सम्मिश्र लाई समूह: Difference between revisions
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*आयाम g का जुड़ा हुआ सघन कॉम्प्लेक्स लाई समूह A <math>\mathbb{C}^g/L</math> के रूप का है , कॉम्प्लेक्स टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{a}</math> कों | *आयाम g का जुड़ा हुआ सघन कॉम्प्लेक्स लाई समूह A <math>\mathbb{C}^g/L</math> के रूप का है , कॉम्प्लेक्स टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{a}</math> कों एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है और फिर <math>\operatorname{exp}: \mathfrak{a} \to A</math> कॉम्प्लेक्स लाई समूहों का आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि A वर्णित रूप का है। | ||
* <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*, z \mapsto e^z</math> कॉम्प्लेक्स लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से <math>\mathbb{C}^* = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})</math>, यह कॉम्प्लेक्स लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है। | * <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*, z \mapsto e^z</math> कॉम्प्लेक्स लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से <math>\mathbb{C}^* = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})</math>, यह कॉम्प्लेक्स लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है। | ||
* मान लीजिए कि X सघन कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक स्थिति के अनुरूप, <math>\operatorname{Aut}(X)</math> कॉम्प्लेक्स लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित X पर होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र का समिष्ट <math>\Gamma(X, TX)</math> है। | * मान लीजिए कि X सघन कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक स्थिति के अनुरूप, <math>\operatorname{Aut}(X)</math> कॉम्प्लेक्स लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित X पर होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र का समिष्ट <math>\Gamma(X, TX)</math> है। | ||
*मान लीजिए K जुड़ा हुआ [[सघन झूठ समूह|सघन लाई समूह]] है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह G उपस्थित है जैसे कि (i) <math>\operatorname{Lie} (G) = \operatorname{Lie} (K) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>, और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (लाई समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> [[एकात्मक समूह]] का कॉम्प्लेक्सीकरण है। यदि K सघन काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, जिससे K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।<ref>{{cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|title=ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ|journal=Inventiones Mathematicae|date=1982|volume=67|issue=3|pages=515–538|doi=10.1007/bf01398934|bibcode=1982InMat..67..515G |s2cid=121632102 }}</ref> | *मान लीजिए K जुड़ा हुआ [[सघन झूठ समूह|सघन लाई समूह]] है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह G उपस्थित है जैसे कि (i) <math>\operatorname{Lie} (G) = \operatorname{Lie} (K) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>, और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (लाई समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> [[एकात्मक समूह]] का कॉम्प्लेक्सीकरण है। यदि K सघन काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, जिससे K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।<ref>{{cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|title=ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ|journal=Inventiones Mathematicae|date=1982|volume=67|issue=3|pages=515–538|doi=10.1007/bf01398934|bibcode=1982InMat..67..515G |s2cid=121632102 }}</ref> | ||
== कॉम्प्लेक्स अर्धसरल लाई समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह == | == कॉम्प्लेक्स अर्धसरल लाई समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह == | ||
मान लीजिए G एक समष्टि अर्धसरल लाई समूह है। तब G एक रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है: <ref>{{harvnb|Serre|1993|p=Ch. VIII. Theorem 10.}}</ref> इस प्रकार <math>A</math> को G पर होलोमोर्फिक फलन f की वलय होने दें, जैसे कि <math>G \cdot f</math> G पर होलोमोर्फिक फलन की वलय के अंदर एक परिमित-आयामी सदिश समिष्ट को फैलाता है (यहां G बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: <math>g \cdot f(h) = f(g^{-1}h)</math>। फिर <math>\operatorname{Spec}(A)</math> रैखिक बीजगणितीय समूह है, जब एक समष्टि मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, मूल G है। इस प्रकार अधिक ठोस रूप से, G का एक सही प्रतिनिधित्व <math>\rho : G \to GL(V)</math> चुनें। फिर <math>\rho(G)</math> ज़ारिस्की-संवृत | मान लीजिए G एक समष्टि अर्धसरल लाई समूह है। तब G एक रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है: <ref>{{harvnb|Serre|1993|p=Ch. VIII. Theorem 10.}}</ref> इस प्रकार <math>A</math> को G पर होलोमोर्फिक फलन f की वलय होने दें, जैसे कि <math>G \cdot f</math> G पर होलोमोर्फिक फलन की वलय के अंदर एक परिमित-आयामी सदिश समिष्ट को फैलाता है (यहां G बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: <math>g \cdot f(h) = f(g^{-1}h)</math>। फिर <math>\operatorname{Spec}(A)</math> रैखिक बीजगणितीय समूह है, जब एक समष्टि मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, मूल G है। इस प्रकार अधिक ठोस रूप से, G का एक सही प्रतिनिधित्व <math>\rho : G \to GL(V)</math> चुनें। फिर <math>\rho(G)</math> ज़ारिस्की-संवृत <math>GL(V)</math> में है | ||
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Revision as of 09:48, 22 July 2023
ज्यामिति में, कॉम्प्लेक्स लाई समूह कॉम्प्लेक्स संख्याओं पर लाई समूह है; अर्थात, यह कॉम्प्लेक्स विविधता है | कॉम्प्लेक्स-एनालिटिक मैनिफोल्ड जो इस तरह से समूह (गणित) भी है इस प्रकार होलोमार्फिक है. मूल उदाहरण हैं , कॉम्प्लेक्स संख्याओं पर सामान्य रैखिक समूह जुड़ा हुआ सघन कॉम्प्लेक्स लाई समूह वास्तव में कॉम्प्लेक्स टोरस है (कॉम्प्लेक्स लाई समूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए ). किसी भी परिमित समूह को कॉम्प्लेक्स लाई समूह की संरचना दी जा सकती है। कॉम्प्लेक्स अर्धसरल लाई समूह रैखिक बीजगणितीय समूह है। कॉम्प्लेक्स लाई समूह का लाई बीजगणित कॉम्प्लेक्स लाई बीजगणित है।
उदाहरण
- संमिश्र संख्याओं (विशेष रूप से, कॉम्प्लेक्स लाई बीजगणित) पर परिमित-आयामी सदिश समिष्ट स्पष्ट रूप से कॉम्प्लेक्स लाई समूह है।
- आयाम g का जुड़ा हुआ सघन कॉम्प्लेक्स लाई समूह A के रूप का है , कॉम्प्लेक्स टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह लाई बीजगणित कों एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है और फिर कॉम्प्लेक्स लाई समूहों का आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि A वर्णित रूप का है।
- कॉम्प्लेक्स लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से , यह कॉम्प्लेक्स लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है।
- मान लीजिए कि X सघन कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक स्थिति के अनुरूप, कॉम्प्लेक्स लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित X पर होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र का समिष्ट है।
- मान लीजिए K जुड़ा हुआ सघन लाई समूह है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ कॉम्प्लेक्स लाई समूह G उपस्थित है जैसे कि (i) , और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का कॉम्प्लेक्सिफिकेशन (लाई समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एकात्मक समूह का कॉम्प्लेक्सीकरण है। यदि K सघन काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, जिससे K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।[1]
कॉम्प्लेक्स अर्धसरल लाई समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह
मान लीजिए G एक समष्टि अर्धसरल लाई समूह है। तब G एक रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है: [2] इस प्रकार को G पर होलोमोर्फिक फलन f की वलय होने दें, जैसे कि G पर होलोमोर्फिक फलन की वलय के अंदर एक परिमित-आयामी सदिश समिष्ट को फैलाता है (यहां G बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: । फिर रैखिक बीजगणितीय समूह है, जब एक समष्टि मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, मूल G है। इस प्रकार अधिक ठोस रूप से, G का एक सही प्रतिनिधित्व चुनें। फिर ज़ारिस्की-संवृत में है
संदर्भ
- ↑ Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1982). "ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ". Inventiones Mathematicae. 67 (3): 515–538. Bibcode:1982InMat..67..515G. doi:10.1007/bf01398934. S2CID 121632102.
- ↑ Serre 1993, p. Ch. VIII. Theorem 10.
- Lee, Dong Hoon (2002), The Structure of Complex Lie Groups (PDF), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, MR 1887930
- Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres
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