विभाजन क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 12:41, 11 July 2023

अमूर्त बीजगणित में, किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपद का विभाजन क्षेत्र उस क्षेत्र का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार होता है, जिस पर बहुपद विभाजित होता है, अर्थात, रैखिक कारकों में विघटित होता है।

परिभाषा

एक क्षेत्र K पर एक बहुपद p(X) का विभाजन क्षेत्र K का एक क्षेत्र विस्तार L है, जिस पर p रैखिक कारकों में गुणनखंड करता है।

p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg(p)}(X-a_{i})

जहाँ

c\in K

और प्रत्येक i के लिए हमारे पास

X-a_{i}\in L[X]

विस्तार L तब K के ऊपर न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें p विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं और आइसोमोर्फिज़्म तक अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को p के गैलोइस समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह अलग करने योग्य है)।

गुण

एक विस्तार L जो K के ऊपर बहुपद p(X) के समुच्चय के लिए एक विभाजक क्षेत्र है, K का सामान्य विस्तार कहलाता है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र A को देखते हुए, जिसमें K शामिल है, K और A के बीच p का एक अद्वितीय विभाजन क्षेत्र L है, जो p की मूल द्वारा उत्पन्न होता है। यदि K सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, तो अस्तित्व तत्काल है। दूसरी ओर, बीजीय समापन का अस्तित्व, सामान्य तौर पर, विभाजन क्षेत्र परिणाम से 'सीमा तक जाने' से सिद्ध होता है, इसलिए परिपत्र तर्क से बचने के लिए एक स्वतंत्र प्रमाण की आवश्यकता होती है।

K के एक अलग करने योग्य विस्तार K' को देखते हुए, K' का एक गैलोज़ क्लोजर L एक प्रकार का विभाजन क्षेत्र है, और K का एक गैलोज़ विस्तार भी है जिसमें K' शामिल है जो कि एक स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है। इस तरह के गैलोइस क्लोजर में K के ऊपर सभी बहुपद p के लिए एक विभाजन क्षेत्र होना चाहिए जो कि K' के तत्वों के K के ऊपर न्यूनतम बहुपद हैं।

विभाजन क्षेत्रों का निर्माण

प्रेरणा

प्राचीन यूनानियों के समय से ही बहुपदों के एक फलन का मूल खोजना एक महत्वपूर्ण समस्या रही है। हालाँकि, कुछ बहुपद, जैसे $x 2 + 1$ ऊपर $R$ , वास्तविक संख्याओं का कोई मूल नहीं होता। ऐसे बहुपद के लिए विभाजन क्षेत्र का निर्माण करके कोई भी नए क्षेत्र में बहुपद की मूल पा सकता है।

निर्माण

मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है और p(X) एक बहुपद n की घात वाले बहुपद वलय F[X] में एक बहुपद है। K के निर्माण की सामान्य प्रक्रिया, F पर p(X) का विभाजन क्षेत्र, क्षेत्र की एक श्रृंखला $F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{r-1}\subset K_{r}=K$ का निर्माण करना है। ऐसा कि Ki, Ki −1 का विस्तार है जिसमें p(X) का एक नया मूल है। चूंकि p(X) में अधिकतम n मूल हैं इसलिए निर्माण के लिए अधिकतम n एक्सटेंशन की आवश्यकता होगी। K_i के निर्माण के चरण निम्नानुसार दिए गए हैं:

बहुपदों का गुणनखंडन बीजगणितीय विस्तारों पर गुणनखंडन (ट्रेजर विधि) p(X) K ऊपर_iअघुलनशील बहुपद कारकों में $f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)$ .
कोई भी अरेखीय अघुलनशील कारक f(X) = f चुनें_i(एक्स)।
क्षेत्र एक्सटेंशन K का निर्माण करें_i +1 के_iभागफल वलय K के रूप में_i +1 = के_i[X] / (f(X)) जहां (f(X)) K में आदर्श (रिंग सिद्धांत) को दर्शाता है_i[एक्स] एफ(एक्स) द्वारा उत्पन्न।
K के लिए प्रक्रिया दोहराएँ_i +1 जब तक p(X) पूरी तरह से कारक न हो जाए।

अघुलनशील कारक एफ_iभागफल निर्माण में प्रयुक्त (X) को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। यद्यपि कारकों के अलग-अलग विकल्प अलग-अलग उपक्षेत्र अनुक्रमों को जन्म दे सकते हैं, परिणामी विभाजन क्षेत्र समरूपी होंगे।

चूँकि f(X) अपरिवर्तनीय है, (f(X)) K का अधिकतम आदर्श है_i[एक्स] और के_i[X] / (f(X)) वास्तव में एक क्षेत्र है। इसके अलावा, अगर हम जाने दें $\pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))$ फिर उसके भागफल पर वलय (गणित) का प्राकृतिक प्रक्षेपण हो

f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0

इसलिए π(X) f(X) और p(X) का मूल है।

एकल विस्तार की डिग्री $[K_{i+1}:K_{i}]$ अपरिवर्तनीय कारक f(X) की डिग्री के बराबर है। विस्तार की डिग्री [K : F] द्वारा दी गई है $[K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]$ और अधिकतम n है!

क्षेत्र K_i[एक्स]/(एफ(एक्स))

जैसा कि ऊपर बताया गया है, भागफल वलय K_i +1 = के_i[X]/(f(X)) एक ऐसा क्षेत्र है जब f(X) अपरिवर्तनीय है। इसके तत्व स्वरूप के हैं

c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}

जहां सी_jके में हैं_iऔर α = π(एक्स). (यदि कोई के पर विचार करता है_i +1 K के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में_iफिर शक्तियां α^jके लिए 0 ≤ j ≤ n−1 एक आधार बनाएं (रैखिक बीजगणित)।)

K के तत्व_i +1 n से कम घात वाले α में बहुपद के रूप में माना जा सकता है। के में जोड़_i +1 बहुपद जोड़ के नियमों द्वारा दिया जाता है और गुणन बहुपद गुणन मॉड्यूल f(X) द्वारा दिया जाता है। अर्थात्, K में g(α) और h(α) के लिए_i +1 उनका उत्पाद g(α)h(α) = r(α) है जहां K में f(X) से विभाजित करने पर r(X) g(X)h(X) का शेषफल है_i[एक्स]।

शेष r(X) की गणना बहुपदों के लंबे विभाजन के माध्यम से की जा सकती है, हालाँकि एक सीधा कमी नियम भी है जिसका उपयोग सीधे r(α) = g(α)h(α) की गणना करने के लिए किया जा सकता है। पहले चलो

f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.

बहुपद एक क्षेत्र के ऊपर है इसलिए व्यापकता की हानि के बिना कोई f(X) को एकात्मक बहुपद मान सकता है। अब α, f(X) का मूल है, इसलिए

\alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).

यदि उत्पाद g(α)h(α) का एक पद α है^मके साथ m ≥ n इसे इस प्रकार कम किया जा सकता है:

\alpha ^{n}\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0})\alpha ^{m-n}=-(b_{n-1}\alpha ^{m-1}+\cdots +b_{1}\alpha ^{m-n+1}+b_{0}\alpha ^{m-n})

.

कमी नियम के उदाहरण के रूप में, K को लें_i= 'Q'[X], परिमेय संख्या गुणांक वाले बहुपदों का वलय, और f(X) = X लें⁷ − 2. चलो $g(\alpha )=\alpha ^{5}+\alpha ^{2}$ और h(α) = α³ +1 Q[X]/(X के दो तत्व हों⁷ − 2). f(X) द्वारा दिया गया कमी नियम α है^{7</sp>=2 एसपी}

g(\alpha )h(\alpha )=(\alpha ^{5}+\alpha ^{2})(\alpha ^{3}+1)=\alpha ^{8}+2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=(\alpha ^{7})\alpha +2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}=2\alpha ^{5}+\alpha ^{2}+2\alpha .

उदाहरण

सम्मिश्र संख्याएँ

बहुपद वलय R[x] और अपरिवर्तनीय बहुपद पर विचार करें x² + 1. भागफल वलय R[x] / (x² + 1) सर्वांगसमता संबंध द्वारा दिया गया है x² ≡ −1. परिणामस्वरूप, के तत्व (या समतुल्य वर्ग)। R[x] / (x² + 1) रूप के हैं a + bx जहां ए और बी 'आर' से संबंधित हैं। इसे देखने के लिए, उस पर ध्यान दें x² ≡ −1 यह इस प्रकार है कि x³ ≡ −x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x, वगैरह।; और इसलिए, उदाहरण के लिए p + qx + rx² + sx³ ≡ p + qx + r(−1) + s(−x) = (p − r) + (q − s)x.

जोड़ और गुणन संचालन पहले सामान्य बहुपद जोड़ और गुणन का उपयोग करके दिया जाता है, लेकिन फिर मॉड्यूलो को कम करके दिया जाता है x² + 1, यानी इस तथ्य का उपयोग करना x² ≡ −1, x³ ≡ −x, x⁴ ≡ 1, x⁵ ≡ x, आदि। इस प्रकार:

(a_{1}+b_{1}x)+(a_{2}+b_{2}x)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})x,

(a_{1}+b_{1}x)(a_{2}+b_{2}x)=a_{1}a_{2}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x+(b_{1}b_{2})x^{2}\equiv (a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})x\,.

अगर हम पहचान लें a + bx (ए,बी) के साथ तो हम देखते हैं कि जोड़ और गुणा दिए गए हैं

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),

(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).

हम दावा करते हैं कि, एक क्षेत्र के रूप में, भागफल वलय R[x] / (x² + 1) सम्मिश्र संख्याओं का समरूपी है, C. एक सामान्य सम्मिश्र संख्या इस प्रकार की होती है a + bi, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं और i² = −1.जोड़ और गुणा द्वारा दिया जाता है

(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}),

(a_{1}+b_{1}i)\cdot (a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}).

अगर हम पहचान लें a + bi (ए, बी) के साथ तो हम देखते हैं कि जोड़ और गुणा दिए गए हैं

(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2}),

(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).

पिछली गणनाओं से पता चलता है कि जोड़ और गुणा एक ही तरह से व्यवहार करते हैं R[x] / (x² + 1) और सी. वास्तव में, हम देखते हैं कि बीच का नक्शा R[x] / (x² + 1) और सी द्वारा दिया गया a + bx → a + biजोड़ और गुणन के संबंध में एक समरूपता है। यह भी स्पष्ट है कि मानचित्र a + bx → a + bi विशेषण और विशेषण दोनों है; मतलब है कि a + bx → a + bi एक विशेषण समरूपता है, अर्थात, एक वलय समरूपता। जैसा कि दावा किया गया है, यह इस प्रकार है: R[x] / (x² + 1) ≅ C.

1847 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने जटिल संख्याओं को परिभाषित करने के लिए इस दृष्टिकोण का उपयोग किया।^[1]

घन उदाहरण

होने देना $K$ तर्कसंगत संख्या क्षेत्र बनें $Q$ और $p (x) = x 3 - 2$ . की प्रत्येक मूल $p$ बराबर है $3 \sqrt 2$ एकता का घनमूल गुना। इसलिए, यदि हम एकता के घनमूलों को इससे निरूपित करते हैं

\omega _{1}=1,\,

\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i,

\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i.

कोई भी क्षेत्र जिसमें दो अलग-अलग मूल हों $p$ में एकता के दो अलग-अलग घनमूलों के बीच का भागफल शामिल होगा। ऐसा भागफल एकता का आदिम मूल है, एकता का घनमूल - दोनों में से एक है $\omega _{2}$ या $\omega _{3}=1/\omega _{2}$ . यह एक विभाजन क्षेत्र का अनुसरण करता है $L$ का $p$ में ω होगा₂, साथ ही 2 का वास्तविक घनमूल; बातचीत (तर्क), का कोई भी विस्तार $Q$ इन तत्वों से युक्त सभी मूल शामिल हैं $p$ . इस प्रकार

L=\mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega _{2})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{2}}^{2}+d\omega _{2}+e{\sqrt[{3}]{2}}\omega _{2}+f{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\omega _{2}\mid a,b,c,d,e,f\in \mathbf {Q} \}

ध्यान दें कि पिछले भाग में उल्लिखित निर्माण प्रक्रिया को इस उदाहरण में लागू करने से शुरुआत होती है $K_{0}=\mathbf {Q}$ और मैदान का निर्माण करता है $K_{1}=\mathbf {Q} [X]/(X^{3}-2)$ . यह क्षेत्र विभाजन क्षेत्र नहीं है, बल्कि इसमें एक (कोई भी) रूट शामिल है। हालाँकि, बहुपद $Y^{3}-2$ पर अप्रासंगिक बहुपद नहीं है $K_{1}$ और वास्तव में:

Y^{3}-2=(Y-X)(Y^{2}+XY+X^{2}).

ध्यान दें कि $X$ यह एक अनिश्चित (चर) नहीं है, और वास्तव में इसका एक तत्व है $K_{1}$ . अब, प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं $K_{2}=K_{1}[Y]/(Y^{2}+XY+X^{2})$ जो वास्तव में विभाजन क्षेत्र है और इसके द्वारा फैला हुआ है $\mathbf {Q}$ -आधार $\{1,X,X^{2},Y,XY,X^{2}Y\}$ . ध्यान दें कि अगर हम इसकी तुलना करें $L$ ऊपर से हम पहचान सकते हैं $X={\sqrt[{3}]{2}}$ और $Y=\omega _{2}$ .

अन्य उदाहरण

x का विभाजन क्षेत्र^q − x ओवर 'F'_p अद्वितीय परिमित क्षेत्र F है_q क्यू = पी के लिएⁿ.^[2] कभी-कभी इस क्षेत्र को GF(q) द्वारा दर्शाया जाता है।

x का विभाजन क्षेत्र²+1 ओवर एफ₇ एफ है₄₉; बहुपद का F में कोई मूल नहीं है₇, यानी, −1 वहां एक वर्ग (बीजगणित) नहीं है, क्योंकि 7, 1 मॉड्यूल 4 का मॉड्यूलर अंकगणित नहीं है।^[3]
x का विभाजन क्षेत्र² - 1 ओवर एफ₇ एफ है₇ एक्स के बाद से² − 1 = (x + 1)(x − 1) पहले से ही रैखिक कारकों में विभाजित है।

हम f(x) = x के विभाजन क्षेत्र की गणना करते हैं³ + x + 1 ओवर 'एफ'₂. यह सत्यापित करना आसान है कि f(x) का 'F' में कोई मूल नहीं है।₂, इसलिए f(x) 'F' में अप्रासंगिक है₂[एक्स]। 'F' में r = x + (f(x)) डालें₂[x]/(f(x)) तो 'F'₂(r ) एक क्षेत्र है और x³ + x + 1 = (x + r)(x² + ax + b) 'F' में₂(आर&हेयरस्प;)[x]। ध्यान दें कि हम − के लिए + लिख सकते हैं क्योंकि विशेषता (बीजगणित) दो है। गुणांकों की तुलना करने से पता चलता है कि a = r और b = 1 + r². एफ के तत्व₂(r ) को c + dr + er के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है², जहां c, d, e 'F' में हैं₂. आठ तत्व हैं: 0, 1, आर, 1 + आर, आर², 1 + आर², र + र²और 1+र+र². इन्हें x में प्रतिस्थापित करने पर² + आरएक्स + 1 + आर²हम पहुंचते हैं (आर²)² + r(r²) + 1 + आर²=आर⁴+आर³ + 1 + आर² = 0, इसलिए x³ + x + 1 = (x + r)(x + r²)(x + (r + r²)) 'F' में r के लिए₂[x]/(f(x)); ई = 'एफ'₂(r ) x का विभाजन क्षेत्र है³ + x + 1 ओवर 'एफ'₂.

↑ Cauchy, Augustin-Louis (1847), "Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (in français), 24: 1120–1130
↑ Serre. अंकगणित में एक पाठ्यक्रम.
↑ Instead of applying this characterization of odd prime moduli for which −1 is a square, one could just check that the set of squares in F₇ is the set of classes of 0, 1, 4, and 2, which does not include the class of −1 ≡ 6.

संदर्भ

Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.
"Splitting field of a polynomial", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Splitting field". MathWorld.

[1] Cauchy, Augustin-Louis (1847), "Mémoire sur la théorie des équivalences algébriques, substituée à la théorie des imaginaires", Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences (in français), 24: 1120–1130

[2] Serre. अंकगणित में एक पाठ्यक्रम.

[3] Instead of applying this characterization of odd prime moduli for which −1 is a square, one could just check that the set of squares in F₇ is the set of classes of 0, 1, 4, and 2, which does not include the class of −1 ≡ 6.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Field generated by all rupture-fields of a polynomial over a field}}
-{{about|the splitting field of a polynomial| the splitting field of a CSA|central simple algebra}}
+{{about|बहुपद का विभाजन क्षेत्र|सीएसए का विभाजन क्षेत्र|केंद्रीय सरल बीजगणित}}
-[[अमूर्त बीजगणित]] में, किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांक वाले [[बहुपद]] का विभाजन क्षेत्र उस क्षेत्र का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार होता है, जिस पर बहुपद ''विभाजित'' होता है, यानी, रैखिक कारकों में विघटित होता है।
+[[अमूर्त बीजगणित]] में, किसी क्षेत्र में गुणांक वाले [[बहुपद]] का विभाजन क्षेत्र उस क्षेत्र का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार होता है, जिस पर बहुपद ''विभाजित'' होता है, अर्थात, रैखिक कारकों में विघटित होता है।
 ==परिभाषा==
-एक क्षेत्र ''K'' पर एक बहुपद ''p''(''X'') का विभाजन क्षेत्र ''K'' का एक क्षेत्र विस्तार ''L'' है जिसके ऊपर ''p'' गुणनखंड करता है रैखिक कारक
+एक क्षेत्र ''K'' पर एक बहुपद ''p(X)'' का विभाजन क्षेत्र ''K'' का एक क्षेत्र विस्तार ''L'' है, जिस पर ''p'' रैखिक कारकों में गुणनखंड करता है।
-:<math>p(X) = c\prod_{i=1}^{\deg(p)} (X - a_i)</math> कहाँ <math>c\in K</math> और प्रत्येक के लिए <math>i</math> अपने पास <math>X - a_i \in L[X]</math> के साथ<sub>i</sub>जरूरी नहीं कि अलग हो और ऐसा हो कि एक बहुपद का मूल हो<sub>i</sub>K पर L उत्पन्न करें। एक्सटेंशन L, K पर फ़ील्ड एक्सटेंशन की न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें p विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं और समरूपता [[तक]] अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को पी के गैलोज़ समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह [[वियोज्य बहुपद]] है)।
+:<math>p(X) = c\prod_{i=1}^{\deg(p)} (X - a_i)</math>
+:
+:जहाँ <math>c\in K</math>और प्रत्येक i के लिए हमारे पास <math>X - a_i \in L[X]</math>विस्तार ''L'' तब ''K'' के ऊपर न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें ''p'' विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं और आइसोमोर्फिज़्म तक अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को ''p'' के गैलोइस समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह अलग करने योग्य है)।
 ==गुण==
-एक एक्सटेंशन L जो एक बीजगणितीय क्लोजर है#एक बीजगणितीय क्लोजर का अस्तित्व और K के ऊपर फ़ील्ड्स p(X) को विभाजित करना फ़ील्ड एक्सटेंशन#K का सामान्य, पृथक्करणीय और गैलोइस एक्सटेंशन कहलाता है।
+एक विस्तार ''L'' जो ''K'' के ऊपर बहुपद ''p(X)'' के समुच्चय के लिए एक विभाजक क्षेत्र है, ''K'' का सामान्य विस्तार कहलाता है।
-[[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड]] A को देखते हुए, जिसमें K शामिल है, K और A के बीच p का एक अद्वितीय विभाजन फ़ील्ड L है, जो p की जड़ों द्वारा उत्पन्न होता है। यदि K सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र विस्तार है, तो अस्तित्व तत्काल है। दूसरी ओर, सामान्य रूप से [[बीजगणितीय समापन]]ों का अस्तित्व अक्सर विभाजन क्षेत्र परिणाम से 'सीमा तक जाकर' [[गणितीय प्रमाण]] होता है, इसलिए परिपत्र परिभाषा से बचने के लिए एक स्वतंत्र प्रमाण की आवश्यकता होती है।
+[[बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड|बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] ''A'' को देखते हुए, जिसमें ''K'' शामिल है, ''K'' और ''A'' के बीच ''p'' का एक अद्वितीय विभाजन क्षेत्र ''L'' है, जो ''p'' की मूल द्वारा उत्पन्न होता है। यदि ''K'' सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, तो अस्तित्व तत्काल है। दूसरी ओर, बीजीय समापन का अस्तित्व, सामान्य तौर पर, विभाजन क्षेत्र परिणाम से 'सीमा तक जाने' से सिद्ध होता है, इसलिए परिपत्र तर्क से बचने के लिए एक स्वतंत्र प्रमाण की आवश्यकता होती है।
-K के एक अलग करने योग्य विस्तार K' को देखते हुए, K' का 'गैलोइस क्लोजर' L एक प्रकार का विभाजन क्षेत्र है, और K का एक [[गैलोइस विस्तार]] भी है जिसमें K' शामिल है जो स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है। इस तरह के गैलोइस क्लोजर में K के ऊपर सभी बहुपदों p के लिए एक विभाजन क्षेत्र होना चाहिए जो कि K' के तत्वों के K के ऊपर [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] हैं।
+''K'' के एक अलग करने योग्य विस्तार ''K'<nowiki/>'' को देखते हुए, ''K'<nowiki/>'' का एक गैलोज़ क्लोजर L एक प्रकार का विभाजन क्षेत्र है, और ''K'' का एक गैलोज़ विस्तार भी है जिसमें ''K'<nowiki/>'' शामिल है जो कि एक स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है। इस तरह के गैलोइस क्लोजर में ''K'' के ऊपर सभी बहुपद ''p'' के लिए एक विभाजन क्षेत्र होना चाहिए जो कि ''K''' के तत्वों के ''K'' के ऊपर न्यूनतम बहुपद हैं।
 ==विभाजन क्षेत्रों का निर्माण==
 ===प्रेरणा===
-प्राचीन यूनानियों के समय से ही बहुपदों के एक फलन का मूल खोजना एक महत्वपूर्ण समस्या रही है। हालाँकि, कुछ बहुपद, जैसे {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} ऊपर {{math|'''R'''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का कोई मूल नहीं होता। ऐसे बहुपद के लिए विभाजन क्षेत्र का निर्माण करके कोई भी नए क्षेत्र में बहुपद की जड़ें पा सकता है।
+प्राचीन यूनानियों के समय से ही बहुपदों के एक फलन का मूल खोजना एक महत्वपूर्ण समस्या रही है। हालाँकि, कुछ बहुपद, जैसे {{math|''x''<sup>2</sup> + 1}} ऊपर {{math|'''R'''}}, [[वास्तविक संख्या]]ओं का कोई मूल नहीं होता। ऐसे बहुपद के लिए विभाजन क्षेत्र का निर्माण करके कोई भी नए क्षेत्र में बहुपद की मूल पा सकता है।
 ===निर्माण===
-मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है और p(X) एक बहुपद n की घात वाले [[बहुपद वलय]] F[X] में एक बहुपद है। K के निर्माण की सामान्य प्रक्रिया, F पर p(X) का विभाजन क्षेत्र, फ़ील्ड की एक श्रृंखला का निर्माण करना है <math>F=K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_{r-1} \subset K_r=K</math> ऐसे कि के<sub>i</sub>K का विस्तार है<sub>''i''&hairsp;−1</sub> जिसमें p(X) की एक नई जड़ शामिल है। चूँकि p(X) में अधिकतम n जड़ें हैं, इसलिए निर्माण के लिए अधिकतम n एक्सटेंशन की आवश्यकता होगी। K के निर्माण के चरण<sub>i</sub>इस प्रकार दिए गए हैं:
+मान लीजिए कि ''F'' एक क्षेत्र है और ''p(X)'' एक बहुपद ''n'' की घात वाले [[बहुपद वलय]] F[''X''] में एक बहुपद है। ''K'' के निर्माण की सामान्य प्रक्रिया, ''F'' पर ''p(X)'' का विभाजन क्षेत्र, क्षेत्र की एक श्रृंखला <math>F=K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_{r-1} \subset K_r=K</math>का निर्माण करना है। ऐसा कि Ki, Ki −1 का विस्तार है जिसमें p(X) का एक नया मूल है। चूंकि ''p(X)'' में अधिकतम ''n'' मूल हैं इसलिए निर्माण के लिए अधिकतम ''n'' एक्सटेंशन की आवश्यकता होगी। ''K<sub>i</sub>'' के निर्माण के चरण निम्नानुसार दिए गए हैं:
-* बहुपदों का गुणनखंडन#बीजगणितीय विस्तारों पर गुणनखंडन (ट्रेजर विधि) पी(एक्स) के ऊपर<sub>i</sub>[[अघुलनशील बहुपद]] कारकों में <math>f_1(X)f_2(X) \cdots f_k(X)</math>.
+* बहुपदों का गुणनखंडन बीजगणितीय विस्तारों पर गुणनखंडन (ट्रेजर विधि)  ''p''(''X'') ''K'' ऊपर<sub>i</sub>[[अघुलनशील बहुपद]] कारकों में <math>f_1(X)f_2(X) \cdots f_k(X)</math>.
 * कोई भी अरेखीय अघुलनशील कारक f(X) = f चुनें<sub>''i''&hairsp;</sub>(एक्स)।
-* फ़ील्ड एक्सटेंशन K का निर्माण करें<sub>''i''&hairsp;+1</sub> के<sub>i</sub>भागफल वलय K के रूप में<sub>''i''&hairsp;+1</sub> = के<sub>''i''&hairsp;</sub>[X] / (f(X)) जहां (f(X)) K में [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] को दर्शाता है<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स] एफ(एक्स) द्वारा उत्पन्न।
+* क्षेत्र एक्सटेंशन K का निर्माण करें<sub>''i''&hairsp;+1</sub> के<sub>i</sub>भागफल वलय K के रूप में<sub>''i''&hairsp;+1</sub> = के<sub>''i''&hairsp;</sub>[X] / (f(X)) जहां (f(X)) K में [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] को दर्शाता है<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स] एफ(एक्स) द्वारा उत्पन्न।
 * K के लिए प्रक्रिया दोहराएँ<sub>''i''&hairsp;+1</sub> जब तक p(X) पूरी तरह से कारक न हो जाए।
 अघुलनशील कारक एफ<sub>''i''&hairsp;</sub>भागफल निर्माण में प्रयुक्त (X) को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। यद्यपि कारकों के अलग-अलग विकल्प अलग-अलग उपक्षेत्र अनुक्रमों को जन्म दे सकते हैं, परिणामी विभाजन क्षेत्र समरूपी होंगे।
-चूँकि f(X) अपरिवर्तनीय है, (f(X)) K का [[अधिकतम आदर्श]] है<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स] और के<sub>''i''&hairsp;</sub>[X] / (f(X)) वास्तव में एक फ़ील्ड है। इसके अलावा, अगर हम जाने दें <math>\pi : K_i[X] \to K_i[X]/(f(X))</math> फिर उसके भागफल पर वलय (गणित) का प्राकृतिक प्रक्षेपण हो
+चूँकि f(X) अपरिवर्तनीय है, (f(X)) K का [[अधिकतम आदर्श]] है<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स] और के<sub>''i''&hairsp;</sub>[X] / (f(X)) वास्तव में एक क्षेत्र है। इसके अलावा, अगर हम जाने दें <math>\pi : K_i[X] \to K_i[X]/(f(X))</math> फिर उसके भागफल पर वलय (गणित) का प्राकृतिक प्रक्षेपण हो
 :<math>f(\pi(X)) = \pi(f(X)) = f(X)\ \bmod\ f(X) = 0</math>
 इसलिए π(X) f(X) और p(X) का मूल है।
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 एकल विस्तार की डिग्री <math>[K_{i+1} : K_i]</math> अपरिवर्तनीय कारक f(X) की डिग्री के बराबर है। विस्तार की डिग्री [K : F] द्वारा दी गई है <math>[K_r : K_{r-1}] \cdots [K_2 : K_1] [K_1 : F]</math> और अधिकतम n है!
-=== फ़ील्ड K<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स]/(एफ(एक्स)) ===
+=== क्षेत्र K<sub>''i''&hairsp;</sub>[एक्स]/(एफ(एक्स)) ===
 जैसा कि ऊपर बताया गया है, भागफल वलय K<sub>''i''&hairsp;+1</sub> = के<sub>''i''&hairsp;</sub>[X]/(f(X)) एक ऐसा क्षेत्र है जब f(X) अपरिवर्तनीय है। इसके तत्व स्वरूप के हैं
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 === घन उदाहरण ===
-होने देना {{mvar|K}} तर्कसंगत संख्या फ़ील्ड बनें {{math|'''Q'''}} और {{math|''p''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> − 2}}. की प्रत्येक जड़ {{mvar|p}} बराबर है {{math|{{radic|2|3}}}}[[एकता का घनमूल]] गुना। इसलिए, यदि हम एकता के घनमूलों को इससे निरूपित करते हैं
+होने देना {{mvar|K}} तर्कसंगत संख्या क्षेत्र बनें {{math|'''Q'''}} और {{math|''p''(''x'') {{=}} ''x''<sup>3</sup> − 2}}. की प्रत्येक मूल {{mvar|p}} बराबर है {{math|{{radic|2|3}}}}[[एकता का घनमूल]] गुना। इसलिए, यदि हम एकता के घनमूलों को इससे निरूपित करते हैं
 :<math>\omega_1 = 1,\,</math> <!-- do not delete "\,": it improves the display of formula on certain browsers. -->
 :<math>\omega_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i,</math>
 :<math>\omega_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i.</math>
-कोई भी क्षेत्र जिसमें दो अलग-अलग जड़ें हों {{mvar|p}} में एकता के दो अलग-अलग घनमूलों के बीच का भागफल शामिल होगा। ऐसा भागफल एकता का आदिम मूल है, एकता का घनमूल - दोनों में से एक है <math>\omega_2</math> या <math>\omega_3=1/\omega_2</math>. यह एक विभाजन क्षेत्र का अनुसरण करता है {{mvar|L}} का {{mvar|p}} में ω होगा<sub>2</sub>, साथ ही 2 का वास्तविक घनमूल; [[बातचीत (तर्क)]], का कोई भी विस्तार {{math|'''Q'''}} इन तत्वों से युक्त सभी जड़ें शामिल हैं {{mvar|p}}. इस प्रकार
+कोई भी क्षेत्र जिसमें दो अलग-अलग मूल हों {{mvar|p}} में एकता के दो अलग-अलग घनमूलों के बीच का भागफल शामिल होगा। ऐसा भागफल एकता का आदिम मूल है, एकता का घनमूल - दोनों में से एक है <math>\omega_2</math> या <math>\omega_3=1/\omega_2</math>. यह एक विभाजन क्षेत्र का अनुसरण करता है {{mvar|L}} का {{mvar|p}} में ω होगा<sub>2</sub>, साथ ही 2 का वास्तविक घनमूल; [[बातचीत (तर्क)]], का कोई भी विस्तार {{math|'''Q'''}} इन तत्वों से युक्त सभी मूल शामिल हैं {{mvar|p}}. इस प्रकार
 :<math>L = \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega_2) = \{ a + b\sqrt[3]{2} + c{\sqrt[3]{2}}^2 + d\omega_2 + e\sqrt[3]{2}\omega_2 + f{\sqrt[3]{2}}^2 \omega_2 \mid a,b,c,d,e,f \in \mathbf{Q} \}</math>
-ध्यान दें कि पिछले भाग में उल्लिखित निर्माण प्रक्रिया को इस उदाहरण में लागू करने से शुरुआत होती है <math>K_0 = \mathbf{Q}</math> और मैदान का निर्माण करता है <math>K_1 = \mathbf{Q}[X] / (X^3 - 2)</math>. यह फ़ील्ड विभाजन फ़ील्ड नहीं है, बल्कि इसमें एक (कोई भी) रूट शामिल है। हालाँकि, बहुपद <math>Y^3 - 2</math> पर अप्रासंगिक बहुपद नहीं है <math>K_1</math> और वास्तव में:
+ध्यान दें कि पिछले भाग में उल्लिखित निर्माण प्रक्रिया को इस उदाहरण में लागू करने से शुरुआत होती है <math>K_0 = \mathbf{Q}</math> और मैदान का निर्माण करता है <math>K_1 = \mathbf{Q}[X] / (X^3 - 2)</math>. यह क्षेत्र विभाजन क्षेत्र नहीं है, बल्कि इसमें एक (कोई भी) रूट शामिल है। हालाँकि, बहुपद <math>Y^3 - 2</math> पर अप्रासंगिक बहुपद नहीं है <math>K_1</math> और वास्तव में:
 :<math>Y^3 -2 = (Y - X)(Y^2 + XY + X^2).</math>
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 ===अन्य उदाहरण===
-* x का विभाजन क्षेत्र<sup>q</sup> − x ओवर 'F'<sub>''p''</sub> अद्वितीय [[परिमित क्षेत्र]] F है<sub>''q''</sub> क्यू = पी के लिए<sup>n</sup>.<ref>{{Cite book|title=अंकगणित में एक पाठ्यक्रम|last=Serre}}</ref> कभी-कभी इस फ़ील्ड को GF(q) द्वारा दर्शाया जाता है।
+* x का विभाजन क्षेत्र<sup>q</sup> − x ओवर 'F'<sub>''p''</sub> अद्वितीय [[परिमित क्षेत्र]] F है<sub>''q''</sub> क्यू = पी के लिए<sup>n</sup>.<ref>{{Cite book|title=अंकगणित में एक पाठ्यक्रम|last=Serre}}</ref> कभी-कभी इस क्षेत्र को GF(q) द्वारा दर्शाया जाता है।
 * x का विभाजन क्षेत्र<sup>2</sup>+1 ओवर एफ<sub>7</sub> एफ है<sub>49</sub>; बहुपद का F में कोई मूल नहीं है<sub>7</sub>, यानी, −1 वहां एक [[वर्ग (बीजगणित)]] नहीं है, क्योंकि 7, 1 मॉड्यूल 4 का [[मॉड्यूलर अंकगणित]] नहीं है।<ref>Instead of applying this characterization of [[parity (mathematics)|odd]] [[prime number|prime]] moduli for which −1 is a square, one could just check that the set of squares in '''F'''<sub>7</sub> is the set of classes of 0, 1, 4, and 2, which does not include the class of −1&thinsp;≡&nbsp;6.</ref>
 * x का विभाजन क्षेत्र<sup>2</sup> - 1 ओवर एफ<sub>7</sub> एफ है<sub>7</sub> एक्स के बाद से<sup>2</sup> − 1 = (x + 1)(x − 1) पहले से ही रैखिक कारकों में विभाजित है।
-* हम f(x) = x के विभाजन क्षेत्र की गणना करते हैं<sup>3</sup> + x + 1 ओवर 'एफ'<sub>2</sub>. यह सत्यापित करना आसान है कि f(x) का 'F' में कोई मूल नहीं है।<sub>2</sub>, इसलिए f(x) 'F' में अप्रासंगिक है<sub>2</sub>[एक्स]। 'F' में r = x + (f(x)) डालें<sub>2</sub>[x]/(f(x)) तो 'F'<sub>2</sub>(r&hairsp;) एक फ़ील्ड है और x<sup>3</sup> + x + 1 = (x + r)(x<sup>2</sup> + ax + b) 'F' में<sub>2</sub>(आर&हेयरस्प;)[x]। ध्यान दें कि हम − के लिए + लिख सकते हैं क्योंकि [[विशेषता (बीजगणित)]] दो है। गुणांकों की तुलना करने से पता चलता है कि a = r और b = 1 + r<sup>2</sup>. एफ के तत्व<sub>2</sub>(r&hairsp;) को c + dr + er के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है<sup>2</sup>, जहां c, d, e 'F' में हैं<sub>2</sub>. आठ तत्व हैं: 0, 1, आर, 1 + आर, आर<sup>2</sup>, 1 + आर<sup>2</sup>, र + र<sup>2</sup>और 1+र+र<sup>2</sup>. इन्हें x में प्रतिस्थापित करने पर<sup>2</sup> + आरएक्स + 1 + आर<sup>2</sup>हम पहुंचते हैं (आर<sup>2</sup>)<sup>2</sup> + r(r<sup>2</sup>) + 1 + आर<sup>2</sup>=आर<sup>4</sup>+आर<sup>3</sup> + 1 + आर<sup>2</sup> = 0, इसलिए x<sup>3</sup> + x + 1 = (x + r)(x + r<sup>2</sup>)(x + (r + r<sup>2</sup>)) 'F' में r के लिए<sub>2</sub>[x]/(f(x)); ई = 'एफ'<sub>2</sub>(r&hairsp;) x का विभाजन क्षेत्र है<sup>3</sup> + x + 1 ओवर 'एफ'<sub>2</sub>.
+* हम f(x) = x के विभाजन क्षेत्र की गणना करते हैं<sup>3</sup> + x + 1 ओवर 'एफ'<sub>2</sub>. यह सत्यापित करना आसान है कि f(x) का 'F' में कोई मूल नहीं है।<sub>2</sub>, इसलिए f(x) 'F' में अप्रासंगिक है<sub>2</sub>[एक्स]। 'F' में r = x + (f(x)) डालें<sub>2</sub>[x]/(f(x)) तो 'F'<sub>2</sub>(r&hairsp;) एक क्षेत्र है और x<sup>3</sup> + x + 1 = (x + r)(x<sup>2</sup> + ax + b) 'F' में<sub>2</sub>(आर&हेयरस्प;)[x]। ध्यान दें कि हम − के लिए + लिख सकते हैं क्योंकि [[विशेषता (बीजगणित)]] दो है। गुणांकों की तुलना करने से पता चलता है कि a = r और b = 1 + r<sup>2</sup>. एफ के तत्व<sub>2</sub>(r&hairsp;) को c + dr + er के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है<sup>2</sup>, जहां c, d, e 'F' में हैं<sub>2</sub>. आठ तत्व हैं: 0, 1, आर, 1 + आर, आर<sup>2</sup>, 1 + आर<sup>2</sup>, र + र<sup>2</sup>और 1+र+र<sup>2</sup>. इन्हें x में प्रतिस्थापित करने पर<sup>2</sup> + आरएक्स + 1 + आर<sup>2</sup>हम पहुंचते हैं (आर<sup>2</sup>)<sup>2</sup> + r(r<sup>2</sup>) + 1 + आर<sup>2</sup>=आर<sup>4</sup>+आर<sup>3</sup> + 1 + आर<sup>2</sup> = 0, इसलिए x<sup>3</sup> + x + 1 = (x + r)(x + r<sup>2</sup>)(x + (r + r<sup>2</sup>)) 'F' में r के लिए<sub>2</sub>[x]/(f(x)); ई = 'एफ'<sub>2</sub>(r&hairsp;) x का विभाजन क्षेत्र है<sup>3</sup> + x + 1 ओवर 'एफ'<sub>2</sub>.
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