मेट्रिजेबल समष्टि: Difference between revisions

Revision as of 15:33, 14 July 2023

संस्थितिकी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, मेट्रिजेबल समष्टि एक सस्थितिक समष्टि है जो मेट्रिक समष्टि के लिए होमियोमोर्फिज्म है। अर्थात संस्थितिक समष्टि $(X,\tau )$ यदि कोई मेट्रिक (मापीय) (गणित) $d:X\times X\to [0,\infty )$ है जैसा की $d$ द्वारा संयोजित संस्थितिक $\tau$ हैं, तो इसे मेट्रिजेबल कहा जाता है। ^[1]^[2] मेट्रिजेबल प्रमेय वे प्रमेय हैं जो संस्थितिक समष्टि को मेट्रिजेबल होने के लिए पर्याप्त कारण देते हैं।

गुण

मेट्रिजेबल समष्टि मेट्रिक समष्टि से सभी संस्थितिक गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे हॉसडॉर्फ़ परसंक्षिप्त समष्टि (और इसलिए सामान्य समष्टि और टाइकोनोफ़ समष्टि) और प्रथम-गणनीय समष्टि हैं। यद्यपि की, मेट्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को पहले से में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह मेट्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं के विषय में भी सत्य हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रिजेबल एकसमान समष्टि में एक मेट्रिक समष्टि की तुलना में संकुचन मानचित्रण का अलग समुच्चय हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।

मेट्रिजेबल प्रमेय

उरिसोन्स मातृतीक प्रमेय पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मेट्रिजेबल प्रमेयों में से एक था। इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय नियमित समष्टि मेट्रिजेबल है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय विविध मेट्रिजेबल है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़ द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित पेपर में पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन ने जो दिखाया था, वह यह था कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय सामान्य समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मेट्रिजेबल है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मेट्रिक समष्टि उपस्थित हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मेट्रिक से संपन्न अगणनीय समुच्चय हैं।^[3] नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिजेबल प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां विरुद्ध प्रभाव पड़ता है।

कई अन्य मेट्रिजेबल प्रमेय उरिसोन्स के प्रमेय के सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, संक्षिप्त समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि मेट्रिजेबल है, यदि और केवल यदि यह दूसरी-गणना योग्य है।

उरिसोन्स के प्रमेय को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: एक संस्थितिक समष्टि अलग करने योग्य और मेट्रिजेबल है यदि और केवल यदि यह नियमित, हॉसडॉर्फ और दूसरा-गणनीय है। नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिजेबल प्रमेय इसे अवियोज्य स्थिति तक विस्तारित करता है। इसमें कहा गया है कि संस्थितिक समष्टि मेट्रिजेबल है यदि और केवल यदि यह नियमित है, हॉसडॉर्फ और इसका σ-आधारभूत रूप से सीमित आधार है। σ-स्थानीय रूप से परिमित आधार एक आधार है जो मुक्त समुच्चयों के अनगिनत स्थानीय रूप से परिमित संग्रहों का संघ है। निकट से संबंधित प्रमेय के लिए बिंग मेट्रिजेबल प्रमेय देखते हैं।

अलग-अलग मेट्रिजेबल समष्टि को उन समष्टियो के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जो हिल्बर्ट घन के उप-समष्टि $\lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} }$ के लिए होम्योमॉर्फिक हैं, अर्थात् इकाई अंतराल का गणनीय अनंत गुणन (वास्तविकता से इसकी प्राकृतिक उप-समष्टि संस्थितिकी के साथ), गुणन संस्थितिकी से संपन्न है।

किसी समष्टि को आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल कहा जाता है यदि आसपास का प्रत्येक बिंदु मेट्रिजेबल होता हैं। स्मिरनोव ने सिद्ध किया कि आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल समष्टि मेट्रिजेबल है यदि और केवल यदि वह हॉसडॉर्फ और परसंक्षिप्त है। विशेष रूप से, विविध मेट्रिजेबल है यदि और केवल यदि यह परसंक्षिप्त है।

उदाहरण

एकात्मक संचालकों $\mathbb {U} ({\mathcal {H}})$ का समूह वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि ${\mathcal {H}}$ पर संपन्न शक्तिशाली संचालक संस्थितिकी के साथ मेट्रिजेबल है (प्रस्ताव II.1 देखें)। ^[4]).

अमेट्रिजेबल रिक्त समष्टि के उदाहरण

असामान्य समष्टि मेट्रिजेबल नहीं हो सकते; महत्वपूर्ण उदाहरणों में सम्मलित हैं।

बीजगणितीय विविधता पर या वृत्त के वर्णक्रम पर ज़ारिस्की संस्थितकी, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किया जाता है,
वास्तविक रेखा से सभी फलन (गणित) का संस्थितिक सदिश समष्टि $\mathbb {R}$ स्वयं के लिए, बिन्दुवत अभिसरण की संस्थितिकी के साथ होता हैं।

निम्न सिमा संस्थितिकी के साथ वास्तविक रेखा मेट्रिजेबल नहीं है। सामान्य दूरी फलन इस समष्टि पर मेट्रिक नहीं है क्योंकि यह जिस संस्थितिकी को निर्धारित करता है वह सामान्य संस्थितिकी है, वह निम्न सीमा संस्थितिकी नहीं होती हैं। यह समष्टि हॉसडॉर्फ, परसंक्षिप्त और प्रथम गणनीय है।

आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल परन्तु अमेट्रिजेबल

दो मूलों वाली रेखा, जिसे 'बग-आइड रेखा' भी कहा जाता है, जो की एक गैर-हॉसडॉर्फ़ बहुरूप है (और इस प्रकार यह मेट्रिजेबल नहीं हो सकता)। सभी बहुरूपों के समान, यह यूक्लिडियन समष्टि के लिए आधारभूत रूप से होमोमोर्फिक है और इस प्रकार आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल समष्टि (लेकिन अमेट्रिजेबल) और आधारभूत रूप से हॉसडॉर्फ समष्टि (परन्तु गैर-हॉसडॉर्फ) है। यह एक T1 आधारभूत नियमित समष्टि लेकिन अर्धनियमित समष्टि नहीं हैं।

लंबी रेखा (संस्थितिकी) आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल हैं परन्तु अमेट्रिजेबल; एक प्रकार से यह बहुत लंबा है।

यह भी देखें

अपोलोनियन मात्रिक – Romanian mathematician and poet
बिंग मातृतीक प्रमेय
मातृतीक संस्थितिक सदिश समष्टि
मूरे समष्टि (संस्थितिक)
नागाटा-स्मिर्नोव मातृतीक प्रमेय
एकरूपता – Property of having a unique mode or maximum value, एक समान समष्टि के लिए होमोमोर्फिक होने की संस्थितिकी समष्टि के गुण, या समकक्ष संस्थितिकी को आभासी मेट्रिक समष्टि के समूह द्वारा परिभाषित किया जाता हैं।

संदर्भ

↑ Simon, Jonathan. "मेट्रिज़ेशन प्रमेय" (PDF). Retrieved 16 June 2016.
↑ Munkres, James (1999). टोपोलॉजी (second ed.). Pearson. p. 119.
↑ "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-09-25. Retrieved 2012-08-08.
↑ Neeb, Karl-Hermann, On a theorem of S. Banach. J. Lie Theory 7 (1997), no. 2, 293–300.

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[1] Simon, Jonathan. "मेट्रिज़ेशन प्रमेय" (PDF). Retrieved 16 June 2016.

[2] Munkres, James (1999). टोपोलॉजी (second ed.). Pearson. p. 119.

[3] "संग्रहीत प्रति" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2011-09-25. Retrieved 2012-08-08.

[4] Neeb, Karl-Hermann, On a theorem of S. Banach. J. Lie Theory 7 (1997), no. 2, 293–300.

[1]

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 {{short description|Topological space that is homeomorphic to a metric space}}
-[[टोपोलॉजी|संस्थितिकी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, '''मेट्रिजेबल समष्टि''' एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सस्थितिक समष्टि]] है जो [[मीट्रिक स्थान|मात्रिक समष्टि]] के लिए [[होमियोमोर्फिज्म]] है। अर्थात संस्थितिक समष्टि <math>(X, \tau)</math> यदि कोई मात्रिक (गणित) <math>d : X \times X \to [0, \infty)</math> है जैसा की <math>d</math> द्वारा संयोजित संस्थितिक <math>\tau</math> हैं, तो इसे मेट्रिजेबल कहा जाता है। <ref>{{cite web|last=Simon|first=Jonathan|title=मेट्रिज़ेशन प्रमेय|url=http://homepage.math.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M132Fall07/MetrizationTheorem_v5.pdf|access-date=16 June 2016}}</ref><ref>{{cite book|last=Munkres|first=James|author-link=James Munkres|title=टोपोलॉजी|year=1999|publisher=[[Pearson PLC|Pearson]]|page=119|edition=second}}</ref> मेट्रिजेबल [[प्रमेय]] वे प्रमेय हैं जो संस्थितिक समष्टि को मेट्रिजेबल होने के लिए पर्याप्त कारण देते हैं।
+[[टोपोलॉजी|संस्थितिकी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, '''मेट्रिजेबल समष्टि''' एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सस्थितिक समष्टि]] है जो [[मीट्रिक स्थान|मेट्रिक समष्टि]] के लिए [[होमियोमोर्फिज्म]] है। अर्थात संस्थितिक समष्टि <math>(X, \tau)</math> यदि कोई मेट्रिक (मापीय) (गणित) <math>d : X \times X \to [0, \infty)</math> है जैसा की <math>d</math> द्वारा संयोजित संस्थितिक <math>\tau</math> हैं, तो इसे मेट्रिजेबल कहा जाता है। <ref>{{cite web|last=Simon|first=Jonathan|title=मेट्रिज़ेशन प्रमेय|url=http://homepage.math.uiowa.edu/~jsimon/COURSES/M132Fall07/MetrizationTheorem_v5.pdf|access-date=16 June 2016}}</ref><ref>{{cite book|last=Munkres|first=James|author-link=James Munkres|title=टोपोलॉजी|year=1999|publisher=[[Pearson PLC|Pearson]]|page=119|edition=second}}</ref> मेट्रिजेबल [[प्रमेय]] वे प्रमेय हैं जो संस्थितिक समष्टि को मेट्रिजेबल होने के लिए पर्याप्त कारण देते हैं।
 ==गुण==
-मेट्रिजेबल समष्टि मात्रिक समष्टि से सभी संस्थितिक गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे [[हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़]] [[ परा-सुसंहत |परसंक्षिप्त]] समष्टि (और इसलिए सामान्य समष्टि और [[ टाइकोनोफ़ स्थान | टाइकोनोफ़ समष्टि]]) और [[ प्रथम-गणनीय स्थान |प्रथम-गणनीय समष्टि]] हैं। यद्यपि की, मात्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को पहले से में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह '''मात्रिक''' से जुड़ी अन्य संरचनाओं के विषय में भी सत्य हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रिजेबल [[एकसमान स्थान|एकसमान समष्टि]] में एक मात्रिक समष्टि की तुलना में [[संकुचन मानचित्रण]] का अलग समुच्चय हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।
+मेट्रिजेबल समष्टि मेट्रिक समष्टि से सभी संस्थितिक गुणों को प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, वे [[हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़]] [[ परा-सुसंहत |परसंक्षिप्त]] समष्टि (और इसलिए सामान्य समष्टि और [[ टाइकोनोफ़ स्थान | टाइकोनोफ़ समष्टि]]) और [[ प्रथम-गणनीय स्थान |प्रथम-गणनीय समष्टि]] हैं। यद्यपि की, मेट्रिक के कुछ गुण, जैसे पूर्णता, को पहले से में मिला हुआ नहीं कहा जा सकता है। यह मेट्रिक से जुड़ी अन्य संरचनाओं के विषय में भी सत्य हैं। उदाहरण के लिए, मेट्रिजेबल [[एकसमान स्थान|एकसमान समष्टि]] में एक मेट्रिक समष्टि की तुलना में [[संकुचन मानचित्रण]] का अलग समुच्चय हो सकता है जिसके लिए यह होमियोमोर्फिक है।
 ==मेट्रिजेबल प्रमेय==
-{{visible anchor|उरिसोन्स मातृतीक प्रमेय }} पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मेट्रिजेबल प्रमेयों में से एक था। इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय [[नियमित स्थान|नियमित समष्टि]]  मेट्रिजेबल है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय [[कई गुना|विविध]] मेट्रिजेबल है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में [[एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़]] द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित पेपर में [[पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन]] ने जो दिखाया था, वह यह था कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय ''सामान्य समष्टि''  हॉसडॉर्फ समष्टि मेट्रिजेबल है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मात्रिक समष्टि उपस्थित हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मात्रिक से संपन्न अगणनीय समुच्चय हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~mityab/teaching/m395f10/10_counterexamples.pdf|title=संग्रहीत प्रति|access-date=2012-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20110925003841/http://www.math.lsa.umich.edu/~mityab/teaching/m395f10/10_counterexamples.pdf|archive-date=2011-09-25|url-status=dead}}</ref> नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिजेबल प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां विरुद्ध प्रभाव पड़ता है।
+{{visible anchor|उरिसोन्स मातृतीक प्रमेय }} पहले व्यापक रूप से मान्यता प्राप्त मेट्रिजेबल प्रमेयों में से एक था। इसमें कहा गया है कि प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ द्वितीय-गणनीय [[नियमित स्थान|नियमित समष्टि]]  मेट्रिजेबल है। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेकंड-गणनीय [[कई गुना|विविध]] मेट्रिजेबल है। (ऐतिहासिक नोट: यहां दिखाए गए प्रमेय का रूप वास्तव में 1926 में [[एंड्री निकोलाइविच तिखोनॉफ़]] द्वारा सिद्ध किया गया था। 1925 में मरणोपरांत प्रकाशित पेपर में [[पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन]] ने जो दिखाया था, वह यह था कि प्रत्येक सेकंड-गणनीय ''सामान्य समष्टि''  हॉसडॉर्फ समष्टि मेट्रिजेबल है)। इसका विलोम मान्य नहीं है: ऐसे मेट्रिक समष्टि उपस्थित हैं जो दूसरे गणनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए, असतत मेट्रिक से संपन्न अगणनीय समुच्चय हैं।<ref>{{Cite web|url=http://www.math.lsa.umich.edu/~mityab/teaching/m395f10/10_counterexamples.pdf|title=संग्रहीत प्रति|access-date=2012-08-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20110925003841/http://www.math.lsa.umich.edu/~mityab/teaching/m395f10/10_counterexamples.pdf|archive-date=2011-09-25|url-status=dead}}</ref> नागाटा-स्मिरनोव मेट्रिजेबल प्रमेय, जिसका नीचे वर्णन किया गया है, अधिक विशिष्ट प्रमेय प्रदान करता है जहां विरुद्ध प्रभाव पड़ता है।
 कई अन्य मेट्रिजेबल प्रमेय उरिसोन्स के प्रमेय के सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, [[ सघन स्थान |संक्षिप्त समष्टि]] हॉसडॉर्फ समष्टि मेट्रिजेबल है, यदि और केवल यदि यह दूसरी-गणना योग्य है।
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 * वास्तविक रेखा से सभी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] का [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|संस्थितिक सदिश समष्टि]] <math>\R</math> स्वयं के लिए, [[बिंदुवार अभिसरण की टोपोलॉजी|बिन्दुवत अभिसरण की संस्थितिकी]] के साथ होता हैं।
-[[निचली सीमा टोपोलॉजी|निम्न सिमा संस्थितिकी]] के साथ वास्तविक रेखा मेट्रिजेबल नहीं है। सामान्य दूरी फलन इस समष्टि पर '''मात्रिक''' नहीं है क्योंकि यह जिस संस्थितिकी को निर्धारित करता है वह सामान्य संस्थितिकी है, वह निम्न सीमा संस्थितिकी नहीं होती हैं। यह समष्टि हॉसडॉर्फ, परसंक्षिप्त और प्रथम गणनीय है।
+[[निचली सीमा टोपोलॉजी|निम्न सिमा संस्थितिकी]] के साथ वास्तविक रेखा मेट्रिजेबल नहीं है। सामान्य दूरी फलन इस समष्टि पर मेट्रिक नहीं है क्योंकि यह जिस संस्थितिकी को निर्धारित करता है वह सामान्य संस्थितिकी है, वह निम्न सीमा संस्थितिकी नहीं होती हैं। यह समष्टि हॉसडॉर्फ, परसंक्षिप्त और प्रथम गणनीय है।
 ===आधारभूत रूप से मेट्रिजेबल परन्तु अमेट्रिजेबल ===
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 * {{annotated link|मूरे समष्टि (संस्थितिक)}}
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-* {{annotated link|एकरूपता }}, एक समान समष्टि के लिए होमोमोर्फिक होने की संस्थितिकी समष्टि के गुण, या समकक्ष संस्थितिकी को [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|आभासी मात्रिक समष्टि]] के समूह द्वारा परिभाषित किया जाता हैं।
+* {{annotated link|एकरूपता }}, एक समान समष्टि के लिए होमोमोर्फिक होने की संस्थितिकी समष्टि के गुण, या समकक्ष संस्थितिकी को [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|आभासी मेट्रिक समष्टि]] के समूह द्वारा परिभाषित किया जाता हैं।
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