सम्मिश्र लाई समूह: Difference between revisions

Revision as of 09:23, 22 July 2023

ज्यामिति में, जटिल लाई समूह जटिल संख्याओं पर झूठ समूह है; यानी, यह जटिल विविधता है | कॉम्प्लेक्स-एनालिटिक मैनिफोल्ड जो इस तरह से ग्रुप_(गणित) भी है $G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}$ होलोमार्फिक है. बुनियादी उदाहरण हैं $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ , जटिल संख्याओं पर सामान्य रैखिक समूह। जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स लाई समूह वास्तव में जटिल टोरस है (जटिल लाई समूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $\mathbb {C} ^{*}$ ). किसी भी परिमित समूह को जटिल झूठ समूह की संरचना दी जा सकती है। जटिल अर्धसरल लाई समूह रैखिक बीजगणितीय समूह है। जटिल लाई समूह का लाई बीजगणित जटिल लाई बीजगणित है।

उदाहरण

संमिश्र संख्याओं (विशेष रूप से, जटिल लाई बीजगणित) पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान स्पष्ट रूप से जटिल लाई समूह है।
आयाम g का जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स झूठ समूह A के रूप का है $\mathbb {C} ^{g}/L$ , जटिल टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह झूठ बीजगणित है ${\mathfrak {a}}$ एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है $\operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A$ जटिल झूठ समूहों का आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि ए वर्णित रूप का है।
$\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}$ जटिल लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से $\mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )$ , यह जटिल लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है।
मान लीजिए कि X कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक मामले के अनुरूप, $\operatorname {Aut} (X)$ जटिल लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित स्थान है $\Gamma (X,TX)$ X: पर होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड का।
मान लीजिए K जुड़ा हुआ सघन झूठ समूह है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह जी मौजूद है जैसे कि (i) $\operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ , और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (Lie समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ एकात्मक समूह का जटिलीकरण है। यदि K कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, तो K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।^[1]

जटिल अर्धसरल झूठ समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह

मान लीजिए G जटिल अर्धसरल झूठ समूह है। फिर G रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है:^[2] होने देना $A$ G पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस f का वलय इस प्रकार बनें $G\cdot f$ जी पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस की रिंग के अंदर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान फैला हुआ है (यहां जी बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: $g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)$ ). तब $\operatorname {Spec} (A)$ रैखिक बीजगणितीय समूह है, जिसे जब जटिल विविधता के रूप में देखा जाता है, तो यह मूल जी है। अधिक ठोस रूप से, वफादार प्रतिनिधित्व चुनें $\rho :G\to GL(V)$ जी का फिर $\rho (G)$ ज़ारिस्की-बंद है $GL(V)$ .

संदर्भ

↑ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1982). "ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ". Inventiones Mathematicae. 67 (3): 515–538. Bibcode:1982InMat..67..515G. doi:10.1007/bf01398934. S2CID 121632102.
↑ Serre 1993, p. Ch. VIII. Theorem 10.

Lee, Dong Hoon (2002), The Structure of Complex Lie Groups (PDF), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, MR 1887930
Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres

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[1] Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1982). "ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ". Inventiones Mathematicae. 67 (3): 515–538. Bibcode:1982InMat..67..515G. doi:10.1007/bf01398934. S2CID 121632102.

[2] Serre 1993, p. Ch. VIII. Theorem 10.

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 {{Short description|Lie group whose manifold is complex and whose group operation is holomorphic}}
-[[ज्यामिति]] में, एक जटिल लाई समूह जटिल संख्याओं पर एक [[झूठ समूह]] है; यानी, यह एक जटिल विविधता है | कॉम्प्लेक्स-एनालिटिक मैनिफोल्ड जो इस तरह से एक ग्रुप_(गणित) भी है <math>G \times G \to G, (x, y) \mapsto x y^{-1}</math> [[ होलोमार्फिक ]] है. बुनियादी उदाहरण हैं <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math>, [[जटिल संख्या]]ओं पर [[सामान्य रैखिक समूह]]। एक जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स लाई समूह वास्तव में एक [[जटिल टोरस]] है (जटिल लाई समूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math>\mathbb C^*</math>). किसी भी परिमित समूह को एक जटिल झूठ समूह की संरचना दी जा सकती है। एक जटिल अर्धसरल लाई समूह एक [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] है।<!--A corollary of this is that a connected real semisimple Lie group is a covering of an algebraic group. -->
+[[ज्यामिति]] में, जटिल लाई समूह जटिल संख्याओं पर [[झूठ समूह]] है; यानी, यह जटिल विविधता है | कॉम्प्लेक्स-एनालिटिक मैनिफोल्ड जो इस तरह से ग्रुप_(गणित) भी है <math>G \times G \to G, (x, y) \mapsto x y^{-1}</math> [[ होलोमार्फिक |होलोमार्फिक]] है. बुनियादी उदाहरण हैं <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math>, [[जटिल संख्या]]ओं पर [[सामान्य रैखिक समूह]]। जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स लाई समूह वास्तव में [[जटिल टोरस]] है (जटिल लाई समूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए <math>\mathbb C^*</math>). किसी भी परिमित समूह को जटिल झूठ समूह की संरचना दी जा सकती है। जटिल अर्धसरल लाई समूह [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] है।
-एक जटिल लाई समूह का लाई बीजगणित एक जटिल लाई बीजगणित है।
+जटिल लाई समूह का लाई बीजगणित जटिल लाई बीजगणित है।
 == उदाहरण ==
 {{see also|Table of Lie groups}}
-*संमिश्र संख्याओं (विशेष रूप से, जटिल लाई बीजगणित) पर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान स्पष्ट रूप से एक जटिल लाई समूह है।
+*संमिश्र संख्याओं (विशेष रूप से, जटिल लाई बीजगणित) पर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान स्पष्ट रूप से जटिल लाई समूह है।
-*आयाम g का एक जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स झूठ समूह A के रूप का है <math>\mathbb{C}^g/L</math>, एक जटिल टोरस, जहां L रैंक 2g का एक अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak{a}</math> एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है <math>\operatorname{exp}: \mathfrak{a} \to A</math> जटिल झूठ समूहों का एक आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि ए वर्णित रूप का है।
+*आयाम g का जुड़ा हुआ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स झूठ समूह A के रूप का है <math>\mathbb{C}^g/L</math>, जटिल टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह झूठ बीजगणित है <math>\mathfrak{a}</math> एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है <math>\operatorname{exp}: \mathfrak{a} \to A</math> जटिल झूठ समूहों का आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि ए वर्णित रूप का है।
-* <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*, z \mapsto e^z</math> जटिल लाई समूहों के विशेषण समरूपता का एक उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से <math>\mathbb{C}^* = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})</math>, यह एक जटिल लाई समूह के प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है।
+* <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*, z \mapsto e^z</math> जटिल लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से <math>\mathbb{C}^* = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})</math>, यह जटिल लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है।
-* मान लीजिए कि X एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक मामले के अनुरूप,  <math>\operatorname{Aut}(X)</math> एक जटिल लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित स्थान है <math>\Gamma(X, TX)</math> X: पर होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड का।{{clarify|date=March 2023}}
+* मान लीजिए कि X कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक मामले के अनुरूप, <math>\operatorname{Aut}(X)</math> जटिल लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित स्थान है <math>\Gamma(X, TX)</math> X: पर होलोमोर्फिक वेक्टर फ़ील्ड का।
-*मान लीजिए K एक जुड़ा हुआ [[सघन झूठ समूह]] है। फिर एक अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह जी मौजूद है जैसे कि (i) <math>\operatorname{Lie} (G) = \operatorname{Lie} (K) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>, और (ii) K, G का एक अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (Lie समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> [[एकात्मक समूह]] का जटिलीकरण है। यदि K एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, तो K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।<ref>{{cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|title=ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ|journal=Inventiones Mathematicae|date=1982|volume=67|issue=3|pages=515–538|doi=10.1007/bf01398934|bibcode=1982InMat..67..515G |s2cid=121632102 }}</ref>
+*मान लीजिए K जुड़ा हुआ [[सघन झूठ समूह]] है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह जी मौजूद है जैसे कि (i) <math>\operatorname{Lie} (G) = \operatorname{Lie} (K) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>, और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (Lie समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> [[एकात्मक समूह]] का जटिलीकरण है। यदि K कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, तो K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।<ref>{{cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|title=ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ|journal=Inventiones Mathematicae|date=1982|volume=67|issue=3|pages=515–538|doi=10.1007/bf01398934|bibcode=1982InMat..67..515G |s2cid=121632102 }}</ref>
-== एक जटिल अर्धसरल झूठ समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह ==
+== जटिल अर्धसरल झूठ समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह ==
-मान लीजिए G एक जटिल अर्धसरल झूठ समूह है। फिर G एक रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है:<ref>{{harvnb|Serre|1993|p=Ch. VIII. Theorem 10.}}</ref><!-- can "semisimple" be dropped or weakened? --> होने देना <math>A</math> G पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस f का वलय इस प्रकार बनें <math>G \cdot f</math> जी पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस की रिंग के अंदर एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान फैला हुआ है (यहां जी बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: <math>g \cdot f(h) = f(g^{-1}h)</math>). तब <math>\operatorname{Spec}(A)</math> रैखिक बीजगणितीय समूह है, जिसे जब एक जटिल विविधता के रूप में देखा जाता है, तो यह मूल जी है। अधिक ठोस रूप से, एक वफादार प्रतिनिधित्व चुनें <math>\rho : G \to GL(V)</math> जी का फिर <math>\rho(G)</math> ज़ारिस्की-बंद है <math>GL(V)</math>.{{clarify|why closed?|date=February 2020}}
+मान लीजिए G जटिल अर्धसरल झूठ समूह है। फिर G रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है:<ref>{{harvnb|Serre|1993|p=Ch. VIII. Theorem 10.}}</ref> होने देना <math>A</math> G पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस f का वलय इस प्रकार बनें <math>G \cdot f</math> जी पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस की रिंग के अंदर परिमित-आयामी वेक्टर स्थान फैला हुआ है (यहां जी बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: <math>g \cdot f(h) = f(g^{-1}h)</math>). तब <math>\operatorname{Spec}(A)</math> रैखिक बीजगणितीय समूह है, जिसे जब जटिल विविधता के रूप में देखा जाता है, तो यह मूल जी है। अधिक ठोस रूप से, वफादार प्रतिनिधित्व चुनें <math>\rho : G \to GL(V)</math> जी का फिर <math>\rho(G)</math> ज़ारिस्की-बंद है <math>GL(V)</math>.
 == संदर्भ ==
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+  }}
 *{{citation | last=Serre | first=Jean-Pierre | title=Gèbres | url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1993:39::15#232 | year=1993 }}
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