अनैच्छिक आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 20:31, 16 July 2023

गणित में, अनैच्छिक आव्यूह एक [[उलटा आव्यूह] है जो कि इसका अपना व्युत्क्रम आव्यूह है। अर्थात्,आव्यूह A द्वारा गुणा यौगिकता (गणित) है यदि A² = I, जहां I n × n पहचान आव्यूह है। अनैच्छिक आव्यूह पहचान आव्यूह के सभी आव्यूह के वर्गमूल हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि किसी भी व्युत्क्रमणीय आव्यूह को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर पहचान प्राप्त होती है।^[1]

उदाहरण

2 × 2 वास्तविक संख्या आव्यूह ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ अनिवार्य है बशर्ते कि $a^{2}+bc=1.$ ^[2]

M(2, C) में पॉल के आव्यूह अनैच्छिक होता हैं:

{\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

प्राथमिक आव्यूह के तीन वर्गों में से एक अनैच्छिक है, अर्थात् पंक्ति-बदलाव प्राथमिक आव्यूह होता है। प्रारंभिक आव्यूह अन्य वर्ग का विशेष मामला, जो पंक्ति या स्तंभ को -1 से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, यह अनैच्छिक होता है; यह वास्तव में हस्ताक्षर आव्यूह का तुच्छ उदाहरण है, जो सभी अनिवार्य होता हैं।

अनैच्छिक आव्यूहों के कुछ सरल उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं।

{\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}

कहाँ

I 3 × 3 पहचान आव्यूह होता है (जो तुच्छ रूप से अनिवार्य है);
R, परस्पर बदली हुई पंक्तियों की एक जोड़ी के साथ 3 × 3 पहचान आव्यूह होता है;
S एक हस्ताक्षर आव्यूह होता है।

ब्लॉकों की रैखिक स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, अनैच्छिक आव्यूह से निर्मित कोई भी ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह अनैच्छिक होता है।

समरूपता

एक अनैच्छिक आव्यूह जो सममित आव्यूह होता है, ऑर्थोगोनल आव्यूह होता है, और इस प्रकार सममिति (एक रैखिक परिवर्तन जो यूक्लिडियन दूरी को संरक्षित करता है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत प्रत्येक ऑर्थोगोनल अनैच्छिक आव्यूह सममित होता है।^[3]

इसके विशेष मामले के रूप में, प्रत्येक परावर्तन (रैखिक बीजगणित) और 180° घूर्णन आव्यूह अनैच्छिक होता है।

गुण

एक यौगिकता दोषपूर्ण आव्यूह होता है | गैर-दोषपूर्ण, और प्रत्येक आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स बराबर होते हैं $\pm 1$ , तो हस्ताक्षर आव्यूह के लिए समावेशन विकर्ण आव्यूह होता है ।

एक सामान्य आव्यूह इन्वॉल्वमेंट हर्मिटियन आव्यूह (जटिल) या सममित (वास्तविक) और एकात्मक आव्यूह (जटिल) या ऑर्थोगोनल (वास्तविक) भी होता है।

किसी भी क्षेत्र (गणित) पर अनैच्छिक आव्यूह का निर्धारक ±1होता है।^[4]

यदि A एक n × n आव्यूह होता है, तो A अनिवार्य है यदि P₊= (I+A)/2 निष्क्रिय आव्यूह होता है। यह संबंध अनैच्छिक आव्यूहों और निष्क्रिय आव्यूहों के बीच आपत्ति देता है।^[4]इसी प्रकार, A अनैच्छिक है यदि P₋= (I − A)/2 निष्क्रिय आव्यूह होता है। ये दो संचालक सममित और एंटीसिमेट्रिक अनुमान बनाते हैं $v_{\pm }=P_{\pm }v$ सदिश का $v=v_{+}+v_{-}$ अनैच्छिक A के संबंध में, इस अर्थ में $Av_{\pm }=\pm v_{\pm }$ , या $AP_{\pm }=\pm P_{\pm }$ . यही निर्माण किसी भी यौगिकता (गणित) पर लागू होता है, जैसे कि जटिल संयुग्म (वास्तविक और काल्पनिक भाग), खिसकाना (सममित और एंटीसिमेट्रिक आव्यूह), और हर्मिटियन सहायक (हर्मिटियन आव्यूह और स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह होता है |

यदि A, M(n, R) में एक अनैच्छिक आव्यूह है, जो वास्तविक संख्याओं पर एक आव्यूह बीजगणित है, और A, I का अदिश गुणज नहीं है, तो उपबीजगणित {x I + y A: x, y ∈ R} जनरेटर (गणित) ए विभाजित-जटिल संख्याओं के लिए समरूपी है।

यदि A और B दो अनैच्छिक आव्यूह हैं जो एक दूसरे के साथ आव्यूहों का परिवर्तन करते हैं (अर्थात AB = BA) तो AB भी अनैच्छिक है।

यदि A एक अनैच्छिक आव्यूह है तो A के आव्यूह का प्रत्येक पूर्णांक आव्यूह गुणन#शक्तियाँ अनैच्छिक है। दरअसल, ए^{यदि n समता (गणित) है तो n} 'ए' के बराबर होगा और यदि n समता (गणित) है तो 'आई' के बराबर होगा।

यह भी देखें

अफ़िन इन्वॉल्वमेंट

संदर्भ

↑ Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.
↑ Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9
↑ Govaerts, Willy J. F. (2000), Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), p. 292, doi:10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704.
↑ ^4.0 ^4.1 Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2nd ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.

[higham-1] Higham, Nicholas J. (2008), "6.11 Involutory Matrices", Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), pp. 165–166, doi:10.1137/1.9780898717778, ISBN 978-0-89871-646-7, MR 2396439.

[2] Peter Lancaster & Miron Tismenetsky (1985) The Theory of Matrices, 2nd edition, pp 12,13 Academic Press ISBN 0-12-435560-9

[3] Govaerts, Willy J. F. (2000), Numerical methods for bifurcations of dynamical equilibria, Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), p. 292, doi:10.1137/1.9780898719543, ISBN 0-89871-442-7, MR 1736704.

[bernstein-4] 4.0 ^4.1 Bernstein, Dennis S. (2009), "3.15 Facts on Involutory Matrices", Matrix Mathematics (2nd ed.), Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 230–231, ISBN 978-0-691-14039-1, MR 2513751.

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 == उदाहरण ==
  × 2 [[वास्तविक संख्या]] आव्यूह <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & -a \end{pmatrix}</math> अनिवार्य है बशर्ते कि <math>a^2 + bc = 1 .</math><ref>[[Peter Lancaster]] & Miron Tismenetsky (1985) ''The Theory of Matrices'', 2nd edition, pp 12,13 [[Academic Press]] {{ISBN|0-12-435560-9}}</ref>
-M(2, C) में [[पॉल के मैट्रिक्स|पॉल के आव्यूह]] अनैच्छिक हैं:
+M(2, '''C''') में [[पॉल के मैट्रिक्स|पॉल के आव्यूह]] अनैच्छिक होता हैं:
 <math display="block">\begin{align}
    \sigma_1 = \sigma_x &=
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      \end{pmatrix}.
 \end{align}</math>
-[[प्राथमिक मैट्रिक्स|प्राथमिक आव्यूह]] के तीन वर्गों में से एक अनैच्छिक है, अर्थात् पंक्ति-बदलाव प्राथमिक आव्यूह होता है। प्रारंभिक मैट्रिक्स अन्य वर्ग का विशेष मामला, जो पंक्ति या स्तंभ को -1 से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, यह अनैच्छिक होता है; यह वास्तव में [[हस्ताक्षर मैट्रिक्स|हस्ताक्षर आव्यूह]] का तुच्छ उदाहरण है, जो सभी अनिवार्य हैं।
+[[प्राथमिक मैट्रिक्स|प्राथमिक आव्यूह]] के तीन वर्गों में से एक अनैच्छिक है, अर्थात् पंक्ति-बदलाव प्राथमिक आव्यूह होता है। प्रारंभिक आव्यूह अन्य वर्ग का विशेष मामला, जो पंक्ति या स्तंभ को -1 से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, यह अनैच्छिक होता है; यह वास्तव में [[हस्ताक्षर मैट्रिक्स|हस्ताक्षर आव्यूह]] का तुच्छ उदाहरण है, जो सभी अनिवार्य होता हैं।
 अनैच्छिक आव्यूहों के कुछ सरल उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं।
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 </math>
 कहाँ
-* I 3 × 3 पहचान आव्यूह है (जो तुच्छ रूप से अनिवार्य है);
+* I 3 × 3 पहचान आव्यूह होता है (जो तुच्छ रूप से अनिवार्य है);
-* R, परस्पर बदली हुई पंक्तियों की एक जोड़ी के साथ 3 × 3 पहचान आव्यूह है;
+* '''R''', परस्पर बदली हुई पंक्तियों की एक जोड़ी के साथ 3 × 3 पहचान आव्यूह होता है;
-* S एक हस्ताक्षर आव्यूह  है।
+* '''S''' एक हस्ताक्षर आव्यूह होता है।
-ब्लॉकों की रैखिक स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, अनैच्छिक आव्यूह से निर्मित कोई भी [[ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स|ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह]]  | ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह भी अनैच्छिक होगा।
+ब्लॉकों की रैखिक स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, अनैच्छिक आव्यूह से निर्मित कोई भी [[ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स|ब्लॉक-विकर्ण आव्यूह]] अनैच्छिक होता  है।
 == समरूपता ==
-एक अनैच्छिक आव्यूह जो [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] भी है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] है, और इस प्रकार [[आइसोमेट्री]] (एक [[रैखिक परिवर्तन]] जो [[यूक्लिडियन दूरी]] को संरक्षित करता है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत प्रत्येक ऑर्थोगोनल अनैच्छिक आव्यूह सममित है।<ref>{{citation
+एक अनैच्छिक आव्यूह जो [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] होता है, [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]] होता है, और इस प्रकार सममिति (एक [[रैखिक परिवर्तन]] जो [[यूक्लिडियन दूरी]] को संरक्षित करता है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत प्रत्येक ऑर्थोगोनल अनैच्छिक आव्यूह सममित होता है।<ref>{{citation
   | last = Govaerts | first = Willy J. F.
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-इसके विशेष मामले के रूप में, प्रत्येक [[परावर्तन (रैखिक बीजगणित)]] और 180° [[रोटेशन मैट्रिक्स|रोटेशन आव्यूह]] अनैच्छिक है।
+इसके विशेष मामले के रूप में, प्रत्येक [[परावर्तन (रैखिक बीजगणित)]] और 180° घूर्णन [[रोटेशन मैट्रिक्स|आव्यूह]] अनैच्छिक होता है।
 ==गुण==
-एक इनवोल्यूशन [[दोषपूर्ण मैट्रिक्स|दोषपूर्ण आव्यूह]]  है | गैर-दोषपूर्ण, और प्रत्येक [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]] बराबर होते हैं <math>\pm 1</math>, तो हस्ताक्षर आव्यूह के लिए एक समावेशन विकर्ण आव्यूह ।
+एक यौगिकता [[दोषपूर्ण मैट्रिक्स|दोषपूर्ण आव्यूह]] होता है | गैर-दोषपूर्ण, और प्रत्येक [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]] बराबर होते हैं <math>\pm 1</math>, तो हस्ताक्षर आव्यूह के लिए समावेशन विकर्ण आव्यूह होता है ।
-एक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]] इन्वॉल्वमेंट [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] (जटिल) या सममित (वास्तविक) और [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] (जटिल) या ऑर्थोगोनल (वास्तविक) भी है।
+एक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]] इन्वॉल्वमेंट [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] (जटिल) या सममित (वास्तविक) और [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]] (जटिल) या ऑर्थोगोनल (वास्तविक) भी होता है।
-किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक अनैच्छिक आव्यूह का निर्धारक ±1 है।<ref name="bernstein">{{citation
+किसी भी क्षेत्र (गणित) पर अनैच्छिक आव्यूह का निर्धारक ±1होता है।<ref name="bernstein">{{citation
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-यदि A एक ''n'' × ''n'' आव्यूह है, तो A अनिवार्य है यदि P<sub>+</sub>= (I+A)/2 [[निष्क्रिय मैट्रिक्स|निष्क्रिय आव्यूह]] है। यह संबंध अनैच्छिक आव्यूहों और निष्क्रिय आव्यूहों के बीच एक आपत्ति देता है।<ref name="bernstein"/>इसी प्रकार, A अनैच्छिक है यदि P<sub>−</sub>= (I − A)/2 इडेम्पोटेंट आव्यूह है। ये दो ऑपरेटर सममित और एंटीसिमेट्रिक अनुमान बनाते हैं <math>v_\pm = P_\pm v</math> एक वेक्टर का <math>v = v_+ + v_-</math> इन्वॉल्वमेंट ए के संबंध में, इस अर्थ में <math>Av_\pm = \pm v_\pm</math>, या <math>A P_\pm = \pm P_\pm</math>. यही निर्माण किसी भी इनवोल्यूशन (गणित) पर लागू होता है, जैसे कि जटिल संयुग्म (वास्तविक और काल्पनिक भाग), [[ खिसकाना ]] (सममित और एंटीसिमेट्रिक आव्यूह), और [[हर्मिटियन सहायक]] (हर्मिटियन आव्यूह और [[स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स|स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह]] | स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह)।
+यदि '''A''' एक ''n'' × ''n'' आव्यूह होता है, तो '''A''' अनिवार्य है यदि '''P'''<sub>+</sub>= (I+'''A''')/2 [[निष्क्रिय मैट्रिक्स|निष्क्रिय आव्यूह]] होता है। यह संबंध अनैच्छिक आव्यूहों और निष्क्रिय आव्यूहों के बीच आपत्ति देता है।<ref name="bernstein" />इसी प्रकार''', A''' अनैच्छिक है यदि '''P'''<sub>−</sub>= (I − '''A''')/2 निष्क्रिय आव्यूह होता है। ये दो संचालक सममित और एंटीसिमेट्रिक अनुमान बनाते हैं <math>v_\pm = P_\pm v</math> सदिश का <math>v = v_+ + v_-</math> अनैच्छिक A के संबंध में, इस अर्थ में <math>Av_\pm = \pm v_\pm</math>, या <math>A P_\pm = \pm P_\pm</math>. यही निर्माण किसी भी यौगिकता (गणित) पर लागू होता है, जैसे कि जटिल संयुग्म (वास्तविक और काल्पनिक भाग), [[ खिसकाना | खिसकाना]] (सममित और एंटीसिमेट्रिक आव्यूह), और [[हर्मिटियन सहायक]] (हर्मिटियन आव्यूह और [[स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स|स्क्यू-हर्मिटियन आव्यूह]] होता है |
 यदि A, M(''n'', R) में एक अनैच्छिक आव्यूह  है, जो वास्तविक संख्याओं पर एक आव्यूह [[मैट्रिक्स बीजगणित|बीजगणित]] है, और A, I का अदिश गुणज नहीं है, तो [[उपबीजगणित]] {{mset|''x''&thinsp;'''I''' + ''y''&thinsp;'''A''': ''x'',&thinsp;''y'' ∈ '''R'''}} [[जनरेटर (गणित)]] ए [[विभाजित-जटिल संख्या]]ओं के लिए [[समरूपी]] है।

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
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