पास्कल आव्यूह: Difference between revisions

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{{Short description|Infinite matrices with Pascal's triangle as elements}}
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गणित में, विशेष रूप से [[मैट्रिक्स (गणित)]] और [[साहचर्य]] में, पास्कल मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) (संभवतः मैट्रिक्स_(गणित)#अनंत_मैट्रिसेस) होता है जिसमें इसके तत्वों के रूप में [[द्विपद गुणांक]] होते हैं। इस प्रकार यह मैट्रिक्स रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक तरीके हैं: निचले-त्रिकोणीय मैट्रिक्स, [[ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स]], या [[सममित मैट्रिक्स]] के रूप में। उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:
 
 
गणित में, विशेष रूप से आव्यूह सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में, पास्कल आव्यूह एक आव्यूह (संभवतः अनंत) होता है जिसमें इसके अवयवो के रूप में द्विपद गुणांक होते हैं। इस प्रकार यह आव्यूह रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक विधि हैं: निचले-त्रिकोणीय आव्यूह , ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह , या सममित आव्यूह के रूप में उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:


<math display="block">L_5 = \begin{pmatrix}
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1 & 5 & 15 & 35 & 70
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ऐसे अन्य तरीके हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को मैट्रिक्स रूप में रखा जा सकता है, लेकिन इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|date=2010-07-01|title=A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations|journal=European Journal of Combinatorics|language=en|volume=31|issue=5|pages=1205–1216|doi=10.1016/j.ejc.2009.10.009|issn=0195-6698|doi-access=free|last1=Birregah |first1=Babiga |last2=Doh |first2=Prosper K. |last3=Adjallah |first3=Kondo H. }}</ref>
ऐसे अन्य विधि  हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को आव्यूह रूप में रखा जा सकता है, किंतु इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|date=2010-07-01|title=A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations|journal=European Journal of Combinatorics|language=en|volume=31|issue=5|pages=1205–1216|doi=10.1016/j.ejc.2009.10.009|issn=0195-6698|doi-access=free|last1=Birregah |first1=Babiga |last2=Doh |first2=Prosper K. |last3=Adjallah |first3=Kondo H. }}</ref>
 
 
== परिभाषा ==
== परिभाषा ==


पास्कल मैट्रिक्स के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:
पास्कल आव्यूह के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:


<math display="block">L_{ij} = {i \choose j} = \frac{i!}{j!(i-j)!}, j \le i</math>
<math display="block">L_{ij} = {i \choose j} = \frac{i!}{j!(i-j)!}, j \le i</math>
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जैसे कि सूचकांक i, j 0 से शुरू होते हैं, और ! भाज्य को दर्शाता है.
जैसे कि सूचकांक i, j 0 से प्रारंभ होते हैं, और ! फैक्टोरियल को दर्शाता है.


== गुण ==
== गुण ==
मेट्रिसेस का सुखद संबंध एस है<sub>''n''</sub> = एल<sub>''n''</sub>U<sub>''n''</sub>. इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक बस उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो दोनों एल के लिए सभी 1 हैं<sub>n</sub>और आप<sub>''n''</sub>. दूसरे शब्दों में, मैट्रिसेस एस<sub>''n''</sub>, एल<sub>''n''</sub>, और आप<sub>''n''</sub> एल के साथ [[यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स]] हैं<sub>''n''</sub> और आप<sub>''n''</sub> मैट्रिक्स एन का निशान होना।
आव्यूहों का सुखद संबंध है ''S<sub>n</sub>'' = ''L<sub>n</sub>U<sub>n</sub>'' इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक केवल उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो ''L<sub>n</sub>'' and ''U<sub>n</sub>'' दोनों के लिए सभी 1 हैं। दूसरे शब्दों में, आव्यूह ''S<sub>n</sub>'', ''L<sub>n</sub>'', and ''U<sub>n</sub>'' एकरूप हैं, ''L<sub>n</sub>'' and ''U<sub>n</sub>'' में ट्रेस n है।


एस का निशान<sub>n</sub>द्वारा दिया गया है
''S<sub>n</sub>''  का निशान द्वारा दिया गया है
:<math>\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math>
:<math>\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math>
अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ {{OEIS|A006134}}.
अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ {{OEIS|A006134}}.


==निर्माण==
==निर्माण==
पास्कल मैट्रिक्स का निर्माण वास्तव में एक विशेष डायगोनल#मैट्रिसेस या डायगोनल#मैट्रिसेस मैट्रिक्स के [[ मैट्रिक्स घातांक |मैट्रिक्स घातांक]] को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल मैट्रिक्स का निर्माण करता है, लेकिन विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल मैट्रिक्स के लिए काम करती है। निम्नलिखित मैट्रिक्स में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
एक पास्कल आव्यूह का निर्माण वास्तव में एक विशेष उपविकर्ण या सुपरडायगोनल आव्यूह के आव्यूह घातांक को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल आव्यूह का निर्माण करता है, किंतु विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल आव्यूह के लिए काम करती है। निम्नलिखित आव्यूह में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।


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यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि n × n आव्यूह A और B के लिए कोई केवल exp(A) exp(B) = exp(A + B) नहीं मान सकता है; यह समानता केवल तब सत्य होती है जब AB = BA (अर्थात् जब आव्यूह A और B आव्यूहों का कम्यूट करते हैं)। उपरोक्त की तरह सममित पास्कल मैट्रिस के निर्माण में, उप- और सुपरडायगोनल मैट्रिस कम्यूट नहीं होते हैं, इसलिए मैट्रिसेस को जोड़ने वाला (शायद) आकर्षक सरलीकरण नहीं किया जा सकता है।
यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कोई n × n आव्यूह A और B के लिए केवल exp(A) exp(B) = exp(A + B) नहीं मान सकता है; यह समानता केवल तभी सत्य है जब AB = BA (अर्थात् जब आव्यूह A और B परिवर्तित हों)। उपरोक्त की तरह सममित पास्कल आव्यूह के निर्माण में, उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह कम्यूट नहीं होते हैं, इसलिए मैट्रिसेस को जोड़ने वाला (संभवतः) आकर्षक सरलीकरण नहीं किया जा सकता है।


निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले उप- और सुपरडायगोनल मैट्रिक्स की एक उपयोगी संपत्ति यह है कि दोनों शून्य-शक्तिशाली हैं; अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से महान [[पूर्णांक]] घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो वे [[शून्य मैट्रिक्स]] में परिवर्तित हो जाते हैं। (अधिक जानकारी के लिए [[शिफ्ट मैट्रिक्स]] देखें।) चूंकि हम जिस n × n सामान्यीकृत शिफ्ट मैट्रिक्स का उपयोग कर रहे हैं, वह घात n तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की गणना करते समय हमें केवल अनंत श्रृंखला के पहले n + 1 शब्दों पर विचार करने की आवश्यकता होती है। सटीक परिणाम.
निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह की एक उपयोगी गुण  यह है कि दोनों शून्य-शक्तिशाली हैं; अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से महान पूर्णांक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो वे शून्य आव्यूह में परिवर्तित हो जाते हैं। (अधिक जानकारी के लिए शिफ्ट आव्यूह देखें।) चूंकि हम जिस n × n सामान्यीकृत शिफ्ट आव्यूह का उपयोग कर रहे हैं, वह घात n तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, आव्यूह एक्सपोनेंशियल की गणना करते समय हमें स्पष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए केवल अनंत श्रृंखला के पहले n + 1 शब्दों पर विचार करने की आवश्यकता होती है।


==वेरिएंट==
==वेरिएंट==
मैट्रिक्स-लघुगणक पीएल के स्पष्ट संशोधन द्वारा दिलचस्प वेरिएंट प्राप्त किए जा सकते हैं<sub>7</sub> और फिर मैट्रिक्स घातांक का अनुप्रयोग।
आव्यूह -लघुगणक PL<sub>7</sub> के स्पष्ट संशोधन और फिर आव्यूह घातांक के अनुप्रयोग द्वारा रौचक वेरिएंट प्राप्त किए जा सकते हैं।


नीचे दिया गया पहला उदाहरण लॉग-मैट्रिक्स के मानों के वर्गों का उपयोग करता है और 7 × 7 लैगुएरे - मैट्रिक्स (या [[लैगुएरे बहुपद]]ों के गुणांकों का मैट्रिक्स) बनाता है
नीचे दिया गया पहला उदाहरण लॉग-आव्यूह  के मानों के वर्गों का उपयोग करता है और 7 × 7 "लैगुएरे" - आव्यूह  (या लैगुएरे बहुपदों के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है
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लैगुएरे-मैट्रिक्स का उपयोग वास्तव में कुछ अन्य स्केलिंग और/या वैकल्पिक संकेतों की योजना के साथ किया जाता है।
लैगुएरे-आव्यूह का उपयोग वास्तव में कुछ अन्य स्केलिंग और/या वैकल्पिक संकेतों की योजना के साथ किया जाता है। (उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है)
(उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है)


नीचे दिया गया दूसरा उदाहरण लॉग-मैट्रिक्स के मानों के उत्पाद v(v+ 1) का उपयोग करता है और 7 × 7 लाह - मैट्रिक्स (या लाह संख्याओं के गुणांकों का मैट्रिक्स) बनाता है।
नीचे दिया गया दूसरा उदाहरण लॉग-आव्यूह के मानों के उत्पाद v(v+ 1) का उपयोग करता है और 7 × 7 लाह - आव्यूह (या लाह संख्याओं के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है।


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इसके बजाय v(v − 1) का उपयोग करने से विकर्ण को नीचे-दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।
इसके अतिरिक्त v(v − 1) का उपयोग करने से विकर्ण को नीचे-दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।


नीचे दिया गया तीसरा उदाहरण मूल पीएल के वर्ग का उपयोग करता है<sub>7</sub>-मैट्रिक्स, 2 से विभाजित, दूसरे शब्दों में: दूसरे उपविकर्ण में प्रथम-क्रम द्विपद (द्विपद(k,2)) और एक मैट्रिक्स का निर्माण करता है, जो गॉसियन [[त्रुटि फ़ंक्शन]] के [[ यौगिक |यौगिक]] और [[ अभिन्न |अभिन्न]] के संदर्भ में होता है:
नीचे दिया गया तीसरा उदाहरण मूल ''PL''<sub>7</sub>-आव्यूह के वर्ग का उपयोग करता है, जिसे 2 से विभाजित किया जाता है, दूसरे शब्दों में: दूसरे उपविकर्ण में प्रथम-क्रम द्विपद (द्विपद (k, 2)) और एक आव्यूह का निर्माण करता है, जो गॉसियन त्रुटि फलन के डेरिवेटिव और इंटीग्रल के संदर्भ में होता है:


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यदि यह मैट्रिक्स व्युत्क्रम मैट्रिक्स है (उदाहरण के लिए, नकारात्मक मैट्रिक्स-लघुगणक का उपयोग करके), तो [[उलटा मैट्रिक्स]] में वैकल्पिक संकेत हैं और गॉस के त्रुटि-फ़ंक्शन के डेरिवेटिव (और विस्तार से इंटीग्रल) के गुणांक देते हैं। (बड़ी शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है।)
यदि यह आव्यूह व्युत्क्रम आव्यूह है (उदाहरण के लिए, ऋणात्मक आव्यूह -लघुगणक का उपयोग करके), तो [[उलटा मैट्रिक्स|व्युत्क्रम]] आव्यूह में वैकल्पिक संकेत हैं और गॉस के त्रुटि-फलन के डेरिवेटिव (और विस्तार से इंटीग्रल) के गुणांक देते हैं। (बड़ी शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है।)


मूल मैट्रिक्स को पास्कल के त्रिभुज#एक्सटेंशन तक विस्तारित करके एक अन्य संस्करण प्राप्त किया जा सकता है:
मूल आव्यूह को पास्कल के त्रिभुज या एक्सटेंशन तक विस्तारित करके एक अन्य संस्करण प्राप्त किया जा सकता है:
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Revision as of 09:52, 22 July 2023


गणित में, विशेष रूप से आव्यूह सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में, पास्कल आव्यूह एक आव्यूह (संभवतः अनंत) होता है जिसमें इसके अवयवो के रूप में द्विपद गुणांक होते हैं। इस प्रकार यह आव्यूह रूप में पास्कल के त्रिकोण का एक एन्कोडिंग है। इसे प्राप्त करने के तीन प्राकृतिक विधि हैं: निचले-त्रिकोणीय आव्यूह , ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह , या सममित आव्यूह के रूप में उदाहरण के लिए, 5 × 5 आव्यूह हैं:

ऐसे अन्य विधि हैं जिनसे पास्कल के त्रिकोण को आव्यूह रूप में रखा जा सकता है, किंतु इन्हें आसानी से अनंत तक विस्तारित नहीं किया जा सकता है।[1]

परिभाषा

पास्कल आव्यूह के गैर-शून्य तत्व द्विपद गुणांक द्वारा दिए गए हैं:

जैसे कि सूचकांक i, j 0 से प्रारंभ होते हैं, और ! फैक्टोरियल को दर्शाता है.

गुण

आव्यूहों का सुखद संबंध है Sn = LnUn इससे यह आसानी से देखा जा सकता है कि सभी तीन आव्यूहों का निर्धारक 1 है, क्योंकि एक त्रिकोणीय आव्यूह का निर्धारक केवल उसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है, जो Ln and Un दोनों के लिए सभी 1 हैं। दूसरे शब्दों में, आव्यूह Sn, Ln, and Un एकरूप हैं, Ln and Un में ट्रेस n है।

Sn का निशान द्वारा दिया गया है

अनुक्रम 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... द्वारा दिए गए पहले कुछ शब्दों के साथ (sequence A006134 in the OEIS).

निर्माण

एक पास्कल आव्यूह का निर्माण वास्तव में एक विशेष उपविकर्ण या सुपरडायगोनल आव्यूह के आव्यूह घातांक को लेकर किया जा सकता है। नीचे दिया गया उदाहरण 7 × 7 पास्कल आव्यूह का निर्माण करता है, किंतु विधि किसी भी वांछित n × n पास्कल आव्यूह के लिए काम करती है। निम्नलिखित आव्यूह में बिंदु शून्य तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि कोई n × n आव्यूह A और B के लिए केवल exp(A) exp(B) = exp(A + B) नहीं मान सकता है; यह समानता केवल तभी सत्य है जब AB = BA (अर्थात् जब आव्यूह A और B परिवर्तित हों)। उपरोक्त की तरह सममित पास्कल आव्यूह के निर्माण में, उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह कम्यूट नहीं होते हैं, इसलिए मैट्रिसेस को जोड़ने वाला (संभवतः) आकर्षक सरलीकरण नहीं किया जा सकता है।

निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले उप- और सुपरडायगोनल आव्यूह की एक उपयोगी गुण यह है कि दोनों शून्य-शक्तिशाली हैं; अर्थात्, जब पर्याप्त रूप से महान पूर्णांक घात तक बढ़ा दिया जाता है, तो वे शून्य आव्यूह में परिवर्तित हो जाते हैं। (अधिक जानकारी के लिए शिफ्ट आव्यूह देखें।) चूंकि हम जिस n × n सामान्यीकृत शिफ्ट आव्यूह का उपयोग कर रहे हैं, वह घात n तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है, आव्यूह एक्सपोनेंशियल की गणना करते समय हमें स्पष्ट परिणाम प्राप्त करने के लिए केवल अनंत श्रृंखला के पहले n + 1 शब्दों पर विचार करने की आवश्यकता होती है।

वेरिएंट

आव्यूह -लघुगणक PL7 के स्पष्ट संशोधन और फिर आव्यूह घातांक के अनुप्रयोग द्वारा रौचक वेरिएंट प्राप्त किए जा सकते हैं।

नीचे दिया गया पहला उदाहरण लॉग-आव्यूह के मानों के वर्गों का उपयोग करता है और 7 × 7 "लैगुएरे" - आव्यूह (या लैगुएरे बहुपदों के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है

लैगुएरे-आव्यूह का उपयोग वास्तव में कुछ अन्य स्केलिंग और/या वैकल्पिक संकेतों की योजना के साथ किया जाता है। (उच्च शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है)

नीचे दिया गया दूसरा उदाहरण लॉग-आव्यूह के मानों के उत्पाद v(v+ 1) का उपयोग करता है और 7 × 7 लाह - आव्यूह (या लाह संख्याओं के गुणांकों का आव्यूह ) बनाता है।

इसके अतिरिक्त v(v − 1) का उपयोग करने से विकर्ण को नीचे-दाईं ओर स्थानांतरित किया जा सकता है।

नीचे दिया गया तीसरा उदाहरण मूल PL7-आव्यूह के वर्ग का उपयोग करता है, जिसे 2 से विभाजित किया जाता है, दूसरे शब्दों में: दूसरे उपविकर्ण में प्रथम-क्रम द्विपद (द्विपद (k, 2)) और एक आव्यूह का निर्माण करता है, जो गॉसियन त्रुटि फलन के डेरिवेटिव और इंटीग्रल के संदर्भ में होता है:

यदि यह आव्यूह व्युत्क्रम आव्यूह है (उदाहरण के लिए, ऋणात्मक आव्यूह -लघुगणक का उपयोग करके), तो व्युत्क्रम आव्यूह में वैकल्पिक संकेत हैं और गॉस के त्रुटि-फलन के डेरिवेटिव (और विस्तार से इंटीग्रल) के गुणांक देते हैं। (बड़ी शक्तियों के सामान्यीकरण के बारे में साहित्य अभी तक नहीं मिला है।)

मूल आव्यूह को पास्कल के त्रिभुज या एक्सटेंशन तक विस्तारित करके एक अन्य संस्करण प्राप्त किया जा सकता है:


यह भी देखें

संदर्भ

  1. Birregah, Babiga; Doh, Prosper K.; Adjallah, Kondo H. (2010-07-01). "A systematic approach to matrix forms of the Pascal triangle: The twelve triangular matrix forms and relations". European Journal of Combinatorics (in English). 31 (5): 1205–1216. doi:10.1016/j.ejc.2009.10.009. ISSN 0195-6698.


बाहरी संबंध