प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम[1] [2] [3] यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।
घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम दो घटनाएँ दो घटनाओं A {\displaystyle A} B {\displaystyle B}
P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)} जहां P ( A ∣ B ) {\displaystyle \mathbb {P} (A\mid B)} B {\displaystyle B} A {\displaystyle A} सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।
उदाहरण एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना A {\displaystyle A} P ( A ) = P ( A ¯ ) = 1 / 2 {\displaystyle \mathbb {P} (A)=\mathbb {P} ({\overline {A}})=1/2} A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} A {\displaystyle A} पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना B {\displaystyle B} P ( B | A ) = 2 / 3. {\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=2/3.} A ∩ B {\displaystyle A\cap B}
P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = 2 3 ⋅ 1 2 = 1 3 . {\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (B\mid A)\mathbb {P} (A)={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}.} निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ उन घटनाओं के लिए A 1 , … , A n {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ … ∩ A n ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) P ( A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) = P ( A n ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 1 ) P ( A n − 1 ∣ A 1 ∩ … ∩ A n − 2 ) ⋅ … ⋅ P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) ⋅ … ⋅ P ( A n ∣ A 1 ∩ ⋯ ∩ A उदाहरण 1 n = 4 {\displaystyle n=4}
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 2 ∩ A 1 ) = P ( A 4 ∣ A 3 ∩ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 ∩ A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\cap A_{1})\\&=\mathbb {P} (A_{4}\mid A_{3}\cap A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{2}\cap A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{1})\end{aligned}}} उदाहरण 2 हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?
सबसे पहले, हम A n := { draw an ace in the n th try } {\textstyle A_{n}:=\left\{{\text{draw an ace in the }}n^{\text{th}}{\text{ try}}\right\}}
P ( A 1 ) = 4 52 , P ( A 2 ∣ A 1 ) = 3 51 , P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = 2 50 , P ( A 4 ∣ A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = 1 49 {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1})={\frac {4}{52}},\qquad \mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})={\frac {3}{51}},\qquad \mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})={\frac {2}{50}},\qquad \mathbb {P} (A_{4}\mid A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{49}}} श्रृंखला नियम लागू करने पर,
P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = 4 52 ⋅ 3 51 ⋅ 2 50 ⋅ 1 49 {\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})={\frac {4}{52}}\cdot {\frac {3}{51}}\cdot {\frac {2}{50}}\cdot {\frac {1}{49}}} प्रमेय का कथन और उपपत्ति मान लीजिए ( Ω , A , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}
याद रखें कि A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} B ∈ A {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} सशर्त प्रायिकता को
P ( A ∣ B ) := { P ( A ∩ B ) P ( B ) , P ( B ) > 0 , 0 P ( B ) = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A\mid B):={\begin{cases}{\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}},&\mathbb {P} (B)>0,\\0&\mathbb {P} (B)=0.\end{cases}}\end{aligned}}} के रूप में परिभाषित किया गया है।
तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।
Proof
सूत्र प्रत्यावर्तन द्वारा तुरंत अनुसरण करता है
( 1 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) ( 2 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ) P ( A 3 ∣ A 1 ∩ A 2 ) = P ( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) , {\displaystyle {\begin{aligned}(1)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\\(2)&&&\mathbb {P} (A_{1})\mathbb {P} (A_{2}\mid A_{1})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})\mathbb {P} (A_{3}\mid A_{1}\cap A_{2})\\&&&&=&\qquad \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}),\end{aligned}}} जहां हमने पहले चरण में सप्रतिबंधप्रायिकता की परिभाषा का उपयोग किया।
असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम दो यादृच्छिक चर दो असतत यादृच्छिक चर X , Y {\displaystyle X,Y} A := { X = x } {\displaystyle A:=\{X=x\}} B := { Y = y } {\displaystyle B:=\{Y=y\}}
P ( X = x , Y = y ) = P ( X = x ∣ Y = y ) P ( Y = y ) , {\displaystyle \mathbb {P} (X=x,Y=y)=\mathbb {P} (X=x\mid Y=y)\mathbb {P} (Y=y),} के रूप में निर्धारित करते हैं या
P ( X , Y ) ( x , y ) = P X ∣ Y ( x ∣ y ) P Y ( y ) , {\displaystyle \mathbb {P} _{(X,Y)}(x,y)=\mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)\mathbb {P} _{Y}(y),} P X ( x ) := P ( X = x ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X}(x):=\mathbb {P} (X=x)} X {\displaystyle X} प्रायिकता वितरण है और P X ∣ Y ( x ∣ y ) {\displaystyle \mathbb {P} _{X\mid Y}(x\mid y)} X {\displaystyle X} सशर्त प्रायिकता वितरण Y {\displaystyle Y} बहुत सारे यादृच्छिक चर माना कि X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}} x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R} }
P ( X n = x n , … , X 1 = x 1 ) = P ( X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , … , X 1 = x 1 ) P ( X n − 1 = x n − 1 , … , X 1 = x 1 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)=\mathbb {P} \left(X_{n}=x_{n}|X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)\mathbb {P} \left(X_{n-1}=x_{n-1},\ldots ,X_{1}=x_{1}\right)} और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम A k := { X k = x k } {\displaystyle A_{k}:=\{X_{k}=x_{k}\}}
P ( X 1 = x 1 , … X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ∣ X 2 = x 2 , … , X n = x n ) P ( X 2 = x 2 , … , X n = x n ) = P ( X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 ∣ X 1 = x 1 ) P ( X 3 = x 3 ∣ X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ) ⋅ … ⋅ P ( X n = x n ∣ X 1 = x 1 , … , X n − 1 = x n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1},\ldots X_{n}=x_{n}\right)&=\mathbb {P} \left(X_{1}=x_{1}\mid X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\mathbb {P} \left(X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)\\&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})\cdot \ldots \\&\qquad \cdot \mathbb {P} (X_{n}=x_{n}\mid X_{1}=x_{1},\dots ,X_{n-1}=x_{n-1})\\\end{aligned}}} उदाहरण n = 3 {\displaystyle n=3}
P ( X 1 , X 2 , X 3 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = P ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 ) = P ( X 3 = x 3 ∣ X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) = P ( X 3 = x 3 ∣ X 2 = x 2 , X 1 = x 1 ) P ( X 2 = x 2 ∣ X 1 = x 1 ) P ( X 1 = x 1 ) = P X 3 ∣ X 2 , X 1 ( x 3 ∣ x 2 , x 1 ) P X 2 ∣ X 1 ( x 2 ∣ x 1 ) P X 1 ( x 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} _{(X_{1},X_{2},X_{3})}(x_{1},x_{2},x_{3})&=\mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},X_{3}=x_{3})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} (X_{3}=x_{3}\mid X_{2}=x_{2},X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{2}=x_{2}\mid X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (X_{1}=x_{1})\\&=\mathbb {P} _{X_{3}\mid X_{2},X_{1}}(x_{3}\mid x_{2},x_{1})\mathbb {P} _{X_{2}\mid X_{1}}(x_{2}\mid x_{1})\mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1}).\end{aligned}}} यह भी देखें [[स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत) |स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
]]- जब एक घटना की घटना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है
ग्रन्थसूची रेने एल. शिलिंग (2021), माप, अभिन्न, प्रायिकता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम (1 ed.), टेक्नीश यूनिवर्सिटेट ड्रेसडेन, जर्मनी, ISBN 979-8-5991-0488-9 {{citation }}: CS1 maint: location missing publisher (link )विलियम फेलर (1968), प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय , vol. I (3 ed.), न्यूयॉर्क/लंदन/सिडनी: विले, ISBN 978-0-471-25708-0 Russell, Stuart J. ; Norvig, Peter (2003), Artificial Intelligence: A Modern Approach ISBN 0-13-790395-2
संदर्भ
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