लुकास अनुक्रम

गणित में, लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ कुछ स्थिर-पुनरावर्ती अनुक्रम हैं|निरंतर-पुनरावर्ती पूर्णांक अनुक्रम जो पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं

$x_{n}=P\cdot x_{n-1}-Q\cdot x_{n-2}$

कहाँ $P$ और $Q$ निश्चित पूर्णांक हैं. इस पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करने वाले किसी भी अनुक्रम को लुकास अनुक्रमों के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q).$ अधिक सामान्यतः, लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ में बहुपदों के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करते हैं $P$ और $Q$ पूर्णांक गुणांक के साथ.

लुकास अनुक्रमों के प्रसिद्ध उदाहरणों में फाइबोनैचि संख्याएं, मेरसेन संख्याएं, पेल संख्याएं, लुकास संख्याएं, जैकबस्टल संख्याएं और फर्मेट संख्याओं का सुपरसेट शामिल हैं (नीचे देखें)। लुकास अनुक्रमों का नाम फ्रांस के गणितज्ञ एडवर्ड लुकास के नाम पर रखा गया है।

पुनरावृत्ति संबंध

दो पूर्णांक पैरामीटर दिए गए हैं $P$ और $Q$, पहली तरह के लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और दूसरे प्रकार का $V_{n}(P,Q)$ पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा परिभाषित हैं:

${\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1,\end{aligned}}$

और

${\begin{aligned}V_{0}(P,Q)&=2,\\V_{1}(P,Q)&=P,\\V_{n}(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q){\mbox{ for }}n>1.\end{aligned}}$

इसे दर्शाना कठिन नहीं है $n>0$,

${\begin{aligned}U_{n}(P,Q)&={\frac {P\cdot U_{n-1}(P,Q)+V_{n-1}(P,Q)}{2}},\\V_{n}(P,Q)&={\frac {(P^{2}-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}}.\end{aligned}}$

उपरोक्त संबंधों को मैट्रिक्स (गणित) रूप में इस प्रकार बताया जा सकता है:

${\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\U_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},$

${\begin{bmatrix}V_{n}(P,Q)\\V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-Q&P\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}V_{n-1}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}},$

${\begin{bmatrix}U_{n}(P,Q)\\V_{n}(P,Q)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}P/2&1/2\\(P^{2}-4Q)/2&P/2\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}U_{n-1}(P,Q)\\V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}}.$

उदाहरण

लुकास अनुक्रमों की प्रारंभिक शर्तें $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ तालिका में दिए गए हैं:

${\begin{array}{r|l|l}n&U_{n}(P,Q)&V_{n}(P,Q)\\\hline 0&0&2\\1&1&P\\2&P&{P}^{2}-2Q\\3&{P}^{2}-Q&{P}^{3}-3PQ\\4&{P}^{3}-2PQ&{P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}\\5&{P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2}&{P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}\\6&{P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2}&{P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}\end{array}}$

स्पष्ट अभिव्यक्ति

लुकास अनुक्रमों के लिए पुनरावृत्ति संबंध का विशिष्ट समीकरण $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ है:

$x^{2}-Px+Q=0\,$

इसमें विवेचक है $D=P^{2}-4Q$ और बहुपद का मूल:

$a={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}.\,$

इस प्रकार:

$a+b=P\,,$

$ab={\frac {1}{4}}(P^{2}-D)=Q\,,$

$a-b={\sqrt {D}}\,.$

ध्यान दें कि क्रम $a^{n}$ और क्रम $b^{n}$ पुनरावृत्ति संबंध को भी संतुष्ट करें। हालाँकि ये पूर्णांक अनुक्रम नहीं हो सकते हैं।

अलग जड़ें

कब $D\neq 0$, ए और बी अलग-अलग हैं और कोई भी इसे तुरंत सत्यापित कर सकता है

$a^{n}={\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}$

$b^{n}={\frac {V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}.$

इससे यह पता चलता है कि लुकास अनुक्रमों की शर्तों को ए और बी के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है

$U_{n}={\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}={\frac {a^{n}-b^{n}}{\sqrt {D}}}$

$V_{n}=a^{n}+b^{n}\,$

दोहराया गया रूट

मामला $D=0$ बिल्कुल तब होता है जब $P=2S{\text{ and }}Q=S^{2}$ कुछ पूर्णांक S के लिए ताकि $a=b=S$. इस मामले में कोई भी इसे आसानी से पा सकता है

$U_{n}(P,Q)=U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1}\,$

$V_{n}(P,Q)=V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.\,$

गुण

कार्य उत्पन्न करना

सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन हैं

$\sum _{n\geq 0}U_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {z}{1-Pz+Qz^{2}}};$

$\sum _{n\geq 0}V_{n}(P,Q)z^{n}={\frac {2-Pz}{1-Pz+Qz^{2}}}.$

पेल समीकरण

कब $Q=\pm 1$, लुकास अनुक्रम $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$ कुछ पेल समीकरणों को संतुष्ट करें:

$V_{n}(P,1)^{2}-D\cdot U_{n}(P,1)^{2}=4,$

$V_{2n}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n}(P,-1)^{2}=4,$

$V_{2n+1}(P,-1)^{2}-D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^{2}=-4.$

विभिन्न मापदंडों के साथ अनुक्रमों के बीच संबंध

• किसी भी संख्या c के लिए, अनुक्रम $U_{n}(P',Q')$ और $V_{n}(P',Q')$ साथ

$P'=P+2c$

$Q'=cP+Q+c^{2}$

के समान विभेदक है $U_{n}(P,Q)$ और $V_{n}(P,Q)$:

$P'^{2}-4Q'=(P+2c)^{2}-4(cP+Q+c^{2})=P^{2}-4Q=D.$

• किसी भी संख्या c के लिए, हमारे पास भी है

$U_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n-1}\cdot U_{n}(P,Q),$

$V_{n}(cP,c^{2}Q)=c^{n}\cdot V_{n}(P,Q).$

अन्य संबंध

लुकास अनुक्रमों की शर्तें उन संबंधों को संतुष्ट करती हैं जो फाइबोनैचि संख्याओं के बीच के सामान्यीकरण हैं $F_{n}=U_{n}(1,-1)$ और लुकास संख्याएँ $L_{n}=V_{n}(1,-1)$. उदाहरण के लिए:

$U_{km}(P,Q)$