कम्पैनियन आव्यूह: Difference between revisions

Revision as of 17:16, 22 July 2023

रैखिक बीजगणित में मोनिक बहुपद का फ्रोबेनियस साथी आव्यूह

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}~,

वर्ग आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}

.

कुछ लेखक इस आव्यूह के स्थानांतरण का उपयोग करते हैं, जो (दोहरी) चक्र समन्वय करता है, और कुछ उद्देश्यों के लिए अधिक सुविधाजनक है, जैसे रैखिक पुनरावृत्ति संबंध।

विशेषता

$C (p)$ का अभिलक्षणिक बहुपद और न्यूनतम बहुपद p के समान हैं।^[1]

इस अर्थ में, आव्यूह $C (p)$ बहुपद p का "साथी" है।

यदि A कुछ क्षेत्र K से प्रविष्टियों के साथ एक n-by-n आव्यूह है, तो निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:

A अपने अभिलक्षणिक बहुपद के K के साथी आव्यूह के समान है
A का अभिलक्षणिक बहुपद A के न्यूनतम बहुपद से मेल खाता है, समकक्ष न्यूनतम बहुपद की घात n होती है
$A$ के लिए $V=K^{n}$ में एक चक्रीय सदिश $v$ उपस्थित है, जिसका अर्थ है कि {v, Av, A2v, ..., An−1v} V का आधार है। समान रूप से, जैसे कि V एक $K[A]$ -मॉड्यूल (और $V\cong K[X]/(p(x))$ के रूप में चक्रीय है; एक कहता है कि $A$ गैर-अपमानजनक है।

प्रत्येक वर्ग आव्यूह एक साथी आव्यूह के समान नहीं है। किंतु प्रत्येक वर्ग आव्यूह $A$ साथी आव्यूह के ब्लॉक से बने आव्यूह के समान है। यदि हम यह भी मांग करते हैं कि ये बहुपद एक-दूसरे को विभाजित करते हैं, तो वे विशिष्ट रूप से $A$ द्वारा निर्धारित होते हैं। विवरण के लिए, तर्कसंगत विहित रूप देखें।

विकर्णीयता

अगर $p (t)$ की अलग-अलग जड़ें हैं $λ 1, ..., λ n$ (C(p) का eigenvalues), तो C(p) निम्नानुसार विकर्णीय है:

VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})

कहाँ $V$ के अनुरूप वेंडरमोंडे आव्यूह है $λ$ 'एस।

उस मामले में,^[2] शक्तियों के निशान एम $C$ p(t) के सभी मूलों की समान घात m का योग आसानी से प्राप्त करें,

\operatorname {Tr} C^{m}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{m}~.

अगर $p (t)$ में एक गैर-सरल जड़ है, तो C(p) विकर्णीय नहीं है (इसके जॉर्डन विहित रूप में प्रत्येक विशिष्ट जड़ के लिए एक ब्लॉक होता है)।

रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम

विशेषता बहुपद के साथ एक रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम दिया गया है

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n}\,

(ट्रांसपोज़) साथी आव्यूह

C^{T}(p)={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}

अनुक्रम उत्पन्न करता है, इस अर्थ में

C^{T}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n}\end{bmatrix}}.

श्रृंखला को 1 से बढ़ाता है।

सदिश $(1, t, t 2, ..., t n -1)$ eigenvalue के लिए इस आव्यूह का एक eigenvector है $t$ , कब $t$ विशेषता बहुपद का मूल है $p (t)$ .

के लिए $c 0 = -1$ , और अन्य सभी $c i =0$ , अर्थात।, $p (t) = t n -1$ , यह आव्यूह सिल्वेस्टर के चक्रीय सामान्यीकरण_ऑफ_पॉली_मैट्रिसेस#निर्माण:_द_क्लॉक_एंड_शिफ्ट_मैट्रिसेस, या आव्यूह का चक्कर लगाना को कम कर देता है।

रैखिक ODE से रैखिक ODE प्रणाली तक

पहले सामान्य रूप में एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें।

क्रम का एक रैखिक ODE $n$ अदिश फलन के लिए $y$

y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0

इसे सदिश फ़ंक्शन के लिए क्रम 1 की युग्मित रैखिक ODE प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है $z = (y, y (1), ..., y (n-1)) T$

z^{(1)}=C(p)^{T}z

कहाँ $C(p) T$ मोनिक बहुपद के लिए साथी आव्यूह का स्थानान्तरण है $p (t) = c 0 + c 1 t + ... + c n-1 t n-1 + t n$ .

ODE में गुणांक निर्धारित करना ${c i} i=0 n-1$ केवल अदिश मान ही नहीं बल्कि स्वतंत्र चर के फलन भी हो सकते हैं।

सिस्टम सामान्य रूप से युग्मित है क्योंकि $z (1) n$ न केवल पर निर्भर करता है $z n$ . अगर $C (p)$ उलटा है तो कंपेनियन आव्यूह #डायगोनलिज़ेबिलिटी पर अनुभाग में वर्णित अनुसार समन्वय परिवर्तन करके इसे अलग करना संभव है।

अमानवीय मामले के लिए

y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(x)

असमरूपता पद प्रपत्र का एक सदिश फलन बन जाएगा $F (x)= (0, ..., 0, f (x)) T$

z^{(1)}=C(p)^{T}z+F(x)

.

यह भी देखें

फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म
केली-हैमिल्टन प्रमेय
क्रायलोव उपस्थान

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-रैखिक बीजगणित में, मोनिक बहुपद का [[फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस]] साथी मैट्रिक्स
+रैखिक बीजगणित में मोनिक बहुपद का फ्रोबेनियस साथी आव्यूह
 :<math>
 p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n ~,
 </math>
-[[वर्ग मैट्रिक्स]] के रूप में परिभाषित किया गया है
+[[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]]  के रूप में परिभाषित किया गया है
 :<math>C(p)=\begin{bmatrix}
@@ Line 13: / Line 13: @@
 \end{bmatrix}</math>.
-कुछ लेखक इस मैट्रिक्स के [[ खिसकाना ]] का उपयोग करते हैं, जो (दोहरी) चक्र समन्वय करता है, और कुछ उद्देश्यों के लिए अधिक सुविधाजनक है, जैसे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध]]।
+कुछ लेखक इस आव्यूह  के [[ खिसकाना | स्थानांतरण]] का उपयोग करते हैं, जो (दोहरी) चक्र समन्वय करता है, और कुछ उद्देश्यों के लिए अधिक सुविधाजनक है, जैसे रैखिक [[पुनरावृत्ति संबंध]]।
 ==विशेषता==
-[[विशेषता बहुपद]] और साथ ही [[न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)]]। {{math|''C''(''p'')}} के बराबर हैं {{mvar|p}}.<ref>
+{{math|''C''(''p'')}} का अभिलक्षणिक बहुपद और न्यूनतम बहुपद p के समान हैं।<ref>
 {{Cite book | last = Horn | first = Roger A. |author2=Charles R. Johnson
 | title = Matrix Analysis | publisher = Cambridge University Press | year = 1985
@@ Line 22: / Line 22: @@
 | url = https://books.google.com/books?id=f6_r93Of544C&dq=%22companion+matrix%22&pg=PA147
 | accessdate = 2010-02-10 | isbn = 0-521-30586-1}}</ref>
-इस अर्थ में, मैट्रिक्स {{math|''C''(''p'')}} बहुपद का सहचर है  {{mvar|p}}.
-अगर {{mvar|A}} कुछ [[फ़ील्ड (गणित)]] से प्रविष्टियों के साथ एक एन-बाय-एन मैट्रिक्स है {{mvar|K}}, तब निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
+इस अर्थ में, आव्यूह {{math|''C''(''p'')}} बहुपद p का "साथी" है।
-* {{mvar|A}} साथी मैट्रिक्स के [[समान (रैखिक बीजगणित)]] है {{mvar|K}}इसके अभिलक्षणिक बहुपद का
-* की विशेषता बहुपद {{mvar|A}} के न्यूनतम बहुपद से मेल खाता है {{mvar|A}}, समकक्ष न्यूनतम बहुपद की डिग्री होती है {{mvar|n}}
-* एक [[चक्रीय क्रमपरिवर्तन]] मौजूद है {{math|'''v'''}} में <math>V=K^n</math> के लिए {{mvar|A}}, जिसका अर्थ है कि {v, ''A''v, ''A''<sup>2</sup>v, ..., ''ए''<sup>n−1</sup>'v'} V का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] है। समान रूप से, जैसे कि V [[चक्रीय मॉड्यूल]] है <math>K[A]</math>-मॉड्यूल (और <math>V \cong K[X]/(p(x))</math>); एक ऐसा कहता है {{mvar|A}} गैर-अपमानजनक है.
-प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स एक साथी मैट्रिक्स के समान नहीं है। लेकिन हर वर्ग मैट्रिक्स {{mvar|A}} साथी मैट्रिक्स के ब्लॉक से बने मैट्रिक्स के समान है। यदि हम यह भी मांग करते हैं कि ये बहुपद एक-दूसरे को विभाजित करते हैं, तो वे विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं {{mvar|A}}. विवरण के लिए, [[फ्रोबेनियस सामान्य रूप]] देखें।
+यदि A कुछ क्षेत्र K से प्रविष्टियों के साथ एक n-by-n आव्यूह है, तो निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
+*A अपने अभिलक्षणिक बहुपद के K के साथी आव्यूह के समान है
+*A का अभिलक्षणिक बहुपद A के न्यूनतम बहुपद से मेल खाता है, समकक्ष न्यूनतम बहुपद की घात n होती है
+*{{mvar|A}} के लिए <math>V=K^n</math> में एक चक्रीय सदिश {{math|'''v'''}} उपस्थित है, जिसका अर्थ है कि {v, Av, A2v, ..., An−1v} V का आधार है। समान रूप से, जैसे कि V एक <math>K[A]</math>-मॉड्यूल (और <math>V \cong K[X]/(p(x))</math> के रूप में चक्रीय है; एक कहता है कि {{mvar|A}} गैर-अपमानजनक है।
+प्रत्येक वर्ग आव्यूह एक साथी आव्यूह के समान नहीं है। किंतु प्रत्येक वर्ग आव्यूह {{mvar|A}} साथी आव्यूह के ब्लॉक से बने आव्यूह के समान है। यदि हम यह भी मांग करते हैं कि ये बहुपद एक-दूसरे को विभाजित करते हैं, तो वे विशिष्ट रूप से {{mvar|A}} द्वारा निर्धारित होते हैं। विवरण के लिए, तर्कसंगत विहित रूप देखें।
 ==विकर्णीयता==
 अगर {{math|''p''(''t'')}} की अलग-अलग जड़ें हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''λ''<sub>''n''</sub>}} (C(p) का [[eigenvalue]]s), तो C(p) निम्नानुसार [[विकर्णीय]] है:
 :<math>V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)</math>
-कहाँ {{mvar|V}} के अनुरूप [[वेंडरमोंडे मैट्रिक्स]] है {{mvar|λ}}'एस।
+कहाँ {{mvar|V}} के अनुरूप [[वेंडरमोंडे मैट्रिक्स|वेंडरमोंडे आव्यूह]]  है {{mvar|λ}}'एस।
 उस मामले में,<ref>[[Richard E. Bellman|Bellman]], Richard (1987), ''Introduction to Matrix Analysis'', SIAM, {{ISBN|0898713994}} .</ref> शक्तियों के निशान एम {{mvar|C}} p(t) के सभी मूलों की समान घात m का योग आसानी से प्राप्त करें,
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 विशेषता बहुपद के साथ एक रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम दिया गया है
 :<math>p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n \, </math>
-(ट्रांसपोज़) साथी मैट्रिक्स
+(ट्रांसपोज़) साथी आव्यूह
 :<math>C^T(p)=\begin{bmatrix}
 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
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 श्रृंखला को 1 से बढ़ाता है।
-सदिश {{math|(1,''t'',''t''<sup>2</sup>, ..., ''t''<sup>''n''-1</sup>)}} eigenvalue के लिए इस मैट्रिक्स का एक eigenvector है {{mvar|t}}, कब  {{mvar|t}} विशेषता बहुपद का मूल है  {{math|''p''(''t'')}}.
+सदिश {{math|(1,''t'',''t''<sup>2</sup>, ..., ''t''<sup>''n''-1</sup>)}} eigenvalue के लिए इस आव्यूह  का एक eigenvector है {{mvar|t}}, कब  {{mvar|t}} विशेषता बहुपद का मूल है  {{math|''p''(''t'')}}.
-के लिए {{math|''c''<sub>0</sub> {{=}} −1}}, और अन्य सभी {{math|''c<sub>i</sub>''{{=}}0}}, अर्थात।, {{math|''p''(''t'') {{=}} ''t<sup>n</sup>''−1}}, यह मैट्रिक्स सिल्वेस्टर के चक्रीय सामान्यीकरण_ऑफ_पॉली_मैट्रिसेस#निर्माण:_द_क्लॉक_एंड_शिफ्ट_मैट्रिसेस, या [[मैट्रिक्स का चक्कर लगाना]] को कम कर देता है।
+के लिए {{math|''c''<sub>0</sub> {{=}} −1}}, और अन्य सभी {{math|''c<sub>i</sub>''{{=}}0}}, अर्थात।, {{math|''p''(''t'') {{=}} ''t<sup>n</sup>''−1}}, यह आव्यूह  सिल्वेस्टर के चक्रीय सामान्यीकरण_ऑफ_पॉली_मैट्रिसेस#निर्माण:_द_क्लॉक_एंड_शिफ्ट_मैट्रिसेस, या [[मैट्रिक्स का चक्कर लगाना|आव्यूह  का चक्कर लगाना]] को कम कर देता है।
 ==[[रैखिक ODE]] से रैखिक ODE प्रणाली तक==
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 y^{(n)} + c_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + c_{1}y^{(1)} + c_0 y = 0
 </math>
-इसे वेक्टर फ़ंक्शन के लिए क्रम 1 की युग्मित रैखिक ODE प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है {{math|''z'' {{=}} (''y'', ''y''<sup>(1)</sup>, ..., ''y''<sup>(n-1)</sup>)<sup>T</sup>}}
+इसे सदिश फ़ंक्शन के लिए क्रम 1 की युग्मित रैखिक ODE प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है {{math|''z'' {{=}} (''y'', ''y''<sup>(1)</sup>, ..., ''y''<sup>(n-1)</sup>)<sup>T</sup>}}
 :<math>
 z^{(1)} = C(p)^T z
 </math>
-कहाँ {{math|''C(p)''<sup>''T''</sup>}} मोनिक बहुपद के लिए साथी मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है {{math|''p''(''t'') {{=}} c<sub>0</sub> + c<sub>1</sub> t + ... + c<sub>n-1</sub>t<sup>n-1</sup> + t<sup>n</sup>}}.
+कहाँ {{math|''C(p)''<sup>''T''</sup>}} मोनिक बहुपद के लिए साथी आव्यूह  का स्थानान्तरण है {{math|''p''(''t'') {{=}} c<sub>0</sub> + c<sub>1</sub> t + ... + c<sub>n-1</sub>t<sup>n-1</sup> + t<sup>n</sup>}}.
 ODE में गुणांक निर्धारित करना {{math|{''c''<sub>i</sub>}<sub>i{{=}}0</sub><sup>n-1</sup>}} केवल अदिश मान ही नहीं बल्कि स्वतंत्र चर के फलन भी हो सकते हैं।
-सिस्टम सामान्य रूप से युग्मित है क्योंकि {{math|''z''<sup>(1)</sup><sub>n</sub>}} न केवल पर निर्भर करता है {{math|''z''<sub>n</sub>}}. अगर {{math|''C''(''p'')}} उलटा है तो कंपेनियन मैट्रिक्स#डायगोनलिज़ेबिलिटी पर अनुभाग में वर्णित अनुसार समन्वय परिवर्तन करके इसे अलग करना संभव है।
+सिस्टम सामान्य रूप से युग्मित है क्योंकि {{math|''z''<sup>(1)</sup><sub>n</sub>}} न केवल पर निर्भर करता है {{math|''z''<sub>n</sub>}}. अगर {{math|''C''(''p'')}} उलटा है तो कंपेनियन आव्यूह #डायगोनलिज़ेबिलिटी पर अनुभाग में वर्णित अनुसार समन्वय परिवर्तन करके इसे अलग करना संभव है।
 अमानवीय मामले के लिए

v t e Matrix classes
Explicitly constrained entries	Alternant Anti-diagonal Anti-Hermitian Anti-symmetric Arrowhead Band Bidiagonal Bisymmetric Block-diagonal Block Block tridiagonal Boolean Cauchy Centrosymmetric Conference Complex Hadamard Copositive Diagonally dominant Diagonal Discrete Fourier Transform Elementary Equivalent Frobenius Generalized permutation Hadamard Hankel Hermitian Hessenberg Hollow Integer Logical Matrix unit Metzler Moore Nonnegative Pentadiagonal Permutation Persymmetric Polynomial Quaternionic Signature Skew-Hermitian Skew-symmetric Skyline Sparse Sylvester Symmetric Toeplitz Triangular Tridiagonal Vandermonde Walsh Z
Constant	Exchange Hilbert Identity Lehmer Of ones Pascal Pauli Redheffer Shift Zero
Conditions on eigenvalues or eigenvectors	Companion Convergent Defective Definite Diagonalizable Hurwitz Positive-definite Stieltjes
Satisfying conditions on products or inverses	Congruent Idempotent or Projection Invertible Involutory Nilpotent Normal Orthogonal Unimodular Unipotent Unitary Totally unimodular Weighing
With specific applications	Adjugate Alternating sign Augmented Bézout Carleman Cartan Circulant Cofactor Commutation Confusion Coxeter Distance Duplication and elimination Euclidean distance Fundamental (linear differential equation) Generator Gram Hessian Householder Jacobian Moment Payoff Pick Random Rotation Seifert Shear Similarity Symplectic Totally positive Transformation
Used in statistics	Centering Correlation Covariance Design Doubly stochastic Fisher information Hat Precision Stochastic Transition
Used in graph theory	Adjacency Biadjacency Degree Edmonds Incidence Laplacian Seidel adjacency Tutte
Used in science and engineering	Cabibbo–Kobayashi–Maskawa Density Fundamental (computer vision) Fuzzy associative Gamma Gell-Mann Hamiltonian Irregular Overlap S State transition Substitution Z (chemistry)
Related terms	Jordan normal form Linear independence Matrix exponential Matrix representation of conic sections Perfect matrix Pseudoinverse Row echelon form Wronskian
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Revision as of 17:16, 22 July 2023

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