टेलीस्कोपिंग श्रृंखला

गणित में, टेलीस्कोपिंग श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसका सामान्य पद $t_{n}$, $t_{n}=a_{n+1}-a_{n}$के रूप का, अर्थात अनुक्रम के दो लगातार पदों का अंतर $(a_{n})$ होता है।

परिणामस्वरूप, निरस्तीकरण के बाद आंशिक योग में $(a_{n})$ के केवल दो पद शामिल होते हैं। प्रत्येक पद के एक भाग को अगले पद के भाग के साथ निरसित करने की निरस्तीकरण तकनीक को अंतर की विधि के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, श्रृंखला

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}$

(उच्चारण संख्याओं के व्युत्क्रमों की श्रृंखला) को इस प्रकार सरल किया गया है

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}$

टेलिस्कोपिंग श्रृंखला के योग या आंशिक योग के सूत्र का प्रारंभिक विवरण 1644 में इवांजेलिस्टा टोर्रिकेली के काम, डी डायमेंशन पैराबोले में पाया जा सकता है।

सामान्य तौर पर

शक्तियों की एक टेलीस्कोप श्रृंखला। योग चिह्न में नोट करें, ${\textstyle \sum }$, सूचकांक n 1 से m तक जाता है। इस तथ्य से परे n और m के बीच कोई संबंध नहीं है कि दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

टेलीस्कोपिंग योग परिमित योग होते हैं जिनमें क्रमागत पदों के जोड़े एक दूसरे को निरसित कर देते हैं, केवल प्रारंभिक और अंतिम पद बचते हैं।

होने देना $a_{n}$ संख्याओं का एक क्रम हो. तब,

$\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}$

यदि $a_{n}\rightarrow 0$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}$

टेलीस्कोपिंग गुणनफल परिमित गुणनफल हैं जिनमें लगातार पद अंश के साथ हर को निरसित कर देते हैं, केवल प्रारंभिक और अंतिम पद छोड़ते हैं।

मान लीजिये $a_{n}$ संख्याओं का एक क्रम है। तब,

$\prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}$

यदि $a_{n}\rightarrow 1$

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}$

अधिक उदाहरण

• कई त्रिकोणमितीय फलन भी प्रतिनिधित्व को एक अंतर के रूप में स्वीकार करते हैं, जो लगातार पदों के बीच टेलीस्कोपिक निरस्तीकरण की अनुमति देता है।
  $${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}$$
• प्रपत्र के कुछ योग
  $$\sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}$$
  जहाँ f और g बहुपद फलन हैं जिनके भागफल को आंशिक भिन्नों में विभाजित किया जा सकता है, इस विधि से योग स्वीकार करने में विफल रहेंगे। विशेषतः, एक के पास है
  $${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}$$
  समस्या यह है कि शर्तें निरसित नहीं होतीं.
• मान लीजिए k एक धनात्मक पूर्णांक है। तब
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}$$
  जहां H_k kवें हार्मोनिक संख्या है। 1/(k − 1) के बाद के सभी पद निरसित हो जाते हैं।
• मान लीजिए k,m के साथ k $\neq$ m धनात्मक पूर्णांक हो. तब
  $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}$$

संभाव्यता सिद्धांत में एक अनुप्रयोग

संभाव्यता सिद्धांत में, एक पॉइसन प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसमें सबसे सरल मामले में यादृच्छिक समय पर "घटनाएं" शामिल होती हैं, अगली घटना तक प्रतीक्षा समय में स्मृति रहित घातीय वितरण होता है, और संख्या किसी भी समय अंतराल में "घटनाएँ" जिनमें पॉइसन वितरण होता है जिसका अपेक्षित मूल्य समय अंतराल की लंबाई के समानुपाती होता है। मान लीजिए X_t समय t से पहले "घटनाओं" की संख्या है, और T_x को xवें "घटना" तक प्रतीक्षा समय होने दें। हम यादृच्छिक चर टीएक्स की संभाव्यता घनत्व फलन की अन्वेषण करते हैं। हम पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन का उपयोग करते हैं, जो हमें यह बताता है

$\Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},$

जहां λ लंबाई 1 के किसी भी समय अंतराल में होने वाली घटनाओं की औसत संख्या है। ध्यान दें कि घटना {X_t ≥ x} घटना {T_x ≤ t} के समान है, और इस प्रकार उनकी संभावना समान है। सहज रूप से, यदि कुछ समय $t$ से पहले कम से कम $x$ बार घटित होता है, तो हमें $xth$ घटित होने के लिए अधिक से अधिक $t$ का प्रतीक्षा करना होगा। इसलिए हम जो घनत्व फलन चाहते हैं वह है

${\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}$

टेलीस्कोप का योग, होना

$f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.$

समान अवधारणाएँ

टेलीस्कोपिंग गुणनफल

एक टेलीस्कोपिंग गुणनफल एक सीमित गुणनफल (या एक परिमित गुणनफल का आंशिक गुणनफल) होता है जिसे भागफल की विधि द्वारा अंततः केवल कारकों की एक सीमित संख्या में रद्द किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, परिमित गुणनफल

$\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$

रूप में सरलीकृत करता है

${\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}$

अन्य अनुप्रयोग

अन्य अनुप्रयोगों के लिए, देखें:

• ग्रांडी की श्रृंखला;
• प्रमाण कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अलग-अलग होता है, जहां एक प्रमाण टेलीस्कोप योग का उपयोग करता है;
• कैलकुलस का मौलिक प्रमेय, टेलीस्कोपिंग श्रृंखला का एक सतत एनालॉग;
• आदेश आँकड़ा, जहां एक टेलीस्कोप योग एक संभाव्यता घनत्व फलन की व्युत्पत्ति में होता है;
• लेफ्शेट्ज़ निश्चित-बिंदु प्रमेय, जहां बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक टेलीस्कोप योग उत्पन्न होता है;
• होमोलॉजी सिद्धांत, फिर से बीजगणितीय टोपोलॉजी में;
• ईलेनबर्ग-मज़ूर ठगी, जहां टेलीस्कोप से गांठों का योग होता है;
• फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम।