हिरज़ेब्रुच सतह: Difference between revisions

Revision as of 11:17, 22 July 2023

गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन Friedrich Hirzebruch (1951) द्वारा किया गया था।

परिभाषा

हिरज़ेब्रुच सतह $\Sigma _{n}$ $\mathbb {P} ^{1}$ -बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े $\mathbb {P} ^{1}$ से अधिक है

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).

यहां नोटेशन का अर्थ है:

{\mathcal {O}}(n)

सेरे ट्विस्ट शीफ की

n

-वें टेंसर शक्ति है

{\mathcal {O}}(1)

, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह

\Sigma _{0}

P 1 \times P 1

के लिए समरूपी है, और

\Sigma _{1}

एक बिंदु पर उड़ाए गए

P 2

के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।

जीआईटी भागफल

हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है^[1]^: 21

\Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})

जहां

\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}

की क्रिया दी गई है

(\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})

इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर

\lambda

की क्रिया

\mathbb {P} ^{1}

को परिभाषित करने वाले

\mathbb {C} ^{*}

पर

\mathbb {C} ^{2}-\{0\}

की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया

\mathbb {P} ^{1}

पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है^[1]^: 24

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}

जहां

\mathbb {C} ^{*}

की क्रिया दी गई है

\lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})

फिर, प्रक्षेपीकरण

\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))

एक अन्य

\mathbb {C} ^{*}

-एक्शन द्वारा एक तुल्यता वर्ग

[l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

भेजकर दिया जाता है।^[1]^: 22

\mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]

इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।

संक्रमण मानचित्र

इस $\mathbb {P} ^{1}$ -बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं, $U_{0},U_{1}$ द्वारा परिभाषित $\mathbb {P} ^{1}$ के चार्ट $x_{i}\neq 0$ पर बंडल का स्थानीय मॉडल है

U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}

फिर, संक्रमण मानचित्र,

{\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)

के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं

U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}

भेजना

(X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])

जहाँ

X_{i}

U_{i}

एफ़िन समन्वय फलन चालू है ^[2]

गुण

प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल पी के ऊपर¹

ध्यान दें कि बिरखॉफ़-ग्रोथेंडिक प्रमेय|ग्रोथेंडिक प्रमेय द्वारा, किसी भी सदिश बंडल के लिए $E$ पर $\mathbb {P} ^{1}$ संख्याएँ हैं $a,b\in \mathbb {Z}$ ऐसा है कि

E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).

चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,^[3] निर्णयिक सतह से संबंधित

E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)

हिरज़ेब्रुच सतह है

\Sigma _{b-a}

चूँकि इस बंडल को इसके द्वारा तनावग्रस्त किया जा सकता है

{\mathcal {O}}(-a)

.

हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ

विशेष रूप से, उपरोक्त अवलोकन बीच में एक समरूपता देता है $\Sigma _{n}$ और $\Sigma _{-n}$ चूँकि समरूपता सदिश बंडल है

{\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}

प्रतिच्छेदन सिद्धांत

हिरज़ेब्रुच सतहों के लिए $n > 0$ एक विशेष तर्कसंगत वक्र है $C$ उन पर: सतह का प्रक्षेप्य बंडल है $O (- n)$ और वक्र $C$ शून्य खंड है. इस वक्र में प्रतिच्छेदन सिद्धांत|स्व-प्रतिच्छेदन संख्या है $- n$ , और नकारात्मक स्व प्रतिच्छेदन संख्या वाला एकमात्र अपरिवर्तनीय वक्र है। शून्य स्व-प्रतिच्छेदन संख्या वाले एकमात्र अघुलनशील वक्र हिरज़ेब्रुच सतह के तंतु हैं (जिन्हें फाइबर बंडल के रूप में माना जाता है) $P 1$ ). पिकार्ड समूह वक्र द्वारा उत्पन्न होता है $C$ और फाइबर में से एक, और इन जनरेटरों में प्रतिच्छेदन मैट्रिक्स (गणित) है

{\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},

इसलिए द्विरेखीय रूप द्वि-आयामी एक-मॉड्यूलर है, और यह इस पर निर्भर करता है कि यह सम या विषम है

n

सम या विषम है. हिरज़ेब्रुच सतह

Σ n

(

n > 1

) विशेष वक्र पर एक बिंदु पर उड़ा दिया गया

C

समरूपी है

Σ n +1

विशेष वक्र पर न होकर किसी बिंदु पर उड़ाया गया।

यह भी देखें

प्रक्षेप्य बंडल

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Manetti, Marco (2005-07-14). "जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान". arXiv:math/0507286.
↑ Gathmann, Andreas. "बीजगणितीय ज्यामिति" (PDF). Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ "Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-23.

Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius (2004), Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225
Beauville, Arnaud (1996), Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts, vol. 34 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-49510-3, MR1406314
Hirzebruch, Friedrich (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen, 124: 77–86, doi:10.1007/BF01343552, hdl:21.11116/0000-0004-3A56-B, ISSN 0025-5831, MR 0045384, S2CID 122844063

बाहरी संबंध

[:0-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Manetti, Marco (2005-07-14). "जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान". arXiv:math/0507286.

[2] Gathmann, Andreas. "बीजगणितीय ज्यामिति" (PDF). Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[3] "Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2020-05-23.

[1]

[2]

[3]

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 {{Short description|Ruled surface over the projective line}}
-गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह [[प्रक्षेप्य रेखा]] के ऊपर एक [[शासित सतह]] होती है। इनका अध्ययन किया गया {{harvs|txt|first=Friedrich|last=Hirzebruch|year=1951|authorlink=Friedrich Hirzebruch}}.
+गणित में, हिरज़ेब्रुच सतह प्रक्षेप्य रेखा के ऊपर एक निर्णयिक सतह होती है। इनका अध्ययन {{harvs|txt|first=Friedrich|last=Hirzebruch|year=1951|authorlink=Friedrich Hirzebruch}} द्वारा किया गया था।
 ==परिभाषा==
-हिरज़ेब्रुच सतह <math>\Sigma_n</math> है <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल, जिसे [[ प्रक्षेप्य बंडल ]] कहा जाता है, खत्म <math>\mathbb{P}^1</math> शीफ़ से संबंधित (गणित)<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).</math>यहाँ संकेतन का अर्थ है: <math>\mathcal{O}(n)</math> है {{mvar|n}}[[सेरे ट्विस्ट शीफ़]] की दसवीं टेंसर शक्ति <math>\mathcal{O}(1)</math>, संबद्ध [[कार्टियर विभाजक]] एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या [[लाइन बंडल]]। सतह <math>\Sigma_0</math> के लिए समरूपी है {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}}, और <math>\Sigma_1</math> के लिए समरूपी है {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} एक बिंदु पर उड़ा दिया गया इसलिए न्यूनतम नहीं है।
+हिरज़ेब्रुच सतह <math>\Sigma_n</math> <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल है, जिसे प्रोजेक्टिव बंडल कहा जाता है, जो शीफ़ से जुड़े <math>\mathbb{P}^1</math> से अधिक है<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n).</math>यहां नोटेशन का अर्थ है: <math>\mathcal{O}(n)</math> सेरे ट्विस्ट शीफ की {{mvar|n}}-वें टेंसर शक्ति है <math>\mathcal{O}(1)</math>, संबंधित कार्टियर विभाजक एक बिंदु के साथ उलटा शीफ या लाइन बंडल सतह <math>\Sigma_0</math>  {{math|'''P'''<sup>1</sup> × '''P'''<sup>1</sup>}} के लिए समरूपी है, और <math>\Sigma_1</math> एक बिंदु पर उड़ाए गए {{math|'''P'''<sup>2</sup>}} के लिए समरूपी है, इसलिए न्यूनतम नहीं है।
 === [[जीआईटी भागफल]] ===
-हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है<ref name=":0">{{cite arXiv | last=Manetti | first=Marco | date=2005-07-14|title=जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान| eprint=math/0507286}}</ref>{{rp|21}}<math display="block">\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)</math>की कार्रवाई कहां है <math>\Complex^*\times\Complex^*</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)</math>इस क्रिया को की क्रिया के रूप में समझा जा सकता है <math>\lambda</math> पहले दो कारकों पर कार्रवाई से आता है <math>\Complex^*</math> पर <math>\Complex^2 - \{0\}</math> परिभाषित <math>\mathbb{P}^1</math>, और दूसरी क्रिया लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण का एक संयोजन है <math>\mathbb{P}^1</math> और उनका प्रक्षेपीकरण। सीधे योग के लिए <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> यह भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है<ref name=":0" />{{rp|24}}<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*</math>की कार्रवाई कहां है <math>\Complex^*</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)</math>फिर, प्रक्षेपीकरण <math>\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))</math> दूसरे द्वारा दिया गया है <math>\Complex^*</math>-कार्य<ref name=":0" />{{rp|22}} एक समतुल्य वर्ग भेजना <math>[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)</math> को<math display="block">\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]</math>इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।
+हिरज़ेब्रुच सतह के निर्माण की एक विधि जीआईटी भागफल का उपयोग करना है<ref name=":0">{{cite arXiv | last=Manetti | first=Marco | date=2005-07-14|title=जटिल मैनिफोल्ड्स की विकृतियों पर व्याख्यान| eprint=math/0507286}}</ref>{{rp|21}}<math display="block">\Sigma_n = (\Complex^2-\{0\})\times (\Complex^2-\{0\})/(\Complex^*\times\Complex^*)</math>जहां <math>\Complex^*\times\Complex^*</math> की क्रिया दी गई है<math display="block">(\lambda, \mu)\cdot(l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1, \mu t_0,\lambda^{-n}\mu t_1)</math>इस क्रिया की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि पहले दो कारकों पर <math>\lambda</math> की क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> को परिभाषित करने वाले <math>\Complex^*</math> पर <math>\Complex^2 - \{0\}</math> की क्रिया से आती है, और दूसरी क्रिया <math>\mathbb{P}^1</math> पर लाइन बंडलों के प्रत्यक्ष योग के निर्माण और उनके प्रक्षेपीकरण का एक संयोजन है। प्रत्यक्ष योग <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के लिए इसे भागफल विविधता द्वारा दिया जा सकता है<ref name=":0" />{{rp|24}}<math display="block">\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n) = (\Complex^2-\{0\})\times \Complex^2/\Complex^*</math>जहां <math>\Complex^*</math>की क्रिया दी गई है<math display="block">\lambda \cdot (l_0,l_1,t_0,t_1) = (\lambda l_0, \lambda l_1,\lambda^a t_0, \lambda^0 t_1 = t_1)</math>फिर, प्रक्षेपीकरण <math>\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n))</math> एक अन्य <math>\Complex^*</math>-एक्शन  द्वारा एक तुल्यता वर्ग <math>[l_0,l_1,t_0,t_1] \in\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(-n)</math> भेजकर दिया जाता है।<ref name=":0" />{{rp|22}}<math display="block">\mu \cdot [l_0,l_1,t_0,t_1] = [l_0,l_1,\mu t_0,\mu t_1]</math>इन दोनों क्रियाओं को मिलाने से मूल भागफल ऊपर आ जाता है।
 === संक्रमण मानचित्र ===
-इसे बनाने का एक तरीका <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल संक्रमण कार्यों का उपयोग करके है। चूंकि चार्ट पर एफ़िन वेक्टर बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं <math>U_0,U_1</math> का  <math>\mathbb{P}^1</math> द्वारा परिभाषित <math>x_i \neq 0 </math> बंडल का स्थानीय मॉडल है<math display="block">U_i\times \mathbb{P}^1</math>फिर, संक्रमण मानचित्र, संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होते हैं <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> नक्शा दो<math display="block">U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}</math>भेजना<math display="block">(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])</math>कहाँ <math>X_i</math> एफ़िन समन्वय फ़ंक्शन चालू है <math>U_i</math>.<ref>{{Cite web | title=बीजगणितीय ज्यामिति|url=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf | last=Gathmann|first=Andreas | date=|website= Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern |url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>
+इस <math>\mathbb{P}^1</math>-बंडल को बनाने का एक विधि ट्रांज़िशन फलन का उपयोग करना है। चूँकि एफ़िन सदिश बंडल आवश्यक रूप से तुच्छ हैं, <math>U_0,U_1</math> द्वारा परिभाषित <math>\mathbb{P}^1</math> के चार्ट <math>x_i \neq 0 </math> पर बंडल का स्थानीय मॉडल है<math display="block">U_i\times \mathbb{P}^1</math>फिर, संक्रमण मानचित्र, <math>\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(-n)</math> के संक्रमण मानचित्रों से प्रेरित होकर मानचित्र देते हैं<math display="block">U_0\times\mathbb{P}^1|_{U_1} \to U_1\times\mathbb{P}^1|_{U_0}</math>भेजना<math display="block">(X_0, [y_0:y_1]) \mapsto (X_1, [y_0:x_0^n y_1])</math>जहाँ <math>X_i</math> <math>U_i</math> एफ़िन समन्वय फलन चालू है <ref>{{Cite web | title=बीजगणितीय ज्यामिति|url=https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf | last=Gathmann|first=Andreas | date=|website= Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern |url-status=live|archive-url=|archive-date=|access-date=}}</ref>
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 === प्रक्षेप्य रैंक 2 बंडल पी के ऊपर<sup>1</sup>===
-ध्यान दें कि बिरखॉफ़-ग्रोथेंडिक प्रमेय|ग्रोथेंडिक प्रमेय द्वारा, किसी भी वेक्टर बंडल के लिए <math>E</math> पर <math>\mathbb P^1</math> संख्याएँ हैं <math>a,b \in \mathbb Z</math> ऐसा है कि<math display="block">E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).</math>चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,<ref>{{Cite web|title=Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NB| website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-23}}</ref> शासित सतह से संबंधित <math>E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)</math> हिरज़ेब्रुच सतह है <math>\Sigma_{b-a}</math> चूँकि इस बंडल को इसके द्वारा तनावग्रस्त किया जा सकता है <math>\mathcal{O}(-a)</math>.
+'''ध्यान दें कि बिरखॉफ़-ग्रोथेंडिक प्रमेय|ग्रोथेंडिक प्रमेय द्वारा, किसी भी सदिश''' बंडल के लिए <math>E</math> पर <math>\mathbb P^1</math> संख्याएँ हैं <math>a,b \in \mathbb Z</math> ऐसा है कि<math display="block">E \cong \mathcal{O}(a)\oplus \mathcal{O}(b).</math>चूंकि प्रक्षेप्य बंडल को एक लाइन बंडल द्वारा टेंसरिंग के तहत अपरिवर्तनीय है,<ref>{{Cite web|title=Section 27.20 (02NB): Twisting by invertible sheaves and relative Proj—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/02NB| website=stacks.math.columbia.edu|access-date=2020-05-23}}</ref> निर्णयिक सतह से संबंधित <math>E = \mathcal O(a) \oplus \mathcal O(b)</math> हिरज़ेब्रुच सतह है <math>\Sigma_{b-a}</math> चूँकि इस बंडल को इसके द्वारा तनावग्रस्त किया जा सकता है <math>\mathcal{O}(-a)</math>.
 ==== हिरज़ेब्रुच सतहों की समरूपताएँ ====

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