन्हे $L$ चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है, $C$ का सबसे सूक्ष्म बीजगणितीय संवृत्त उपक्षेत्र बनाती हैं जो घातांक और लघुगणक के अंतर्गत संवृत्त होते है अर्थात, संख्याएँ जिनमें स्पष्ट घातांक और लघुगणक सम्मिलित होते हैं, परंतु स्पष्ट और अंतर्निहित बहुपदों की अनुमति देते हैं; इसे (Ritt 1948, p. 60) में परिभाषित किया गया है। $L$ को मूल रूप से प्रारंभिक संख्याओं के रूप में संदर्भित किया गया था, परंतु अब इस शब्द को बीजगणितीय संक्रिया, घातांक और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से परिभाषित संख्याओं को संदर्भित करने के लिए अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। (Chow 1999, pp. 441–442) में एक संकीर्ण परिभाषा प्रस्तावित है जिसमे इसे $E$ चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है तथा इसे ईएल संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह $C$ का सबसे छोटा उपक्षेत्र है तथा इसे बीजगणितीय रूप से संवृत्त करने की आवश्यकता नहीं है, और यह स्पष्ट बीजगणितीय, घातीय और लघुगणकीय संचालन के अनुरूप है। ईएल का अर्थ घातीय-लघुगणक और प्राथमिक व्यंजकों के संक्षिप्त रूप के लिए है।

कोई संख्या एक संवृत्त-रूप वाली संख्या है या नहीं, इसका संबंध इस बात से है कि क्या कोई संख्या प्रागनुभविक संख्या है। औपचारिक रूप से, लिउविलियन संख्याओं और प्राथमिक संख्याओं में बीजगणितीय संख्याएँ होती हैं, और उनमें कुछ नहीं बल्कि सभी प्रागनुभविक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। इसके विपरीत, ईएल संख्याओं में सभी बीजगणितीय संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, परंतु कुछ प्रागनुभविक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। संवृत्त-रूप संख्याओं का अध्ययन प्रागनुभविक संख्या सिद्धांत के माध्यम से किया जा सकता है, जिसमें एक प्रमुख परिणाम गेलफोंड-श्नाइडर प्रमेय है, और एक प्रमुख विवृत्त प्रश्न शैनुएल का अनुमान है।

संख्यात्मक गणना

संख्यात्मक गणना के प्रयोजनों के लिए, संवृत्त-रूप में होना सामान्य रूप से आवश्यक नहीं है, क्योंकि कई सीमाओं और अभिन्नों की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है। कुछ समीकरणों का कोई संवृत्त-रूप समाधान नहीं होता है, जैसे कि वे जो तीन-निकाय समस्या या हॉजकिन-हक्सले मॉडल का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, इन प्रणालियों की भविष्य की स्थितियों की गणना संख्यात्मक रूप से की जानी चाहिए।

संख्यात्मक रूपों से रूपांतरण

ऐसा सॉफ़्टवेयर है जो RIES सहित संख्यात्मक मानों के लिए संवृत्त-रूप व्यंजक खोजने का प्रयास करता है,^[2] identify मेपल में (सॉफ़्टवेयर)^[3] और सिम्पी,^[4] प्लॉफ़े का इन्वर्टर,^[5] और व्युत्क्रम प्रतीकात्मक कैलकुलेटर।^[6]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Holton, Glyn. "संख्यात्मक समाधान, बंद प्रपत्र समाधान". Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.
↑ Munafo, Robert. "RIES - बीजगणितीय समीकरण खोजें, उनका समाधान देखें". Retrieved 30 April 2012.
↑ करना "पहचान करना". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012. {{cite web}}: Check |url= value (help)
↑ "संख्या पहचान". SymPy documentation. Archived from the original on 2018-07-06. Retrieved 2016-12-01.
↑ "प्लॉफ़े का इन्वर्टर". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.
↑ "उलटा प्रतीकात्मक कैलकुलेटर". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

अग्रिम पठन

Ritt, J. F. (1948), Integration in finite terms
Chow, Timothy Y. (May 1999), "What is a Closed-Form Number?", American Mathematical Monthly, 106 (5): 440–448, arXiv:math/9805045, doi:10.2307/2589148, JSTOR 2589148
Jonathan M. Borwein and Richard E. Crandall (January 2013), "Closed Forms: What They Are and Why We Care", Notices of the American Mathematical Society, 60 (1): 50–65, doi:10.1090/noti936

बाहरी संबंध

[1] Holton, Glyn. "संख्यात्मक समाधान, बंद प्रपत्र समाधान". Archived from the original on 4 February 2012. Retrieved 31 December 2012.

[2] Munafo, Robert. "RIES - बीजगणितीय समीकरण खोजें, उनका समाधान देखें". Retrieved 30 April 2012.

[3] करना "पहचान करना". Maple Online Help. Maplesoft. Retrieved 30 April 2012. {{cite web}}: Check |url= value (help)

[4] "संख्या पहचान". SymPy documentation. Archived from the original on 2018-07-06. Retrieved 2016-12-01.

[5] "प्लॉफ़े का इन्वर्टर". Archived from the original on 19 April 2012. Retrieved 30 April 2012.

[6] "उलटा प्रतीकात्मक कैलकुलेटर". Archived from the original on 29 March 2012. Retrieved 30 April 2012.

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 {{see also| प्रागनुभविक संख्या सिद्धांत}}
-सम्मिश्र संख्याओं के तीन उपक्षेत्र {{math|'''C'''}} को एक संवृत्त-रूप संख्या की धारणा को एन्कोडिंग के रूप में सुझाया गया है; व्यापकता के बढ़ते क्रम में, ये लिउविलियन संख्याएं हैं (तर्कसंगत सन्निकटन के अर्थ में लिउविल संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए), ईएल संख्याएं और [[प्राथमिक संख्या]]एं। लिउविलियन संख्याएँ, निरूपित {{math|'''L'''}}, सबसे छोटा [[बीजगणितीय रूप से बंद]] उपक्षेत्र बनाएं {{math|'''C'''}} घातांक और लघुगणक के तहत बंद (औपचारिक रूप से, ऐसे सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन) - अर्थात, संख्याएँ जिनमें स्पष्ट घातांक और लघुगणक सम्मिलित होते हैं, लेकिन स्पष्ट और अंतर्निहित बहुपद (बहुपद की जड़ें) की अनुमति देते हैं; इसे इसमें परिभाषित किया गया है {{Harv|Ritt|1948|loc=p. 60}}. {{math|'''L'''}} को मूल रूप से प्रारंभिक संख्याओं के रूप में संदर्भित किया गया था, लेकिन अब इस शब्द का उपयोग बीजगणितीय संचालन, घातांक और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से परिभाषित संख्याओं को संदर्भित करने के लिए अधिक व्यापक रूप से किया जाता है। में एक संकीर्ण परिभाषा प्रस्तावित है {{Harv|Chow|1999|loc=pp. 441–442}}, निरूपित {{math|'''E'''}}, और इसे ईएल संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह सबसे छोटा उपक्षेत्र है {{math|'''C'''}} घातांक और लघुगणक के तहत बंद - इसे बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं है, और यह स्पष्ट बीजगणितीय, घातीय और लघुगणकीय संचालन के अनुरूप है। ईएल का अर्थ घातीय-लघुगणक और प्राथमिक के संक्षिप्त रूप दोनों के लिए है।
+सम्मिश्र संख्या {{math|'''C'''}} के तीन उपक्षेत्रों  को एक संवृत्त-रूप संख्या के कूटबद्ध धारणा के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है; व्यापकता के बढ़ते क्रम में, इन्हे लिउविलियन संख्या, ईएल संख्या और [[प्राथमिक संख्या|प्राथमिक संख्याओं]] के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। लिउविलियन संख्याएँ, जिन्हे {{math|'''L'''}} चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है, {{math|'''C'''}} का सबसे सूक्ष्म [[बीजगणितीय रूप से बंद|बीजगणितीय संवृत्त]] उपक्षेत्र बनाती हैं जो घातांक और लघुगणक के अंतर्गत संवृत्त होते है अर्थात, संख्याएँ जिनमें स्पष्ट घातांक और लघुगणक सम्मिलित होते हैं, परंतु स्पष्ट और अंतर्निहित बहुपदों की अनुमति देते हैं; इसे {{Harv|Ritt|1948|loc=p. 60}} में परिभाषित किया गया है। {{math|'''L'''}} को मूल रूप से प्रारंभिक संख्याओं के रूप में संदर्भित किया गया था, परंतु अब इस शब्द को बीजगणितीय संक्रिया, घातांक और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से परिभाषित संख्याओं को संदर्भित करने के लिए अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। {{Harv|Chow|1999|loc=pp. 441–442}} में एक संकीर्ण परिभाषा प्रस्तावित है जिसमे इसे {{math|'''E'''}} चिन्ह द्वारा निरूपित किया जाता है तथा इसे ईएल संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह {{math|'''C'''}} का सबसे छोटा उपक्षेत्र है तथा इसे बीजगणितीय रूप से संवृत्त करने की आवश्यकता नहीं है, और यह स्पष्ट बीजगणितीय, घातीय और लघुगणकीय संचालन के अनुरूप है। ईएल का अर्थ घातीय-लघुगणक और प्राथमिक व्यंजकों के संक्षिप्त रूप के लिए है।
-क्या कोई संख्या एक संवृत्त-रूप वाली संख्या है, इसका संबंध इस बात से है कि क्या कोई संख्या [[पारलौकिक संख्या]] है। औपचारिक रूप से, लिउविलियन संख्याओं और प्राथमिक संख्याओं में [[बीजगणितीय संख्या]]एँ होती हैं, और उनमें कुछ नहीं बल्कि सभी पारलौकिक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। इसके विपरीत, ईएल संख्याओं में सभी बीजगणितीय संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, लेकिन कुछ पारलौकिक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। संवृत्त-रूप संख्याओं का अध्ययन ट्रान्सेंडैंटल संख्या सिद्धांत के माध्यम से किया जा सकता है, जिसमें एक प्रमुख परिणाम गेलफोंड-श्नाइडर प्रमेय है, और एक प्रमुख खुला प्रश्न शैनुएल का अनुमान है।
+कोई संख्या एक संवृत्त-रूप वाली संख्या है या नहीं, इसका संबंध इस बात से है कि क्या कोई संख्या  [[पारलौकिक संख्या|प्रागनुभविक संख्या]] है। औपचारिक रूप से, लिउविलियन संख्याओं और प्राथमिक संख्याओं में [[बीजगणितीय संख्या]]एँ होती हैं, और उनमें कुछ नहीं बल्कि सभी  प्रागनुभविक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। इसके विपरीत, ईएल संख्याओं में सभी बीजगणितीय संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, परंतु कुछ  प्रागनुभविक संख्याएँ सम्मिलित होती हैं। संवृत्त-रूप संख्याओं का अध्ययन  प्रागनुभविक संख्या सिद्धांत के माध्यम से किया जा सकता है, जिसमें एक प्रमुख परिणाम गेलफोंड-श्नाइडर प्रमेय है, और एक प्रमुख विवृत्त प्रश्न शैनुएल का अनुमान है।
 ==संख्यात्मक गणना ==

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