संवर्त विसर्जन: Difference between revisions

Revision as of 11:32, 21 July 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, योजनाओं का एक संवर्त विसर्जन योजनाओं का एक रूपवाद है $f:Z\to X$ जो Z को X के एक संवर्त उपसमूह के रूप में पहचानता है जिससे स्थानीय रूप से, Z पर नियमित कार्यों को X तक बढ़ाया जा सकता है।^[1] इसके पश्चात की स्थिति को यह कहकर औपचारिक रूप दिया जा सकता है कि $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}$ विशेषण है।^[2]

एक उदाहरण विहित मानचित्र $R\to R/I$ द्वारा प्रेरित समावेशन मानचित्र $\operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)$ है।

अन्य लक्षण

निम्नलिखित समतुल्य हैं:

$f:Z\to X$ एक संवर्त विसर्जन है.
प्रत्येक खुले संबंध के लिए $U=\operatorname {Spec} (R)\subset X$ , वहाँ एक आदर्श मौजूद है $I\subset R$ ऐसा है कि $f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$ यू पर योजनाओं के रूप में
वहाँ एक खुला एफ़िन आवरण मौजूद है $X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}$ और प्रत्येक j के लिए एक आदर्श मौजूद है $I_{j}\subset R_{j}$ ऐसा है कि $f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})$ जैसे योजनाएं ख़त्म हो गईं $U_{j}$ .
आदर्शों का एक अर्ध-सुसंगत पुलिंदा है ${\mathcal {I}}$ एक्स पर ऐसा कि $f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ और f वैश्विक विशिष्टता पर Z का एक समरूपता है ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ एक्स से अधिक

स्थानीय रूप से वलय स्थानों के लिए परिभाषा

स्थानीय रूप से वलय स्थानों के स्थिति में $i:Z\to X$ एक रूपवाद एक संवर्त विसर्जन है यदि मानदंडों की एक समान सूची संतुष्ट है^[3]

मानचित्र $i$ इसकी छवि पर $Z$ का एक समरूपता है
संबद्ध शीफ़ मानचित्र ${\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ कर्नेल ${\mathcal {I}}$ के साथ विशेषण है।
कर्नेल ${\mathcal {I}}$ स्थानीय रूप से अनुभागों द्वारा ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल के रूप में उत्पन्न होता है^[4]

एकमात्र बदलती स्थिति तीसरी है। यह एक प्रति-उदाहरण को देखने के लिए शिक्षाप्रद है जिससे यह अनुभव किया जा सकता है कि एक मानचित्र को देखकर तीसरी स्थिति क्या उत्पन्न करती है जो एक संवर्त विसर्जन $i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}$ नहीं है।

<ब्लॉककोट>

$\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$

यदि हम $i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}$ के स्टाल्क को $0\in \mathbb {A} ^{1}$ पर देखें तो कोई खंड नहीं हैं। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी विवर्त उपयोजना $U\subset \mathbb {A} ^{1}$ जिसमें $0$ सम्मिलित है, के लिए शीफ में कोई अनुभाग नहीं है। यह तीसरी नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि $\mathbb {A} ^{1}$ को कवर करने वाली कम से कम एक विवर्त उपयोजना $U$ में $0$ है।

गुण

एक संवर्त विसर्जन परिमित रूपवाद और रेडियल रूपवाद (सार्वभौमिक रूप से इंजेक्शन) है। विशेष रूप से, एक संवर्त विसर्जन सार्वभौमिक रूप से संवर्त है। आधार परिवर्तन और संरचना के अनुसार एक संवर्त विसर्जन स्थिर होता है। संवर्त विसर्जन की धारणा इस अर्थ में स्थानीय है कि f एक संवर्त विसर्जन है यदि और केवल यदि कुछ (समान रूप से प्रत्येक) विवर्त आवरण के लिए $X=\bigcup U_{j}$ प्रेरित मानचित्र $f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}$ एक संवर्त विसर्जन है.^[5]^[6]

यदि रचना $Z\to Y\to X$ एक संवर्त विसर्जन है और $Y\to X$ तो अलग किया गया रूपवाद है जो की $Z\to Y$ का एक संवर्त विसर्जन है. यदि X एक अलग एस-योजना है, तो एक्स का प्रत्येक s-सेक्शन एक संवर्त विसर्जन है।^[7]

यदि $i:Z\to X$ एक संवर्त विसर्जन है और ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$ Z को काटने वाले आदर्शों का अर्ध-सुसंगत शीफ़ है, फिर प्रत्यक्ष छवि $i_{*}$ Z के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी से लेकर X के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी तक ${\mathcal {G}}$ से युक्त आवश्यक छवि के साथ स्पष्ट पूरी तरह से विश्वासी है ऐसा है कि ${\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0$ .^[8]

परिमित प्रस्तुति का एक सपाट संवर्त विसर्जन एक विवर्त संवर्त उपयोजना का विवर्त विसर्जन है।^[9]

यह भी देखें

↑ Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Section II.5
↑ Hartshorne 1977, §II.3
↑ "Section 26.4 (01HJ): Closed immersions of locally ringed spaces—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-08-05.
↑ "Section 17.8 (01B1): Modules locally generated by sections—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-08-05.
↑ Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.2.4
↑ http://stacks.math.columbia.edu/download/spaces-morphisms.pdf^{[bare URL PDF]}
↑ Grothendieck & Dieudonné 1960, 5.4.6
↑ Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 4.1
↑ Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 27.2

संदर्भ

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
The Stacks Project
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

[1] Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Section II.5

[2] Hartshorne 1977, §II.3

[3] "Section 26.4 (01HJ): Closed immersions of locally ringed spaces—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-08-05.

[4] "Section 17.8 (01B1): Modules locally generated by sections—The Stacks project". stacks.math.columbia.edu. Retrieved 2021-08-05.

[5] Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.2.4

[6] ttp://stacks.math.columbia.edu/download/spaces-morphisms.pdf^{[bare URL PDF]}

[7] Grothendieck & Dieudonné 1960, 5.4.6

[8] Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 4.1

[9] Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 27.2

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[8]

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-{{For|the concept in differential geometry|Immersion (mathematics)}}
+{{For|विभेदक ज्यामिति में अवधारणा|विसर्जन (गणित)}}
-[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, [[योजना (गणित)]] का एक बंद विसर्जन योजनाओं का एक रूपवाद है <math>f: Z \to X</math> जो Z को X के एक बंद उपसमुच्चय के रूप में पहचानता है, ताकि स्थानीय रूप से, Z पर [[नियमित कार्य]]ों को X तक बढ़ाया जा सके।<ref>Mumford, ''The Red Book of Varieties and Schemes'', Section II.5</ref> बाद वाली स्थिति को यह कहकर औपचारिक बनाया जा सकता है <math>f^\#:\mathcal{O}_X\rightarrow f_\ast\mathcal{O}_Z</math> विशेषण है.<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=§II.3}}</ref>
-एक उदाहरण समावेशन मानचित्र है <math>\operatorname{Spec}(R/I) \to \operatorname{Spec}(R)</math> विहित मानचित्र से प्रेरित <math>R \to R/I</math>.
+बीजगणितीय ज्यामिति में, योजनाओं का एक संवर्त विसर्जन योजनाओं का एक रूपवाद है<math>f: Z \to X</math> जो Z को X के एक संवर्त उपसमूह के रूप में पहचानता है जिससे स्थानीय रूप से, Z पर नियमित कार्यों को X तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>Mumford, ''The Red Book of Varieties and Schemes'', Section II.5</ref> इसके पश्चात की स्थिति को यह कहकर औपचारिक रूप दिया जा सकता है कि <math>f^\#:\mathcal{O}_X\rightarrow f_\ast\mathcal{O}_Z</math> विशेषण है।<ref>{{harvnb|Hartshorne|1977|loc=§II.3}}</ref>
+एक उदाहरण विहित मानचित्र <math>R \to R/I</math> द्वारा प्रेरित समावेशन मानचित्र <math>\operatorname{Spec}(R/I) \to \operatorname{Spec}(R)</math> है।
 ==अन्य लक्षण==
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 निम्नलिखित समतुल्य हैं:
-#<math>f: Z \to X</math> एक बंद विसर्जन है.
+#<math>f: Z \to X</math> एक संवर्त विसर्जन है.
 #प्रत्येक खुले संबंध के लिए <math>U = \operatorname{Spec}(R) \subset X</math>, वहाँ एक आदर्श मौजूद है <math>I \subset R</math> ऐसा है कि <math>f^{-1}(U) = \operatorname{Spec}(R/I)</math> यू पर योजनाओं के रूप में
 #वहाँ एक खुला एफ़िन आवरण मौजूद है <math>X = \bigcup U_j, U_j = \operatorname{Spec} R_j</math> और प्रत्येक j के लिए एक आदर्श मौजूद है <math>I_j \subset R_j</math> ऐसा है कि <math>f^{-1}(U_j) = \operatorname{Spec} (R_j / I_j)</math> जैसे योजनाएं ख़त्म हो गईं <math>U_j</math>.
 #आदर्शों का एक अर्ध-सुसंगत पुलिंदा है <math>\mathcal{I}</math> एक्स पर ऐसा कि <math>f_\ast\mathcal{O}_Z\cong \mathcal{O}_X/\mathcal{I}</math> और f [[वैश्विक विशिष्टता]] पर Z का एक समरूपता है <math>\mathcal{O}_X/\mathcal{I}</math> एक्स से अधिक
-=== स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों के लिए परिभाषा ===
+=== स्थानीय रूप से वलय स्थानों के लिए परिभाषा ===
-स्थानीय रूप से रिंगित स्थानों के मामले में<ref>{{Cite web|title=Section 26.4 (01HJ): Closed immersions of locally ringed spaces—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01HJ|access-date=2021-08-05|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref> एक रूपवाद <math>i:Z\to X</math> यदि मानदंडों की समान सूची संतुष्ट होती है तो यह एक बंद विसर्जन है
+स्थानीय रूप से वलय स्थानों के स्थिति में <math>i:Z\to X</math> एक रूपवाद एक संवर्त विसर्जन है यदि मानदंडों की एक समान सूची संतुष्ट है<ref>{{Cite web|title=Section 26.4 (01HJ): Closed immersions of locally ringed spaces—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01HJ|access-date=2021-08-05|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref>
-# वो नक्शा <math>i</math> की एक समरूपता है <math>Z</math> इसकी छवि पर
+#मानचित्र <math>i</math> इसकी छवि पर <math>Z</math> का एक समरूपता है
-# संबंधित शीफ़ मानचित्र <math>\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z</math> कर्नेल के साथ विशेषण है <math>\mathcal{I}</math>
+#संबद्ध शीफ़ मानचित्र <math>\mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z</math> कर्नेल <math>\mathcal{I}</math> के साथ विशेषण है।
-# गिरी <math>\mathcal{I}</math> के रूप में अनुभागों द्वारा स्थानीय रूप से उत्पन्न किया जाता है <math>\mathcal{O}_X</math>-मापांक<ref>{{Cite web|title=Section 17.8 (01B1): Modules locally generated by sections—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01B1|access-date=2021-08-05|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref>
+#कर्नेल <math>\mathcal{I}</math> स्थानीय रूप से अनुभागों द्वारा <math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल के रूप में उत्पन्न होता है<ref>{{Cite web|title=Section 17.8 (01B1): Modules locally generated by sections—The Stacks project|url=https://stacks.math.columbia.edu/tag/01B1|access-date=2021-08-05|website=stacks.math.columbia.edu}}</ref>
-एकमात्र बदलती स्थिति तीसरी है। यह एक प्रति-उदाहरण को देखने के लिए शिक्षाप्रद है ताकि यह महसूस किया जा सके कि एक मानचित्र को देखकर तीसरी स्थिति क्या उत्पन्न करती है जो एक बंद विसर्जन नहीं है, <math>i:\mathbb{G}_m\hookrightarrow \mathbb{A}^1</math> कहाँ<ब्लॉककोट><math>\mathbb{G}_m = \text{Spec}(\mathbb{Z}[x,x^{-1}])</math></blockquote>अगर हम डंठल को देखें <math>i_*\mathcal{O}_{\mathbb{G}_m}|_0</math> पर <math>0 \in \mathbb{A}^1</math> फिर कोई अनुभाग नहीं हैं. इसका तात्पर्य किसी भी खुली उपयोजना से है <math>U \subset \mathbb{A}^1</math> युक्त <math>0</math> पूले में कोई खंड नहीं है। यह तीसरी शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि कम से कम एक खुली उपयोजना है <math>U</math> कवर <math>\mathbb{A}^1</math> रोकना <math>0</math>.
+एकमात्र बदलती स्थिति तीसरी है। यह एक प्रति-उदाहरण को देखने के लिए शिक्षाप्रद है जिससे यह अनुभव किया जा सकता है कि एक मानचित्र को देखकर तीसरी स्थिति क्या उत्पन्न करती है जो एक संवर्त विसर्जन <math>i:\mathbb{G}_m\hookrightarrow \mathbb{A}^1</math> नहीं है।
+'''<ब्लॉककोट>'''
+<math>\mathbb{G}_m = \text{Spec}(\mathbb{Z}[x,x^{-1}])</math>
+यदि हम <math>i_*\mathcal{O}_{\mathbb{G}_m}|_0</math> के स्टाल्क को <math>0 \in \mathbb{A}^1</math> पर देखें तो कोई खंड नहीं हैं। इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी विवर्त उपयोजना <math>U \subset \mathbb{A}^1</math> जिसमें <math>0</math> सम्मिलित है, के लिए शीफ में कोई अनुभाग नहीं है। यह तीसरी नियम का उल्लंघन करता है क्योंकि <math>\mathbb{A}^1</math> को कवर करने वाली कम से कम एक विवर्त उपयोजना <math>U</math> में <math>0</math> है।
 ==गुण==
-एक बंद विसर्जन [[परिमित रूपवाद]] और रेडियल रूपवाद (सार्वभौमिक रूप से इंजेक्शन) है। विशेष रूप से, एक बंद विसर्जन सार्वभौमिक रूप से बंद है। आधार परिवर्तन और संरचना के तहत एक बंद विसर्जन स्थिर होता है। बंद विसर्जन की धारणा इस अर्थ में स्थानीय है कि f एक बंद विसर्जन है यदि और केवल यदि कुछ (समान रूप से प्रत्येक) खुले आवरण के लिए <math>X=\bigcup U_j</math> प्रेरित नक्शा <math>f:f^{-1}(U_j)\rightarrow U_j</math> एक बंद विसर्जन है.<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=4.2.4}}</ref><ref>http://stacks.math.columbia.edu/download/spaces-morphisms.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref>
+एक संवर्त विसर्जन [[परिमित रूपवाद]] और रेडियल रूपवाद (सार्वभौमिक रूप से इंजेक्शन) है। विशेष रूप से, एक संवर्त विसर्जन सार्वभौमिक रूप से संवर्त है। आधार परिवर्तन और संरचना के अनुसार एक संवर्त विसर्जन स्थिर होता है। संवर्त विसर्जन की धारणा इस अर्थ में स्थानीय है कि f एक संवर्त विसर्जन है यदि और केवल यदि कुछ (समान रूप से प्रत्येक) विवर्त आवरण के लिए <math>X=\bigcup U_j</math> प्रेरित मानचित्र <math>f:f^{-1}(U_j)\rightarrow U_j</math> एक संवर्त विसर्जन है.<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=4.2.4}}</ref><ref>http://stacks.math.columbia.edu/download/spaces-morphisms.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref>
-यदि रचना <math>Z \to Y \to X</math> एक बंद विसर्जन है और <math>Y \to X</math> तो अलग किया गया रूपवाद है <math>Z \to Y</math> एक बंद विसर्जन है. यदि एक्स एक अलग एस-योजना है, तो एक्स का प्रत्येक एस-सेक्शन एक बंद विसर्जन है।<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=5.4.6}}</ref>
-अगर <math>i: Z \to X</math> एक बंद विसर्जन है और <math>\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X</math> Z को काटने वाले आदर्शों का अर्ध-सुसंगत शीफ़ है, फिर प्रत्यक्ष छवि <math>i_*</math> Z के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी से लेकर X के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी तक, आवश्यक छवि के साथ सटीक, पूरी तरह से वफादार है <math>\mathcal{G}</math> ऐसा है कि <math>\mathcal{I} \mathcal{G} = 0</math>.<ref>Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 4.1</ref>
+यदि रचना <math>Z \to Y \to X</math> एक संवर्त विसर्जन है और <math>Y \to X</math> तो अलग किया गया रूपवाद है जो की <math>Z \to Y</math> का एक संवर्त विसर्जन है. यदि ''X'' एक अलग एस-योजना है, तो एक्स का प्रत्येक s-सेक्शन एक संवर्त विसर्जन है।<ref>{{harvnb|Grothendieck|Dieudonné|1960|loc=5.4.6}}</ref>
-परिमित प्रस्तुति का एक सपाट बंद विसर्जन एक खुले बंद उपयोजना का खुला विसर्जन है।<ref>Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 27.2</ref>
+यदि <math>i: Z \to X</math> एक संवर्त विसर्जन है और <math>\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X</math> Z को काटने वाले आदर्शों का अर्ध-सुसंगत शीफ़ है, फिर प्रत्यक्ष छवि <math>i_*</math> Z के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी से लेकर X के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की  श्रेणी तक <math>\mathcal{G}</math> से युक्त आवश्यक छवि के साथ स्पष्ट पूरी तरह से विश्वासी है ऐसा है कि <math>\mathcal{I} \mathcal{G} = 0</math>.<ref>Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 4.1</ref>
+परिमित प्रस्तुति का एक सपाट संवर्त विसर्जन एक विवर्त  संवर्त उपयोजना का विवर्त विसर्जन है।<ref>Stacks, Morphisms of schemes. Lemma 27.2</ref>

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