समतुल्य सहसंरचना

गणित में, समतुल्य सहसंरचना बीजगणितीय टोपोलॉजी से एक सह-समरूपता सिद्धांत है जो समूह कार्रवाई के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस पर लागू होता है। इसे समूह सहसंगति विज्ञान के एक सामान्य सामान्यीकरण और एक सामान्य सहसंयोजी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, किसी स्थान का समतुल्य सहसंयोजी स्पेस $X$ एक संस्थानिक समूह की कार्रवाई के साथ $G$ गुणांक रिंग के साथ साधारण सह-समरूपता रिंग के रूप में परिभाषित किया गया है $\Lambda$ समरूप भागफल का $EG\times _{G}X$:

$H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(EG\times _{G}X;\Lambda ).$

अगर $G$ निरर्थक समूह है, यह साधारण सह-समरूपता रिंग है, जबकि यदि $X$ संकुचन योग्य है, यह वर्गीकृत स्थान के सह-समरूपता रिंग में कम हो जाता है $BG$ यदि G, X पर स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो विहित मानचित्र $EG\times _{G}X\to X/G$ एक समरूप तुल्यता है। $H_{G}^{*}(X;\Lambda )=H^{*}(X/G;\Lambda ).$

परिभाषाएँ

समतुल्य सहसंगति को परिभाषित करना भी संभव है

$H_{G}^{*}(X;A)$ का $X$ A में गुणांक के साथ
$G$-मॉड्यूल A; ये एबेलियन समूह हैं।

यह निर्माण स्थानीय गुणांकों के साथ सह-समरूपता का अनुरूप है।

यदि X एक बहुआयामी है, G एक सघन असत्य समूह है और $\Lambda$\लैम्ब्डा वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, तो उपरोक्त सह-समरूपता की गणना तथाकथित कार्टन मॉडल का उपयोग करके की जा सकती है।

निर्माण को अन्य सह-समरूपता सिद्धांतों के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जैसे कि ब्रेडन सह-समरूपता या अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों की सह-समरूपता यदि G एक कॉम्पैक्ट लाई समूह है, तो, औसत तर्क द्वारा, किसी भी रूप को अपरिवर्तनीय बनाया जा सकता है; इस प्रकार, अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के सह-समरूपता से नई जानकारी नहीं मिलती है।

कोस्ज़ुल द्वंद्व को समतुल्य सहसंगति और साधारण सहसंगति के बीच माना जाता है।

ग्रुपॉइड कोहोमोलॉजी के साथ संबंध

एक लाई समूह के लिए ${\mathfrak {X}}=[X_{1}\rightrightarrows X_{0}]$ सहज बहुआयामी की समतुल्य सहसंरचना लाई ग्रुपॉइड सह-समरूपता का एक विशेष उदाहरण है। ऐसा इसलिए है चूंकि दिया गया है $G$-स्पेस एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए $X$ $G$, एक संबद्ध समूह है

${\mathfrak {X}}_{G}=[G\times X\rightrightarrows X]$

जिनके समतुल्य सहसंयोजक समूहों की गणना कार्टन कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके की जा सकती है $\Omega _{G}^{\bullet }(X)$ जो ग्रुपॉइड के D-रैम डबल कॉम्प्लेक्स का कुलीकरण है।

$\Omega _{G}^{n}(X)=\bigoplus _{2k+i=n}({\text{Sym}}^{k}({\mathfrak {g}}^{\vee })\otimes \Omega ^{i}(X))^{G}$

जहां ${\text{Sym}}^{\bullet }({\mathfrak {g}}^{\vee })$ लाई समूह से दोहरे लाई बीजगणित का सममित है, और $G$ $(-)^{G}$ से मेल खाता है $G$-अपरिवर्तनीय रूप. यह सह-समरूपता की गणना के लिए एक विशेष रूप से उपयोगी उपकरण है $BG$ एक कॉम्पैक्ट लाई समूह के लिए $G$ चूँकि इसकी गणना सह-समरूपता के रूप में की जा सकती है

$[G\rightrightarrows *]$

जहां एक बिंदु पर कार्रवाई लघु है।

$H_{dR}^{*}(BG)=\bigoplus _{k\geq 0}{\text{Sym}}^{2k}({\mathfrak {g}}^{\vee })^{G}$

उदाहरण के लिए,

${\begin{aligned}H_{dR}^{*}(BU(1))&=\bigoplus _{k=0}{\text{Sym}}^{2k}(\mathbb {R} ^{\vee })\\&\cong \mathbb {R} [t]\\&{\text{ where }}\deg(t)=2\end{aligned}}$

$U(1)$-दोहरी लाई बीजगणित पर कार्रवाई लघु है।

समरूपी भागफल

होमोटोपी भागफल, जिसे होमोटोपी क्लासरूम स्पेस कहा जाता है, क्लासरूम स्पेस का "समरूप से सही" संस्करण है इसके द्वारा $G$-$X$ जिसमें $X$ को पहले एक बड़े परंतु समरूप समतुल्य स्थान से प्रतिस्थापित किया जाता है इसलिये क्रिया मुक्त होने की गारंटी हो।

इस प्रयोजन के लिए, G के लिए सार्वभौमिक बंडल EG → BG का निर्माण करें और याद रखें कि EG एक निःशुल्क G-क्रिया को स्वीकार करता है। उत्पाद EG ×⁻¹x): चूंकि यह EG पर है। इसलिए हम समरूप भागफल XG को इस G-क्रिया की क्लासरूम स्पेस (EG × X)/G के रूप में परिभाषित करते हैं।

दूसरे शब्दों में, होमोटॉपी भागफल BG पर संबंधित $X$- समूह है जो एक स्थान और मुख्य समूह EG → BG पर G की क्रिया से प्राप्त होता है। इस समूह X → XG → BG को बोरेल फ़िब्रेशन कहा जाता है।

समरूप भागफल का एक उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण का प्रस्ताव 1 है। [1]

X एक जटिल प्रक्षेप्य बीजगणितीय वक्र है। हम जटिल बिंदुओं के सेट के साथ X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में पहचानते हैं $X(\mathbb {C} )$, जो एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह है। मान लीजिए G एक जटिल सरल रूप से जुड़ा हुआ अर्धसरल लाई समूह है। फिर X पर कोई भी प्रमुख G-समूह वर्गीकृत स्थान के बाद से एक लघु समूह के लिए समरूपी है $BG$ AN-कनेक्टेड है और X का वास्तविक आयाम 2 है। कुछ स्थूल G-समूह $P_{\text{sm}}$ $X$ समरूपी है $P_{\text{sm}}$. दूसरे शब्दों में, सेट X पर एक प्रमुख G-समूह और उस पर एक जटिल-विश्लेषणात्मक संरचना से युक्त जोड़े के सभी समरूपता वर्गों के $\Omega$\ओमेगा को जटिल-विश्लेषणात्मक संरचनाओं के सेट के साथ पहचाना जा सकता है $P_{\text{sm}}$ या समकक्ष रूप से X पर होलोमोर्फिक कनेक्शन सेट $\Omega$\ओमेगा एक अनंत-आयामी जटिल एफ़िन स्पेस है और इसलिए अनुबंध योग्य है।

${\mathcal {G}}$ के सभी ऑटोमोर्फिज्म का समूह बनें $P_{\text{sm}}$ का समरूप भागफल $\Omega$\ओमेगा द्वारा ${\mathcal {G}}$ जटिल-विश्लेषणात्मक प्रिंसिपल G-समूहों को X पर वर्गीकृत करता है; अर्थात् , यह सटीक रूप से वर्गीकरण स्थान है $B{\mathcal {G}}$ असतत समूह है।

${\mathcal {G}}$ प्रमुख समूहों के मॉड्यूलि स्टैक को परिभाषित कर सकता है $\operatorname {Bun} _{G}(X)$ भागफल स्टैक के रूप में $[\Omega /{\mathcal {G}}]$ और फिर समरूप भागफल $B{\mathcal {G}}$ परिभाषा के अनुसार, होमोटॉपी प्रकार है।

समतुल्य विशेषता वर्ग

E, G-मैनिफोल्ड M पर एक समवर्ती वेक्टर समूह है। यह एक वेक्टर समूह को जन्म देता है ${\widetilde {E}}$ समरूप भागफल पर $EG\times _{G}M$ इसलिये यह समूह में वापस खींच सके ${\widetilde {E}}=EG\times E$ ऊपर $EG\times M$. E का एक समतुल्य विशेषता वर्ग तब का एक सामान्य विशेषता वर्ग होता है ${\widetilde {E}}$, जो सह-समरूपता रिंग के पूरा होने का एक तत्व है। $H^{*}(EG\times _{G}M)=H_{G}^{*}(M)$

वैकल्पिक रूप से, कोई पहले एक समतुल्य चेर्न वर्ग को परिभाषित कर सकता है और फिर अन्य विशिष्ट वर्गों को सामान्य स्थिति की तरह चेर्न वर्गों के अपरिवर्तनीय बहुपद के रूप में परिभाषित कर सकता है; उदाहरण के लिए, एक समवर्ती रेखा समूह का समवर्ती टॉड वर्ग फ़ंक्शन है जिसका मूल्यांकन समूह के समवर्ती प्रथम चेर्न वर्ग में किया जाता है।

गैर-समतुल्य स्थिति में, पहले चेर्न वर्ग को कई गुना M पर जटिल रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप के रूप में देखा जा सकता है $H^{2}(M;\mathbb {Z} ).$ समतुल्य स्थिति में, इसका अनुवाद इस प्रकार है: समतुल्य प्रथम चेर्न समवर्ती जटिल रेखा समूहों के सभी समरूपता वर्गों के सेट के बीच एक आक्षेप देता है।

स्थानीयकरण प्रमेय

Main article: समतुल्य सहसंगति के लिए स्थानीयकरण सूत्र

स्थानीयकरण प्रमेय समतुल्य सहविज्ञान में सबसे शक्तिशाली उपकरणों में से एक है।

यह भी देखें

• समतुल्य विभेदक रूप
• किरवान मानचित्र
• समतुल्य सहसंगति के लिए स्थानीयकरण सूत्र
• GKM किस्म
• ब्रेडन सह-समरूपता

संदर्भ

• Atiyah, Michael; Bott, Raoul (1984), "The moment map and equivariant cohomology", Topology, 23: 1–28, doi:10.1016/0040-9383(84)90021-1
• Brion, M. (1998). "Equivariant cohomology and equivariant intersection theory" (PDF). Representation Theories and Algebraic Geometry. Nato ASI Series. Vol. 514. Springer. pp. 1–37. arXiv:math/9802063. doi:10.1007/978-94-015-9131-7_1. ISBN 978-94-015-9131-7. S2CID 14961018.
• Goresky, Mark; Kottwitz, Robert; MacPherson, Robert (1998), "Equivariant cohomology, Koszul duality, and the localization theorem", Inventiones Mathematicae, 131: 25–83, CiteSeerX 10.1.1.42.6450, doi:10.1007/s002220050197, S2CID 6006856
• Hsiang, Wu-Yi (1975). Cohomology Theory of Topological Transformation Groups. Springer. doi:10.1007/978-3-642-66052-8. ISBN 978-3-642-66052-8.
• Tu, Loring W. (March 2011). "What Is . . . Equivariant Cohomology?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 58 (3): 423–6. arXiv:1305.4293.

ढेर से संबंध

• Behrend, K. (2004). "Cohomology of stacks" (PDF). प्रतिच्छेदन सिद्धांत और मापांक. ICTP Lecture Notes. Vol. 19. pp. 249–294. ISBN 9789295003286. पीडीएफ पेज 10 में उदाहरणों के साथ मुख्य परिणाम है।

अग्रिम पठन

• Guillemin, V.W.; Sternberg, S. (1999). Supersymmetry and equivariant de Rham theory. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03992-2. ISBN 978-3-662-03992-2.
• Vergne, M.; Paycha, S. (1998). "Cohomologie équivariante et théoreme de Stokes" (PDF). Département de Mathématiques, Université Blaise Pascal.

बाहरी संबंध

• Meinrenken, E. (2006), "Equivariant cohomology and the Cartan model" (PDF), Encyclopedia of mathematical physics, pp. 242–250, ISBN 978-0-12-512666-3 — Excellent survey article describing the basics of the theory and the main important theorems
• "Equivariant cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Young-Hoon Kiem (2008). "Introduction to equivariant cohomology theory" (PDF). Seoul National University.
• What is the equivariant cohomology of a group acting on itself by conjugation?