चतुर्थक पारस्परिकता: Difference between revisions

Revision as of 12:02, 21 July 2023

चतुर्थक या द्विघात पारस्परिकता संख्या सिद्धांत#प्राथमिक संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत संख्या सिद्धांत में प्रमेयों का संग्रह है जो उन स्थितियों को बताता है जिनके तहत सर्वांगसम संबंध x⁴ ≡ p (mod q) हल करने योग्य है; पारस्परिकता शब्द इन कुछ प्रमेयों के रूप से आया है, जिसमें वे सर्वांगसमता x की सॉल्वेबिलिटी से संबंधित हैं⁴ ≡ p (mod q) से x तक⁴ ≡ क्यू (मॉड पी)।

इतिहास

लियोनहार्ड यूलर ने द्विघात पारस्परिकता के बारे में पहला अनुमान लगाया।^[1] कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने द्विघात पारस्परिकता पर दो मोनोग्राफ प्रकाशित किए। पहले भाग (1828) में उन्होंने 2 के द्विघात चरित्र के बारे में यूलर के अनुमान को सिद्ध किया। दूसरे भाग (1832) में उन्होंने गॉसियन पूर्णांकों के लिए द्विघात पारस्परिकता नियम बताया और पूरक सूत्रों को सिद्ध किया। उन्होंने कहा^[2] कि सामान्य प्रमेय के प्रमाण के साथ तीसरा मोनोग्राफ आने वाला था, लेकिन यह कभी सामने नहीं आया। जैकोबी ने 1836-37 के अपने कोनिग्सबर्ग व्याख्यान में प्रमाण प्रस्तुत किये। रेफरी>लेमरमेयर, पी। 200</ref> सबसे पहले प्रकाशित प्रमाण आइज़ेंस्टीन द्वारा थे। रेफरी>आइसेंस्टीन, लोइस डी पारस्परिकता</ref>^[3]^[4]^[5] तब से शास्त्रीय (गाऊसी) संस्करण के कई अन्य प्रमाण मिले हैं,^[6] साथ ही वैकल्पिक कथन। लेमरमेयर का कहना है कि 1970 के दशक से तर्कसंगत पारस्परिकता कानूनों में रुचि का विस्फोट हुआ है।^[A]^[7]

पूर्णांक

एक चतुर्थक या द्विघात अवशेष (mod p) पूर्णांक (mod p) की चौथी घात के अनुरूप कोई भी संख्या है। यदि x⁴ ≡ a (mod p) का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है, a 'चतुर्थक' या 'biquadratic नॉनरेसिड्यू' (mod p) है।^[8] जैसा कि संख्या सिद्धांत में अक्सर होता है, मॉड्यूलो अभाज्य संख्याओं पर काम करना सबसे आसान है, इसलिए इस खंड में सभी मॉड्यूल पी, क्यू, आदि को सकारात्मक, विषम अभाज्य माना जाता है।^[8]

गॉस

पूर्णांकों के वलय Z के भीतर काम करते समय ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यदि अभाज्य संख्या q ≡ 3 (mod 4) है तो अवशेष r द्विघात अवशेष (mod q) है ) यदि और केवल यदि यह द्विघात अवशेष (mod q) है। दरअसल, द्विघात पारस्परिकता के पहले पूरक में कहा गया है कि -1 द्विघात गैर-अवशेष (mod q) है, इसलिए किसी भी पूर्णांक x के लिए, x और -x में से द्विघात अवशेष है और दूसरा गैर-अवशेष है। इस प्रकार, यदि r ≡ a² (mod q) द्विघात अवशेष है, यदि a ≡ b है²एक अवशेष है, r ≡ a² ≡ बी⁴ (mod q) द्विघात अवशेष है, और यदि a गैर-अवशेष है, तो −a अवशेष है, −a ≡ b², और फिर, r ≡ (−a)² ≡ बी⁴(mod q) द्विघात अवशेष है।^[9]

इसलिए, एकमात्र दिलचस्प मामला तब है जब मापांक पी ≡ 1 (मॉड 4)।

गॉस ने सिद्ध किया^[10] कि यदि p ≡ 1 (mod 4) तो गैर-शून्य अवशेष वर्ग (mod p) को चार सेटों में विभाजित किया जा सकता है, प्रत्येक में (p−1)/4 संख्याएं होंगी। मान लीजिए कि e द्विघात अअवशेष है। पहला सेट चतुर्थक अवशेष है; दूसरा है e पहले सेट की संख्याओं का गुना, तीसरा है e^{पहले सेट में संख्याओं का 2}गुना, और चौथा ई है^{पहले सेट में संख्याओं का 3}गुना। इस विभाजन का वर्णन करने का दूसरा तरीका यह है कि g को आदिम मूल मॉड्यूलो n (mod p) माना जाए; तो पहला सेट वे सभी संख्याएँ हैं जिनके सूचकांक इस मूल के संबंध में ≡ 0 (mod 4) हैं, दूसरा सेट वे सभी संख्याएँ हैं जिनके सूचकांक ≡ 1 (mod 4) आदि हैं।^[11] समूह सिद्धांत की शब्दावली में, पहला सेट उपसमूह 4 (गुणक समूह Z/pZ) के सूचकांक का उपसमूह है^×), और अन्य तीन इसके सहसमुच्चय हैं।

पहला सेट द्विघात अवशेष है, तीसरा सेट द्विघात अवशेष है जो चतुर्थक अवशेष नहीं हैं, और दूसरा और चौथा सेट द्विघात गैर-अवशेष हैं। गॉस ने साबित किया कि -1 द्विघात अवशेष है यदि p ≡ 1 (mod 8) और द्विघात है, लेकिन द्विघात नहीं, जब p ≡ 5 (mod 8) है।^[12]

2 द्विघात अवशेष मॉड पी है यदि और केवल यदि पी ≡ ±1 (मॉड 8)। चूँकि p भी ≡ 1 (mod 4) है, इसका मतलब है p ≡ 1 (mod 8)। ऐसा प्रत्येक अभाज्य वर्ग और दोगुने वर्ग का योग होता है। रेफरी> गॉस, डीए आर्ट। 182</ref>

गॉस ने सिद्ध किया^[12]

मान लीजिए q = a²+2बी² ≡ 1 (मॉड 8) अभाज्य संख्या हो। फिर

2 द्विघात अवशेष (मॉड क्यू) है यदि और केवल यदि ए ≡ ±1 (मॉड 8), और

2 द्विघात है, लेकिन द्विघात नहीं, अवशेष (मॉड क्यू) यदि और केवल यदि ए ≡ ±3 (मॉड 8)।

प्रत्येक अभाज्य पी ≡ 1 (मॉड 4) दो वर्गों का योग है।^[13] यदि पी = ए²+बी² जहां a विषम है और b सम है, गॉस ने साबित किया^[14] वह

2 ऊपर परिभाषित पहले (क्रमशः दूसरे, तीसरे या चौथे) वर्ग से संबंधित है यदि और केवल यदि बी ≡ 0 (सम्मान 2, 4, या 6) (मॉड 8)। इसका पहला मामला यूलर के अनुमानों में से है:

'2 अभाज्य p ≡ 1 (mod 4) का द्विघात अवशेष है यदि और केवल यदि p = a²+64बी².

डिरिचलेट

एक विषम अभाज्य संख्या p और द्विघात अवशेष a (mod p) के लिए, यूलर का मानदंड बताता है कि $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv 1{\pmod {p}},$ तो यदि पी ≡ 1 (मॉड 4), $a^{\frac {p-1}{4}}\equiv \pm 1{\pmod {p}}.$

अभाज्य पी ≡ 1 (मॉड 4) और द्विघात अवशेष ए (मॉड पी) के लिए तर्कसंगत चतुर्थक अवशेष प्रतीक को इस प्रकार परिभाषित करें ${\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=\pm 1\equiv a^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}.$ यह सिद्ध करना आसान है कि a द्विघात अवशेष (mod p) है यदि और केवल यदि ${\Bigg (}{\frac {a}{p}}{\Bigg )}_{4}=1.$ Dirichlet^[15] 2 के द्विघात चरित्र के गॉस के प्रमाण को सरल बनाया (उनके प्रमाण के लिए केवल पूर्णांकों के लिए द्विघात पारस्परिकता की आवश्यकता होती है) और परिणाम को निम्नलिखित रूप में रखा गया:

मान लीजिए p = a²+बी² ≡ 1 (mod 4) अभाज्य हो, और मान लीजिए i ≡ b/a (mod p)। तब

{\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv i^{\frac {ab}{2}}{\pmod {p}}.

(ध्यान दें कि मैं² ≡ −1 (मॉड पी).)

वास्तव में,^[16] चलो पी = ए²+बी² = सी²+2डी²=और² − 2f² ≡ 1 (मॉड 8) अभाज्य हो, और मान लें कि a विषम है। तब

{\Bigg (}{\frac {2}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {b}{4}}={\Bigg (}{\frac {2}{c}}{\Bigg )}=\left(-1\right)^{n+{\frac {d}{2}}}={\Bigg (}{\frac {-2}{e}}{\Bigg )},

कहाँ

({\tfrac {x}{q}})

साधारण लीजेंड्रे प्रतीक है।

2 के चरित्र से आगे बढ़ते हुए, मान लीजिए कि अभाज्य p = a है²+बी² जहां b सम है, और मान लीजिए कि q अभाज्य है $({\tfrac {p}{q}})=1.$ द्विघात पारस्परिकता यही कहती है $({\tfrac {q^{*}}{p}})=1,$ कहाँ $q^{*}=(-1)^{\frac {q-1}{2}}q.$ चलो σ² ≡ p (mod q). तब^[17]

{\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {\sigma (b+\sigma )}{q}}{\Bigg )}.

यह संकेत करता है^[18] वह

{\Bigg (}{\frac {q^{*}}{p}}{\Bigg )}_{4}=1{\mbox{ if and only if }}{\begin{cases}b\equiv 0{\pmod {q}};&{\mbox{ or }}\\a\equiv 0{\pmod {q}}{\mbox{ and }}\left({\frac {2}{q}}\right)=1;&{\mbox{ or }}\\a\equiv \mu b,\;\;\mu ^{2}+1\equiv \lambda ^{2}{\pmod {q}}{\mbox{, and }}\left({\frac {\lambda (\lambda +1)}{q}}\right)=1.\end{cases}}

पहले कुछ उदाहरण हैं:^[19]

{\begin{aligned}\left({\frac {-3}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {3}}\\\left({\frac {5}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b&\equiv 0{\pmod {5}}\\\left({\frac {-7}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&ab&\equiv 0{\pmod {7}}\\\left({\frac {-11}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {11}}\\\left({\frac {13}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}&b(b^{2}-3a^{2})&\equiv 0{\pmod {13}}\\\left({\frac {17}{p}}\right)_{4}=1&{\mbox{ if and only if }}\;\;\;\;&ab(b^{2}-a^{2})&\equiv 0{\pmod {17}}.\\\end{aligned}}

यूलर ने 2, −3 और 5 के लिए नियमों का अनुमान लगाया था, लेकिन उनमें से किसी को भी सिद्ध नहीं किया।

Dirichlet^[20] यह भी सिद्ध हुआ कि यदि p ≡ 1 (mod 4) अभाज्य है और $({\tfrac {17}{p}})=1$ तब

{\Bigg (}{\frac {17}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{17}}{\Bigg )}_{4}={\begin{cases}+1{\mbox{ if and only if }}\;\;p=x^{2}+17y^{2}\\-1{\mbox{ if and only if }}2p=x^{2}+17y^{2}\end{cases}}

ब्राउन और लेहमर द्वारा इसे 17 से बढ़ाकर 17, 73, 97 और 193 कर दिया गया है।^[21]

बर्डे

बर्डे के तर्कसंगत द्विघात पारस्परिकता कानून को बताने के कई समकक्ष तरीके हैं।

वे सभी यह मानते हैं कि p = a²+बी² और q = c²+d² अभाज्य संख्याएँ हैं जहाँ b और d सम हैं, और वह $({\tfrac {p}{q}})=1.$ गॉसेट का संस्करण है^[7]: ${\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}\equiv {\Bigg (}{\frac {a/b-c/d}{a/b+c/d}}{\Bigg )}^{\frac {q-1}{4}}{\pmod {q}}.$ मैं दे रहा हूँ² ≡ −1 (mod p) और j² ≡ −1 (mod q), फ्रोलिच का नियम है^[22]

{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {a+bj}{q}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {c+di}{p}}{\Bigg )}.

बर्डे ने इस रूप में अपनी बात कही:^[23]^[24]^[25]

{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}={\Bigg (}{\frac {ac-bd}{q}}{\Bigg )}.

ध्यान दें कि^[26]

{\Bigg (}{\frac {ac+bd}{p}}{\Bigg )}={\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {ac-bd}{p}}{\Bigg )}.

विविध

मान लीजिए कि p ≡ q ≡ 1 (mod 4) अभाज्य है और मान लीजिए $({\tfrac {p}{q}})=1$ . फिर ई² = पी एफ² + क्यू जी² में गैर-तुच्छ पूर्णांक समाधान हैं, और^[27]

{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left(-1\right)^{\frac {fg}{2}}\left({\frac {-1}{e}}\right).

मान लीजिए कि p ≡ q ≡ 1 (mod 4) अभाज्य है और मान लीजिए कि p = r है² + q s². तब^[28]

{\Bigg (}{\frac {p}{q}}{\Bigg )}_{4}{\Bigg (}{\frac {q}{p}}{\Bigg )}_{4}=\left({\frac {2}{q}}\right)^{s}.

माना p = 1 + 4x²अभाज्य हो, मान लीजिए a कोई विषम संख्या है जो x को विभाजित करती है, और मान लीजिए $a^{*}=\left(-1\right)^{\frac {a-1}{2}}a.$ तब^[29] a^* द्विघात अवशेष (mod p) है।

मान लीजिए p = a² + b/w² = सी²+2डी² ≡ 1 (मॉड 8) अभाज्य बनें। तब^[30] सी के सभी विभाजक⁴ − पी ए²द्विघात अवशेष (mod p) हैं। यही बात d के सभी विभाजकों के लिए भी सत्य है⁴ − पी बी².

गाऊसी पूर्णांक

पृष्ठभूमि

द्विघात पारस्परिकता पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में गॉस ने कुछ उदाहरण प्रदर्शित किए हैं और अनुमान लगाए हैं जो छोटे अभाज्य संख्याओं के द्विघात चरित्र के लिए ऊपर सूचीबद्ध प्रमेयों का संकेत देते हैं। वह कुछ सामान्य टिप्पणियाँ करता है, और स्वीकार करता है कि काम में कोई स्पष्ट सामान्य नियम नहीं है। वह आगे कहता है

द्विघात अवशेषों पर प्रमेय सबसे बड़ी सरलता और वास्तविक सुंदरता के साथ तभी चमकते हैं जब अंकगणित का क्षेत्र काल्पनिक संख्याओं तक बढ़ाया जाता है, ताकि बिना किसी प्रतिबंध के ए + बी रूप की संख्याएं बन सकें अध्ययन की वस्तु... हम ऐसी संख्याओं को अभिन्न सम्मिश्र संख्याएँ कहते हैं।^[31] [मूल में बोल्ड]

इन संख्याओं को अब गॉसियन पूर्णांकों का वलय (गणित) कहा जाता है, जिन्हें Z[i] द्वारा दर्शाया जाता है। ध्यान दें कि i 1 का चौथा मूल है।

एक फ़ुटनोट में वह कहते हैं

<ब्लॉकक्वॉट>घन अवशेषों का सिद्धांत इसी प्रकार ए + बीएच के रूप की संख्याओं के विचार पर आधारित होना चाहिए जहां एच समीकरण एच का काल्पनिक मूल है ³=1 ... और इसी प्रकार उच्च शक्तियों के अवशेषों का सिद्धांत अन्य काल्पनिक मात्राओं के परिचय की ओर ले जाता है।^[32]

एकता के घनमूल से बनी संख्याओं को अब आइज़ेंस्टीन पूर्णांक का वलय कहा जाता है। उच्च शक्तियों के अवशेषों के सिद्धांत के लिए आवश्यक अन्य काल्पनिक मात्राएँ साइक्लोटोमिक क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग हैं; गॉसियन और आइज़ेंस्टीन पूर्णांक इनके सबसे सरल उदाहरण हैं।

तथ्य और शब्दावली

गॉस ने अभिन्न जटिल संख्याओं के अंकगणित सिद्धांत को विकसित किया और दिखाया कि यह सामान्य पूर्णांकों के अंकगणित के काफी समान है।^[33] यहीं पर इकाई, सहयोगी, मानदंड और प्राथमिक शब्द गणित में पेश किए गए थे।

इकाइयाँ वे संख्याएँ हैं जो 1 को विभाजित करती हैं।^[34] वे 1, आई, −1, और −आई हैं। वे सामान्य पूर्णांकों में 1 और −1 के समान हैं, जिसमें वे प्रत्येक संख्या को विभाजित करते हैं। इकाइयाँ i की शक्तियाँ हैं।

एक संख्या λ = a + bi दी गई है, इसका 'संयुग्म' a - bi है और इसके 'सहयोगी' चार संख्याएँ हैं^[34]

λ = +a + bi

iλ = −b + ai

−λ = −a − bi

−iλ = +b − ai

यदि λ = a + bi, तो λ का मान, जिसे Nλ लिखा जाता है, संख्या a है²+बी². यदि λ और μ दो गाऊसी पूर्णांक हैं, तो Nλμ = Nλ Nμ; दूसरे शब्दों में, मानदंड गुणक है।^[34] शून्य का मानदण्ड शून्य होता है, किसी अन्य संख्या का मानदण्ड धनात्मक पूर्णांक होता है। ε इकाई है यदि और केवल यदि Nε = 1. λ के मानदंड का वर्गमूल, गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या जो गॉसियन पूर्णांक नहीं हो सकती है, लैम्ब्डा का पूर्ण मान है।

गॉस साबित करता है कि Z[i] अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है और दिखाता है कि अभाज्य संख्याएँ तीन वर्गों में आती हैं:^[35]

2 विशेष मामला है: 2 = i³ (1 + i)². यह Z का एकमात्र अभाज्य है जो Z[i] के अभाज्य के वर्ग से विभाज्य है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, 2 को Z[i] में विस्तारित कहा जाता है।
Z ≡ 3 (mod 4) में धनात्मक अभाज्य संख्याएँ Z[i] में भी अभाज्य संख्याएँ हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, कहा जाता है कि ये अभाज्य संख्याएँ Z[i] में निष्क्रिय रहती हैं।
Z ≡ 1 (mod 4) में धनात्मक अभाज्य संख्याएँ Z[i] में दो संयुग्मी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, इन अभाज्य संख्याओं को Z[i] में विभाजित करने के लिए कहा जाता है।

इस प्रकार, अक्रिय अभाज्य संख्याएँ 3, 7, 11, 19, ... हैं और विभाजित अभाज्य संख्याओं का गुणनखंडन है

5 = (2 + आई) × (2 − आई),

13 = (2 + 3आई) × (2 − 3आई),

17 = (4 + आई) × (4 - आई),

29 = (2 + 5आई) × (2 − 5आई), ...

अभाज्य के सहयोगी और संयुग्मक भी अभाज्य हैं।

ध्यान दें कि अक्रिय अभाज्य q का मानदंड Nq = q है² ≡ 1 (मॉड 4); इस प्रकार 1 + i और उसके सहयोगियों को छोड़कर सभी अभाज्य अभाज्य संख्याओं का मान ≡ 1 (mod 4) है।

गॉस 'Z'[i] में किसी संख्या को 'विषम' कहते हैं यदि उसका मानदंड विषम पूर्णांक है।^[36] इस प्रकार 1 + i और उसके सहयोगियों को छोड़कर सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं। दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है और विषम संख्या के संयुग्म और सहयोगी विषम होते हैं।

अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय को बताने के लिए, किसी संख्या के सहयोगियों में से किसी को अलग करने का तरीका होना आवश्यक है। गॉस परिभाषित करता है^[37] विषम संख्या प्राथमिक होगी यदि यह ≡ 1 है (mod (1 + i)³). यह दिखाना आसान है कि प्रत्येक विषम संख्या का प्राथमिक सहयोगी होता है। विषम संख्या λ = a + bi प्राथमिक है यदि a + b ≡ a - b ≡ 1 (mod 4); यानी, a ≡ 1 और b ≡ 0, या a ≡ 3 और b ≡ 2 (mod 4)।^[38] दो प्राथमिक संख्याओं का गुणनफल प्राथमिक होता है और प्राथमिक संख्या का संयुग्मन भी प्राथमिक होता है।

अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय^[39] Z[i] के लिए है: यदि λ ≠ 0, तो

\lambda =i^{\mu }(1+i)^{\nu }\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots

जहां 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, π_is प्राथमिक अभाज्य संख्याएँ और α हैं_is ≥ 1, और यह प्रतिनिधित्व कारकों के क्रम तक अद्वितीय है।

सर्वांगसमता संबंध की धारणाएँ^[40] और सबसे बड़ा सामान्य भाजक^[41] Z[i] में उसी तरह से परिभाषित किया गया है जैसे वे सामान्य पूर्णांक Z के लिए हैं। क्योंकि इकाइयाँ सभी संख्याओं को विभाजित करती हैं, सर्वांगसमता (mod λ) λ के किसी भी सहयोगी और a के किसी भी सहयोगी के लिए भी सच है। जीसीडी भी जीसीडी है.

चतुर्थक अवशेष चरित्र

गॉस फ़र्मेट के छोटे प्रमेय के एनालॉग को साबित करता है|फ़र्मेट का प्रमेय: यदि α विषम अभाज्य π से विभाज्य नहीं है, तो^[42]

\alpha ^{N\pi -1}\equiv 1{\pmod {\pi }}

चूँकि Nπ ≡ 1 (मॉड 4), $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}$ समझ में आता है, और $\alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}\equiv i^{k}{\pmod {\pi }}$ अद्वितीय इकाई के लिए i^क.

इस इकाई को α (mod π) का 'चतुर्थक' या 'द्विघातीय अवशेष वर्ण' कहा जाता है और इसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है^[43]^[44]

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=i^{k}\equiv \alpha ^{\frac {N\pi -1}{4}}{\pmod {\pi }}.

इसमें लीजेंड्रे प्रतीक के समान औपचारिक गुण हैं।^[45]

सर्वांगसमता

x^{4}\equiv \alpha {\pmod {\pi }}

Z[i] में हल करने योग्य है यदि और केवल यदि

\left[{\frac {\alpha }{\pi }}\right]=1.

^[46]

{\Bigg [}{\frac {\alpha \beta }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}{\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}

{\overline {{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}}}={\Bigg [}{\frac {\overline {\alpha }}{\overline {\pi }}}{\Bigg ]}

जहां बार जटिल संयुग्मन को दर्शाता है।

यदि π और θ सहयोगी हैं,

{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\alpha }{\theta }}{\Bigg ]}

यदि α ≡ β (मॉड π),

{\Bigg [}{\frac {\alpha }{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {\beta }{\pi }}{\Bigg ]}

द्विघात वर्ण को हर में विषम भाज्य संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, उसी प्रकार लीजेंड्रे प्रतीक को जैकोबी प्रतीक में सामान्यीकृत किया जाता है। उस स्थिति में, यदि हर मिश्रित है, तो सर्वांगसमता को हल किए बिना प्रतीक के बराबर हो सकता है:

\left[{\frac {\alpha }{\lambda }}\right]=\left[{\frac {\alpha }{\pi _{1}}}\right]^{\alpha _{1}}\left[{\frac {\alpha }{\pi _{2}}}\right]^{\alpha _{2}}\dots

कहाँ

\lambda =\pi _{1}^{\alpha _{1}}\pi _{2}^{\alpha _{2}}\pi _{3}^{\alpha _{3}}\dots

यदि a और b साधारण पूर्णांक हैं, तो a ≠ 0, |b| > 1, जीसीडी(ए, बी) = 1, फिर^[47]

\left[{\frac {a}{b}}\right]=1.

प्रमेय के कथन

गॉस ने द्विघात पारस्परिकता के नियम को इस रूप में बताया:^[2]^[48]

मान लीजिए π और θ Z[i] के अलग-अलग प्राथमिक अभाज्य हैं। तब

यदि या तो π या θ या दोनों ≡ 1 (मॉड 4) हैं, तो

{\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right],

लेकिन

यदि π और θ दोनों ≡ 3 + 2i (mod 4) हैं, तो

{\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}=-\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right].

जिस प्रकार लीजेंड्रे प्रतीक के लिए द्विघात पारस्परिकता कानून जैकोबी प्रतीक के लिए भी सत्य है, संख्याओं के अभाज्य होने की आवश्यकता नहीं है; यह पर्याप्त है कि वे विषम अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हों।^[49] संभवतः सबसे प्रसिद्ध कथन है:

मान लीजिए π और θ प्राथमिक अपेक्षाकृत अभाज्य गैरइकाइयाँ हैं। तब^[50]

{\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.

पूरक प्रमेय हैं^[51]^[52] इकाइयों और अर्ध-सम अभाज्य 1 + i के लिए।

यदि π = a + bi प्राथमिक अभाज्य है, तो

{\Bigg [}{\frac {i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {a-1}{2}}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {1+i}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{\frac {a-b-1-b^{2}}{4}},

और इस तरह

{\Bigg [}{\frac {-1}{\pi }}{\Bigg ]}=(-1)^{\frac {a-1}{2}},\;\;\;{\Bigg [}{\frac {2}{\pi }}{\Bigg ]}=i^{-{\frac {b}{2}}}.

इसके अलावा, यदि π = a + bi प्राथमिक अभाज्य है, और b ≠ 0 है तो^[53]

{\Bigg [}{\frac {\overline {\pi }}{\pi }}{\Bigg ]}={\Bigg [}{\frac {-2}{\pi }}{\Bigg ]}(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}

(यदि b = 0 तो प्रतीक 0 है)।

जैकोबी ने π = a + bi को प्राथमिक माना यदि a ≡ 1 (mod 4)। इस सामान्यीकरण के साथ, कानून आकार लेता है^[54]

मान लीजिए α = a + bi और β = c + di जहां a ≡ c ≡ 1 (mod 4) और b और d अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ भी हैं। तब

\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{\frac {bd}{4}}

निम्नलिखित संस्करण गॉस की अप्रकाशित पांडुलिपियों में पाया गया था।^[55]

मान लीजिए α = a + 2bi और β = c + 2di जहां a और c विषम हैं, वे अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं। तब

\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{bd+{\frac {a-1}{2}}d+{\frac {c-1}{2}}b},\;\;\;\;\left[{\frac {1+i}{\alpha }}\right]=i^{{\frac {b(a-3b)}{2}}-{\frac {a^{2}-1}{8}}}

कानून को प्राथमिक की अवधारणा का उपयोग किए बिना कहा जा सकता है:

यदि λ विषम है, तो मान लें कि ε(λ) λ के सर्वांगसम अद्वितीय इकाई है (mod (1 + i)³); यानी, ε(λ) = i^k ≡ λ (mod 2 + 2i), जहां 0 ≤ k ≤ 3. फिर^[56] विषम और अपेक्षाकृत अभाज्य α और β के लिए, कोई भी इकाई नहीं है,

\left[{\frac {\alpha }{\beta }}\right]\left[{\frac {\beta }{\alpha }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\alpha -1}{4}}{\frac {N\beta -1}{4}}}\epsilon (\alpha )^{\frac {N\beta -1}{4}}\epsilon (\beta )^{\frac {N\alpha -1}{4}}

विषम λ के लिए, चलो $\lambda ^{*}=(-1)^{\frac {N\lambda -1}{4}}\lambda .$ फिर यदि λ और μ अपेक्षाकृत अभाज्य गैर-इकाइयाँ हैं, तो आइज़ेंस्टीन ने सिद्ध किया^[57]

\left[{\frac {\lambda }{\mu }}\right]={\Bigg [}{\frac {\mu ^{*}}{\lambda }}{\Bigg ]}.

यह भी देखें

द्विघात पारस्परिकता
घन पारस्परिकता
ऑक्टिक पारस्परिकता
आइसेनस्टीन पारस्परिकता
आर्टिन पारस्परिकता

संदर्भ

↑ Euler, Tractatus, § 456
↑ ^2.0 ^2.1 गॉस, बीक्यू, § 67
↑ Eisenstein, Einfacher Beweis ...
↑ Eisenstein, Application de l'algebre ...
↑ Eisenstein, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
↑ Lemmermeyer, pp. 199–202
↑ ^7.0 ^7.1 Lemmermeyer, p. 172
↑ ^8.0 ^8.1 Gauss, BQ § 2
↑ Gauss, BQ § 3
↑ Gauss, BQ §§ 4–7
↑ Gauss, BQ § 8
↑ ^12.0 ^12.1 गॉस, बीक्यू § 10
↑ Gauss, DA, Art. 182
↑ Gauss BQ §§ 14–21
↑ Dirichlet, Demonstration ...
↑ Lemmermeyer, Prop. 5.4
↑ Lemmermeyer, Prop. 5.5
↑ Lemmermeyer, Ex. 5.6
↑ Lemmmermeyer, pp.159, 190
↑ Dirichlet, Untersuchungen ...
↑ Lemmermeyer, Ex. 5.19
↑ Lemmermeyer, p. 173
↑ Lemmermeyer, p. 167
↑ Ireland & Rosen pp.128–130
↑ Burde, K. (1969). "Ein rationales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reine Angew. Math. (in German). 235: 175–184. Zbl 0169.36902.{{cite journal}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Lemmermeyer, Ex. 5.13
↑ Lemmermeyer, Ex. 5.5
↑ Lemmermeyer, Ex. 5.6, credited to Brown
↑ Lemmermeyer, Ex. 6.5, credited to Sharifi
↑ Lemmermeyer, Ex. 6.11, credited to E. Lehmer
↑ Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 83
↑ Gauss, BQ, § 30, translation in Cox, p. 84
↑ Gauss, BQ, §§ 30–55
↑ ^34.0 ^34.1 ^34.2 गॉस, बीक्यू, § 31
↑ Gauss, BQ, §§ 33–34
↑ Gauss, BQ, § 35. He defines "halfeven" numbers as those divisible by 1 + i but not by 2, and "even" numbers as those divisible by 2.
↑ Gauss, BQ, § 36
↑ Ireland & Rosen, Ch. 9.7
↑ Gauss, BQ, § 37
↑ Gauss, BQ, §§ 38–45
↑ Gauss, BQ, §§ 46–47
↑ Gauss, BQ, § 51
↑ Gauss defined the character as the exponent k rather than the unit i^k; also, he had no symbol for the character.
↑ There is no standard notation for higher residue characters in different domains (see Lemmermeyer, p. xiv); this article follows Lemmermeyer, chs. 5–6
↑ Ireland & Rosen, Prop 9.8.3
↑ Gauss, BQ, § 61
↑ Ireland & Rosen, Prop. 9.8.3, Lemmermeyer, Prop 6.8
↑ proofs are in Lemmermeyer, chs. 6 and 8, Ireland & Rosen, ch. 9.7–9.10
↑ Lemmermeyer, Th. 69.
↑ Lemmermeyer, ch. 6, Ireland & Rosen ch. 9.7–9.10
↑ Lemmermeyer, Th. 6.9; Ireland & Rosen, Ex. 9.32–9.37
↑ Gauss proves the law for 1 + i in BQ, §§ 68–76
↑ Ireland & Rosen, Ex. 9.30; Lemmermeyer, Ex. 6.6, where Jacobi is credited
↑ Lemmermeyer, Th. 6.9
↑ Lemmermeyer, Ex. 6.17
↑ Lemmermeyer, Ex. 6.18 and p. 275
↑ Lemmermeyer, Ch. 8.4, Ex. 8.19

साहित्य

यूलर, डिरिचलेट और ईसेनस्टीन के मूल पत्रों के संदर्भ लेमरमेयर और कॉक्स की ग्रंथ सूची से कॉपी किए गए थे, और इस लेख की तैयारी में उनका उपयोग नहीं किया गया था।

यूलर

Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt, Comment. Arithmet. 2

यह वास्तव में 1748-1750 में लिखा गया था, लेकिन केवल मरणोपरांत प्रकाशित किया गया था; यह खंड V, पृष्ठ 182-283 में है

Euler, Leonhard (1911–1944), Opera Omnia, Series prima, Vols I–V, Leipzig & Berlin: Teubner

गॉस

द्विघात पारस्परिकता पर गॉस द्वारा प्रकाशित दो मोनोग्राफ में लगातार क्रमांकित खंड हैं: पहले में §§ 1-23 और दूसरे में §§ 24-76 हैं। इन्हें संदर्भित करने वाले फ़ुटनोट गॉस, बीक्यू, § एन के रूप में हैं। डिस्क्विज़िशन अरिथमेटिके को संदर्भित करने वाले फ़ुटनोट गॉस, डीए, आर्ट के रूप में हैं। एन ।

Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6

Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7 }

ये गॉस वर्क, खंड II, पृष्ठ 107-1 में हैं 65-92 और 93-148

जर्मन अनुवाद पीपी में हैं। निम्नलिखित अध्याय के 511-533 और 534-586, जिसमें संख्या सिद्धांत पर अंकगणितीय विवेचन और गॉस के अन्य पेपर भी शामिल हैं।

Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8 {{citation}}: |first2= has generic name (help)