अनैच्छिक आव्यूह

गणित में, अनैच्छिक आव्यूह एक [[उलटा आव्यूह] है जो कि इसका अपना व्युत्क्रम आव्यूह है। अर्थात्,आव्यूह A द्वारा गुणा यौगिकता (गणित) है यदि A² = I, जहां I n × n पहचान आव्यूह है। अनैच्छिक आव्यूह पहचान आव्यूह के सभी आव्यूह के वर्गमूल हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर पहचान प्राप्त होती है।

उदाहरण

2 × 2 वास्तविक संख्या आव्यूह ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ अनिवार्य है बशर्ते कि $a^{2}+bc=1.$ M(2, C) में पॉल के आव्यूह अनैच्छिक हैं:

$${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

प्राथमिक आव्यूह के तीन वर्गों में से एक अनैच्छिक है, अर्थात् पंक्ति-बदलाव प्राथमिक आव्यूह होता है। प्रारंभिक मैट्रिक्स अन्य वर्ग का विशेष मामला, जो पंक्ति या स्तंभ को -1 से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, यह अनैच्छिक होता है; यह वास्तव में हस्ताक्षर आव्यूह का तुच्छ उदाहरण है, जो सभी अनिवार्य हैं।

अनैच्छिक आव्यूहों के कुछ सरल उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं।

$${\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$$

कहाँ

• I 3 × 3 पहचान आव्यूह है (जो तुच्छ रूप से अनिवार्य है);
• R, परस्पर बदली हुई पंक्तियों की एक जोड़ी के साथ 3 × 3 पहचान आव्यूह है;
• S एक हस्ताक्षर आव्यूह है।

ब्लॉकों की रैखिक स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, अनैच्छिक आव्यूह से निर्मित कोई भी ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह | ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह भी अनैच्छिक होगा।

समरूपता

एक अनैच्छिक आव्यूह जो सममित आव्यूह भी है, ऑर्थोगोनल आव्यूह है, और इस प्रकार आइसोमेट्री (एक रैखिक परिवर्तन जो यूक्लिडियन दूरी को संरक्षित करता है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत प्रत्येक ऑर्थोगोनल अनैच्छिक आव्यूह सममित है। इसके विशेष मामले के रूप में, प्रत्येक परावर्तन (रैखिक बीजगणित) और 180° रोटेशन आव्यूह अनैच्छिक है।

गुण

एक इनवोल्यूशन दोषपूर्ण आव्यूह है | गैर-दोषपूर्ण, और प्रत्येक आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स बराबर होते हैं $\pm 1$, तो हस्ताक्षर आव्यूह के लिए एक समावेशन विकर्ण आव्यूह ।

एक सामान्य आव्यूह इन्वॉल्वमेंट हर्मिटियन आव्यूह (जटिल) या सममित (वास्तविक) और एकात्मक आव्यूह (जटिल) या ऑर्थोगोनल (वास्तविक) भी है।

किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक अनैच्छिक आव्यूह का निर्धारक ±1 है। यदि A एक n × n आव्यूह है, तो A अनिवार्य है यदि P₊= (I+A)/2 निष्क्रिय आव्यूह है। यह संबंध अनैच्छिक आव्यूहों और निष्क्रिय आव्यूहों के बीच एक आपत्ति देता है।इसी प्रकार, A अनैच्छिक है यदि P₋= (I − A)/2 इडेम्पोटेंट आव्यूह है। ये दो ऑपरेटर सममित और एंटीसिमेट्रिक अनुमान बनाते हैं $v_{\pm }=P_{\pm }v$ एक वेक्टर का $v=v_{+}+v_{-}$ इन्वॉल्वमेंट ए के संबंध में, इस अर्थ में $Av_{\pm }=\pm v_{\pm }$, या $AP_{\pm }=\pm P_{\pm }$. यही निर्माण किसी भी इनवोल्यूशन (गणित) पर लागू होता है, जैसे कि जटिल संयुग्म (वास्तविक और काल्पनिक भाग), खिसकाना (सममित और एंटीसिमेट्रिक आव्यूह), और हर्मिटियन सहायक (हर्मिटियन आव्यूह और स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह | स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह)।

यदि A, M(n, R) में एक अनैच्छिक आव्यूह है, जो वास्तविक संख्याओं पर एक आव्यूह बीजगणित है, और A, I का अदिश गुणज नहीं है, तो उपबीजगणित {x I + y A: x, y ∈ R} जनरेटर (गणित) ए विभाजित-जटिल संख्याओं के लिए समरूपी है।

यदि A और B दो अनैच्छिक आव्यूह हैं जो एक दूसरे के साथ आव्यूहों का परिवर्तन करते हैं (अर्थात AB = BA) तो AB भी अनैच्छिक है।

यदि A एक अनैच्छिक आव्यूह है तो A के आव्यूह का प्रत्येक पूर्णांक आव्यूह गुणन#शक्तियाँ अनैच्छिक है। दरअसल, ए^{यदि n समता (गणित) है तो n} 'ए' के ​​बराबर होगा और यदि n समता (गणित) है तो 'आई' के बराबर होगा।

यह भी देखें

• अफ़िन इन्वॉल्वमेंट