पर्याप्त लाइन बंडल

गणित में, बीजगणितीय ज्यामिति की विशिष्ट विशेषता यह है कि प्रक्षेप्य प्रकार पर कुछ रेखा बंडलों को धनात्मक माना जा सकता है, जबकि अन्य ऋणात्मक (या दोनों का मिश्रण) होता हैं। धनात्मकता की सबसे महत्वपूर्ण धारणा पर्याप्त लाइन बंडल की है, चूंकि लाइन बंडलों के अनेक संबंधित वर्ग हैं। सामान्यतः कहें तो, लाइन बंडल के धनात्मकता के गुण अनेक वैश्विक खंड (फाइबर बंडल) से संबंधित हैं। किसी दी गई विविध X पर पर्याप्त लाइन बंडलों को समझना, X को प्रोजेक्टिव समिष्ट में मानचित्र करने के विभिन्न विधियों को समझने के सामान्तर है। लाइन बंडलों और विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) (संहिता-1 उपवर्गों से निर्मित) के मध्य पत्राचार को ध्यान में रखते हुए, 'पर्याप्त विभाजक' की समतुल्य धारणा है।

अधिक विस्तार से, लाइन बंडल को 'बेसपॉइंट-फ्री' कहा जाता है यदि इसमें प्रक्षेप्य समिष्ट पर बीजगणितीय विविधताएँ का आकार देने के लिए पर्याप्त अनुभाग हैं। लाइन बंडल 'अर्ध-प्रचुर' है यदि इसकी कुछ धनात्मक शक्ति बेसपॉइंट-मुक्त है; अर्ध-प्रचुरता प्रकार की गैर-ऋणात्मकता है। अधिक शक्तिशालीी से, पूरी प्रकार X पर लाइन बंडल 'बहुत पर्याप्त' है यदि इसमें प्रोजेक्टिव समिष्ट में X के संवृत विसर्जन (या एम्बेडिंग) देने के लिए पर्याप्त खंड हैं। यदि कोई धनात्मक शक्ति बहुत प्रचुर है तब लाइन बंडल 'पर्याप्त' है।

प्रक्षेप्य किस्म X पर एक पर्याप्त रेखा बंडल में X के प्रत्येक वक्र पर धनात्मक डिग्री होती है। इसका विपरीत पुर्णतः सच नहीं है, किन्तु इसके विपरीत के संशोधित संस्करण हैं, प्रचुरता के लिए नाकाई-मोइशेज़ोन और क्लेमन मानदंड होते है।

परिचय

एक लाइन बंडल और हाइपरप्लेन विभाजक का पुलबैक

जहाँ योजना (गणित) में रूपवाद $f\colon X\to Y$ को देखते हुए, Y पर सदिश बंडल E (या अधिक सामान्यतः Y पर सुसंगत शीफ) में X, $f^{*}E$ के लिए पुलबैक बंडल होता है, (मॉड्यूल या ऑपरेशंस का शीफ ​​देखें)। सदिश बंडल का पुलबैक उसी रैंक का सदिश बंडल है। विशेष रूप से, लाइन बंडल का पुलबैक लाइन बंडल है। (संक्षेप में, X में बिंदु x पर $f^{*}E$ का फाइबर f(x) पर E का फाइबर है।)

इस लेख में वर्णित धारणाएँ प्रक्षेप्य समिष्ट के रूपवाद के स्थिति में इस निर्माण से संबंधित हैं

$f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},$

E = O(1) के साथ सुसंगत शीफ या सदिश बंडलों के उदाहरण जिनके वैश्विक खंड वेरिएबल $x_{0},\ldots ,x_{n}$ में डिग्री 1 (अर्थात, रैखिक कार्य) के सजातीय बहुपद हैं . लाइन बंडल O(1) को $\mathbb {P} ^{n}$ में हाइपरप्लेन से जुड़े लाइन बंडल के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है (क्योंकि O(1) के खंड का शून्य समुच्चय हाइपरप्लेन है)। उदाहरण के लिए, यदि f संवृत विसर्जन है, तो यह इस प्रकार है कि यह पुलबैक $f^{*}O(1)$ का अनुसरण करता है जैसे हाइपरप्लेन सेक्शन से जुड़े X पर लाइन बंडल है ( $\mathbb {P} ^{n}$ हाइपरप्लेन के साथ X का प्रतिच्छेदन)।).

बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल

मान लीजिए कि X लाइन बंडल L के साथ क्षेत्र (गणित) k (उदाहरण के लिए, बीजगणितीय विविधता) पर योजना है। (एक लाइन बंडल को विपरीत शीफ ​​भी कहा जा सकता है।) मान लीजिए $a_{0},...,a_{n}$ L के वैश्विक अनुभागों का k-सदिश समिष्ट $H^{0}(X,L)$ के तत्व बनें। प्रत्येक अनुभाग का शून्य समुच्चय X का संवृत उपसमुच्चय है; U को उन बिंदुओं का विवृत उपसमुच्चय बनने देना चाहिए जिन पर $a_{0},\ldots ,a_{n}$ में कम से कम शून्य ना हो तब फिर यह अनुभाग रूपवाद को परिभाषित करते हैं

$f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].$

अधिक विस्तार से: U के प्रत्येक बिंदु X के लिए, X के ऊपरLका फाइबर अवशेष क्षेत्र के (X) पर 1-आयामी सदिश समिष्ट है। इस फाइबर के लिए आधार का चयन करने में $a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)$ n+1 संख्याओं के अनुक्रम में बनाता है, सभी शून्य नहीं, और इसलिए प्रक्षेप्य समिष्ट में बिंदु है। आधार की पसंद को बदलने से सभी संख्याएँ ही गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा मापी जाती हैं, और इसलिए प्रक्षेप्य समिष्ट में बिंदु पसंद से स्वतंत्र होता है।

इसके अतिरिक्त, इस रूपवाद में यह गुण है किLसे U तक का प्रतिबंध पुलबैक $f^{*}O(1)$ के लिए आइसोमोर्फिक है .

स्कीम X पर लाइन बंडल L का आधार समिष्ट L के सभी वैश्विक अनुभागों के शून्य समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है। लाइन बंडल L को बेसपॉइंट-मुक्त कहा जाता है यदि इसका आधार समिष्ट रिक्त है। अर्थात्, X के प्रत्येक बिंदु x के लिए L का वैश्विक खंड है जो x पर गैर-शून्य है। यदि X क्षेत्र k पर उचित रूपवाद है, तब सदिश समष्टि $H^{0}(X,L)$ वैश्विक वर्गों का सीमित आयाम है; आयाम को $h^{0}(X,L)$कहा जाता है. तब बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल L, k पर रूपवाद $f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}$ निर्धारित करता है के ऊपर, जहाँ $n=h^{0}(X,L)-1$, $H^{0}(X,L)$ के लिए आधार चुनकर दिया गया था कोई विकल्प चुने इसे रूपवाद के रूप में वर्णित किया जा सकता है

$f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))$

X से $H^{0}(X,L)$ में हाइपरप्लेन के समिष्ट तक , कैनोनिक रूप से बेसपॉइंट-फ्री लाइन बंडल Lसे जुड़ा हुआ है। इस रूपवाद में यह गुण है कि L पुलबैक $f^{*}O(1)$ है .

इसके विपरीत, किसी योजना X से प्रक्षेप्य समिष्ट तक किसी भी रूपवाद f के लिए $\mathbb {P} ^{n}$ k के ऊपर, पुलबैक लाइन बंडल $f^{*}O(1)$ बेसपॉइंट-मुक्त है। वास्तव में, O(1)$\mathbb {P} ^{n}$ पर आधार-बिंदु-मुक्त है, क्योंकि $\mathbb {P} ^{n}$ प्रत्येक बिंदु y के लिए हाइपरप्लेन है जिसमें y नहीं है। इसलिए, X में प्रत्येक बिंदु x के लिए, $\mathbb {P} ^{n}$पर O(1) का खंड s है यह f(x) पर शून्य नहीं है, और s का पुलबैक $f^{*}O(1)$ वैश्विक खंड है वह x पर शून्य नहीं है। संक्षेप में, बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल पुर्णतः वही हैं जिन्हें प्रोजेक्टिव समिष्ट में कुछ आकारिकी द्वारा O(1) के पुलबैक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

नेफ, विश्व स्तर पर उत्पन्न, अर्ध-पर्याप्त

उचित वक्र C पर k के ऊपर लाइन बंडल L की डिग्री को L के किसी भी गैरशून्य तर्कसंगत खंड s के विभाजक की डिग्री (S) के रूप में परिभाषित किया गया है )। इस भाजक के गुणांक उन बिंदुओं पर धनात्मक होते हैं जहां s विलुप्त हो जाता है और जहां s का ध्रुव होता है वहां ऋणात्मक होते हैं। इसलिए, कोई भी रेखा L को वक्र C पर इस प्रकार बांधती है कि $H^{0}(C,L)\neq 0$ इसमें गैर-ऋणात्मक डिग्री होती है (क्योंकि तर्कसंगत वर्गों के विपरीत, सी के ऊपर L के वर्गों में कोई ध्रुव नहीं है)। विशेष रूप से, वक्र पर प्रत्येक बेसपॉइंट-मुक्त लाइन बंडल में गैर-ऋणात्मक डिग्री होती है। परिणामस्वरूप, किसी क्षेत्र पर किसी भी उचित स्कीम नही बनाई गई

अधिक सामान्यतः, तब स्कीम पर $O_{X}$मॉड्यूल का शीफ F,X को 'विश्व स्तर पर उत्पन्न' कहा जाता है यदि वैश्विक अनुभागों $s_{i}\in H^{0}(X,F)$ का समुच्चय होता है, जैसे ऐसा कि संगत रूपवाद

$\bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F$

संग्रह का विशेषण है। लाइन बंडल विश्व स्तर पर तभी उत्पन्न होता है जब वह बेसपॉइंट-मुक्त हो।

उदाहरण के लिए, एफ़िन योजना पर प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है। समष्टि ज्यामिति में, कार्टन का प्रमेय a कहता है कि स्टीन मैनिफोल्ड पर प्रत्येक सुसंगत शीफ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है।

किसी क्षेत्र पर उचित योजना पर लाइन बंडल L'अर्ध-पर्याप्त' है यदि कोई धनात्मक पूर्णांक r है जैसे कि लाइन बंडलों का टेंसर पॉवर $L^{\otimes r}$ बेसपॉइंट-मुक्त है। अर्ध-एम्पल लाइन बंडल नेफ है (बेसपॉइंट-फ्री लाइन बंडलों के लिए संबंधित तथ्य के अनुसार)।

बहुत विस्तृत लाइन बंडल

क्षेत्र k पर उचित योजना X पर लाइन बंडल L को 'बहुत पर्याप्त' कहा जाता है यदि यह बेसपॉइंट-मुक्त और संबंधित रूपवाद

$f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}$

एक संवृत विसर्जन है. यहाँ $n=h^{0}(X,L)-1$. सामान्यतः, L बहुत प्रचुर है यदि पश्चात् की परिभाषा का उपयोग किसी भी क्रमविनिमेय वलय पर उचित योजना पर लाइन बंडल के लिए बहुत प्रचुरता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

यह नाम 1961 में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किया गया था। भाजक की रैखिक प्रणालियों के संदर्भ में पहले विभिन्न नामों का उपयोग किया गया था।

संबद्ध रूपवाद F के साथ क्षेत्र पर उचित योजना X पर बहुत ही विस्तृत लाइन बंडल L के लिए X में वक्र C पर L की डिग्री $\mathbb {P} ^{n}$ में वक्र C पर L की डिग्री है | तब L की X में प्रत्येक वक्र पर धनात्मक डिग्री होती है (क्योंकि प्रक्षेप्य समिष्ट की प्रत्येक उप-विविधता की धनात्मक डिग्री होती है)।

परिभाषाएँ

अर्ध-कॉम्पैक्ट योजनाओं पर पर्याप्त विपरीत संग्रह

पर्याप्त लाइन बंडलों का उपयोग अधिकांशतः उचित योजनाओं पर किया जाता है, किन्तु उन्हें बहुत व्यापक व्यापकता में परिभाषित किया जा सकता है।

मान लीजिए कि X योजना है, और मान लीजिए ${\mathcal {L}}$ पर व्युत्क्रमणीय शीफ है। जो कि X है प्रत्येक $x\in X$, के लिए मान लीजिए ${\mathfrak {m}}_{x}$ केवल x पर समर्थित कम उपयोजना के आदर्श शीफ को निरूपित करें। $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ के लिए परिभाषित करता है

$$X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.$$

सामान्यतः, यदि $\kappa (x)$ x पर अवशेष क्षेत्र को दर्शाता है (जिसे x पर समर्थित गगनचुंबी भवन शीफ के रूप में माना जाता है)।

$$X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},$$

जहाँ ${\bar {s}}_{x}$ टेंसर उत्पाद में s की छवि है।

$s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$ हल करना है . प्रत्येक s के लिए, प्रतिबंध ${\mathcal {L}}|_{X_{s}}$ मुफ़्त ${\mathcal {O}}_{X}$-मॉड्यूल है जिसको s के प्रतिबंध द्वारा तुच्छीकृत किया गया है, जिसका अर्थ है गुणा-दर-s रूपवाद ${\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}$ समरूपता है. समुच्चय $X_{s}$ सदैव विवृत रहता है, और समावेशन रूपवाद $X_{s}\to X$ एफ़िन रूपवाद है। बावजूद इसके, $X_{s}$ एफ़िन योजना होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि $s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$, तब $X_{s}=X$ अपने आप में विवृत है और अपने आप से जुड़ा हुआ है किन्तु सामान्यतः बंधा हुआ नहीं है।

मान लें कि X अर्ध-कॉम्पैक्ट है। तब ${\mathcal {L}}$ पर्याप्त है यदि, प्रत्येक के लिए $x\in X$ उपस्तिथ है, और वहाँ $n\geq 1$ और $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ उपस्तिथ है ऐसा है कि $x\in X_{s}$ और $X_{s}$ एफ़िन योजना है. उदाहरण के लिए, तुच्छ रेखा बंडल ${\mathcal {O}}_{X}$ पर्याप्त है यदि और केवल यदि X अर्ध-एफ़िन रूपवाद है|अर्ध-एफ़िन है।

सामान्यतः, यह सच नहीं है कि प्रत्येक $X_{s}$ एफ़िन है. उदाहरण के लिए, यदि किसी बिंदु O के लिए $X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}$ , और यदि ${\mathcal {L}}$, ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$ से X तक का प्रतिबंध है, तो फिर ${\mathcal {L}}$ और ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$ समान वैश्विक अनुभाग हैं, और ${\mathcal {L}}$ के अनुभाग का गैर-लुप्त होने वाला समिष्ट है यदि एफ़िन है तो केवल ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$संबंधित अनुभाग O सम्मिलित है.

परिभाषा में ${\mathcal {L}}$ की शक्तियों को अनुमति देना आवश्यक है. वास्तव में, प्रत्येक N के लिए, यह संभव है $X_{s}$ प्रत्येक $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ के लिए $n\leq N$ साथ मुख्य रूप से गैर-सम्बंधित है मान लीजिए कि Z, $\mathbf {P} ^{2}$,$X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z$ अंकों का सीमित समुच्चय है ,${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}$ ${\mathcal {L}}^{\otimes N}$के अनुभागों का लुप्त हो रहा लोकी डिग्री N के समतल वक्र हैं। सामान्य स्थिति में बिंदुओं का पर्याप्त बड़ा समूह Z को मानकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि डिग्री N (और इसलिए किसी भी निचली डिग्री) के किसी भी समतल वक्र में Z के सभी बिंदु सम्मिलित नहीं हैं। विशेष रूप से उनके गैर -लुप्त लोकी सभी असंबद्ध हैं।

$\textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ को परिभाषित करना है . मान लीजिए कि $p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z}$ संरचनात्मक रूपवाद को निरूपित करता है। ${\mathcal {O}}_{X}$-बीजगणित समरूपताएँ $\textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}$ और श्रेणीबद्ध वलय s की एंडोमोर्फिज्म के मध्य प्राकृतिक समरूपता है। s की पहचान एंडोमोर्फिज्म होमोमोर्फिज्म $\varepsilon$ से मेल खाती है . $\operatorname {Proj}$ फ़ैक्टर को प्रयुक्त करने से X की खुली उप-योजना से रूपवाद उत्पन्न करता है जिसे $G(\varepsilon )$ को $\operatorname {Proj} S$ से निरूपित किया गया है

पर्याप्त व्युत्क्रमणीय शीव्स के मूल लक्षण वर्णन में कहा गया है कि यदि X अर्ध-कॉम्पैक्ट अर्ध-पृथक योजना है और ${\mathcal {L}}$ X पर विपरीत शीफ ​​है, तब निम्नलिखित दावे समतुल्य हैं:

1. ${\mathcal {L}}$ पर्याप्त है.
2. विवृत समुच्चय $X_{s}$, जहाँ $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ और $n\geq 0$, X की टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएं गये है |
3. विवृत समुच्चय $X_{s}$ स्नेह होने की संपत्ति के साथ, जहां $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ और $n\geq 0$, X की टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएं गये है।
4. $G(\varepsilon )=X$ और रूपवाद $G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S$ प्रमुख विवृत विसर्जन है.
5. $G(\varepsilon )=X$ और रूपवाद $G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S$ इसकी छवि के साथ X के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल समिष्ट का होमोमोर्फिज्म है।
6. X पर ${\mathcal {F}}$ के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ के लिए, विहित मानचित्र $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}$ विशेषण है.
7. X पर ${\mathcal {J}}$ के आदर्शों के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत संग्रह के लिए, विहित मानचित्र $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}$ विशेषण है.
8. X पर ${\mathcal {J}}$ के आदर्शों के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत संग्रह के लिए, विहित मानचित्र $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}$ विशेषण है.
9. X पर परिमित प्रकार का प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ ${\mathcal {F}}$ के लिए, पूर्णांक $n_{0}$ उपस्तिथ है ऐसे कि $n\geq n_{0}$, के लिए ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}$ इसके वैश्विक खंडों द्वारा उत्पन्न होता है।
10. X पर परिमित प्रकार के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ़ ${\mathcal {F}}$ के लिए, पूर्णांक $n>0$ और $k>0$ उपस्तिथ हैं ऐसा है कि ${\mathcal {F}}$, ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}$ के भागफल के लिए समरूपी है .
11. X पर परिमित प्रकार के आदर्शों ${\mathcal {J}}$ के प्रत्येक अर्ध-सुसंगत संग्रह के लिए , पूर्णांक $n>0$ और $k>0$ उपस्तिथ हैं ऐसा है कि ${\mathcal {J}}$, ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}$के भागफल के लिए समरूपी है .

उचित योजनाओं पर

जब X को भिन्न किया जाता है और एफ़िन योजना पर परिमित प्रकार दिया जाता है, तब विपरीत शीफ ${\mathcal {L}}$ पर्याप्त है यदि और केवल यदि कोई धनात्मक पूर्णांक r उपस्तिथ है जैसे कि टेंसर शक्ति ${\mathcal {L}}^{\otimes r}$ बहुत प्रचुर है. विशेष रूप से, R पर उचित योजना में पर्याप्त रेखा बंडल होता है यदि और केवल यदि यह R पर प्रक्षेप्य हो। अधिकांशतः, इस लक्षण वर्णन को प्रचुरता की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

इस लेख का शेष भाग किसी क्षेत्र में उचित योजनाओं की प्रचुरता पर केंद्रित होगा, क्योंकि यह सबसे महत्वपूर्ण स्तिथि है। किसी क्षेत्र के ऊपर उचित योजना पर एक पर्याप्त लाइन बंडल (X) क्षेत्र पर X में प्रत्येक वक्र पर धनात्मक डिग्री होती है, जो कि बहुत बड़े लाइन बंडलों के लिए संबंधित कथन द्वारा होती है।

क्षेत्र k पर उचित योजना X पर कार्टियर विभाजक D को पर्याप्त कहा जाता है यदि संबंधित लाइन बंडल O(D) पर्याप्त है। (उदाहरण के लिए, यदि X, k पर स्मूथ है, तब कार्टियर विभाजक को a से पहचाना जा सकता है पूर्णांक गुणांकों के साथ X की संवृत कोडिमेंशन-1 उप-विविधताएँ का परिमित रैखिक संयोजन।)

बहुत पर्याप्त से पर्याप्त की धारणा को अशक्त करने से विभिन्न विशेषताओं की विस्तृत विविधता के साथ लचीली अवधारणा मिलती है। पहला बिंदु यह है कि किसी भी सुसंगत शीफ के साथ पर्याप्त लाइन बंडल की उच्च शक्तियों को टेंसर करना अनेक वैश्विक वर्गों के साथ शीफ देता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, क्षेत्र पर (या अधिक सामान्यतः नोथेरियन वलय पर) उचित योजना केवल तभी जब X पर प्रत्येक सुसंगत शीफ F के लिए, एक पूर्णांक s हो, जिससे कि शीफ $F\otimes L^{\otimes r}$ विश्व स्तर पर सभी $r\geq s$ के लिए तैयार किया गया है. यहाँ s, F पर निर्भर हो सकता है।

प्रचुरता का और लक्षण वर्णन, जिसे हेनरी कर्तन - जीन पियरे सेरे -ग्रोथेंडिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है, सुसंगत शीफ कोहोलॉजी के संदर्भ में है। अर्थात्, क्षेत्र पर (या अधिक सामान्यतः नोथेरियन वलय पर) उचित स्कीम X पर एक लाइन बंडल L पर्याप्त है  यदि और केवल यदि X पर प्रत्येक सुसंगत शीफ़ F के लिए, ऐसा एक पूर्णांक s है

$H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0$

सभी के लिए $i>0$ और सभी $r\geq s$. विशेष रूप से, पर्याप्त लाइन बंडल की उच्च शक्तियाँ धनात्मकडिग्री में सह-समरूपता को नष्ट कर देती हैं। इस निहितार्थ को सेरे वैनिशिंग प्रमेय कहा जाता है, जिसे जीन-पियरे सेरे ने अपने 1955 के पेपर फैसियो अल्जेब्रिक्स कोहेरेंट्स में सिद्ध किया है।

उदाहरण/गैर-उदाहरण

• धनात्मक आयाम की प्रक्षेप्य प्रकार X पर तुच्छ रेखा बंडल $O_{X}$ बेसपॉइंट-मुक्त है किन्तु पर्याप्त नहीं है। अधिक सामान्यतः, किसी भी रूपवाद के लिए F प्रक्षेप्य प्रकार X से कुछ प्रक्षेप्य समिष्ट तक $\mathbb {P} ^{n}$ क्षेत्र के ऊपर, पुलबैक लाइन बंडल $L=f^{*}O(1)$ सदैव आधार-बिंदु-मुक्त होता है, जबकि L पर्याप्त होता है यदि और केवल यदि रूपवाद f परिमित रूपवाद है (अर्थात, f के सभी तंतुओं का आयाम 0 है या वह रिक्त हैं)।
• एक पूर्णांक d के लिए, लाइन बंडल O(d) के अनुभागों का समिष्ट $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ वेरिएबल x,y में घात d वाले सजातीय बहुपदों का सम्मिश्र संख्या सदिश समष्टि है। विशेष रूप से, यह समिष्ट d < 0 के लिए शून्य है $d\geq 0$, के लिए O(d) द्वारा दिए गए प्रक्षेप्य समिष्ट का रूपवाद है

$\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}$

द्वारा

$[x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].$

यह $d\geq 1$ के लिए संवृत विसर्जन है, जिसमे छवि के साथ $\mathbb {P} ^{d}$ में डिग्री d का तर्कसंगत सामान्य वक्र है . इसलिए, O(d) बेसपॉइंट-मुक्त है यदि और केवल यदि $d\geq 0$, और बहुत प्रचुर यदि और केवल यदि $d\geq 1$. इसका तात्पर्य यह है कि O(d) पर्याप्त है यदि और केवल यदि $d\geq 1$.

• ऐसे उदाहरण के लिए जहां पर्याप्त और बहुत पर्याप्त भिन्न हैं, मान लीजिए कि X जीनस (गणित) 1 का सहज प्रक्षेप्य वक्र है, (एक वृत्ताकार वक्र) 'C' के ऊपर और मान लीजिए किp, X का समष्टि बिंदु है। मान लीजिए कि O(p) X पर डिग्री 1 का संबद्ध रेखा बंडल है। फिर O(p) के वैश्विक खंडों के समष्टि सदिश समिष्ट का आयाम 1 है, जो खंड द्वारा फैला हुआ है जो p पर विलुप्त हो जाता है। अतः O(p) का आधार बिंदुपथ p के सामान्तर है। दूसरी ओर, O(2p) बेसपॉइंट-मुक्त है, और O(dp) इसके $d\geq 3$ लिए बहुत पर्याप्त है (X को डिग्री D के वृत्ताकार वक्र के रूप में एम्बेड करना $\mathbb {P} ^{d-1}$). इसलिए, O(p) पर्याप्त है किन्तु बहुत प्रचुर नहीं है। इसके अतिरिक्त, O(2p) पर्याप्त और बेसपॉइंट-मुक्त है किन्तु बहुत पर्याप्त नहीं है; प्रक्षेप्य समिष्ट से संबंधित रूपवाद शाखित दोहरा आवरण $X\to \mathbb {P} ^{1}$ है .
• उच्च जीनस के वक्रों पर, पर्याप्त रेखा बंडल L होते हैं, जिसके लिए प्रत्येक वैश्विक खंड शून्य होता है। (किन्तु परिभाषा के अनुसार, L के उच्च गुणकों में अनेक खंड होते हैं।) उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X स्मूथ समतल चतुर्थक वक्र है (डिग्री 4 इंच का) $\mathbb {P} ^{2}$) C के ऊपर, और p और q को X के भिन्न -भिन्न सम्मिश्र बिंदु होने दें। फिर लाइन बंडल $L=O(2p-q)$ पर्याप्त है किन्तु $H^{0}(X,L)=0$ है.

लाइन बंडलों की प्रचुरता के लिए मानदंड

प्रतिच्छेदन सिद्धांत

Further information: बीजगणितीय ज्यामिति में प्रतिच्छेदन सिद्धांत या प्रतिच्छेदन सिद्धांत

यह निर्धारित करने के लिए कि प्रक्षेप्य प्रकार X पर दिया गया लाइन बंडल पर्याप्त है या नहीं, जबकि निम्नलिखित संख्यात्मक मानदंड (प्रतिच्छेदन संख्याओं के संदर्भ में) अधिकांशतः सबसे उपयोगी होते हैं। यह पूछने के सामान्तर है कि X पर कार्टियर विभाजक D पर्याप्त है, जिसका अर्थ है कि संबंधित लाइन बंडल O(D) पर्याप्त है। प्रतिच्छेदन नंबर $D\cdot C$ तक सीमित लाइन बंडल O(D) की डिग्री के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी दिशा में, प्रोजेक्टिव प्रकार पर लाइन बंडल Lके लिए, कार्टियर विभाजक $c_{1}(L)$ है इसका अर्थ है संबद्ध कार्टियर भाजक (रैखिक तुल्यता तक परिभाषित), L के किसी भी गैर-शून्य तर्कसंगत खंड का भाजक होता है ।

बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र k पर स्मूथ योजना प्रक्षेप्य वक्र X पर, लाइन बंडल L बहुत पर्याप्त है यदि और केवल यदि X में सभी k-तर्कसंगत बिंदुओं x,y के लिए $h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2$ होता है। तब मान लीजिए कि g, X का वंश है। रीमैन-रोच प्रमेय के अनुसार, कम से कम 2g + 1 डिग्री का प्रत्येक पंक्ति बंडल इस नियम को पूरा करता है और इसलिए यह बहुत पर्याप्त है। परिणामस्वरूप, किसी वक्र पर लाइन बंडल पर्याप्त होता है यदि और केवल यदि उसकी डिग्री धनात्मक हो।

उदाहरण के लिए, विहित बंडल $K_{X}$ वक्र X की डिग्री 2g - 2 है, और इसलिए यह पर्याप्त है यदि और केवल यदि $g\geq 2$. पर्याप्त विहित बंडल वाले वक्र महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं; उदाहरण के लिए, समष्टि संख्याओं पर, यह ऋणात्मक अनुभागीय वक्रता की मीट्रिक वाले वक्र हैं। विहित बंडल बहुत प्रचुर है यदि और केवल यदि $g\geq 2$ और वक्र हाइपरलिप्टिक वक्र नहीं है।

उदाहरण के लिए, एक वक्र का विहित बंडल K_{X}

नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड (योशिकाज़ु नाकाई (1963) और बोरिस मोइशेज़ोन (1964) के नाम पर) बताता है कि क्षेत्र पर उचित योजना पर लाइन बंडल L किसी क्षेत्र पर X पर्याप्त है यदि और केवल यदि X की प्रत्येक संवृत उप-विविधता Y के लिए $\int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0$ (Y को बिंदु होने की अनुमति नहीं है)। भाजक के संदर्भ में, कार्टियर भाजक D पर्याप्त है यदि और केवल यदि X की प्रत्येक (गैर-शून्य-आयामी) उप-विविधता Y के लिए $D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0$ । X सतह के लिए, मानदंड कहता है कि भाजक D पर्याप्त है यदि और केवल यदि इसकी स्व-प्रतिच्छेदन संख्या $D^{2}$ धनात्मक है और X पर प्रत्येक वक्र C पर $D\cdot C>0$ है |

क्लेमन की कसौटी

क्लेमन की कसौटी (1966) बताने के लिए, X को क्षेत्र पर प्रक्षेप्य योजना होने दें। मान लीजिये $N_{1}(X)$ 1-चक्रों का वास्तविक संख्या सदिश समिष्ट (X में वक्रों का वास्तविक रैखिक संयोजन) मॉड्यूलो की संख्यात्मक तुल्यता हो, जिसका अर्थ है कि दो 1-चक्र A और B $N_{1}(X)$ के सामान्तर हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक पंक्ति बंडल की A और B पर समान डिग्री है। नेरॉन-सेवेरी समूह द्वारा नेरॉन-सेवेरी प्रमेय, वास्तविक सदिश समिष्ट $N_{1}(X)$ परिमित आयाम है. क्लेमन के मानदंड में कहा गया है कि X पर लाइन बंडल Lपर्याप्त है यदि और केवल तभी जब L के पास $N_{1}(X)$ में वक्र NE(X) के शंकु के समापन (टोपोलॉजी) के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व C पर धनात्मक डिग्री है | (यह कहने से थोड़ा अधिक शक्तिशाली है कि L की प्रत्येक वक्र पर धनात्मक डिग्री है।) सामान्यतः, लाइन बंडल पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब इसका वर्ग दोहरे सदिश समिष्ट $N^{1}(X)$ में इसका वर्ग नेफ शंकु के आंतरिक भाग में हो

क्लेमन का मानदंड उचित (प्रक्षेपात्मक के बजाय) योजनाओं के लिए सामान्य रूप से विफल रहता है  किसी क्षेत्र पर X, चूँकि यह तभी कायम रहता है जब X स्मूथ हो या अधिक सामान्यतः Q-फैक्टोरियल हो।

प्रक्षेप्य प्रकार पर लाइन बंडल को सख्ती से नेफ कहा जाता है यदि इसमें प्रत्येक वक्र नागाटा (1959) पर धनात्मक डिग्री होती है. और डेविड मम्फोर्ड ने स्मूथ प्रक्षेप्य सतहों पर लाइन बंडलों का निर्माण किया जो सख्ती से नेफ हैं किन्तु पर्याप्त नहीं हैं। इससे पता चलता है कि स्थिति $c_{1}(L)^{2}>0$ नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड में छोड़ा नहीं जा सकता है, और क्लेमन के मानदंड में NE(X) के अतिरिक्त NE(X) के समापन का उपयोग करना आवश्यक है। किसी सतह पर प्रत्येक नेफ लाइन बंडल में $c_{1}(L)^{2}\geq 0$ होता है, और नागाटा और ममफोर्ड के उदाहरणों में $c_{1}(L)^{2}=0$ होता हैं.

सी. एस. शेषाद्रि ने दिखाया कि बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर उचित योजना पर लाइन बंडल L पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब कोई धनात्मक वास्तविक संख्या ε हो जैसे कि डिग्री (L|_C) ≥ εm(C) X में सभी (इरेड्यूसिबल) वक्र C के लिए, जहां m(C) C के बिंदुओं पर गुणकों की अधिकतम सीमा है।

प्रचुरता के अनेक लक्षण क्षेत्र k पर उचित बीजगणितीय समिष्ट पर लाइन बंडलों के लिए अधिक सामान्यतः प्रयुक्त होते हैं। विशेष रूप से, नाकाई-मोइशेज़ोन मानदंड उस व्यापकता में मान्य है। कार्टन-सेरे-ग्रोथेंडिक मानदंड नोथेरियन वलय R पर उचित बीजगणितीय समिष्ट के लिए और भी अधिक सामान्यतः प्रयुक्त होता है। (यदि R के ऊपर उचित बीजगणितीय समिष्ट में पर्याप्त रेखा बंडल है, तब यह वास्तव में R के ऊपर प्रक्षेप्य योजना है।) क्लेमन का मानदंड क्षेत्र पर उचित बीजगणितीय समिष्ट X के लिए विफल रहता है, यदि X स्मूथ हो।

प्रचुरता का विवृत पन

एक क्षेत्र पर प्रक्षेप्य योजना $N^{1}(X)$, इसकी टोपोलॉजी वास्तविक संख्याओं की टोपोलॉजी पर आधारित है। (एक आर-विभाजक को पर्याप्त के रूप में परिभाषित किया गया है यदि इसे पर्याप्त कार्टियर विभाजकों के धनात्मक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। प्रारंभिक विशेष स्तिथि है: पर्याप्त भाजक H और किसी भी भाजक E के लिए, धनात्मक वास्तविक संख्या b है जैसे कि $H+aE$ b से कम निरपेक्ष मान वाली सभी वास्तविक संख्याओं a के लिए पर्याप्त है। पूर्णांक गुणांक (या लाइन बंडल) वाले विभाजक के संदर्भ में, इसका कारण है कि nH + E सभी पर्याप्त रूप से बड़े धनात्मक पूर्णांक n के लिए पर्याप्त है।

प्रचुरता भी पुर्णतः भिन्न अर्थ में खुली स्थिति है, जब बीजगणितीय वर्ग में विविधता या रेखा बंडल भिन्न होता है। अर्थात्, $f\colon X\to Y$ योजनाओं का उचित रूपवाद हो, और L को X पर लाइन बंडल होने दें। फिर Y में बिंदुओं का समुच्चय इस प्रकार है कि L योजना-सैद्धांतिक फाइबर $X_{y}$ पर पर्याप्त है विवृत है (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में)। अधिक दृढ़ता से, यदि L फाइबर $X_{y}$ पर पर्याप्त है, तब y का एफ़िन ओपन पड़ोस U इस प्रकार है कि L, U पर $f^{-1}(U)$ पर्याप्त है

क्लेमन की प्रचुरता के अन्य लक्षण

क्लेमन ने प्रचुरता के निम्नलिखित लक्षण भी सिद्ध किए, जिन्हें प्रचुरता की परिभाषा और संख्यात्मक मानदंड के मध्य मध्यवर्ती चरणों के रूप में देखा जा सकता है। अर्थात्, किसी क्षेत्र पर उचित योजना X पर लाइन बंडल L के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• L पर्याप्त है.
• धनात्मक आयाम का प्रत्येक (अपरिवर्तनीय) उप-विविधता $Y\subset X$ के लिए धनात्मक पूर्णांक r और खंड $s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})$ है जो सामान्यतः शून्य नहीं है किन्तु Y के किसी बिंदु पर विलुप्त हो जाता है।
• धनात्मक आयाम में प्रत्येक (अपरिवर्तनीय) उप-विविधता $Y\subset X$ के लिए, Y पर L की शक्तियों की होलोमोर्फिक यूलर विशेषताएँ अनंत तक जाती हैं:

$\chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty$ जैसा $r\to \infty$.

सामान्यीकरण

पर्याप्त सदिश बंडल

रॉबिन हार्टशॉर्न ने प्रोजेक्टिव स्कीम X पर बीजगणितीय सदिश बंडल F को परिभाषित किया है, यदि एफ में हाइपरप्लेन के समिष्ट $\mathbb {P} (F)$ लाइन बंडल ${\mathcal {O}}(1)$ 'पर्याप्त' है तो क्षेत्र पर X पर्याप्त है।

पर्याप्त रेखा बंडलों के अनेक गुण पर्याप्त सदिश बंडलों तक विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, सदिश बंडल F पर्याप्त है यदि और केवल तभी जब F की उच्च सममित शक्तियां सभी $i>0$ के लिए सुसंगत संग्रह का सह-समरूपता $H^{i}$ को समाप्त कर देती हैं. इसके अतिरिक्त पर्याप्त सदिश बंडल, के चेर्न वर्ग $c_{r}(F)$ में $1\leq r\leq {\text{rank}}(F)$ के लिए X की प्रत्येक r-आयामी उप-विविधता पर धनात्मक डिग्री होती है .

बड़ी लाइन बंडल

Main article: लिटाका डायमेंशन

प्रचुरता का उपयोगी अशक्त होना, विशेष रूप से द्विवार्षिक ज्यामिति में, बड़ी लाइन बंडल की धारणा है। प्रक्षेप्य प्रकार पर लाइन बंडल L क्षेत्र के ऊपर आयाम n के X को बड़ा कहा जाता है यदि इसमें धनात्मक वास्तविक संख्या a और धनात्मक पूर्णांक $j_{0}$है ऐसा है कि $h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}$ | यह L की शक्तियों के वर्गों के रिक्त समिष्ट के लिए अधिकतम संभव वृद्धि दर है, इस अर्थ में कि X पर प्रत्येक लाइन बंडल L के लिए सभी $j\geq j_{0}$ के लिए $h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}$ धनात्मक संख्या b है तथा सभी j > 0 के लिए भी धनात्मक है .

बड़ी लाइन बंडलों की अनेक अन्य विशेषताएँ हैं। सबसे पहले, लाइन बंडल बड़ा होता है यदि और केवल तभी जब कोई धनात्मक पूर्णांक r हो जैसे कि $\mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))$ के अनुभागों द्वारा दिया गया X से $L^{\otimes r}$ तर्कसंगत मानचित्र हो इसकी छवि पर द्विवार्षिक है। इसके अतिरिक्त, लाइन बंडल L तभी बड़ा होता है यदि और केवल यदि इसमें धनात्मक टेंसर शक्ति होती है जो पर्याप्त लाइन बंडल ए और प्रभावी लाइन बंडल बी का टेंसर उत्पाद है (जिसका अर्थ है कि $H^{0}(X,B)\neq 0$). अंत में, लाइन बंडल तभी बड़ा होता है जब उसकी कक्षा $N^{1}(X)$ प्रभावी विभाजक के शंकु के आंतरिक भाग में है।

विशालता को प्रचुरता के द्विवार्षिक रूप से अपरिवर्तनीय एनालॉग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $f\colon X\to Y$ समान आयाम की स्मूथ प्रक्षेप्य विविधताएँ के मध्य प्रमुख तर्कसंगत मानचित्र है, तब Y पर बड़ी लाइन बंडल का पुलबैक X पर बड़ा है। (पहली द्रष्टि में, पुलबैक केवल X के विवृत उपसमुच्चय पर लाइन बंडल है जहां f है रूपवाद, किन्तु यह X के सभी पर लाइन बंडल तक विशिष्ट रूप से विस्तारित होता है।) पर्याप्त लाइन बंडलों के लिए, कोई केवल यह कह सकता है कि परिमित रूपवाद द्वारा पर्याप्त लाइन बंडल का पुलबैक पर्याप्त है।

उदाहरण: मान लीजिए कि X प्रक्षेप्य तल $\mathbb {P} ^{2}$ का ब्लो-अप है मान लीजिए कि H, $\mathbb {P} ^{2}$ लाइन का X की ओर पुलबैक है , और मान लीजिए कि E ब्लो-अप का $\pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}$ असाधारण वक्र है . तब भाजक H + E बड़ा है किन्तु X पर पर्याप्त (या यहां तक ​​कि nef) नहीं है, क्योंकि सम्मिश्र संख्याओं की बिंदु पर.

$(H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.$

इस ऋणात्मकता का यह भी तात्पर्य है कि H + E (या किसी धनात्मक गुणज) के आधार बिंदुपथ में वक्र E सम्मिलित है। वास्तव में, यह आधार बिंदुपथ E के सामान्तर है।

सापेक्ष प्रचुरता

योजनाओं $f:X\to S$ की अर्ध-संक्षिप्त रूपात्मकता को देखते हुए, X पर विपरीत शीफ ​​L को f या 'f-एम्पल' के सापेक्ष 'पर्याप्त' कहा जाता है यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों को पूरा करती हैं:

1. प्रत्येक विवृत एफ़िन उपसमुच्चय के लिए $U\subset S$, के लिए L से $f^{-1}(U)$का प्रतिबंध पर्याप्त विपरीत पुलिंदा है (सामान्य अर्थ में)।
2. एफ अर्ध-पृथक रूपवाद है| अर्ध-पृथक और विवृत विसर्जन है $X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)$ सहायक मानचित्र से प्रेरित:

   $f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}$.

3. दशा 2. बिना विवृत ।

नियम 2 कहती है (सामान्यतः ) कि X को सामान्यत: ${\mathcal {O}}(1)=L$ के साथ प्रक्षेप्य योजना में संकुचित किया जा सकता है (सिर्फ उचित योजना के लिए नहीं)।

यह भी देखें

सामान्य बीजगणितीय ज्यामिति

• प्रक्षेप्य समिष्टों की बीजगणितीय ज्यामिति
• फ़ानो प्रकार: प्रकार जिसका कैनोनिकल बंडल एंटीएम्पल है
• मात्सुसाका का बड़ा प्रमेय
• विभाजक योजना: लाइन बंडलों के पर्याप्त वर्ग को स्वीकार करने वाली योजना

समष्टि ज्यामिति में प्रचुरता

• होलोमोर्फिक सदिश बंडल
• कोडैरा एम्बेडिंग प्रमेय: कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर, प्रचुरता और धनात्मकतामेल खाती है।
• कोडैरा लुप्त प्रमेय
• लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय: समष्टि प्रक्षेप्य विविधता X में पर्याप्त विभाजक स्थलीय रूप से X के समान है।

स्रोत

• Fujino, Osamu (2005), "On the Kleiman-Mori cone", Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 81 (5): 80–84, arXiv:math/0501055, Bibcode:2005math......1055F, doi:10.3792/pjaa.81.80, MR 2143547
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). "बीजगणितीय ज्यामिति के तत्व: II. आकारिकी के कुछ वर्गों का प्राथमिक वैश्विक अध्ययन". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084.
• Hartshorne, Robin (1970), Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 156, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0067839, ISBN 978-3-540-05184-8, MR 0282977
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
• Kleiman, Steven L. (1966), "Toward a numerical theory of ampleness", Annals of Mathematics, Second Series, 84 (3): 293–344, doi:10.2307/1970447, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970447, MR 0206009
• Kollár, János (1990), "Projectivity of complete moduli", Journal of Differential Geometry, 32, doi:10.4310/jdg/1214445046, MR 1064874
• Kollár, János (1996), Rational curves on algebraic varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
• Lazarsfeld, Robert (2004), Positivity in algebraic geometry (2 vols.), Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-642-18808-4, ISBN 3-540-22533-1, MR 2095471
• Nagata, Masayoshi (1959), "On the 14th problem of Hilbert", American Journal of Mathematics, 81 (3): 766–772, doi:10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0154867
• "धारा 29.37 (01वीजी): अपेक्षाकृत पर्याप्त ढेर-स्टैक्स परियोजना".
• Stacks Project, Tag 01AM.
• Stacks Project, Tag 01PS.
• Stacks Project, Tag 01QE.
• Stacks Project, Tag 01VU.
• Stacks Project, Tag 02NP.
• Stacks Project, Tag 02O6
• Stacks Project, Tag 0D38.

बाहरी संबंध

• The Stacks Project