स्वतंत्र स्वतंत्रता: Difference between revisions

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मुक्त संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, स्वतंत्र स्वतंत्रता की धारणा [[डैन वोइकुलेस्कु (गणितज्ञ)]] द्वारा पेश की गई थी।<ref>D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Free Random Variables", CIRM Monograph Series, AMS, Providence, RI, 1992</ref> स्वतंत्र स्वतंत्रता की परिभाषा [[स्वतंत्रता (संभावना)]] की शास्त्रीय परिभाषा के समानांतर है, सिवाय इसके कि माप स्थानों के कार्टेशियन उत्पादों की भूमिका (उनके फ़ंक्शन बीजगणित के [[टेंसर उत्पाद]]ों के अनुरूप) (गैर-) के मुक्त उत्पाद की धारणा द्वारा निभाई जाती है। क्रमविनिमेय) संभाव्यता स्थान।
मुक्त संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, '''स्वतंत्र स्वतंत्रता''' की धारणा [[डैन वोइकुलेस्कु (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी। <ref>D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Free Random Variables", CIRM Monograph Series, AMS, Providence, RI, 1992</ref> स्वतंत्र स्वतंत्रता की परिभाषा [[स्वतंत्रता (संभावना)]] की पारम्परिक परिभाषा के समानांतर है, अतिरिक्त इसके कि माप स्थानों के कार्टेशियन उत्पादों की भूमिका (उनके फलन बीजगणित के [[टेंसर उत्पाद|प्रदिश उत्पाद]] के अनुरूप) (गैर-क्रमविनिमेय) संभाव्यता स्थान के मुक्त उत्पाद की धारणा द्वारा निभाई जाती है।


वोइकुलेस्कु के मुक्त संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, कई शास्त्रीय-संभावना प्रमेयों या घटनाओं में मुक्त संभाव्यता एनालॉग होते हैं: यदि स्वतंत्रता की शास्त्रीय धारणा को स्वतंत्र स्वतंत्रता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वही प्रमेय या घटना लागू होती है (शायद मामूली संशोधनों के साथ)। इसके उदाहरणों में शामिल हैं: मुक्त केंद्रीय सीमा प्रमेय; [[मुक्त कनवल्शन]] की धारणाएँ; [[निःशुल्क स्टोकेस्टिक कैलकुलस]] इत्यादि का अस्तित्व।
वोइकुलेस्कु के मुक्त संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, कई पारम्परिक-संभावना प्रमेयों या घटनाओं में मुक्त संभाव्यता समधर्मी होते हैं: यदि स्वतंत्रता की पारम्परिक धारणा को स्वतंत्र स्वतंत्रता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वही प्रमेय या घटना लागू होती है (संभवतः सामान्य संशोधनों के साथ)। इसके उदाहरणों में सम्मिलित हैं: मुक्त केंद्रीय सीमा प्रमेय; [[मुक्त कनवल्शन]] की धारणाएँ; [[निःशुल्क स्टोकेस्टिक कैलकुलस|निःशुल्क प्रसंभाव्य कलन]] इत्यादि का अस्तित्व है।


होने देना <math>(A,\phi)</math> एक गैर-कम्यूटेटिव संभाव्यता स्थान बनें, यानी एक क्षेत्र पर एक [[पहचान तत्व]] बीजगणित <math>A</math> ऊपर <math>\mathbb{C}</math> [[यूनिटल मानचित्र]] [[ रैखिक कार्यात्मक ]] से सुसज्जित <math>\phi:A\to\mathbb{C}</math>. एक उदाहरण के रूप में, कोई संभाव्यता माप के लिए ले सकता है <math>\mu</math>,
मान लीजिये <math>(A,\phi)</math> एक गैर-क्रम विनिमय संभाव्यता स्थान बनें, यानी एक क्षेत्र पर एक [[पहचान तत्व|यूनिटल]] बीजगणित <math>A</math> ऊपर <math>\mathbb{C}</math> [[यूनिटल मानचित्र]] [[ रैखिक कार्यात्मक ]]<math>\phi:A\to\mathbb{C}</math> से सुसज्जित है। एक उदाहरण के रूप में, कोई संभाव्यता माप <math>\mu</math> के लिए ले सकता है ,


: <math>A = L^\infty(\mathbb{R},\mu),\phi(f) = \int f(t)\,d\mu(t).</math>
: <math>A = L^\infty(\mathbb{R},\mu),\phi(f) = \int f(t)\,d\mu(t).</math>
एक और उदाहरण हो सकता है <math>A=M_N</math>, का बीजगणित <math>N\times N</math> सामान्यीकृत ट्रेस द्वारा दिए गए कार्यात्मकता वाले मैट्रिक्स <math>\phi=\frac{1}{N}Tr</math>. और भी सामान्यतः, <math>A</math> एक [[वॉन न्यूमैन बीजगणित]] हो सकता है और <math>\phi</math> पर एक राज्य <math>A</math>. एक अंतिम उदाहरण समूह वलय है <math>A=\mathbb{C}\Gamma</math> एक (अलग) समूह का (गणित) <math>\Gamma</math> कार्यात्मकता के साथ <math>\phi</math> ग्रुप ट्रेस द्वारा दिया गया <math>\phi (g) = \delta_{g=e},g\in \Gamma</math>.
एक और उदाहरण <math>A=M_N</math> हो सकता है, सामान्यीकृत अनुरेख <math>\phi=\frac{1}{N}Tr</math> द्वारा दिए गए कार्यात्मकता के साथ <math>N\times N</math> आव्यूहों का बीजगणित है।  इससे भी अधिक सामान्यतः, <math>A</math> एक वॉन न्यूमैन बीजगणित हो सकता है और <math>A</math> पर एक स्थिति हो सकती है। एक अंतिम उदाहरण समूह वलय <math>A=\mathbb{C}\Gamma</math> है  एक (अलग) समूह का (गणित) <math>\Gamma</math> कार्यात्मकता के साथ <math>\phi</math> समूह अनुरेख <math>\phi (g) = \delta_{g=e},g\in \Gamma</math> द्वारा दिया गया।


होने देना <math>\{A_i : i\in I\}</math> के इकाई उपबीजगणित का एक परिवार बनें <math>A</math>.
मान लीजिये <math>\{A_i : i\in I\}</math> <math>A</math> के इकाई उपबीजगणित का एक वर्ग बनते हैं।


परिभाषा। परिवार <math>\{A_i : i\in I\}</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि
'''परिभाषा'''. वर्ग <math>\{A_i : i\in I\}</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि
  <math>\phi(x_1 x_2 \cdots x_n) =0 </math>
  <math>\phi(x_1 x_2 \cdots x_n) =0 </math>
जब कभी भी <math>\phi(x_j)=0</math>, <math>x_j \in A_{i(j)}</math> और <math>i(1)\neq i(2), i(2)\neq i(3),\dots</math>.
जब कभी भी <math>\phi(x_j)=0</math>, <math>x_j \in A_{i(j)}</math> और <math>i(1)\neq i(2), i(2)\neq i(3),\dots</math>. है


अगर <math>X_i\in A</math>, <math>i\in I</math> के तत्वों का एक परिवार है <math>A</math> (इन्हें यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है <math>A</math>), वे कहते हैं
अगर <math>X_i\in A</math>, <math>i\in I</math> के तत्वों का एक वर्ग <math>A</math> (इन्हें यादृच्छिक चर <math>A</math> के रूप में सोचा जा सकता है) है, वे कहते हैं


यदि बीजगणित स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र है <math>A_i</math> द्वारा उत्पन्न <math>1</math> और <math>X_i</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं.
यदि 1 और <math>X_i</math> द्वारा उत्पन्न बीजगणित <math>A_i</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं, तो उन्हें स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।


== स्वतंत्र स्वतंत्रता के उदाहरण ==
== स्वतंत्र स्वतंत्रता के उदाहरण ==


* होने देना <math>\Gamma</math> समूहों का निःशुल्क उत्पाद बनें <math>\Gamma_i,i\in I</math>, होने देना <math>A=\mathbb{C}\Gamma</math> समूह बीजगणित हो, <math>\phi(g)=\delta_{g=e}</math> समूह ट्रेस बनें, और सेट करें <math>A_i=\mathbb{C}\Gamma_i\subset A</math>. तब <math>A_i:i\in I</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं.
* मान लीजिये <math>\Gamma</math> समूहों का निःशुल्क उत्पाद <math>\Gamma_i,i\in I</math> बनते हैं, मान लीजिये <math>A=\mathbb{C}\Gamma</math> समूह बीजगणित हो, <math>\phi(g)=\delta_{g=e}</math> समूह अनुरेख बनते हैं, और <math>A_i=\mathbb{C}\Gamma_i\subset A</math> सम्मुच्चय करते हैं। तब <math>A_i:i\in I</math> स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं।
* होने देना <math>U_i(N),i=1,2</math> होना <math>N\times N</math> एकात्मक [[यादृच्छिक मैट्रिक्स]], से यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से लिया गया <math>N\times N</math> [[एकात्मक समूह]] (हार माप के संबंध में)। तब <math>U_1(N),U_2(N)</math> असम्बद्ध रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र बनें <math>N\to\infty</math>. (एसिम्प्टोटिक फ्रीनेस का मतलब है कि फ्रीनेस की परिभाषा इस सीमा में है <math>N\to\infty</math>).
* मान लीजिए कि <math>U_i(N),i=1,2</math> <math>N\times N</math> एकात्मक यादृच्छिक आव्यूह हैं, जिन्हें <math>N\times N</math> एकात्मक समूह से यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से लिया गया है (Haar माप के संबंध में)। फिर <math>U_1(N),U_2(N)</math> <math>N\to\infty</math> के रूप में स्पर्शोन्मुख रूप से स्वतंत्र हो जाते हैं। (एसिम्प्टोटिक फ्रीनेस का मतलब है कि फ्रीनेस की परिभाषा <math>N\to\infty</math> की सीमा में है)
* अधिक आम तौर पर, कुछ शर्तों के तहत, स्वतंत्र यादृच्छिक मैट्रिक्स असममित रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र होते हैं।
* अधिक सामान्यतः, कुछ स्तिथियों के अंतर्गत, स्वतंत्र यादृच्छिक आव्यूह असममित रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र होते हैं।


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==

Revision as of 20:45, 13 July 2023

मुक्त संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, स्वतंत्र स्वतंत्रता की धारणा डैन वोइकुलेस्कु (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत की गई थी। [1] स्वतंत्र स्वतंत्रता की परिभाषा स्वतंत्रता (संभावना) की पारम्परिक परिभाषा के समानांतर है, अतिरिक्त इसके कि माप स्थानों के कार्टेशियन उत्पादों की भूमिका (उनके फलन बीजगणित के प्रदिश उत्पाद के अनुरूप) (गैर-क्रमविनिमेय) संभाव्यता स्थान के मुक्त उत्पाद की धारणा द्वारा निभाई जाती है।

वोइकुलेस्कु के मुक्त संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, कई पारम्परिक-संभावना प्रमेयों या घटनाओं में मुक्त संभाव्यता समधर्मी होते हैं: यदि स्वतंत्रता की पारम्परिक धारणा को स्वतंत्र स्वतंत्रता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो वही प्रमेय या घटना लागू होती है (संभवतः सामान्य संशोधनों के साथ)। इसके उदाहरणों में सम्मिलित हैं: मुक्त केंद्रीय सीमा प्रमेय; मुक्त कनवल्शन की धारणाएँ; निःशुल्क प्रसंभाव्य कलन इत्यादि का अस्तित्व है।

मान लीजिये एक गैर-क्रम विनिमय संभाव्यता स्थान बनें, यानी एक क्षेत्र पर एक यूनिटल बीजगणित ऊपर यूनिटल मानचित्र रैखिक कार्यात्मक से सुसज्जित है। एक उदाहरण के रूप में, कोई संभाव्यता माप के लिए ले सकता है ,

एक और उदाहरण हो सकता है, सामान्यीकृत अनुरेख द्वारा दिए गए कार्यात्मकता के साथ आव्यूहों का बीजगणित है। इससे भी अधिक सामान्यतः, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित हो सकता है और पर एक स्थिति हो सकती है। एक अंतिम उदाहरण समूह वलय है एक (अलग) समूह का (गणित) कार्यात्मकता के साथ समूह अनुरेख द्वारा दिया गया।

मान लीजिये के इकाई उपबीजगणित का एक वर्ग बनते हैं।

परिभाषा. वर्ग स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि


जब कभी भी , और . है

अगर , के तत्वों का एक वर्ग (इन्हें यादृच्छिक चर के रूप में सोचा जा सकता है) है, वे कहते हैं

यदि 1 और द्वारा उत्पन्न बीजगणित स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं, तो उन्हें स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र कहा जाता है।

स्वतंत्र स्वतंत्रता के उदाहरण

  • मान लीजिये समूहों का निःशुल्क उत्पाद बनते हैं, मान लीजिये समूह बीजगणित हो, समूह अनुरेख बनते हैं, और सम्मुच्चय करते हैं। तब स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र हैं।
  • मान लीजिए कि एकात्मक यादृच्छिक आव्यूह हैं, जिन्हें एकात्मक समूह से यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से लिया गया है (Haar माप के संबंध में)। फिर के रूप में स्पर्शोन्मुख रूप से स्वतंत्र हो जाते हैं। (एसिम्प्टोटिक फ्रीनेस का मतलब है कि फ्रीनेस की परिभाषा की सीमा में है)।
  • अधिक सामान्यतः, कुछ स्तिथियों के अंतर्गत, स्वतंत्र यादृच्छिक आव्यूह असममित रूप से स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र होते हैं।

संदर्भ

  1. D. Voiculescu, K. Dykema, A. Nica, "Free Random Variables", CIRM Monograph Series, AMS, Providence, RI, 1992


स्रोत

श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:मुक्त संभाव्यता सिद्धांत श्रेणी:मुक्त बीजगणितीय संरचनाएँ